PERHITUNGAN NILAI-NILAI AKTUARIA DENGAN ASUMSI TINGKAT SUKU BUNGA BERUBAH SECARA STOKASTIK

Transkripsi

1 PERHITUNGAN NILAI-NILAI AKTUARIA DENGAN ASUMSI TINGKAT SUKU BUNGA BERUBAH SECARA STOKASTIK Kumala Dewi S.; Ferry Jaya Permana; Farah Kristiani Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi dan Ilmu Sains, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung ABSTRACT Insurance company provides a product that solves economic unsteadiness as result of losing a member of family. It is a contract that provides a benefit to endured side s heir when he/she die after pay premium to the company every period of time since the contract is signed. In present value of benefit and premium calculation, interest rate is needed. Since years ago, present value of benefit and annuity is calculated under assumption that interest rate is constant. In more realistic model, interest rate is always changing because of many factors as inflation, the amount of money at the market, etc. In this research writer intends to discuss about present value of benefit and premium insurance calculation under assumption stochastic interest rate that follow Vasicek model and CIR (Cox- Ingersol-Ross) model. Beside of interest rate, in present value of benefit and premium calculation, survival function is also needed. Writer will use two data, those are data of US population between and the approximation using Gompertz Mortality Law assumption. Keywords: benefit, premium, interest rate, stochastic, gompertz ABSTRAK Perusahaan asuransi menyediakan sebuah produk untuk menanggulangi guncangan ekonomi akibat kehilangan seorang anggota keluarga. Produk tersebut berupa kontrak yang menyediakan manfaat kepada ahli waris pihak tertanggung ketika meninggal setelah pemegang kontrak membayar premi kepada perusahaan asuransi setiap periode waktu sejak kontrak ditandatangani. Dalam perhitungan nilai tunai manfaat dan premi, dibutuhkan tingkat suku bunga. Selama ini, nilai tunai manfaat dan anuitas dihitung dengan tingkat suku bunga konstan. Pada model yang lebih realistis, tingkat suku bunga selalu berubah karena banyak faktor seperti inflasi, banyaknya uang yang beredar dalam masyarakat, dan sebagainya. Pada penelitian ini, akan dibahas perhitungan nilai tunai manfaat dan premi asuransi jiwa dengan tingkat suku bunga berubah secara stokastik yang mengikuti model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross). Selain tingkat suku bunga, dalam perhitungan nilai tunai manfaat dan premi, juga dibutuhkan fungsi hidup. Penulis akan menggunakan dua data, yaitu data penduduk Amerika Serikat antara tahun dan pendekatannya dengan asumsi Hukum Mortalita Gompertz. Kata kunci: manfaat, premi, suku bunga, stokastik, gompertz Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 149

2 PENDAHULUAN Perusahaan asuransi menyediakan sebuah produk berupa kontrak perjanjian yang menyediakan pembayaran manfaat kepada ahli waris pihak tertanggung ketika meninggal setelah pemegang kontrak membayar premi setiap periode waktu. Perhitungan manfaat dan premi membutuhkan tingkat suku bunga. Pada kenyataannya tingkat suku bunga selalu berubah karena berbagai faktor. Perubahannya pun tidak dapat diprediksi. Pada penelitian ini, penulis menggunakan model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross) untuk tingkat suku bunga yang berubah secara stokastik. Perhitungan yang digunakan akan didasarkan pada tabel mortalita penduduk Amerika Serikat periode tahun dan pendekatan modelnya dengan menggunakan asumsi Hukum Mortalita Gompertz. Setelah pendekatan model dilakukan dan data dipergunakan, akan dilihat pula tingkat error dari masing-masing nilai aktuaria meliputi error nilai tunai manfaat, nilai tunai anuitas dan nilai premi. Akan dianalisa juga bagaimana pengaruh usia pihak tertanggung pada saat penandatangan kontrak terhadap besaran nilai-nilai aktuaria yang ada. METODE Dari (Bowers dkk, 1997) diketahui bahwa Pr menyatakan seseorang yang berusia tahun akan meninggal sebelum usia tahun dan Pr menyatakan seseorang yang berusia tahun akan bertahan hidup hingga usia tahun dengan peubah acak yang menyatakan sisa usia seseorang. dan dapat dikaitkan dengan fungsi hidup, yaitu Untuk menyatakan peluang seseorang akan meninggal dan bertahan hidup hingga 1 tahun digunakan notasi dan. Dalam ilmu aktuaria, menyatakan peluang seseorang mengalami kematian mendadak pada usia tahun dan dinyatakan dengan 3 Selain itu, juga dapat dilihat relasinya dengan fungsi hidup, yaitu exp 4 Pr dapat dinyatakan dengan yang merupakan fungsi distribusi dari peubah acak. Oleh karena itu, fungsi densitas dari peubah acak dapat diperoleh 5 Selain menggunakan tabel mortalita, ada pendekatan lain untuk menghitung nilai-nilai aktuaria, yaitu menggunakan hukum mortalita. Ada beberapa penemu hukum mortalita yang cukup 150 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011:

3 terkenal seperti De Moivre, Gompertz, Makeham, dan Weibull. Hukum mortalita yang dipakai pada pembahasan ini adalah hukum mortalita Gompertz, di mana,, 0,, 0 Misal menyatakan fungsi peubah acak manfaat, menyatakan fungsi peubah acak diskon, maka peubah acak untuk nilai tunai manfaat asuransi seumur hidup untuk 0 adalah Misalkan pembayaran manfaat sebesar 1 unit pada akhir periode pihak tertanggung meninggal, yaitu pada saat, maka nilai tunai manfaat asuransi hidup untuk 0 adalah Actuarial Present Value (APV) untuk adalah 1 exp exp 6 Misalkan pembayaran anuitas sebesar 1 unit pada awal setiap periode, maka nilai tunai anuitas hidup untuk 0 adalah Actuarial Present Value (APV) untuk adalah exp 7 Dari persamaan (6) dan (7) dapat dihitung premi tahunan yang harus dibayar oleh nasabah dengan tingkat suku bunga konstan adalah sebesar 8 Untuk tingkat suku bunga stokastik yang dipakai adalah tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross). Tingkat suku bunga dikatakan mengikuti model Vasicek jika pergerakan tingkat suku bunganya mengikuti persamaan diferensial berikut (Hull, 2003) Misal menyatakan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek. exp dengan Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 151

4 Tingkat suku bunga dikatakan mengikuti model CIR jika pergerakan tingkat suku bunganya mengikuti persamaan diferensial berikut (Hull, 2003) Misal menyatakan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR. 2 exp 2 exp exp 2 0 exp 1 exp 10 dengan 2 dan menyatakan tingkat suku bunga saat, menyatakan tingkat suku bunga jangka panjang, menyatakan kecepatan penyesuaian tingkat suku bunga terhadap tingkat suku bunga jangka panjang, menyatakan volatilitas, menyatakan proses Wiener, dan 0,,, merupakan konstanta positif. Parameter Pada Hukum Mortalita Gompertz Fungsi distribusi kumulatif pada hukum mortalita Gompertz untuk peubah acak adalah 1 exp ln 1 Dengan mengambil 1 dan menggunakan aljabar penjumlahan dan perkalian biasa serta sifat eksponensial diperoleh 1 1 ln ln ln ln 1 ln Dengan menggunakan metode Linear Least Square diperoleh 0,0002 1,0744 sehingga fungsi distribusi kumulatif hukum mortalita untuk penduduk Amerika Serikat periode tahun adalah 1 exp 2, ,0744 1, Akan selalu ada error dalam penggunaan asumsi hukum mortalita Gompertz pada tabel mortalita yang mengakibatkan adanya error pada perhitungan nilai-nilai aktuaria. Setelah dihitung, diperoleh hasil error relatif rata-rata untuk fungsi,,, dan masing-masing adalah sebesar 9,9661; 26,9280; 33,7318; dan 27,4343. Hal ini disebabkan oleh hukum mortalita Gompertz yang hanya memperhitungkan faktor usia saja, padahal dalam data tabel mortalita tidak hanya faktor usia saja yang diperhitungkan, sehingga faktor-faktor lain yang mempengaruhi dalam data tabel mortalita tidak terhitung pada hukum mortalita Gompertz. 152 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011:

