BANYAKNYA KOTAK YANG DAPAT DIBENTUK DALAM GRID m x n

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BANYAKNYA KOTAK YANG DAPAT DIBENTUK DALAM GRID m x n"

Suparman Gunawan
7 tahun lalu
Tontonan:

1 BANYAKNYA KOTAK YANG DAPAT DIBENTUK DALAM GRID m x n Oleh: Sutopo Jurusan Fisika FMIPA UM sutopo@fisikaumacid Ditulis pada sekitar bulan April 011 Diunggah pada 3 Desember 011 Problem Hitung banyaknya kotak yang dapat dibentuk dalam grid: x, 3x3, dan secara umum m n Pembahasan Cara 1 Banyaknya kotak (persegi atau persegi-panjang) yang dapat dibentuk dalam grid x : adalah A C B D Jenis/ukuran bentuk Jumlah x Grid semula 1 x 1 A B C D 1 x A B C D 1 x 1 Masingmasing kotak 4 Ada empat macam (berarti x) kotak, masing-masing sebanyak 1,,, 4 buah Jadi, banyaknya kotak yang dihasilkan sebanyak 9 buah Dari grid 3 x3 : A B C D E F G H I ukuran kotak Kotak-kotak yang dihasilkan jumlah 3 x 3 Grid asli (keseluruhan) 1 3 x (A-D-G B-E-H), (B-E-H C-F-I) 3 x 1 (A-D-G), (B-E-H), (C-F-I) 3 x 3 (ABC DEF), (DEF GHI) x (A-D-B-E), (B-C-E-F), (D-E-G-H), E-F-H-I) 4 x 1 (A-D), (D-G), (B-E), (E-H), (C-F), (F-I) 6 1 x (AB), (BC), (DE), (EF), (GH), (HI) 6 1 x 1 Masing-masing kotak dari A sd I 9 Jumlah 36 Sutopo, Jurusan Fisika UM 1 Banyaknya kotak dalam grid mxn

2 Ada 9 macam ukuran, seperti dinyatakan pada kolom pertama Banyaknya kotak untuk setiap jenis/ukuran kotak dapat ditata dalam matriks berikut p3 p p1 Jumlah ke kanan Lebar , Jumlah kotak berlebar 3 Lebar 4 6 1, Jumlah kotak berlebar Lebar , Jumlah kotak berlebar 1 Jumlahkotak yang dapat dibentuk 36 Berdasarkan pola yang diperoleh dari kedua kasus tersebut, diyakini bahwa banyaknya kotak yang dapat dibuat dari grid n x n adalah sebanyak jumlahan seluruh bilangan dalam matriks ukuran n x n dengan elemen pada baris pertama: 1,, 3,, n, pada baris kedua:, 4, 6,, n, dst Banyaknya kotak yang diperoleh dari grid 4x4 adalah: p4 p3 p p1 keterangan Banyaknya kotak dengan lebar Banyaknya kotak dengan lebar Banyaknya kotak dengan lebar Banyaknya kotak dengan lebar 1 Banyaknya kotak 100 Banyaknya kotak yang diperoleh dari grid 5x5 adalah: p5 p4 p3 p p Banyaknya kotak dengan lebar Banyaknya kotak dengan lebar Banyaknya kotak dengan lebar Banyaknya kotak dengan lebar Banyaknya kotak dengan lebar 1 Banyaknya kotak 5 Banyaknya kotak yang diperoleh dari grid n n adalah: Banyaknya kotak dengan: l Panjang (p) n n 1 n n 3 n 4 1 Jumlah ke kanan (banyaknya kotak dengan lebar tertentu dan panjang dari 1 sd n): n n ( n) n(n + 1)/ n n ( n) n(n + 1)/ n n 3( n) 3n(n + 1)/ n n 4( n) 4n(n + 1)/ 1 n n 3n 4n 5n n n( n) n (n + 1)/ Jumlah kotak total ( n)n(n + 1)/ n (n + 1) /4 Sutopo, Jurusan Fisika UM Banyaknya kotak dalam grid mxn

3 Cara : Cara induksi Grid kotak Pola banyaknya kotak yang terbentuk Pola alternatif 1x x 9 3 (1 + ) 1 3x ( ) 1 3 4x ( ) nxn ( n) 1 3 n () () Cara3: dengan metode kombinatorik 1 Cara pertama Suatu kotak (persegipanjang) ditentukan oleh dua garis horizontal dan dua garis vertical Dalam grid yang panjangnya n ada n + 1 garis, sehingga banyaknya cara membuat dua garis vertical adalah n + 1 Demikian juga, banyaknya cara membuat dua garis horizontal dalam grid yang lebarnya m adalah m + 1 Setiap pasang garis vertical yang tercipta dapat dipasangkan dengan sebarang pasangan garis horizontal untuk menghasilkan suatu persegipanjang Karena itu, banyaknya persegipanjang yang dapat dibuat dalam grid m n adalah n m Cara kedua: mengungkapkan kembali Cara1 (di awal pembahasan) dengan bahasa kombinatorik sekaligus menghilangkan kesan bahwa cara tersebut bersifat induktif semata ( Secara permukaan, cara tersebut memang terkesan induktif) Dalam grid m n terdapat m n kotak satuan Dari sejumlah kotak satuan tersebut dapat dibuat berbagai macam persegipanjang dengan ukuran 1 1 sd m n Banyaknya cara membuat kotak dengan panjang j satuan, j 1,,, n adalah (n j + 1) cara yang dapat dijelaskan sebagai berikut Jika pengambilan j kolom untuk yang pertamakalinya dilakukan dari kolom pertama (tentu saja harus sampai kolom ke-j), maka terdapat (n j) kolom yang masih belum terpakai j (n j) Berarti masih ada (n j) cara baru untuk mengambil j kolom secara berurutan Jadi, banyaknya cara membuat kotak dengan panjang j satuan sama dengan (n j) ditambah 1 (yaitu, pengambilan j kolom untuk yang pertama kalinya) TERBUKTI Banyaknya kotak yang panjangnya meliputi semua ukuran panjang yang mungkin, yaitu dari 1 sd n, adalah: N(p ) (n j + 1) Sutopo, Jurusan Fisika UM 3 Banyaknya kotak dalam grid mxn

4 Dengan argumen yang sama, banyaknya kotak yang lebarnya meliputi semua ukuran lebar yang mungkin, yaitu dari 1 sd m, adalah: N(l ) (m i + 1) Karena kotak yang panjangnya j satuan bisa memiliki berbagai ukuran lebar i 1,,, m satuan, maka total kotak yang panjangnya j satuan sebanyak: N(p j, l ) (n j + 1)(m i + 1) Jadi, total kotak dengan berbagai ukuran panjang dan lebar yang mungkin adalah sebanyak: N (n j + 1)(m i + 1) (n j + 1) (m i + 1) n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) m(m + 1) m(m + 1) m(m + 1) (n + 1)! (n 1)!! (m + 1)! (m 1)!! (n + 1)! (n + 1 )!! (m + 1)! (m + 1 )!! n m Jadi, banyaknya persegipanjang yang dapat dibuat dalam grid m n adalah n m Cacatan Metode kombinatorik yang dipaparkan pada cara kedua tersebut dapat digunakan pula untuk menghitung banyaknya kotak dengan ukuran tertentu yang dapat dibentuk dalam grid ukuran tertentu tersedia Misal: Banyaknya persegipanjang berukuran i j yang dapat dibentuk dalam grid berukuran m n, dengan i diambil dari m dan j diambil dari n adalah N(i, j) (m i + 1)(n j + 1) Sutopo, Jurusan Fisika UM 4 Banyaknya kotak dalam grid mxn

5 Banyaknya persegi yang dapat dibentuk dalam grid berukuran m n adalah, (m i + 1) ; m n N(m i n j) (m i + 1)(n j + 1),, (n j + 1) ; n m Kedua kemuningkan penjumlahan tersebut menghasilkan formulasi yang sama sebagai berikut Ambil m n, maka: N(persegi) (m i + 1) j m(m + 1)(m + 1) 6 Jika m < n maka rumus tersebut langsung dapat digunakan, sebaliknya jika m > n maka rumus tersebut harus digunakan dengan menganti m dengan n Ungkapan tersebut dapat dimodifikasi menjadi N(persegi) m(m + 1)(m + 1) 6 m(m + 1) m m m 1 (m + 1)! (m + 1)! (m 1)!! (m)! 3 Contoh (1) Dalam grid 10 15, berapa banyaknya kotak (persegipanjang) dengan ukuran 5 yang dapat dibentuk? () Berapa banyaknya persegi yang dapat dibuat dalam grid (a) 10 15? (b) 10 10? (c) 15 15? Jawab (1) Jawaban atas pertanyaan (1) tersebut bergantung pada definisi kotak berukuran 5 tersebut Jika 5 dimaksudkan sebagai kotak yang panjangnya satuan (dari 10 kotak dalam grid yang tersedia) dan lebarnya 5 satuan (dari 15 kotak dalam grid yang tersedia), maka banyaknya kotak adalah (10 + 1)( ) 99 Jika 5 dimaksudkan sebagai kotak yang panjangnya satuan (dari 15 kotak dalam grid yang tersedia) dan lebarnya 5 satuan (dari 10 kotak dalam grid yang tersedia), maka banyaknya kotak adalah (15 + 1)( ) 84 Jika yang dimaksud adalah kedua-duanya, yaitu 5 atau 5, maka jawabnya adalah Sutopo, Jurusan Fisika UM 5 Banyaknya kotak dalam grid mxn

6 () Berapa banyaknya persegi yang dapat dibuat dalam grid (a) 10 15? (b) 10 10? (c) 15 15? a) N(p l) (n i + 1) Atau N b) Sama dengan jawaban a) c) N(p l) (n i + 1) N Atau Catatan: Tulisan ini ditulis berdasarkan pemikiran logis semata, tidak merujuk pada kaedah/teorema matematika tertentu, karena penulis memang tidak tahu teori-teori itu, jika memang ada Sutopo, Jurusan Fisika UM 6 Banyaknya kotak dalam grid mxn

dokumen-dokumen yang mirip

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3 Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung