Analisis Kestabilan Linear dan Simulasi

Transkripsi

1 Bab 4 Analisis Kestabilan Linear dan Simulasi Pada Bab ini kita akan membahas mengenai ketidakstabilan dari lapisan kondensat. Analisis kestabilan linier kita gunakan untuk melihat kondisi serta parameterparameter apa saja yang membuat sistem menjadi tidak stabil. Kondisi ketidakstabilan terjadi, ditandai pada saat growth rate(ω) bernilai positif. Untuk selanjutnya karena kita mempunyai dua buah persamaan maka nilai growth rate(ω) yang dicari tidak lain adalah nilai eigen dari matriks yang dibentuk sebagai hasil analisis kestabilan linear terhadap persamaan-persamaan tersebut. Pada bagian simulasi kita akan melihat perubahan yang dihasilkan terhadap ketidakstabilan sistem jika salah satu parameter kita ubah dan yang lainnya kita tetapkan. 4.1 Analisis Kestabilan Linear Analisis kestabilan linear mempunyai peranan yang paling penting dalam melihat kestabilan dari ketebalan lapisan kondensat berdasarkan model matematika yang telah dibangun. Melalui metode ini kita bisa melihat apakah ketebalan dari lapisan kondensat (h) akan terus membesar (growing) sehingga membuatnya tidak stabil atau justru sebaliknya, terus mengecil (decaying) membuatnya stabil. Semua itu 19

2 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI 20 bergantung pada suatu parameter yang kita definisikan sebagai growth rate[6]. Z,W wind Stress w (x,t)= Insoluble Surfactant h(x,t) = h o+h Lapisan Kondensat ho=1 Dinding Pipa X,U Gambar 4.1: Kondisi Perturbasi pada koordinat Cartesius Kita definisikan bahwa nilai ketebalan dari lapisan kondensat di permukaan h(x,t) merupakan nilai konstan dari ketebalan awal h 0 (dalam hal ini kita berikan nilai 1) di tambah dengan nilai pertubasinya (h ). begitu juga sama halnya dengan kondisi untuk nilai konsentrasi surfaktan, sehingga diperoleh: h(x,t) = 1 + h, Γ(x,t) = 1 + Γ. (4.1.1) Didefinisikan juga nilai perturbasinya sebagai fungsi dari bilangan gelombang k yang dirumuskan dalam bentuk : Dengan H(t) dan Γ(t) di definisikan sebagai: (h, Γ ) = (H(t)e (ikx), Γ(t)e (ikx)) ). (4.1.2) H(t) = H 0 e ωt, Γ(t) = Γ 0 e ωt. (4.1.3) dimana H 0 dan Γ 0 menyatakan amplitudo awal dari masing-masing variable sedangkan ω menyatakan growth rate. Dengan mensubstitusi Persamaan (4.1.1) dan (4.1.2)

3 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI 21 diatas pada model ketebalan lapisan kondensat(3.3.8), dalam orde 1 akan didapat persamaan: H(t)e (ikx) = σk4 3µ H(t)e(ikx) + Mk2 2µ(1 β) Γ(t)e(ikx) + i k µ τ wh(t)e (ikx). (4.1.4) Dari hasil diatas bisa dilihat bahwa suku imaginer terdapat pada bagian parameter(τ) (wind stress) sehingga bisa disimpulkan bahwa efek dari wind stress hanya memberikan efek osilasi pada permukaan lapisan kondensat. Kemudian dengan proses yang sama kita lakukan terhadap persamaaan konsentrasi surfaktan Persamaan (3.3.10), maka diperoleh: Γ(t)e (ikx) = σk4 2µ H(t)e(ikx) + Mk2 2µ(1 β) Γ(t)e(ikx). (4.1.5) sehingga dengan mengambil bagian yang real dari kedua hasil tersebut, maka dalam bentuk persamaan matriks bisa kita tulis sebagai: dimana H(t) Γ(t) = σk4 3µ σk4 2µ Mk 2 2µ(1 β) Mk 2 2µ(1 β) h Γ. (4.1.6) H(t) dan Γ(t) menyatakan nilai turunan perturbasi terhadap waktu. Nilai growth rate (ω) menentukan kestabilan dari lapisan kondensat, bila nilainya positif maka akan membuat lapisan kondensat menjadi tidak stabil, sebaliknya jika nilainya negatif maka akan membuatnya menjadi stabil. Untuk selanjutnya mudah dibuktikan bahwa nilai growth rate merupakan nilai eigen dari matriks diatas, sehingga di dapat : (ω 1,ω 2 ) = ( k4 M ( + k2 σ 0 2(1 β) 3 )2 k6 Mσ 0 k 4 M ( 4µ 2 4µ 2 (1 β) )1 2 ± ( + k2 σ 0 ) 2(1 β) 3 2µ ) (4.1.7) Jika salah satu saja nilai eigennya bernilai positif maka hal tersebut akan menyebabkan ketidakstabilan sistem.

4 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI Simulasi dan Pembahasan Tegangan Permukaan Tegangan permukaan merupakan salah satu besaran dalam cairan dimana permukaan bebas pada cairan berperilaku seperti lapisan yang meregang dengan kecenderungan untuk menutupi dan menempati wilayah permukaan yang minimum. Selain itu, tegangan permukaan dapat pula didefinisikan sebagai sekumpulan energi yang harus dikeluarkan untuk melebarkan permukaan persatuan wilayah [9] Σ 5 Σ 1 Σ 0.5 Σ Σ 5 Σ 1 Σ 0.5 Σ 0.1 Gambar 4.2: growth rate pada saat µ=3, M =0.3, β=0.1, dengan nilai tegangan permukaan (σ) yang berbeda Gambar 4.2 mendeskripsikan tentang pengaruh dari besarnya tegangan permukaan terhadap kestabilan lapisan kondensat. Pada simulasi ini diberikan 4 harga tegangan permukaan yang berbeda, dengan parameter lainnya tetap. Bisa dilihat bahwa semakin besar nilai tegangan permukaan, maka nilai dari growth rate akan menjadi semakin bernilai negatif. Sehingga bisa disimpulkan bahwa semakin besar tegangan permukaan akan membuat lapisan kondensat menjadi semakin lebih stabil.

5 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI Viskositas Viskositas merupakan ukuran daya hambat aliran fluida, yang juga dapat dinyatakan sebagai keengganan fluida untuk mengalir [2]. Semakin besar nilai viskositas dari suatu fluida, maka semakin sulit fluida tersebut mengalir. Gambar 4.3 di bawah merupakan deskripsi hubungan antara bilangan gelombang terhadap growth rate dengan nilai viskositas yang berubah-rubah dan 3 parameter lainnya konstan Μ 300 Μ 30 Μ 3 Μ Μ 300 Μ 30 Μ 3 Μ Gambar 4.3: growth rate pada saat σ=0.5, M =0.3, β=0.1, dengan nilai viskoitas (µ) yang berbeda Hasil simulasi diatas memberikan kesimpulan bahwa semakin kecil nilai viskositas dari lapisan kondensat maka semakin besar juga kemungkinan lapisan tersebut menjadi tidak stabil. Hal ini bisa kita lihat pada Gambar 4.3 diatas. Saat viskositasnya(µ) bernilai 1, nilai growth ratenya jauh bernilai positif jika dibandingkan dengan nilai viskositas lainnya yang lebih besar. Dengan memperhitungkan kondisi fisisnya, secara logis kesimpulan ini memang cukup benar, karena semakin kecil viskositasnya maka semakin mudah kondensat bergerak sehingga semakin mudah juga untuk tidak stabil.

6 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI Efek Konsentrasi Surfaktan Terdapat dua buah parameter yang mewakili efek surfakatan terhadap ketidakstabilan dari lapisan kondensat, yaitu Marangoni Number(M) dan fraksi konsentrasi surfaktan di permukaan (β). Pertama akan dibahas terlebih dahulu untuk parameter Marangoni Number. Dalam keadaan tak berdimensi Marangoni Number dirumuskan sebagai berikut [1] : M = E Γ 0 σ 0. (4.2.1) dimana E menyatakan elastisitas dari permukaan, Γ 0 menyatakan besarnya konsentrasi surfaktan dan σ 0 menyatakan tegangan permukaan. Dari Persamaan (4.2.1) di atas didapatkan informasi bahwa konsentrasi surfaktan berpengaruh terhadap nilai marangoni number. Hasil simulasi yang dideskripsikan pada Gambar 4.4 di bawah, memberikan kesimpulan bahwa semakin besar nilai Marangoni Number maka lapisan kondensat akan menjadi semakin tidak stabil. Hal ini dapat dilihat dari nilai growth rate yang semakin positif jika nilai marangoni numbernya dinaikkan, dan sebaliknya jika Marangoni Numbernya sangat kecil maka growth ratenya akan cendrung bernilai negatif,seperti yang terlihat pada grafik di M=0.01, dan sebagai akibatnya lapisan kondensat akan menjadi stabil M 1 M 0.3 M 0.1 M M 1 M 0.3 M 0.1 M Gambar 4.4: growth rate pada saat µ=3, σ=0.5, β=0.1, dengan nilai Marangoni Number (M) yang berbeda

7 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI 25 Parameter yang kedua yang memiliki kaitannya dengan efek surfaktan yaitu fraksi konsentrasi surfaktan di permukaan (β). Nilai fraksi ini menggambarkan proporsi antara besarnya konsentrasi surfaktan di permukaan dengan konsentrasi jenuhnya. Parameter ini memiliki kecenderungan untuk membuat sistem menjadi tidak stabil jika nilainya semakin membesar. Hal ini bisa pada hasil simulasi yang diilustrasikan pada Gambar 4.5 di bawah ini: Β 0.5 Β Β 0.5 Β Β 0.1 Β Β 0.1 Β Gambar 4.5: growth rate pada saat µ=3, M=0.3, σ=0.5, dengan fraksi konsentrasi surfaktan di permukaan (β) yang berbeda Grafik yang berwarna hijau pada Gambar 4.5 menyatakan kondisi pada saat perbandingan konsentrasi surfaktan di permukaan dengan konsentrasi jenuhnya masih kecil (β = 0.01) atau bisa dikatakan jumlah konsentrasi di permukaan baru 1 persen dari kondisi jenuhnya, sedangkan yang berwarna kuning (β = 0.1) menyatakan jumlah konsentrasi di permukaan sudah mencapai 10 persen dari kondisi jenuhnya dimana nilai kedua growth ratenya lebih positif jika dibandingkan pada saat (β = 0.01) sehingga lapisan kondensat pada kondisi tersebut akan menjadi lebih tidak stabil. Kemudian seperti yang dideskripsikan pada Gambar 4.5, lapisan kondensat akan menjadi lebih tidak stabil lagi, bila nilai paramater β dinaikkan, seperti pada saat β = 0.2 (merah) atau β = 0.5 (biru) karena masing-masing kedua nilai growth ratenya menjadi lebih positif dari dua kondisi sebelumnya.

8 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI Critical Marangoni Number cr M Viskositas Μ Gambar 4.6: Nilai kritis dari Marangoni Number (M cr )sebagai fungsi dari viskositas (µ), pada saat k = 0.1, σ = 0.5 dan β = 0.1 Untuk semua sistem yang terjadi kita bisa mencari nilai dari Marangoni Number yang menjadi tolak ukur kapan membuat kondisi sistem menjadi stabil atau tidak stabil. Kita definisikan nilai-nilai tersebut sebagai nilai kritis dari Marangoni Number (M cr ). Kita simulasikan hubungan antara besarnya viskositas dengan nilai kritis Marangoni Number yaitu pada saat nilai growth ratenya sama dengan nol, dengan k = 0.1, σ = 0.5 dan β = 0.1 bernilai konstan. Hasil simulasinya bisa dilihat pada Gambar 4.6. Hal ini menarik sekali karena jika kita ambil nilai Marangoni Number diatas grafik tersebut dengan nilai viskositas serta parameter lainnya sama maka kondisi tersebut akan menyebabkan keadaan menjadi tidak stabil dan berlaku keadaan sebaliknya, jika nilai yang diambil di bawah grafik, maka hal tersebut akan membuatnya stabil. Dari hasil simulasi ini, kita bisa mendapatkan berapa nilai minimum konsentrasi surfaktan yang diwakili oleh variabel Marangoni Number sedemikian sehingga lapisan kondensat akan menjadi tidak stabil.

9 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI Critical Marangoni Number Mcr Tegangan Permukaan Σ Gambar 4.7: Nilai kritis dari Marangoni Number (M cr )sebagai fungsi dari tegangan permukaan (σ), pada saat k = 0.1 dan µ=3 dengan nilai fraksi konsentrasi surfaktan di permukaan (β) yang berubah-ubah. Warna biru menyatakan β = 0.1, merah β = 0.3, kuning β = 0.5, dan hijau β = 0.9. Selain dengan parameter kekentalan dari lapisan kondensat kita juga bisa mendapatkan hubungan nilai kritis dari Marangoni Number yang bergantung pada nilai tegangan permukaan dari lapisan kondensat. Kita simulasikan hubungan tersebut, pada saat pada saat k = 0.1 dan µ=3, dengan nilai fraksi konsentrasi surfaktan di permukaan (β) yang berubah-ubah, yang hasilnya bisa kita lihat pada Gambar 4.7. Jika kita ambil nilai Marangoni Number diatas grafik tersebut dengan nilai tegangan permukaan serta parameter lainnya sama maka kondisi tersebut akan menyebabkan keadaan menjadi tidak stabil dan berlaku keadaan sebaliknya, jika nilai yang diambil di bawah grafik, maka hal tersebut akan membuatnya stabil. selain itu bisa kita lihat bahwa seiring fraksi dari konsentrasinya bertambah maka nilai marangoni number yang di perlukan semakin kecil untuk nilai tegangan permukaan yang sama.

10 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI Critical Fraksi konsentrasisurfaktan Βcr Tegangan Permukaan Σ Gambar 4.8: Nilai kritis dari fraksi konsentrasi surfaktan di permukaan (β cr ) sebagai fungsi dari tegangan permukaan,pada saat k = 0.1 dan µ=3 dengan nilai Marangoni Number (M) yang berubah-ubah. Warna biru menyatakan M = 0.01, merah M = 0.03, kuning M = 0.07, dan hijau pada saat M = 0.1. Gambar 4.8 menggambarkan kondisi nilai kritis untuk parameter fraksi konsentrasi surfaktan di permukaan, yang di notasikan sebagai (β cr ). Kita simulasikan hubungan antara besarnya tegangan permukaan dengan nilai (β cr ) pada saat pada saat k = 0.1 dan µ=3, dengan nilai Marangoni yang berubah-rubah. Kita bisa lihat bahwa nilai kritis dari fraksi konsentrasi surfaktan di permukaan akan terus membesar seiring bertambahnya nilai tegangan permukaan. Hal tersebut cukup logis karena jumlah konsentrasi surfaktan yang diperlukan untuk membuat lapisan kondensat menjadi tidak stabil akan semakin banyak untuk menurunkan tegangan permukaan. Selain itu bisa dilihat, bahwa seiring nilai Marangoni Number nya bertambah maka nilai kritis dari fraksi konsentrasi surfaktan di per-

11 BAB 4. ANALISIS KESTABILAN LINEAR DAN SIMULASI 29 mukaan pun menjadi berkurang dengan nilai tegangan permukaan yang sama. Hal ini memungkinkan, karena semakin besarnya konsentrasi surfaktan yang diwakili oleh parameter Marangoni Number tersebut akan membutuhkan nilai β yang lebih kecil dalam membuat kondisinya menjadi tidak stabil.