PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA SRI RAMADANIATY

Transkripsi

1 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP DOLAR AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SAU WAKU SEBELUMNYA SRI RAMADANIAY DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 05

2

3 PERNYAAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERA PELIMPAHAN HAK CIPA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Nilai ukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 05 Sri Ramadaniaty NIM G

4 ABSRAK SRI RAMADANIAY. Pemodelan Nilai ukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya. Dibimbing oleh BERLIAN SEIAWAY dan RUHIYA. Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika telah menjadi salah satu acuan penting dalam pergerakan perekonomian Indonesia. Perubahan nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam jangka waktu yang panjang dan perubahan yang terjadi mungkin terjadi kembali di masa mendatang. Jika penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan penyebab kejadian dan data nilai tukar Rupiah dapat dimodelkan oleh model hidden Markov. Dalam tugas akhir ini digunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung pada nilai Rupiah satu waktu sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan satu waktu sebelumnya. Parameter model diduga dengan menggunakan Maximum Likelihood dan perhitungannya menggunakan algoritme iteratif Expectation Maximization (EM). Proses komputasi numerik dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 0. Setelah penduga parameter didapatkan maka nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dapat diduga. Akurasi model diukur menggunakan mean absolute percentage error (MAPE). Diperoleh MAPE 4.48% dengan satu kali iterasi. Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah ABSRAC SRI RAMADANIAY. Modeling the Exchange Rate of Rupiah to American Dollar using Previous ime Hidden Markov. Supervised by BERLIAN SEIAWAY and RUHIYA. An exchange rate of Rupiah to American Dollar has become one of important reference for Indonesian economic movement. he movement of the exchange rate of Rupiah is an event that can occur anytime in a long period and possible to reoccur in the future. If the cause of event is not observed directly and forms a Markov chain, so the pair of the cause and an exchange rate of Rupiah can be modeled by hidden Markov. In this thesis the previous time hidden Markov model is used. his model assumes that the present exchange rate of Rupiah depends on the previous exchange rate of Rupiah and the present and previous cause. Model parameter is estimated by using maximum likelihood method and the calculation uses iterative algorithm expectation maximization (EM). Numerical computation is done by using Mathematica 0. After the parameter model is obtained, then the exchange rate of Rupiah to American Dollar can be estimated. Model accuracy is measured by using mean absolute percentage error (MAPE). Resulted MAPE is 4.48% with one iteration. Keywords: EM algorithm, MAPE, hidden Markov model, the exchange rate of Rupiah

5 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP DOLAR AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SAU WAKU SEBELUMNYA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 05

6

7

8 PRAKAA Puji dan syukur ke Hadirat Allah SW yang telah memberikan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pemodelan Nilai ukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya. Penulis mengucapkan terimakasih kepada:. Dr Berlian Setiawaty, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing yang telah memberikan ilmu, bimbingan, saran, arahan dan motivasi bagi penulis selama skripsi, dan kepada Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji.. Papa (Prof Dr Ahmad Husein Ritonga, MAg), Mama (Dra Mariatul Hasanah Harahap), kak Fatimah Raihani (Ayu) & kak Soleh, kak Lainatussifa (Dede), Naila Hidayati dan M. Farhan Akhwan atas segala doa, nasehat, dukungan, dan kasih sayangnya. 3. Staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Ibu Ade, dan Bapak Deni atas kesabaran dan bantuannya selama ini. 4. Kak yas, kak Juni, kak Hendra, Nisa, Putri Putu, Eka, Betry, mbak Peni, Ando, Murzani, Agung, Marin, Okta, Susi, Shovi, Pupu, serta teman-teman Matematika 47 lainnya, Wisma Pelangi, Lordu dan teman seperjuangan atas doa dan semangatnya selama ini. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak. Bogor, Mei 05 Sri Ramadaniaty

9 DAFAR ISI DAFAR GAMBAR vi DAFAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN Latar Belakang ujuan Penelitian LANDASAN EORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Peubah Acak dan Sebarannya 3 Nilai Harapan 4 Rantai Markov 5 Algoritme Expectation Maximization (EM) 8 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) 9 MODEL HIDDEN MARKOV SAU WAKU SEBELUMNYA 9 Model Hidden Markov 9 Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 0 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP DOLAR AMERIKA 8 Data Input Nilai ukar Rupiah 8 Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 9 Penentuan Nilai Awal Parameter 9 Hasil Program 0 SIMPULAN DAFAR PUSAKA LAMPIRAN RIWAYA HIDUP 44

10 DAFAR GAMBAR Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan 8 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya 9 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan 0 DAFAR LAMPIRAN Bukti Lema Bukti persamaan (8) sampai dengan (3) 3 3 Program untuk mencari nilai dugaan menggunakan software Mathematica Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dan nilai dugaannya 4

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Rupiah termasuk soft currency, yaitu mata uang yang mudah berfluktuasi ataupun terdepresiasi, karena perekonomian negara asalnya relatif kurang mapan, sedangkan mata uang negara Amerika Serikat disebut hard currency, karena kemampuannya untuk memengaruhi nilai mata uang yang lebih rendah. Nilai tukar Rupiah menjadi acuan penting dalam pergerakan naik-turunnya grafik perekonomian Indonesia. Indikasi dari pergerakan ekonomi bisa dilihat dari pergerakan nilai tukar Rupiah itu sendiri. Nilai tukar Rupiah sejatinya terus bergerak setiap hari seperti mata uang lainnya di dunia. Modal yang beredar di Indonesia, terutama di pasar finansial, sebagian besar adalah modal asing. Ini membuat nilai Rupiah sedikit banyak bergantung pada kepercayaan investor asing terhadap prospek bisnis di Indonesia. Semakin baik iklim bisnis di Indonesia, maka akan semakin banyak investor asing di Indonesia, dan dengan demikian nilai Rupiah akan semakin kuat. Sebaliknya, semakin negatif pandangan investor terhadap Indonesia, Rupiah akan kian melemah. Faktor yang memengaruhi Rupiah salah satunya adalah kondisi politikekonomi. Melemahnya nilai tukar Rupiah berdampak pada harga komoditi impor, baik yang menjadi objek konsumsi maupun alat produksi, serta kenaikan nilai Rupiah dari hutang luar negeri. Perubahan nilai tukar mata uang merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam periode waktu yang panjang. Ramalan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika merupakan informasi penting yang dapat digunakan pemerintah untuk menentukan kebijakan di bidang ekonomi, perdagangan, dan pariwisata. Model hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM) adalah sebuah model stokastik yang tersusun dari dua buah proses stokastik, yaitu rantai Markov untuk menampung penyebab proses yang diamati serta proses yang diamati itu sendiri. Perubahan nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dan dalam jangka waktu yang panjang. Dengan asumsi perubahan yang terjadi pada waktu yang lalu mungkin terjadi kembali di masa mendatang, sehingga hal ini merupakan suatu proses stokastik. Faktor penyebab kejadian (state) tersebut dapat berkembang menurut model rantai Markov di mana state yang akan datang hanya dipengaruhi oleh state sekarang dan bebas terhadap state yang lalu. Jika penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung (hidden) dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model hidden Markov. Permasalahan yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan model deret waktu hidden Markov dalam menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Dalam deret waktu hidden Markov, kejadian yang diamati selain diamati oleh faktor penyebab kejadian, juga dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Dalam tugas akhir ini digunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung pada nilai Rupiah satu waktu sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan satu waktu sebelumnya.

12 Dalam model ini akan dicari penduga parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian. Metode Maximum Likelihood dan algoritme Expectation Maximum (EM algorithm) Baum dan Petrie (966) adalah metode yang digunakan untuk pendugaan parameter tersebut. Setelah pendugaan parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian didapatkan, maka diharapkan dapat dilakukan suatu penarikan kesimpulan yang optimal dan peramalan state. ujuan Penelitian ujuan dari karya ilmiah ini adalah:. Mengkaji deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya beserta pendugaan parameternya.. Memodelkan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika menggunakan deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya. LANDASAN EORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi (Percobaan Acak) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam keadaan yang sama di mana hasil dari percobaan ini tidak dapat ditebak dengan tepat namun dapat diketahui semua kemungkinan hasilnya disebut percobaan acak (Ross 996). Definisi (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil yang muncul dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω (Grimmet dan Stirzaker 99). Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: a. φ F. i= b. Jika A, A, F maka A i F. c. Jika A F maka A c F (Ross 996). Definisi 4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada (Ω, F) adalah fungsi P: F [0,] yang memenuhi: a. P( ) = 0 dan P(Ω) =.

13 b. Jika A, A, F adalah himpunan yang saling lepas, yaitu A i A j = untuk setiap pasangan i, j di mana i j, maka P( i= A i ) = i= P(A i ). Pasangan (Ω, F, P) disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 99). Definisi 5 (Kontinu Absolut) Jika v dan μ merupakan dua peluang pada (Ω, F). Ukuran peluang v dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang μ jika μ(a) = 0 berimplikasi v(a) = 0, untuk setiap A F. Dinotasikan v μ (Royden 963). Definisi 6 (Peluang Bersyarat) Jika P(B) > 0 maka peluang bersyarat dari kejadian A setelah diketahui kejadian B ialah P(A B) P(A B) = P(B) (Grimmet dan Stirzaker 99). Definisi 7 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P(A B) = P(A) P(B). Misal I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian {A i : i I} disebut saling bebas jika P( i J A i ) = i J P(A i ) untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I (Grimmet dan Stirzaker 99). 3 Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 8 (Peubah Acak) Misalkan F adalah medan-σ dari Ω. Peubah acak X merupakan fungsi X: Ω R di mana {ω ε Ω: X(ω) x} F untuk setiap x R (Grimmet dan Stizaker 99). Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil. Definisi 9 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi F X : R [0,] di mana F X (x) = P(X x) (Grimmet dan Stirzaker 99). Definisi 0 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan peubah acak diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang berhingga atau himpunan terhitung dari R (Ross 996). Definisi (Fungsi Massa Peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p X : R [0,] di mana p X (x) = P(X = x), x R (Grimmet dan Stirzaker 99). Definisi (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat x dinyatakan sebagai F X (x) = f(u) du untuk suatu fungsi f X : R (0, ) yang

14 4 terintegralkan. Selanjutnya fungsi f X disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X (Ross 996). Definisi 3 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dua peubah acak X dan Y merupakan suatu fungsi F: R [0,] yang didefinisikan oleh F XY (x, y) = P(X x, Y y) (Grimmet dan Stirzaker 99). Definisi 4 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X dan Y disebut peubah acak kontinu yang menyebar bersama jika x, y R fungsi sebaran bersamanya dapat diekspresikan sebagai berikut y x F XY (x, y) = f XY (u, v)du dv untuk suatu fungsi f XY : R [0,] yang terintegralkan. Fungsi f XY di atas disebut fungsi kerapatan peluang bersama peubah acak kontinu X dan Y, f XY (x, y) = F x y XY(x, y) (Ross 996). Definisi 5 (Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran F(x, y) dan fungsi kepekatan bersama f(x, y). Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut (Ross 996). f X (x) = f(x, y)dy dan f Y (y) = f(x, y)dx Definisi 6 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marjinal f Y (y) > 0, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dengan syarat Y = y adalah f X Y (x y) = f XY(x,y) (Grimmet dan Stirzaker 99). f Y (y) Nilai Harapan Definisi 7 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X (x) = P(X = x) maka nilai harapan dari X adalah E[X] = x xp X (x), asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak (Hogg dan Craig 995). Definisi 8 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X (x) maka nilai harapan X adalah E[X] = xf X (x)dx, asalkan integralnya ada (Hogg dan Craig 995). Definisi 9 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan f X Y (x y) adalah fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y, maka nilai harapan dari X

15 5 dengan syarat Y = y adalah E[X Y = y] = 995). xf X Y (x y)dx (Hogg dan Craig eorema (eorema Dasar Kalkulus Bagian ) Jika f kontinu pada [a, b], maka fungsi g yang didefinisikan oleh x g(x) = f(t)dt a a x b adalah kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan pada (a, b) dan g (x) = f(x). Bukti dapat dilihat pada Stewart (998). Definisi 0 (Himpunan dan Fungsi Konveks) Misalkan S R N adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua x, x S dan λ [0,] maka ( λ)x + λx S. Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks S, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan f(( λ)x + λx ) ( λ)f(x) + λf(x ) (Osborne 997). eorema (Fungsi Konveks) Misalkan f fungsi yang memiliki turunan kedua. f adalah fungsi konveks jika dan hanya jika f(x) 0, x S dan merupakan fungsi strictly convex jika f(x) > 0, x S. Bukti dapat dilihat pada Osborne (997). eorema 3 (Ketaksamaan Jensen) Misalkan X adalah peubah acak dengan E[X] berhingga dan g(x) adalah fungsi konveks, maka E[g(X)] g(e[x]). Bukti dapat dilihat pada Krantz (999). Rantai Markov Definisi (Ruang State) Misalkan K R merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka K disebut ruang state (Grimmet dan Stirzaker 99). Definisi (Proses Stokastik) Proses stokastik S = {S t, t } adalah suatu koleksi dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state K (Ross 996). Dalam hal ini t dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak S t sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t. Definisi 3 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Proses stokastik {S t, t = 0,,, }, dengan ruang state {,,3,, N}, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap t =,,3, berlaku P(S t = j S t = i, S t = i t,, S 0 = i 0 ) = P(S t = j S t = i) = p ij untuk semua kemungkinan nilai dari i 0, i, i,, i t, i, j {,,3,, N} (Ross 996).

16 6 Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini S t dengan syarat state yang lalu S 0, S, S,, S t dan state satu waktu sebelumnya S t adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state satu waktu sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property). Proses di atas dapat digambarkan sebagai N-state rantai Markov dengan peluang transisi {p ij } dengan i, j =,,3,, N. Nilai dari p ij menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state i, maka berikutnya akan beralih ke state j. Karena p ij adalah nilai peluang dan proses tersebut harus bertransisi, maka i. 0 p ij, untuk i, j {,,3,, N}. N ii. j= p ij =, untuk i {,,3,, N}. Peluang transisi ini dapat ditulis dalam matriks P yang disebut sebagai matriks p p p N p p p N transisi. P = (p ij ) N N = [ ] dengan j menyatakan baris dan i p N p N p NN menyatakan kolom dari matriks P. Definisi 4 (Matriks ransisi) Misalkan {S t, t = 0,,, } adalah rantai Markov dengan ruang state {,,3,, N}. Matriks transisi P = (p ij ) N N adalah matriks dari peluang transisi p ij = P(S t = j S t = i) untuk i, j {,,, N} (Grimmet dan Stirzaker 99). Definisi 5 (erakses) Peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i dinotasikan p (k) ij. Suatu state j disebut terakses dari state i (notasi: i j), jika ada sebuah bilangan bulat k 0 sehingga p (k) ij > 0 di mana p (k) ij adalah peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i (Ross 996). Definisi 6 (Berkomunikasi) Dua state i dan j dikatakan berkomunikasi (notasi: i j), jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i (Ross 996). Definisi 7 (Kelas State) Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan takkosong C sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari C berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tak ada state yang merupakan anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari C (Ross 996). Definisi 8 (Rantai Markov ak ereduksi) Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya (Ross 996).

17 Definisi 9 (First-Passage ime Probability) f ij (n) menyatakan peluang bahwa mulai dari state i, proses bertransisi untuk pertama kali ke state j, terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut first-passage time probability. Jadi untuk setiap n =,,3, f ij (n) = P(X n = j, X k j, untuk setiap k n X 0 = ) i, j {0,,, }, dan f ij (0) = 0 untuk semua i, j {0,,, }. Selanjutnya, untuk setiap i, j {0,,, }, definisikan f ij = n= (Ross 996). f ij (n) Definisi 30 (Recurrent dan ransient) State i disebut recurrent jika f ii = dan disebut transient jika f ii < (Ross 996). eorema 4 (Recurrent dan ransient) State i adalah recurrent jika p (n) n=0 ij = dan transient jika p (n) ij < Bukti dapat dilihat pada Ross (996). 7 n=0. Definisi 3 (Periode, Periodik, dan Aperiodik). Suatu state i disebut memiliki periode d jika p (n) ii = 0 untuk semua n yang tidak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisor) bagi n sehingga p (n) ii > 0.. Suatu state dengan periode sama dengan satu disebut aperiodik, sedangkan state dengan periode disebut periodik (Ross 996). Definisi 3 (Positive Recurrent dan Null Recurrent) Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent (Ross 996). Definisi 33 (Ergodic) Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic (Ross 996). eorema 5 (Rantai Markov Ergodic ak ereduksi) Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim (n) ada dan nilainya tak tergantung n p ij dari i. π j = lim p (n) n ij, j adalah solusi unik tak negatif dari dan N π j = π j p ij, j =,,, N i=

18 8 N π j =. j= Bukti dapat dilihat pada Ross (996). Definisi 34 (Vektor Peluang Steady State) Vektor peluang π = (π, π, π 3,, π N ), yang setiap komponennya menyatakan bahwa proses akan berturut-turut berada pada state,,3,, N, untuk n di mana N P(S t = j) = P(S t = j S t = i)p(s t = i) i= N = p ij P(S t = i) = π j i= disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena π adalah vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah bilangan taknegatif serta jumlahnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state sering juga disebut sebaran stasioner atau sebaran setimbang (equilibrium distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan (Ross 996). Algoritme Expectation Maximization (EM) Misalkan {P θ, θ Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada (Ω, F) dan kontinu absolut terhadap P 0. Misalkan Y F. Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter θ berdasarkan informasi Y yaitu medan-σ yang dibangun oleh Y adalah L(θ) = E 0 [ dp θ dp 0 Y]. Maximum Likelihood Estimator (MLE) didefinisikan oleh θ arg max θεθ L(θ). Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung oleh karena itu algoritme Expectation Maximization (EM) memberikan suatu metode aproksimasi berulang (iteratif). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:. Atur nilai awal parameter θ k dengan k = 0.. Atur θ = θ k dan hitung Φ(θ, θ ) dengan Φ(θ, θ ) = E θ [log dp θ dp θ Y]. 3. Cari θ k+ arg max θεθ Φ(θ, θ ). 4. Ganti k dengan k + dan ulangi langkah sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih θ k+ dan θ k kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan. Misalkan g(x) = log ( ), karena turunan kedua dari g(x) selalu positif x g(x) = log g(x) = > 0, x > 0, x

19 maka g(x) merupakan fungsi konveks. Karena log merupakan fungsi konveks, x maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan {θ k, k > 0} yang merupakan fungsi likelihood yang takturun, yaitu log L(θ k+ ) log L(θ k) Φ(θ k+, θ k). Bentuk Φ(θ, θ ) disebut Pseudo Likelihood bersyarat (Elliot 995). 9 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut MAPE = 00% A t F t n A t t= dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, A t menyatakan nilai yang sebenarnya, dan F t menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 00) n MODEL HIDDEN MARKOV SAU WAKU SEBELUMNYA Model Hidden Markov Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik {X t, Y t }. {X t } dengan state {,,, N} adalah proses penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, sedangkan {Y t } adalah proses observasinya. Pada saat X t berada pada state j (X t = j), maka proses yang diamati Y t menyebar normal dengan nilai harapan μ j dan ragam σ j. Fungsi kepekatan peluang bersyarat dari Y t dengan syarat X t = j adalah f(y t X t = j) = exp ( (y t μ j ) ) πσ j σ () j dengan j =,,, N. Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati X t berada pada state j adalah P(X t = j) = π j () dengan j {,,, N}. Karena {X t } rantai Markov maka matriks peluang transisinya P = (p ij ) N N p ij = P(X t = j X t = i) (3) dengan j {,,, N}. Dari persamaan () dan () serta definisi fungsi kerapatan peluang bersyarat, maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama y t dan X t = j, yaitu

20 0 sehingga f(y t, X t = j) = f(y t X t = j) P(X t = j) P(Y t y t ; X t = j) = = π j σ j π exp ( (y t μ j ) ) σ j y t π j σ j π exp ( (Y t μ j ) σ j ) dy t. Berdasarkan eorema Dasar Kalkulus bagian pertama didapatkan f(y t, X t = j) = d dy t y t π j σ j π exp ( (Y t μ j ) σ j ) dy t = π j σ j π exp ( (y t μ j ) ). (4) σ j Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari Y t diperoleh dengan menjumlahkan f(y t, X t = j) untuk semua kemungkinan nilai dari j, yaitu: N f(y t ) = j= f(y t, X t = j). (5) Dari persamaan (), (), (3), (4), dan (5) diperoleh N N f(y,, y ) = i = i = π i p i i p i i f(y, S = i) f(y, S = i). (6) Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter-parameternya yaitu: θ = {μ, σ, π, P}, dengan μ = (μ, μ,, μ N ), σ = (σ, σ,, σ N ), π = (π, π,, π N ) dan P = (p ij ) N N. Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Karakteristik Model Pada subbab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya yang didefinisikan pada ruang state ( Ω, F, P ) berupa persamaan berikut: Y t = c(x t ) + φ(x t )Y t + ε t (7) dengan: ε t ~N(0, σ ) bebas stokastik identik. {Y t } proses yang diamati dan bernilai skalar dengan ruang state S Y. {X t } rantai Markov dengan ruang state S X = {,} dan matriks transisi. A = [ p p p p ] dengan p ij = P(X t = j X t = i) dan j= p ij =, i =,, p ij 0, i, j =,. c = (c, c ) dan φ = (φ, φ ) R, dengan c, c, dan φ, φ merupakan konstanta real. c(x t ) = c Xt dan φ (X t )=φ Xt. θ = {c, A, φ, σ }. Karena Y t tidak hanya bergantung pada X t tetapi juga pada X t, maka agar tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru X t di mana:

21 X t =, jika X t = dan X t = X t =, jika X t = dan X t = X t = 3, jika X t = dan X t = X t = 4, jika X t = dan X t = (8) Lema {X t } adalah rantai Markov dengan ruang state {,,3,4} dan matriks transisi: p 0 p 0 P = [ 0 p 0 p Bukti dapat dilihat pada Lampiran. p 0 p 0 ]. 0 p 0 p Selanjutnya, karena ε t ~N(0, σ ) bebas stokastik identik maka dapat diperoleh fungsi sebaran bagi ε t : F εt (y t ) = P(ε t y t ) = = y t 0 exp πσ ( (ε t ) σ y exp πσ ( (ε t 0) t 0 σ ) dε t. ) dε t Berdasarkan persamaan (7) dan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi Y t : F Yt (y t ) = P(Y t y t ) = P(c(X t ) + φ(x t )Y t + ε t y t ) = P(ε t y t c(x t ) φ(x t )Y t ) y = t c(x t ) φ(x t )Y t exp πσ ( (ε t ) ) dε 0 σ t. Misalkan v = y t c(x t ) φ(x t )Y t maka dan F Yt (y t ) = v 0 exp πσ ( (ε t ) σ ) dε t f Yt (y t ) = F y Yt (y t ) = F t v Y t (y t ) v y t = exp ( (v) ) v. πσ σ y t = exp πσ ( (y t c(x t ) φ(x t )Y t ) ) σ = exp πσ ( (y t c(x t ) φ(x t )Y t ) ). (0) σ Misalkan Y t adalah medan-σ yang dibangun oleh Y, Y, Y 3,, Y t. Karena X t merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kepekatan peluang bagi Y t. Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor (4 ) dilambangkan dengan η t, sehingga diperoleh: f(y t X t =, Y t ; θ) f(y η t = t X t =, Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ) [ f(y t X t = 4, Y t ; θ)] (9)

22 exp πσ ( (y t c φ Y t ) ) σ exp πσ ( (y t c φ Y t ) ) σ =. exp πσ ( (y t c φ Y t ) ) σ [ exp πσ ( (y t c φ Y t ) ) σ ] () () (3) Misalkan ξ t t = (ξ t t ξ t t ξ t t ξ t t ) melambangkan vektor (4 ) (j) di mana ξ t t pada vektor mempresentasikan P(X t = j Y t ; θ) dan melambangkan perkalian dalam elemen per elemen, maka P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) ξ t t η t = P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) P(X t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ) [ P(X t = 4 Y t ; θ)] [ f(y t X t = 4, Y t ; θ)] P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) = P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ). P(X t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ) () [ P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ)] (4) () Berdasarkan persamaan () maka dapat ditulis: P(y t, X t = j Y t ; θ) = P(X t = j Y t ; θ) f(y t X t = j, Y t ; θ) sehingga diperoleh: 4 f(y t Y t ; θ) = j= P (y t, X t = j Y t ; θ) 4 = j= P (X t = j Y t ; θ) f(y t X t = j, Y t ; θ) = P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) +P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) +P(X t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ) +P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ). 4 f(y t Y t ; θ) = j= P (y t, X t = j Y t ; θ) = (ξ t t η t ) di mana = [ ]. Berdasarkan persamaan (3) dan (4) maka dapat diperoleh P(y t, X t = j Y t ; θ) f(y t Y t ; θ) = P(y t,x t =j,y t ;θ) P(Y t ;θ) P(y t,y t ;θ) P(Y t ;θ) = P(y t, X t = j, Y t ; θ) P(Y t ; θ) = P(y t, X t = j, Y t ; θ) P(y t, Y t ; θ) = P(X t = j, y t, Y t ; θ) P(y t, Y t ; θ) = P(X t = j y t, Y t ; θ) = P(X t = j Y t ; θ). P(Y t ; θ) P(y t, Y t ; θ) (3) (4) (5) (6)

23 3 sehingga berdasarkan persamaan (3), (4), dan (5) diperoleh P(X t = j Y t ; θ) = P(y t, X t = j Y t ; θ). f(y t Y t ; θ) ξ t t = ξ t t η t (ξ t t η t ). (7) (j) ξ t+ t = P(X t+ = i Y t ; θ) 4 = P(X t+ = i X t = j, Y t ; θ)p(x t = j Y t ; θ) j= N = P(X t+ = i X t = j, Y t ; θ) j= 4 = p ji j= ξ t t (j). i =,,3,4. (j) ξ t t (8) ξ t+ t = [ p ξ t t () + p (3) ξ t t p ξ t t () + p (3) ξ t t p ξ t t () + p (4) ξ t t p ξ t t p 0 p 0 p 0 p 0 = [ ] 0 p 0 p () 0 p + p (4) 0 p ξ t t ] [ ξ t+m t = P m ξ t t. () ξ t t () ξ t t (3) ξ t t (4) ξ t t ] = P ξ t t. (9) Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal bagi ξ t t adalah dengan membuat ξ 0 sama dengan vektor dari peluang tak bersyarat π = [π π π 3 π 4] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu: Pπ = π π + π + π 3 + π 4 =. Pendugaan Parameter Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari Y t diperoleh dengan menjumlahkan f(y t, X t = j; θ) untuk semua kemungkinan nilai dari j, yaitu: N f(y t ; θ) = j= f(y t, X t = j; Y t ). (0) f(y, y, y 3,, y t ; θ) = t= f(y t Y t ) () sehingga fungsi log likehood untuk menduga parameter populasi θ adalah L(θ) = log f(y t Y t ) t= Penduga kemungkinan maksimum likelihood θ diperoleh dengan memaksimumkan persamaan () dengan kendala π + π + π 3 + π 4 = dan π j 0 untuk j =,,3,4. Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan metode Lagrange, yaitu J(θ) = L(θ) + λ( π π π 3 π 4 ) (3) lalu persamaan (3) diturunkan masing-masing terhadap π j, μ j, dan σ j. ()

24 4 J(θ) Berdasarkan persamaan (0), (), dan (3) diperoleh λ = 0 π π π 3 π 4 = 0 π + π + π 3 + π 4 =. J(θ) π j = 0 L(θ) π j = 0 ( π t= j f(y t ;θ) log f(y t ; θ) ) = t= f(y t X t = j; θ) = 0. (4) (5) J(θ) μ j J(θ) σ j = 0 L(θ) μ j = 0 ( μ t= j = 0 L(θ) σ j = 0 ( σ t= j (y t μ j ) f(y t ;θ) log f(y t ; θ) ) = t= σ P(y t, X t = j; θ) = 0. j (6) P(y t,x t =j;θ) log f(y t; θ) ) = ( t= = 0. f(y t ;θ) σ + (y t μ j ) j σ4 ) j Penduga kemungkinan maksimum bagi θ diperoleh dengan memaksimumkan: L(θ) = t= log f(y t Y t ; θ) dengan membuat turunan pertama dari log likehood terhadap parameter θ sama dengan nol, maka diperoleh c = t=[b(y t φ y t ) + D(y t φ y t )]. B + D (8) t= (7) c = t= [C(y t φ Y t ) + E(y t φ Y t )]. [C + E] t= φ = t= (y t )[B(y t c ) + C(y t c )] (y t ). [B + C] t= φ = t= (y t )[D(y t c ) + E(y t c )] (y t ). [D + E] t= (9) (30) (3) σ = t= [B + C + D + E] di mana: [B ((y t c ) φ Y t ) + C ((y t c ) φ Y t ) t= + D ((y t c ) φ Y t ) + E ((y t c ) φ Y t ) ] B = f(y t Y t ; θ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) C = f(y t Y t ; θ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) (3)

25 5 D = f(y t Y t ; θ ) P(X t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ ) E = f(y t Y t ; θ ) P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ ) Bukti dapat dilihat pada Lampiran. Karena persamaan (8) sampai (3) taklinear, maka untuk mencapai penduga kemungkinan maksimum bagi θ digunakan algoritme iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:. entukan banyaknya data () yang akan diamati serta tentukan juga nilai (y, y, y 3,, y ) dan matriks transisi p 0 p 0 P = [ 0 p 0 p p 0 p 0 ]. 0 p 0 p. Beri nilai awal bagi θ yang dilambangkan dengan θ = (c, c, φ, φ, σ ). 3. Cari fungsi kepekatan bersyarat bagi y untuk setiap t =,,, dengan cara f(y t X t =, Y t ; θ ) η t = = f(y t X t =, Y t ; θ ) f(y t X t = 3, Y t ; θ ) [ f(y t X t = 4, Y t ; θ )] πσ exp ( (y t c φ Y t ) ) σ πσ exp ( (y t c φ Y t ) ) σ. πσ exp ( (y t c φ Y t ) ) σ [ πσ exp ( (y t c φ Y t ) ) σ ] 4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu t pada contoh dapat diperoleh melalui iterasi: 4. entukan nilai awal bagi ξ t t yang dilambangkan dengan ξ 0 4. Beri nilai awal i = 4.3 Untuk t = i, cari nilai dari f(y t Y t ; θ ) = (ξ t t η t ).

26 6 ξ t t = ξ t+ t = = P(X t = Y t ; θ ) exp t c φ Y πσ ( (y t ) ) + σ P(X t = Y t ; θ ) exp t c φ Y πσ ( (y t ) ) + σ P(X t = 3 Y t ; θ ) exp t c φ Y πσ ( (y t ) ) + σ P(X t = 4 Y t ; θ ) exp t c φ Y πσ ( (y t ) ). σ P(X t = Y t ; θ ) P(X t = Y t ; θ ) P(X t = 3 Y t ; θ ) [ P(X t = 4 Y t ; θ )] P(X t+ = Y t ; θ ) P(X t+ = Y t ; θ ) P(X t+ = 3 Y t ; θ ) = ξ t t η t (ξ t t η t ) = P ξ t t [ P(X t+ = 4 Y t ; θ )] i = i Ulangi mulai dari langkah 4.3. Hentikan jika t =. Lanjutkan ke langkah Misalkan B = f(y t Y t ; θ (m) ) P(X t = Y t ; θ (m) ) f(y t X t =, Y t ; θ (m) ) C = f(y t Y t ; θ (m) ) P(X t = Y t ; θ (m) ) f(y t X t =, Y t ; θ (m) ) D = f(y t Y t ; θ (m) ) P(X t = 3 Y t ; θ (m) ) f(y t X t = 3, Y t ; θ (m) ) E = f(y t Y t ; θ (m) ) P(X t = 4 Y t ; θ (m) ) f(y t X t = 4, Y t ; θ (m) ) cari nilai dari: c = t=[b(y t φ y t ) + D(y t φ y t )]. B + D t= c = t= [C(y t φ Y t ) + E(y t φ Y t )]. [C + E] φ = t= t= (y t )[B(y t c ) + C(y t c )] (y t ). [B + C] t= φ = t= (y t )[D(y t c ) + E(y t c )] (y t ). [D + E] t=

27 7 σ = t= [B + C + D + E] [B ((y t c ) φ Y t ) + C ((y t c ) φ Y t ) t= + D ((y t c ) φ Y t ) + E ((y t c ) φ Y t ) ]. 6. Beri nama parameter yang dihasilkan pada langkah 4 dengan θ (m+) = (c, c, φ, φ, σ ) dan m = 0,,,,. 7. Cari P yang baru, yaitu: ξ t (j) = ξ t t (j) {P (j) [ξ t+ (j) ( )ξ t+ t ]} p ij = t= P(X t = j, X t+ = i Y t ; θ) t= P(X t+ = i Y t ; θ) P(X t = i X t = j, Y ; θ) = P(X t = j Y t ; θ)p(x t = i X t = j, Y ; θ) P(X t = j Y t ; θ)p(x t = i X t = j, Y t ; θ) = P(X t = j Y t ; θ)p(x t = i X t = j, Y t ; θ) P(X t = j Y t ; θ) = P(X t = j Y ; θ)p(x t = i Y t ; θ)p(x t = j X t = i; θ) P(X t = j Y t ; θ) = ξ t (j) (i) ξ t t p ij (j) ξ t t N P(X t = i Y ; θ) = P(X t = i, X t = j Y ; θ) j= p ij = t= (j) (i) ξ t ξ t t p ij t= (j) ξ t t (j) (i) ξ t ξ t t p N ij j= (j) ξ t t Bukti dapat dilihat pada Hamilton (990). (Kim 994) 8. Ulangi mulai dari langkah. Hentikan jika m =. Gunakan parameter yang sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar Rupiah yang akan datang. E[y t X t = j, Y t ; θ] = E[c(X t ) + φ(x t )y t + ε t X t = j, Y t ; θ] = c(x t ) + φ(x t ) y t f(y t X t = j, Y t ; θ) dy t Y t = E[y t Y t ; θ () ] = y t f(y t Y t ; θ () )dy t

28 8 N = y t P(X t = j Y t ; θ () )f(y t X t = j, Y t ; θ () )dy t j= N (j) = ξ t t E[y t X t = j, Y t ; θ () ]. j= PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP DOLAR AMERIKA Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Namun terlebih dahulu akan dibahas mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan masalah nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Data Input Nilai ukar Rupiah Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan yang diambil dari laman ( Oktober 04). Data diambil pada selang waktu antara bulan Juni 997 hingga Juni 03 yang berarti terdapat 93 data observasi (y t ). Data yang akan diduga sebanyak 9 data, dari Juli 997 hingga Juni 03. Data nilai tukar pada Juni 997 akan digunakan sebagai nilai awal (y 0 ). Grafik data disajikan pada Gambar Jun-997 Feb-998 Oct-998 Jun-999 Feb-000 Oct-000 Jun-00 Feb-00 Oct-00 Jun-003 Feb-004 Oct-004 Jun-005 Feb-006 Oct-006 Jun-007 Feb-008 Oct-008 Jun-009 Feb-00 Oct-00 Jun-0 Feb-0 Oct-0 Jun-03 Gambar Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan

29 9 Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika sudah pernah dimodelkan menggunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya oleh Setiawaty dan Ardana (03), Santoso (008), dan Retnoningtyas (04). Setiawaty dan Ardana (03) menggunakan persamaan: Y t = c(x t ) + φ(x t )Y t + ε t, sedangkan Santoso (008) dan Retnoningtyas (04) menggunakan persamaan: Y t μ Xt = φ(y t μ Xt ) + ε t, di mana {X t } adalah rantai Markov, {Y t } adalah penyebab nilai tukar Rupiah dan ε t menyebar normal. Pada Setiawaty dan Ardana (03) diperoleh MAPE 4.3%, pada Retnoningtyas (04) digunakan nilai awal μ = [ ], φ = 3.94, P = [0.87], dan σ = , dengan MAPE 4.4%. Model hidden Markov yang akan digunakan pada tugas akhir ini adalah: Y t = c(x t ) + φ(x t )Y t + ε t seperti pada bab sebelumnya. Berdasarkan model di atas nilai tukar Rupiah saat ini diasumsikan tidak hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu sebelumnya, tetapi juga bergantung pada nilai tukar Rupiah satu waktu sebelumnya. Pada model hidden Markov di atas akan di cari nilai duga parameternya agar hasil yang didapat mendekati nilai yang sebenarnya. Pada tugas akhir ini akan dibangkitkan nilai awal yang tepat agar keakuratan model meningkat. Keakuratan dianggap baik bila MAPE < 5%. Penentuan Nilai Awal Parameter Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 997 hingga Mei 03 dan bagian kedua data dari Juli 997 hingga Juni 03 (y t ), kedua data kemudian diplot. Nilai yang akan diplot adalah y = y t terhadap x = y t. Persamaan baru yang didapatkan yaitu Y = x (33) Gambar Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model yang digunakan sehingga dapat digunakan dalam acuan pembangkitan nilai awal c dan φ. Nilai awal c yang digunakan dibangkitkan dari interval [000, 500],

30 0 dengan nilai awal (84.9, 8.7). Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan c yang digunakan adalah (93.95, 93.95). Nilai awal φ yang digunakan dibangkitkan dari interval [0.5, ], dengan nilai awal (0.6068, ). Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan φ yang digunakan adalah (0.784, 0.784). Penentuan Nilai Awal P Sedangkan nilai awal P dibangkitkan secara acak dari interval peluang [0,], karena 0 p ij. Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan yang digunakan untuk P adalah [ ] Penentuan Nilai Awal σ Nilai awal untuk parameter σ yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai [00,000] yang merupakan selang dari standar deviasanya. Nilai awal yang σ dibangkitkan sebesar Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan σ yang digunakan adalah Hasil Program Dari bagian sebelumnya nilai dugaan parameter yang digunakan untuk membangkitkan dugaan nilai tukar Rupiah adalah c = 93.95, c = 93.95, φ = 0.784, φ = 0.784, σ = Galat nilai dugaan yang ditunjukkan oleh MAPE sebesar % diperoleh melalui satu kali iterasi seperti yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini model dianggap baik apabila nilai dari MAPE < 5%. Nilai tukar Rupiah dan nilai dugannya tertera pada Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar 3. Nilai Sebenarnya Nilai Dugaan Gambar 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan

31 SIMPULAN Model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya pada tugas akhir ini dapat memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Hal ini terlihat dari nilai dugaan yang mendekati nilai sebenarnya, dengan MAPE yang dihasilkan sebesar 4.48%. DAFAR PUSAKA Baum LE, Petrie Statistical inference for probabilistic functions of finite Markov chain. Annal of Mathematical Statistics. 37(6): doi:0.4/aoms/ Elliot RJ, Anggoun L, Moore JB Hidden Markov Models Estimation and Control. New York (US): Springer Verlag. Grimmet GR, Stirzaker DR. 99. Probability and Random Processes. Ed ke-. Oxford (GB): Clarendon Press. Hamilton JD Analysis of time series subject to changes in regime. Journal of Econometrics. 45():39-70.doi:0.06/ (90) Hogg RV, Craig A Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. New Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs. Kim CJ Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of Econometrics. 60():-.doi:0.06/ (94) Krantz SG Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhauser. Mynsbrugge JV. 00. Bidding strategies using price based unit commitment in a deregulated power market [tesis]. Leuven (BE): Katholieke Universiteit Leuven. Osborne MJ Concave and Convex Function of Many Variable. Canada (CA): University of oronto. Ross SM Stochastic Process. Ed ke-. New York (US): John Wiley & Sons. Royden HL Real Analysis. New York (US): he Macmilan Company. Retnoningtyas A. 04. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Untuk Nilai ukar Rupiah erhadap Dolar Amerika [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Santoso DH Pemodelan Nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Setiawaty B, Ardana NKK. 03. Modeling the exchange of Rupiah to American Dollar using hidden Markov. Presentation paper of IICMA 03; 03 Nov 6-8; Yogyakarta, Indonesia. Stewart J Kalkulus Jilid. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.

32 Lampiran Bukti Lema Karena {X t } rantai Markov, maka {X t } rantai Markov dengan matriks transisi p p p 3 p 4 p P = [ p p 3 p 4 p 3 p 3 p 33 p ]. 43 p 4 p 4 p 34 p 44 Misalkan p ij melambangkan P(X t = j X t = i) maka p = P(X t = X t = ) = P(X t =, X t = X t =, X t = ) = P(X t =, X t =, X t = ) P(X t =, X t = ) = P(X t = X t =, X t = ) = P(X t = X t = ) = p. p = P(X t = X t = ) = P(X t =, X t = X t = P(X t =, X t =, X t =, X t = ) P(X t =, X t = ) = 0. Dengan cara perhitungan yang sama akan didapatkan p 3 = p p 4 = 0 p = p p = 0 p 3 = p p 4 = 0 p 3 = 0 p 3 = p p 33 = 0 p 43 = p p 4 = 0 p 4 = p p 34 = 0 p 44 = p maka diperoleh matriks transisi p 0 p 0 P = [ 0 p 0 p p 0 p 0 ]. 0 p 0 p =, X t = )

33 3 Lampiran Bukti persamaan (8) sampai dengan (3) 4 f(y t Y t ; θ) = j= P(y t, X t = j Y t ; θ) 4 = j= P(X t = j Y t ; θ) f(y t X t = j, Y t ; θ) = P(X t = Y t ; θ) exp πσ ( (y t c φ Y t ) ) + P(X σ t = Y t ; θ) exp πσ ( (y t c φ Y t ) ) σ +P(X t = 3 Y t ; θ) exp πσ ( (y t c φ Y t ) ) + P(X σ t = 4 Y t ; θ) exp πσ ( (y t c φ Y t ) ). σ (4) Berdasarkan persamaan (4), diperoleh = P(X t = Y t ; θ) exp πσ { (y t c φ y t ) σ +P(X t = 3 Y t ; θ) exp πσ { (y t c φ y t ) σ f(y t Y t ;θ) c } ( )((y t c ) φ y t )( ) σ } ( )((y t c ) φ y t )( ) σ. = P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) ((y t c ) φ y t ) σ +P(X t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ) ((y t c ) φ y t ) σ. Jika diketahui fungsi log-likelihood sebagai berikut L(θ) = log f(y t Y t ; θ), t= Untuk memperoleh nilai c, c, φ, φ, σ yang memaksimumkan fungsi log-likehood, maka turunan pertama dari L(θ) harus sama dengan nol. L(θ) c = f(y t Y t ;θ) t= f(y t Y t ;θ) c t= [ P(X f(y t Y t ;θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) ((y t c ) φ y t ) P(X f(y t Y t ;θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ) ((y t c ) φ y t ) ] σ = 0 σ + 3

34 4 4 [ σ t= P(X f(y t Y t ;θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ)((y t c ) φ y t ) + P(X f(y t Y t ;θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ)((y t c ) φ y t )] = 0 t= [ P(X f(y t Y t ;θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ)(y t c φ y t ) + P(X f(y t Y t ;θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ)(y t c φ y t )] = 0 t= [ P(X f(y t Y t ;θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ)(y t φ y t ) + f(y t Y t ;θ) P(X t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ)(y t φ y t )] = t= [ P(X f(y t Y t ;θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ)(c ) + P(X f(y t Y t ;θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ)(c )] t=. = c [ P(X f(y t Y t ;θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) + P(X f(y t Y t ;θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ)] Misalkan maka dapat dituliskan B = f(y t Y t ; θ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) D = f(y t Y t ; θ) P(X t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ). [B(y t φ y t ) + D(y t φ y t )] = c B + D t= t=

35 5 f(y t Y t ;θ ) L(θ) c c seperti yang telah diklaim pada persamaan (8). Berdasarkan persamaan (4) diperoleh = = P(X t = Y t ; θ) exp πσ ( (y t c φ Y t ) σ P(X t = 4 Y t ; θ) exp πσ ( (y t c φ Y t ) σ c = t= [B(y t φ y t ) + D(y t φ y t )] B + D t= ) ( )((y t c ) φ Y t )( ) + σ ) ( )((y t c ) φ Y t )( ) σ = P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ ) ((y t c ) φ Y t ) + P(X σ t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ ) ((y t c ) φ Y t ) σ f(y t Y t ;θ ) t= f(y t Y t ;θ ) c = 0 [ P(X f(y t Y t ;θ ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ ) ((y t c ) φ Y t ) t= = 0 σ + P(X f(y t Y t ;θ ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ ) ((y t c ) φ Y t ) ] σ [ σ t= P(X f(y t Y t ;θ ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ )(y t c φ Y t ) + = 0 f(y t Y t ;θ ) P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ )(y t c φ Y t )] 5

36 6 6 t= [ P(X f(y t Y t ;θ ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ )(y t c φ Y t ) + = 0 f(y t Y t ;θ ) P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ )(y t c φ Y t )] t= [ P(X f(y t Y t ;θ ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ )(y t φ Y t ) + f(y t Y t ;θ ) P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ )(y t φ Y t )] = [ P(X t= f(y t Y t ;θ ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ )(c ) + P(X f(y t Y t ;θ ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ )(c )] t=. = c [ P(X f(y t Y t ;θ ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ ) + P(X f(y t Y t ;θ ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ )] Misalkan C = f(y t Y t ; θ ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ ) E = f(y t Y t ; θ ) P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ ) maka dapat dituliskan [C(y t φ Y t ) + E(y t φ Y t )] = c [C + E] t= c = t=[c(y t φ Y t ) + E(y t φ Y t )] t=[c + E] seperti yang diklaim pada persamaan (9). t=

37 7 f(y t Y t,θ) L(θ) φ φ Berdasarkan persamaan (4) diperoleh = = P(X t = Y t ; θ) exp πσ { (y t c φ y t ) +P(X t = Y t ; θ) exp πσ { (y t c φ y t ) = P(X t = Y t ; θ) exp πσ { (y t c φ y t ) +P(X t = Y t ; θ) t= f(y t Y t,θ) f(y t Y t,θ ) φ = 0 } ( )((y t c ) φ y t )( y t ) σ σ } ( )((y t c ) φ y t )( y t ) σ σ } ((y t c ) φ y t )(y t ) σ σ exp πσ { (y t c φ y t ) } ((y t c ) φ y t )(y t ). σ σ [ P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ) ((y t c ) φ y t )(y t ) t= P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ) ((y t c ) φ y t )(y t ) ] σ = 0 σ + [ σ t= P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)((y t c ) φ y t )(y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)((y t c ) φ y t )(y t )] = 0 t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)((y t c ) φ y t )(y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)((y t c ) φ y t )(y t )] = 0 7

38 8 8 t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)(y t c φ y t )(y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)(y t c φ y t )(y t )] = 0 t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)(y t c )(y t ) + f(y t Y t,θ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)(y t c )(y t )] = t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)(φ y t )(y t ) + f(y t Y t,θ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)(φ y t )(y t )] = φ t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)(y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t, θ)(y t ) ]. Misalkan B = f(y t Y t ; θ ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ ) C = f(y t Y t ; θ ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ ) sehingga diperoleh t= [B(y t c )(y t ) + C(y t c )(y t )] = φ t= [B(y t ) + C(y t ) ] φ = t=[b(y t c )(y t ) + C(y t c )(y t )] [B(y t ) + C(y t ) ] t=

39 9 φ = t= (y t )[B(y t c ) + C(y t c )] t=(y t ) [B + C] seperti yang diklaim pada persamaan (30). Berdasarkan persamaan (4) diperoleh = P(X t = 3 Y t ; θ) exp πσ { (y t c φ y t ) +P(X t = 4 Y t ; θ) exp πσ { (y t c φ y t ) f(y t Y t,θ) L(θ) φ φ = = P(X t = 3 Y t ; θ) +P(X t = 4 Y t ; θ) t= f(y t Y t,θ) f(y t Y t,θ) φ = 0 exp πσ { (y t c φ y t ) } ( )((y t c ) φ y t )( y t ) σ σ } ( )((y t c ) φ y t )( y t ) σ σ } ((y t c ) φ y t )(y t ) σ σ exp πσ { (y t c φ y t ) } ((y t c c ) φ y t )(y t ). σ σ [ P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t, θ) ((y t c ) φ y t )(y t ) t= P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t, θ) ((y t c ) φ y t )(y t ) ] σ = 0 σ + [ P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t, θ) (y t c )(y t ) (φ y t )(y t ) t= P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t, θ) (y t c )(y t ) (φ y t )(y t ) ] σ = 0 σ + 9

40 30 30 [ σ t= P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t, θ)(y t c )(y t ) (φ y t )(y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t, θ)(y t c )(y t ) (φ y t )(y t )] = 0 t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t, θ)(y t c )(y t ) (φ y t )(y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t, θ)(y t c )(y t ) (φ y t )(y t )] = 0 t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t, θ)(y t c )(y t ) φ (y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t, θ)(y t c )(y t ) φ (y t ) ] = 0 t=(y t ) [ P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t, θ)(y t c ) + P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t, θ)(y t c )] = t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t, θ)(φ (y t ) ) + f(y t Y t,θ) P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t, θ)(φ (y t ) )] = φ t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t, θ)(y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t, θ)(y t ) ].

41 3 Misalkan D = f(y t Y t ; θ ) P(X t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ ) E = f(y t Y t ; θ ) P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ ) maka dapat dituliskan t= (y t )[D(y t c ) + E(y t c )] = φ t= [D(y t ) + E(y t ) ] φ = t=(y t )[D(y t c ) + E(y t c )] t=[d(y t ) + E(y t ) ] φ = t=(y t )[D(y t c ) + E(y t c )] t=(y t ) [D + E] Seperti yang telah diklaim pada persamaan (3). = P(X σ t = Y t ; θ) ( π ) (πσ ) 3 exp ( ((y t c ) φ Y t ) ) + P(X σ t = Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) +P(X t = Y t ; θ) ( π ) (πσ ) 3 exp ( ((y t c ) φ Y t ) ) + P(X σ t = Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) +P(X t = 3 Y t ; θ) ( π ) (πσ ) 3 exp ( ((y t c ) φ Y t ) ) + P(X σ t = 3 Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) +P(X t = 4 Y t ; θ) ( π ) (πσ ) 3 exp ( ((y t c ) φ Y t ) ) + P(X σ t = 4 Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) f(y t Y t ;θ) ) ((y t c ) φ Y t ) σ σ 4 ) ((y t c ) φ Y t ) σ σ 4 ) ((y t c ) φ Y t ) σ σ 4 ) ((y t c ) φ Y t ). σ σ 4 f(y t Y t ;θ) π = P(X σ t = Y t ; θ) ( (πσ ) πσ ) exp ( ((y t c ) φ Y t ) ) + P(X σ t = Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) ) ((y t c ) φ Y t ) σ σ 4 3

42 3 3 π P(X t = Y t ; θ) ( (πσ ) πσ ) exp ( ((y t c ) φ Y t ) ) + P(X σ t = Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) π P(X t = 3 Y t ; θ) ( (πσ ) πσ ) exp ( ((y t c ) φ Y t ) ) + P(X σ t = 3 Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) π P(X t = 4 Y t ; θ) ( (πσ ) πσ ) exp ( ((y t c ) φ Y t ) ) + P(X σ t = 4 Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) = P(X t = Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) ) ( σ P(X t = Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) ) ( σ P(X t = 3 Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) ) ( σ P(X t = 4 Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) ) ( σ + ((y t c ) φ Y t ) σ σ 4 ) + + ((y t c ) φ Y t ) σ + ((y t c ) φ Y t ) σ + ((y t c ) φ Y t ) ) σ σ 4 σ 4 ) + σ 4 ) + = P(X t = Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) ) ( σ +((y t c ) φ Y t ) ) + σ σ 4 P(X t = Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) ) ( σ +((y t c ) φ Y t ) ) + σ σ 4 P(X t = 3 Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) ) ( σ +((y t c ) φ Y t ) ) + σ σ 4 P(X t = 4 Y t ; θ) exp πσ ( ((y t c ) φ Y t ) ) ( σ +((y t c ) φ Y t ) ) +. σ σ 4 ) ((y t c ) φ Y t ) σ σ 4 ) ((y t c ) φ Y t ) σ σ 4 ) ((y t c ) φ Y t ) σ σ 4

43 33 L(θ) = σ t= f(y t Y t,θ) f(y t Y t ;θ) σ = 0 [ P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ)f(y t X t =, Y t ; θ) ( σ +((y t c ) φ Y t ) t= ) + σ 4 = 0 P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ)f(y t X t =, Y t ; θ) ( σ +((y t c ) φ Y t ) P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ)f(y t X t = 3, Y t ; θ) ( σ +((y t c ) φ Y t ) P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ)f(y t X t = 4, Y t ; θ) ( σ +((y t c ) φ Y t ) )] σ 4 σ 4 ) + σ 4 ) + [ P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ)f(y t X t =, Y t ; θ)((y t c ) φ Y t ) t= + P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ)f(y t X t =, Y t ; θ)((y t c ) φ Y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ)f(y t X t = 3, Y t ; θ)((y t c ) φ Y t ) + P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ)f(y t X t = 4, Y t ; θ)((y t c ) φ Y t ) ] = σ t= [ P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ)f(y t X t =, Y t ; θ) + P(X f(y t Y t,θ) t = Y t ; θ)f(y t X t =, Y t ; θ) + P(X f(y t Y t,θ) t = 3 Y t ; θ)f(y t X t = 3, Y t ; θ) + P(X f(y t Y t,θ) t = 4 Y t ; θ)f(y t X t = 4, Y t ; θ)]. Misalkan B = f(y t Y t ; θ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) 33

44 34 34 maka dapat dituliskan C = f(y t Y t ; θ) P(X t = Y t ; θ) f(y t X t =, Y t ; θ) D = f(y t Y t ; θ) P(X t = 3 Y t ; θ) f(y t X t = 3, Y t ; θ) E = f(y t Y t ; θ) P(X t = 4 Y t ; θ) f(y t X t = 4, Y t ; θ) [B((y t c ) φ Y t ) + C((y t c ) φ Y t ) + D((y t c ) φ Y t ) + E((y t c ) φ Y t ) t= ] = σ t= [B + C + D + E] σ = [B((y t c ) φ Y t ) + C((y t c ) φ Y t ) + D((y t c ) φ Y t ) + E((y t c ) φ Y t ) ] t= Seperti yang diklaim pada persamaan (3). t= [B + C + D + E].

45 Lampiran 3 Program untuk mencari nilai dugaan parameter menggunakan software Mathematica 0 35

46 36

47 37

48 38

49 39