5 Nilai-Nilai Aktuaria Dengan menggunakan program MATLAB, diperoleh nilai-nilai aktuaria untuk tiga model tingkat suku bunga untuk berbagai usia tertanggung saat penandatanganan kontrak dan berbagai parameter,, dan. Setiap perhitungan akan dilakukan dengan menggunakan dua data, yaitu data dari hukum mortalita Gompertz dan data dari tabel mortalita penduduk Amerika Serikat periode tahun Hasil HASIL DAN PEMBAHASAN Nilai tunai manfaat akan dihitung dengan menggunakan persamaan (6) dengan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitu konstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan (9) dan model CIR pada persamaan (10) dengan r(0) = 5%. Tabel 1 Nilai Tunai Manfaat untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 0,0995 0,0994 0,0889 0,0888 0,055 0,20 0,1741 0,1021 0,1639 0,0915 0,35 0,7297 0,1077 0,7506 0,0970 0,0643 0,0642 0,0549 0,0548 1,1 0,070 0,20 0,1169 0,1036 0,0661 0,1061 0,0930 0,0566 0,35 0,3695 0,0699 0,3675 0,0603 0,0499 0,0499 0,0415 0,0415 0,080 0,20 0,0764 0,0514 0,0665 0,0429 0,35 0,2436 0,0544 0,2357 0,0457 0,0992 0,0992 0,0886 0,0886 0,055 0,20 0,1167 0,1000 0,1060 0,0895 0,35 0,1678 0,1018 0,1574 0,0912 0,0637 0,0637 0,0544 0,0544 2,0 0,070 0,20 0,1169 0,0731 0,0643 0,1061 0,0634 0,0549 0,35 0,0998 0,0655 0,0893 0,0561 0,0493 0,0493 0,0410 0,0410 0,080 0,20 0,0558 0,0498 0,0470 0,0414 0,35 0,0736 0,0507 0,0638 0,0423 0,0991 0,0991 0,0886 0,0885 0,055 0,20 0,1065 0,0995 0,0958 0,0889 0,35 0,1242 0,1003 0,1134 0,0897 0,0635 0,0635 0,0542 0,0542 3,0 0,070 0,20 0,1169 0,0675 0,0637 0,1061 0,0580 0,0545 0,35 0,0769 0,0643 0,0670 0,0550 0,0491 0,0491 0,0408 0,0408 0,080 0,20 0,0518 0,0493 0,0433 0,0410 0,35 0,0582 0,0497 0,0493 0,0414 Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 153

6 Tabel 2 Nilai Tunai Manfaat untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 0,1525 0,1524 0,1377 0,1375 0,055 0,20 0,2398 0,1558 0,2277 0,1410 0,35 0,7591 0,1626 0,7819 0,1479 1,1 0,1065 0,1064 0,0915 0,0914 0,070 0,20 0,1739 0,1574 0,1090 0,1594 0,1427 0,0940 0,35 0,4384 0,1142 0,4378 0,0992 0,0863 0,0862 0,0718 0,0717 0,080 0,20 0,1227 0,0884 0,1077 0,0738 0,35 0,3134 0,0927 0,3053 0,0780 0,1521 0,1521 0,1373 0,1372 0,055 0,20 0,1737 0,1532 0,1592 0,1383 0,35 0,2330 0,1553 0,2205 0,1406 2,0 0,1056 0,1056 0,0907 0,0907 0,070 0,20 0,1739 0,1184 0,1064 0,1594 0,1034 0,0915 0,35 0,1528 0,1080 0,1380 0,0931 0,0852 0,0852 0,0709 0,0709 0,080 0,20 0,0945 0,0859 0,0798 0,0715 0,35 0,1189 0,0873 0,1040 0,0729 0,1520 0,1520 0,1371 0,1371 0,055 0,20 0,1612 0,1524 0,1465 0,1376 0,35 0,1826 0,1534 0,1684 0,1386 0,1052 0,1052 0,0904 0,0904 3,0 0,070 0,20 0,1739 0,1107 0,1056 0,1594 0,0958 0,0908 0,35 0,1233 0,1063 0,1084 0,0915 0,0848 0,0848 0,0705 0,0705 0,080 0,20 0,0888 0,0851 0,0744 0,0708 0,35 0,0979 0,0857 0,0832 0,0714 Tabel 3 Nilai Tunai Manfaat Untuk Pihak Tertanggung berusia 45 tahun 0,2265 0,2263 0,2149 0,2147 0,055 0,20 0,3226 0,2303 0,3160 0,2189 0,35 0,7876 0,2382 0,8140 0,2271 0,1701 0,1700 0,1566 0,1564 1,1 0,070 0,20 0,2511 0,2318 0,1733 0,2406 0,2206 0,1598 0,35 0,5141 0,1798 0,5204 0,1666 0,1435 0,1434 0,1294 0,1293 0,080 0,20 0,1903 0,1463 0,1774 0,1323 0,35 0,3961 0,1520 0,3945 0,1381 0,2259 0,2259 0,2143 0,2143 0,055 0,20 0,2508 0,2271 0,2403 0,2156 0,35 0,3159 0,2297 0,3088 0,2183 0,1687 0,1687 0,1552 0,1552 2,0 0,070 0,20 0,2511 0,1849 0,1697 0,2406 0,1719 0,1563 0,35 0,2265 0,1718 0,2150 0,1585 0,1418 0,1417 0,1278 0,1278 0,080 0,20 0,1541 0,1426 0,1404 0,1287 0,35 0,1855 0,1445 0,1726 0,1306 0,2257 0,2257 0,2141 0,2141 0,055 0,20 0,2364 0,2263 0,2253 0,2147 0,35 0,2610 0,2274 0,2510 0,2159 0,1681 0,1681 0,1547 0,1547 3,0 0,070 0,20 0,2511 0,1751 0,1686 0,2406 0,1619 0,1552 0,35 0,1910 0,1696 0,1782 0,1562 0,1411 0,1411 0,1272 0,1272 0,080 0,20 0,1464 0,1415 0,1326 0,1276 0,35 0,1585 0,1423 0,1449 0, Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011:

7 Dilihat dari ketiga tabel di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sembarang nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan untuk sembarang nilai parameter k dan terhadap nilai tunai manfaat baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR. Nilai Tunai Anuitas Nilai tunai anuitas akan dihitung dengan menggunakan persamaan (7) dengan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitu konstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan (9) dan model CIR pada persamaan (10) dengan r(0) = 5%. Tabel 4 Nilai Tunai Anuitas untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 16, , , ,1950 0,055 0,20 21, , , ,3944 0,35 41, , , , , , , ,2804 1,1 0,070 0,20 18, , , , , ,4542 0,35 29, , , , , , , ,8278 0,080 0,20 15, , , ,9857 0,35 24, , , , , , , ,1632 0,055 0,20 18, , , ,2269 0,35 21, , , , , , , ,1787 2,0 0,070 0,20 18, , , , , ,2345 0,35 16, , , , , , , ,6933 0,080 0,20 13, , , ,7442 0,35 14, , , , , , , ,1500 0,055 0,20 17, , , ,1788 0,35 18, , , , , , , ,1359 3,0 0,070 0,20 18, , , , , ,1612 0,35 15, , , , , , , ,6366 0,080 0,20 12, , , ,6598 0,35 13, , , ,7073 Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 155

8 Tabel 5 Nilai Tunai Anuitas untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 15, , , ,3330 0,055 0,20 19, , , ,5042 0,35 34, , , , , , , ,7753 1,1 0,070 0,20 16, , , , , ,9298 0,35 26, , , , , , , ,4649 0,080 0,20 14, , , ,6079 0,35 22, , , , , , , ,3031 0,055 0,20 16, , , ,3580 0,35 19, , , , , , , ,6777 2,0 0,070 0,20 16, , , , , ,7275 0,35 15, , , , , , , ,3348 0,080 0,20 12, , , ,3811 0,35 14, , , , , , , ,2906 0,055 0,20 16, , , ,3155 0,35 17, , , , , , , ,6366 3,0 0,070 0,20 16, , , , , ,6592 0,35 14, , , , , , , ,2799 0,080 0,20 12, , , ,3010 0,35 12, , , ,3443 Tabel 6 Nilai Tunai Anuitas untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Yahun 14, , , ,9676 0,055 0,20 17, , , ,1038 0,35 27, , , , , , , ,8780 1,1 0,070 0,20 15, , , , , ,0059 0,35 22, , , , , , , ,7723 0,080 0,20 13, , , ,8934 0,35 19, , , , , , , ,9405 0,055 0,20 15, , , ,9845 0,35 17, , , , , , , ,7877 2,0 0,070 0,20 15, , , , , ,8293 0,35 14, , , , , , , ,6507 0,080 0,20 11, , , ,6902 0,35 13, , , , , , , ,9292 0,055 0,20 14, , , ,9492 0,35 15, , , , , , , ,7496 3,0 0,070 0,20 15, , , , , ,7686 0,35 13, , , , , , , ,5992 0,080 0,20 11, , , ,6173 0,35 11, , , , Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011:

9 Dilihat dari ketiga tabel di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sembarang nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan untuk sembarang nilai parameter k dan terhadap nilai tunai anuitas baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR. Premi Premi akan dihitung dengan menggunakan persamaan (8) dengan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitu konstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan (9) dan model CIR pada persamaan (10) dengan r(0) = 5%. Tabel 7 Nilai Premi untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 0,0059 0,0059 0,0052 0,0052 0,055 0,20 0,0082 0,0060 0,0075 0,0053 0, , ,0055 0,0046 0,0046 0,0038 0,0038 1,1 0,070 0,20 0,0065 0,0061 0,0046 0,0058 0,0053 0,0039 0, , ,0041 0,0039 0,0039 0,0032 0,0032 0,080 0,20 0,0051 0,0040 0,0043 0,0033 0,35 0,0099 0,0041 0,0093 0,0034 0,0059 0,0059 0,0052 0,0052 0,055 0,20 0,0065 0,0059 0,0058 0,0052 0,35 0,0080 0,0060 0,0073 0,0053 0,0046 0,0046 0,0038 0,0038 2,0 0,070 0,20 0,0065 0,0049 0,0046 0,0058 0,0042 0,0039 0,35 0,0059 0,0046 0,0052 0,0039 0,0039 0,0039 0,0032 0,0032 0,080 0,20 0,0042 0,0040 0,0035 0,0033 0,35 0,0050 0,0040 0,0042 0,0033 0,0059 0,0059 0,0052 0,0052 0,055 0,20 0,0061 0,0059 0,0054 0,0052 0,35 0,0067 0,0059 0,0060 0,0052 0,0046 0,0046 0,0038 0,0038 3,0 0,070 0,20 0,0065 0,0047 0,0046 0,0058 0,0040 0,0038 0,35 0,0051 0,0046 0,0044 0,0039 0,0039 0,0039 0,0032 0,0032 0,080 0,20 0,0041 0,0039 0,0033 0,0032 0,35 0,0043 0,0040 0,0036 0,0033 Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 157

10 Tabel 8 Nilai Premi untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 0,0096 0,0096 0,0084 0,0084 0,055 0, , ,0085 0,35 0,0218 0,0099 0,0214 0,0088 0,0079 0,0079 0,0066 0,0066 1,1 0,070 0, ,0098 0,0080 0,0092 0,0086 0,0067 0, , ,0070 0,0071 0,0071 0,0058 0,0058 0,080 0,20 0,0086 0,0072 0,0073 0,0059 0, , ,0061 0,0096 0,0096 0,0084 0,0084 0,055 0,20 0, ,0092 0,0085 0, , ,0085 0,0079 0,0079 0,0066 0,0066 2,0 0,070 0, ,0084 0,0079 0,0092 0,0072 0,0067 0,35 0,0096 0,0080 0,0085 0,0067 0,0071 0,0071 0,0057 0,0057 0,080 0,20 0,0075 0,0071 0,0062 0,0058 0,35 0,0084 0,0072 0,0072 0,0058 0,0096 0,0096 0,0084 0,0084 0,055 0,20 0,0099 0,0096 0,0087 0,0084 0, ,0096 0,0095 0,0085 0,0079 0,0079 0,0066 0,0066 3,0 0,070 0, ,0081 0,0079 0,0092 0,0069 0,0066 0,35 0,0086 0,0080 0,0074 0,0067 0,0071 0,0071 0,0057 0,0057 0,080 0,20 0,0072 0,0071 0,0059 0,0058 0,35 0,0076 0,0071 0,0063 0,0058 Tabel 9 Nilai Premi untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Tahun ,055 0, ,35 0, , ,1 0,070 0, ,35 0, , ,080 0, ,35 0, ,055 0, , ,0 0,070 0, , ,080 0, , ,055 0, , ,0 0,070 0, , ,080 0, , Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011:

11 Dilihat dari ketiga tabel di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai premi untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sembarang nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai premi untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan untuk sembarang nilai parameter k dan terhadap nilai premi baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR. Tingkat Error Pada pemodelan tabel mortalita menggunakan hukum mortalita, tentu ada perbedaan pada nilainilainya. Begitu pula dengan nilai-nilai aktuaria yang dipengaruhi. Pada subbab ini, akan digunakan error relatif untuk setiap nilai-nilai aktuaria pada berbagai usia nasabah dan berbagai parameter. Tingkat Error Untuk Nilai Tunai Manfaat Tingkat error untuk nilai tunai manfaat akan dihitung menggunakan data dari tabel 1 dan formula 100% Tabel 10 Tingkat Error (%) untuk Pihak Tertanggung yang Berusia 25 tahun Konstan Vasicek CIR 11, ,9245 0,055 0,20 6, ,6130 0,35 2, , , ,1239 1,1 0,070 0,20 10, , ,7514 0,35 0, , , ,2506 0,080 0,20 14, ,8730 0,35 3, , , ,9241 0,055 0,20 10, ,8279 0,35 6, , , ,1167 2,0 0,070 0,20 10, , ,0023 0,35 11, , , ,2335 0,080 0,20 18, ,1183 0,35 15, , , ,9240 0,055 0,20 11, ,8809 0,35 9, , , ,1142 3,0 0,070 0,20 10, , ,0632 0,35 14, , , ,2277 0,080 0,20 19, ,1764 0,35 18, ,0712 Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 159

12 Dari table di atas, dapat diketahui bahwa semakin besar nilai parameter k, tingkat error nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung juga semakin besar. Sedangkan untuk parameter, semakin besar nilainya, tingkat error nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Hal ini ternyata berlaku untuk kondisi pihak tertanggung berusia 25, 35 dan 45 tahun. Tingkat Error Untuk Nilai Tunai Anuitas Tingkat error untuk nilai tunai anuitas akan dihitung menggunakan data dari tabel 4 dan formula 100% Tabel 11 Tingkat Error (%) untuk Pihak Tertanggung yang Berusia 25 tahun Konstan Vasicek CIR 1,8229 1,8217 0,055 0,20 2,4024 1,8485 0,35 4,0868 1,9002 1,4251 1,4242 1,1 0,070 0,20 1,9807 1,8674 1,4499 0,35 3,2757 1,4999 1,2175 1,2168 0,080 0,20 1,5820 1,2408 0,35 2,7903 1,2879 1,8216 1,8213 0,055 0,20 1,9805 1,8296 0,35 2,3556 1,8463 1,4231 1,4228 2,0 0,070 0,20 1,9807 1,5430 1,4307 0,35 1,8303 1,4468 1,2150 1,2148 0,080 0,20 1,3135 1,2222 0,35 1,5506 1,2373 1,8213 1,8212 0,055 0,20 1,8903 1,8249 0,35 2,0417 1,8324 1,4225 1,4224 3,0 0,070 0,20 1,9807 1,4744 1,4259 0,35 1,5892 1,4332 1,2143 1,2142 0,080 0,20 1,2569 1,2175 0,35 1,3512 1,2243 Dari table di atas, dapat diketahui bahwa semakin besar nilai parameter k dan, tingkat error nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan untuk parameter, semakin besar nilainya, tingkat error nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung juga akan semakin besar. Hal ini ternyata berlaku untuk kondisi pihak tertanggung berusia 25, 35 dan 45 tahun. 160 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011:

13 Tingkat Error Untuk Premi Tingkat error untuk premi akan dihitung menggunakan data dari tabel 7 dan formula 100% Tabel 12 Tingkat Error (%) untuk Pihak Tertanggung yang Berusia 25 Tahun Konstan Vasicek CIR 13, ,0013 0,055 0,20 8, ,7150 0,35 1, , , ,8161 1,1 0,070 0,20 12, , ,4691 0,35 3, , , ,7318 0,080 0,20 16, ,3791 0,35 6, , , ,0004 0,055 0,20 12, ,9119 0,35 9, , , ,8071 2,0 0,070 0,20 12, , ,7006 0,35 13, , , ,7121 0,080 0,20 20, ,6045 0,35 17, , , ,0001 0,055 0,20 13, ,9606 0,35 11, , , ,8041 3,0 0,070 0,20 12, , ,7565 0,35 16, , , ,7055 0,080 0,20 21, ,6576 0,35 19, ,5596 Dari table di atas, dapat diketahui bahwa semakin besar nilai parameter k dan, tingkat error nilai premi untuk pihak tertanggung akan semakin besar. Sedangkan untuk parameter, semakin besar nilainya, tingkat error nilai premi untuk pihak tertanggung juga akan semakin kecil. Hal ini ternyata berlaku untuk kondisi pihak tertanggung berusia 25, 35 dan 45 tahun. Analisa Model Berdasarkan tabel-tabel aktuaria di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar parameter, pengaruh parameter terhadap nilai-nilai aktuaria semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, parameter tidak terlalu berpengaruh untuk setiap nilai parameter terhadap nilai-nilai aktuaria. Parameter cukup berpengaruh terhadap nilai-nilai aktuaria pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek maupun CIR untuk setiap nilai dan. Selain itu, usia nasabah saat penandatanganan kontrak juga berpengaruh pada nilai-nilai aktuaria. Semakin tinggi usia nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin tinggi juga nilai tunai manfaat dan premi yang harus dibayar oleh nasabah, tetapi nilai tunai anuitasnya semakin kecil. Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 161

14 Berdasarkan tabel-tabel tingkat error, dapat diketahui bahwa semakin rendah usia seorang nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin tinggi tingkat error untuk nilai tunai manfaat yang terjadi akibat pemodelan tabel mortalita dengan hukum mortalita Gompertz, begitu juga sebaliknya. Hal ini disebabkan oleh tingkat error yang terakumulasi pada usia nasabah 25 tahun lebih banyak dibandingkan dengan tingkat error yang terakumulasi pada usia nasabah 35 tahun dan 45 tahun. Untuk nilai tunai anuitas, dapat diketahui bahwa tingkat error-nya paling kecil bila dibandingkan dengan tingkat error untuk nilai tunai manfaat dan premi. Hal ini disebabkan oleh nilai tunai anuitas hanya dipengaruhi oleh fungsi, di mana diketahui bahwa tingkat error relatif fungsi paling kecil bila dibandingkan dengan fungsi-fungsi yang lain, yaitu 9,9661%. Secara umum, kondisi seseorang yang berusia 25 tahun dan 35 tahun lebih prima bila dibandingkan dengan kondisi seseorang yang berusia 45 tahun, sehingga pada usia 25 tahun dan 35 tahun, seseorang lebih berani mengambil risiko yang akhirnya meningkatkan peluang hazard dibandingkan untuk usia 45 tahun. Padahal data pada tabel mortalita sudah memperhitungkan peluang hazard-nya. Oleh karena itu, tingkat error premi pada usia 25 dan 35 tahun lebih besar dibandingkan dengan tingkat error premi pada usia 45 tahun. PENUTUP Tabel mortalita penduduk Amerika Serikat periode tahun kurang sesuai jika dimodelkan dengan hukum mortalita Gompertz karena hukum mortalita Gompertz hanya memperhitungkan kematian yang disebabkan oleh faktor usia saja, padahal data dalam tabel mortalita tercatat kematian yang tidak hanya disebabkan oleh faktor usia saja. Hal ini dilihat dari adanya perbedaan nilai antara nilai-nilai aktuaria yang dihitung dengan tabel mortalia dengan nilai-nilai aktuaria yang dihitung dengan Hukum Mortalita Gompertz. Semakin tinggi usia seorang nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin tinggi juga nilai tunai manfaat asuransi dan premi yang harus dibayar oleh nasabah, tetapi nilai tunai anuitas hidupnya akan semakin rendah. Dengan kata lain, semakin rendah usia seorang nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin rendah juga nilai tunai manfaat asuransi dan premi yang harus dibayar oleh nasabah, tetapi nilai tunai anuitas hidupnya akan semakin tinggi. Untuk pengaruh nilai parameter-parameter pada model tingkat suku bunga stokastik, dapat dilihat bahwa pada model tingkat suku bunga Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai-nilai aktuaria semakin kecil. Pada model CIR, parameter k tidak terlalu berpengaruh untuk setiap nilai. Parameter sangat berpengaruh pada nilai-nilai aktuaria untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek dan CIR. Pada pembahasan lebih lanjut dapat digunakan data penduduk Indonesia yang terbaru. Untuk pendekatan modelnya dapat digunakan asumsi Hukum Mortalita Makeham yang tidak hanya memperhitungkan faktor usia saja. Untuk nilai tunai manfaatnya dan anuitas dapat digunakan jenis asuransi selain asuransi jiwa seumur hidup. DAFTAR PUSTAKA Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A., & Nesbitt, C. J. (1997). Actuarial Mathematics. Second Ed. Illinois: The Society of Actuaries.. Hull, J. C., (2003), Option, Futures, and Other Derivatives, 5 th ed., Prentice Hall, USA. Noviyanti, L., & Syamsuddin, M. (2005), Life Insurance With Stochastic Interest Rate, 13 th East Asian Actuarial Conference (EAAC), The Westin Resort, Bali, Indonesia, September 2005 Zeytun S., Gupta, A. (2007), A Comparative Study of the Vasicek and the CIR Model of the Short Rate, Germany: Fraunhofer Institut Techno-und Wirtschaftsmathematik. 162 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: