PEMODELAN KLAIM ASURANSI KERUGIAN MENGGUNAKAN POISSON HIDDEN MARKOV UNTUK DATA OVERDISPERSI HENDRA GUSTRA

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PEMODELAN KLAIM ASURANSI KERUGIAN MENGGUNAKAN POISSON HIDDEN MARKOV UNTUK DATA OVERDISPERSI HENDRA GUSTRA"

Transkripsi

1 PEMODELAN KLAIM ASURANSI KERUGIAN MENGGUNAKAN POISSON HIDDEN MARKOV UNTUK DATA OVERDISPERSI HENDRA GUSTRA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson Hidden Markov untuk Data Overdipersi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2014 Hendra Gustra NIM G

4

5 ABSTRAK HENDRA GUSTRA. Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson Hidden Markov untuk Data Overdispersi. Dibimbing oleh Berlian Setiawaty dan Ngakan Komang Kutha Ardana. Untuk mengantisipasi kerugian dari kejadian yang tidak terduga dibutuhkan jaminan perlindungan dari jasa asuransi yang berupa pembayaran klaim. Jika banyaknya klaim yang datang setiap hari merupakan proses observasi dan mengalami overdispersi, yaitu kondisi di mana ragamnya lebih besar dari rataannya serta penyebab kejadiannya tidak diamati secara langsung dan membentuk suatu rantai Markov, maka pasangan dari proses observasi dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Poisson hidden Markov. Model Poisson hidden Markov dicirikan oleh parameternya. Penduga parameternya dapat diduga dengan algoritme expectation maximization. Model Poisson hidden Markov diaplikasikan pada data kedatangan klaim untuk menduga rata-rata banyaknya klaim yang datang per hari. Pendugaan parameter dari model Poisson hidden Markov dicari dengan menggunakan program komputasi melalui Mathematica versi 9.0. Diperoleh model terbaik model Poisson hidden Markov 3 state menurut Akaike Information Criterion dengan dugaan rata-rata klaim yang datang per hari sebanyak dan model Poisson hidden Markov 2 state menurut Bayesian Information Criterion dengan dugaan rata-rata klaim yang datang per hari sebanyak orang. Kata kunci: data overdispersi, klaim, model Poisson hidden Markov. ABSTRACT HENDRA GUSTRA. Nonlife Insurance Claim Modeling Using Poisson Hidden Markov for Overdispersed Data. Supervised by Berlian Setiawaty and Ngakan Komang Kutha Ardana. In anticipation of losses from unexpected events, assurance of protection in the form of insurance claims payments is needed. If the number of claims each day is observed and the data is overdispersed, i.e. the variance is greater than the mean, and the cause of claim is unobserved and assumed to form a Markov chain, then the dynamics of the claim can be modeled by Poisson hidden Markov model. Poisson hidden Markov model is characterized by its parameters and it can be estimated using expectation maximization algorithm. Poisson hidden Markov model is applied to data of claim number to estimate the average claim number for each day. The estimation of parameters are implemented on computational program by using Mathematica version 9.0. A 3-state Poisson hidden Markov model is obtained according to Akaike Information Criterion. The expected number of claims is per day. A 2-state Poisson hidden Markov model is obtained according to Bayesian Information Criterion. The expected number of claims is per day. Keywords: claim, overdispersion data, Poisson hidden Markov model.

6

7 PEMODELAN KLAIM ASURANSI KERUGIAN MENGGUNAKAN POISSON HIDDEN MARKOV UNTUK DATA OVERDISPERSI HENDRA GUSTRA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

8

9 Judul Skripsi : Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson Hidden Markov untuk Data Overdispersi Nama : Hendra Gustra NIM : G Disetujui oleh Dr Berlian Setiawaty, MS Pembimbing I Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

10

11 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2013 ini ialah asuransi, dengan judul Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson Hidden Markov untuk Data Overdispersi. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr Berlian Setiawaty, MS dan Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku pembimbing. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji, Ketua Departemen Matematika Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc, berserta jajaran staf dosen lainnya. Staf pendukung Bapak Mulyono, Bapak Acep Komaruddin, Ibu Ade Yustina, dan Ibu Nunik Susilowati yang telah membantu selama pengumpulan data. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Ayah, Ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga disampaikan kepada teman-teman Matematika 46 atas doa dan kebersamaannya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2014 Hendra Gustra

12

13 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL viii DAFTAR GAMBAR viii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 LANDASAN TEORI 2 Pengertian Asuransi 2 Overdispersi 2 Pengantar Teori Peluang 2 Rantai Markov 6 MODEL POISSON HIDDEN MARKOV 8 Karakteristik Model 8 Pendugaan Parameter 10 Algoritme Pemrograman 13 APLIKASI POISSON HIDDEN MARKOV PADA DATA KLAIM 15 Deskripsi Data 15 Aplikasi Model Poisson Hidden Markov pada Klaim 16 Hasil Komputasi 16 SIMPULAN DAN SARAN 18 Simpulan 18 Saran 18 DAFTAR PUSTAKA 19 LAMPIRAN 20 RIWAYAT HIDUP 38

14

15 DAFTAR TABEL 1 Nilai loglikelihood pada iterasi ke- dengan nilai AIC dan BIC 16 DAFTAR GAMBAR 1 Grafik banyaknya orang yang mengalami kecelakaan pada perusahaan kimia tahun 1998 di Bergamo 16 DAFTAR LAMPIRAN 1 Data banyaknya orang yang mengalami kecelakaan pada perusahaan kimia tahun 1998 di Bergamo 20 2 Pembuktian overdispersi 21 3 Pembuktian fungsi pada re-estimasi parameter 21 4 Pembuktian dan pada iterasi ke Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica

16

17 PENDAHULUAN Latar Belakang Setiap orang sering menderita kerugian dari suatu kejadian atau peristiwa yang tak terduga, misalnya kecelakaan dalam perjalanan, kebakaran, dan lainnya. Untuk mengantisipasi kerugian atau risiko yang diderita dari suatu kejadian yang tidak diinginkan ini maka dibutuhkan jaminan perlindungan dari jasa asuransi, yaitu dalam bentuk pembayaran klaim. Distribusi Poisson biasa digunakan untuk memodelkan kedatangan klaim pada asuransi kerugian (nonlife insurance), karena dari sejumlah besar nasabah asuransi hanya sedikit atau kecil peluang terjadinya kecelakaan di antara para nasabah tersebut. Dalam distribusi Poisson diasumsikan bahwa rata-rata dan ragam dari peubah respon bernilai sama. Dalam hal ini peubah responnya yaitu proses kedatangan klaim asuransi, akan tetapi dalam penerapannya seringkali terjadi kondisi overdispersi (overdispersion) pada data kedatangan klaim asuransi. Overdispersi adalah kondisi di mana ragam dari peubah respon lebih besar dari rata-rata peubah respon. Overdispersi pada klaim asuransi dapat terjadi karena berbagai faktor yang tidak bisa diamati, seperti dalam hal kecelakaan kendaraan tergantung pada perilaku mengemudi dari berbagai individu. Jika terjadi overdispersi, maka distribusi Poisson dapat dikatakan tidak tepat untuk memodelkan klaim karena asumsinya yang tidak terpenuhi. Proses kedatangan klaim terkait erat dengan penyebab kejadiannya, tetapi penyebab kejadian ini sangat banyak dan tidak diamati secara langsung, seperti cuaca, kondisi fisik, kepribadian dan lain-lain. Jika penyebab kejadian ini diasumsikan membentuk rantai Markov dan sebaran datanya kontinu serta menyebar normal maka pasangan proses kedatangan klaim dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model hidden Markov. Akan tetapi seperti yang telah dijelaskan proses kedatangan klaim pada asuransi kerugian menggunakan distribusi Poisson atau datanya menyebar Poisson. Oleh karena itu untuk memodelkan proses kedatangan klaim akan digunakan model Poisson campuran (Poisson Mixture Model) yaitu model Poisson hidden Markov. Dalam perkembangan lebih lanjut, akan dibuat suatu program komputasi untuk menyelesaikan masalah model Poisson hidden Markov diskret. Software yang digunakan adalah Mathematica versi 9.0. Rujukan utama karya ilmiah ini bersumber dari tulisan Roberta Paroli, Giovanna Redaelli, dan Luigi Spezia (2000) yang berjudul Poisson Hidden Markov Models for Time Series of Overdispersed Insurance Counts. Tujuan Penelitian 1. Mempelajari model Poisson hidden Markov (MPHM) dan pendugaan parameternya. 2. Mengimplementasikan model Poisson hidden Markov pada data klaim yang overdispersi pada asuransi kerugian. 3. Memprediksi rata-rata banyaknya klaim yang datang setiap hari.

18 2 LANDASAN TEORI Pada Bab ini dijelaskan beberapa definisi serta teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Pengertian Asuransi Pengertian asuransi secara umum adalah menyerahkan pertanggungan risiko kepada penanggung yaitu perusahaan asuransi untuk jangka waktu dan perjanjianperjanjian yang telah disepakati. Definisi asuransi menurut Kitab Undang-Undang Hukum Dagang (KUHD), tentang asuransi atau pertanggungan seumurnya, Bab 9, Pasal 246: Asuransi atau Pertanggungan adalah suatu perjanjian dengan mana seorang penanggung mengikatkan diri kepada seorang tertanggung, dengan menerima suatu premi, untuk memberikan penggantian kepadanya karena suatu kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang mungkin akan dideritanya karena suatu peristiwa yang tak tertentu. Kerugian risiko yang dibayarkan oleh pihak asuransi kepada pihak tertanggung disebut klaim. Pembayaran klaim ini sesuai ketentuan yang tertulis pada kontrak polis. Sedangkan definisi asuransi kerugian (nonlife insurance) Undang-Undang No 2 tahun 1992 tentang usaha asuransi menjelaskan bahwa asuransi kerugian menjalankan usaha memberikan jasa untuk menanggulangi suatu risiko atas kerugian, kehilangan manfaat dan tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga dari suatu peristiwa yang tidak pasti Overdispersi Dalam model regresi Poisson terdapat asumsi yang harus dipenuhi. Asumsi tersebut adalah nilai rata-rata dari peubah respon harus bernilai sama dengan ragam peubah respon, yang disebut juga ekuidispersi. Namun, dalam analisis data diskret sering dijumpai data dengan ragam peubah respon bernilai lebih besar dari rata-rata peubah respon, biasa disebut dengan overdispersi. Fenomena overdispersi dapat ditulis var(y) > E(Y). Sebaliknya, data yang ragam peubah respon bernilai lebih kecil dari rata-rata peubah respon disebut dengan underdispersi (McCullagh & Nelder 1989). Long (1997) dalam Jackman (2007) menyatakan overdispersi dapat terjadi karena adanya sumber keragaman yang tidak teramati pada data atau adanya pengaruh peubah lain yang mengakibatkan peluang terjadinya suatu kejadian bergantung pada kejadian sebelumnya. Pengantar Teori Peluang Definisi Percobaan Acak Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. (Hogg et al. 2005)

19 Definisi Ruang Contoh dan Kejadian Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω. Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Medan-σ Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi berikut: Jika maka. 3. Jika maka. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Ukuran Peluang Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang P pada (Ω, ) adalah suatu fungsi P:, - yang memenuhi: Jika adalah himpunan yang saling lepas, yaitu untuk setiap pasang, maka ( + Pasangan (Ω,, P) disebut ruang peluang. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Peubah Acak Misalkan (Ω,, P) adalah ruang peluang. Peubah acak adalah fungsi dengan sifat * + untuk setiap. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Fungsi Sebaran Misalkan X adalah peubah acak. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi, - yang diberikan oleh. Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Peubah Acak Diskret Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya berada hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Misalkan (Ω,, P) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah suatu fungsi, - yang didefinisikan oleh. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Kejadian Saling Bebas Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika (Hogg et al. 2005) 3

20 4 Definisi Peluang Bersyarat Misalkan adalah ruang peluang dan maka peluang A dengan syarat B didefinisikan sebagai ( ) (Hogg et al. 2005) Definisi Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah fungsi, - yang diberikan oleh (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Fungsi Kepekatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret Misalkan adalah ruang peluang dan S adalah himpunan berhingga. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X dan Y adalah fungsi, - didefinisikan oleh (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat Jika X dan Y merupakan peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X jika diberikan, terdefinisi untuk setiap y sedemikian sehingga adalah ( ) (Ross 1996) Definisi Fungsi Kerapatan Marginal Misalkan adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari dua peubah acak diskret X dan Y. Misalkan A adalah himpunan nilai yang mungkin dari X, dan B adalah himpunan nilai yang mungkin dari Y. Selanjutnya fungsi dan berturut-turut disebut fungsi kerapatan marginal dari X dan Y. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Kejadian Saling Bebas Misalkan kejadian tidak memengaruhi kejadian dengan peluang sedemikian sehingga peluang bersyarat jika diketahui adalah ( ) maka kejadian dan dikatakan saling bebas. Kemudian dapat diperoleh peluang bersamanya ( ) dan untuk peluang bersyarat jika diketahui adalah ( ) (Hogg et al. 2005)

21 Definisi Bebas Stokastik Identik Kejadian yang saling bebas disebut bebas stokastik. Misalkan adalah n peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan yang sama yaitu sehingga maka fungsi kepekatan bersamanya adalah Dalam hal ini, peubah acak disebut bebas stokastik identik. (Hogg et al. 2005) 5 Definisi Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang harapan X, dinotasikan dengan adalah, maka nilai (Hogg et al. 2005) Definisi Ragam Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai (Hogg et al. 2005) var.( ) / ( ) Definisi Nilai Harapan Bersyarat Nilai harapan bersyarat dari X dengan syarat, ditulis oleh ( ), diberikan oleh (Ross 1996) ( ) ( ) Teorema Untuk setiap peubah acak X dan Y maka berlaku ( ( )) dengan kata lain, jika Y adalah peubah acak diskret maka (Ross 1996) ( ( )) Definisi Peubah Acak Poisson Suatu Peubah Acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter dengan fungsi kepekatan peluang (Grimmet & Stirzaker 2001)

22 6 Lemma Jika peubah acak Poisson dengan parameter,, maka (Grimmet & Stirzaker 2001) Teorema (Grimmet & Stirzaker 2001) Rantai Markov Definisi Ruang State Misalkan S merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Proses Stokastik Proses stokastik * + yang terdefinisi pada ruang peluang adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh ke ruang state S. (Ross 1996) Definisi Rantai Markov dengan Waktu Diskret Misalkan adalah ruang peluang dan S ruang state. Proses Stokastik * + dengan ruang state S, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap berlaku ( ) ( ) untuk semua kemungkinan nilai dari (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Rantai Markov yang Homogen Rantai Markov * + dengan ruang state S disebut homogen jika ( ) ( ) untuk. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Matriks Transisi Misalkan * + adalah rantai Markov dengan ruang state S yang berukuran m. Matriks transisi berukuran adalah matriks dari peluang transisi, dengan ( ) untuk. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Terakses Suatu state disebut terakses (accessible) dari state i, jika ada minimal sebuah bilangan bulat sehingga. Dengan berlaku untuk untuk

23 , yang berarti sembarang state adalah berkomunikasi dengan dirinya sendiri. (Ross 1996) Definisi Berkomunikasi Dua state i dan j disebut berkomunikasi (communicate), jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Kelas State Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan tak kosong C sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari C adalah berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari C. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Tak Tereduksi Suatu rantai Markov disebut tak tereduksi (irreducible) jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan yang lainnya. (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Peluang Transisi n-step ( ) Peluang transisi n-step ( ) dari rantai markov * + adalah peluang proses berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefenisikan sebagai berikut: ( ) (Grimmet & Stirzaker 2001) Definisi Berulang State i dari suatu rantai Markov disebut berulang (recurrent) jika. (Ross 1996) Definisi Periode, Periodik, dan Aperiodik Misalkan * + adalah rantai markov yang terdefenisi pada dengan ruang state S. Suatu state i disebut periode ditulis jika adalah faktor persekutuan terbesar bagi sehingga, dinotasikan fpb2 3 suatu state i disebut periodik jika dan aperiodik jika. (Ross 1996) Definisi Positive Recurrent dan Null Recurrent Misalkan * + adalah rantai markov yang terdefenisi pada dengan ruang state S. Suatu state disebut positive recurrent jika state tersebut adalah recurrent dan berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan berhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 1996) 7

24 8 Definisi Ergodic Rantai Markov yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic. (Ross 1996) Definisi Nilai Harapan Rantai Markov Homogen Misalkan * + adalah rantai markov homogen yang ergodic dengan ruang state S berukuran m dan misalkan merupakan matriks peluang transisi dan ( ), maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan, memenuhi dan. (Ross 1996) MODEL POISSON HIDDEN MARKOV Karakteristik Model Pada bab ini akan dibahas model Poisson hidden Markov (MPHM) beserta karakteristiknya. Model Poisson hidden Markov adalah model hidden Markov khusus yang merupakan proses stokastik dengan waktu diskret yang terdiri atas pasangan { +. * + merupakan penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan merupakan suatu rantai Markov. Sedangkan * + adalah proses observasinya yang bergantung pada* +. Jika diasumsikan untuk setiap t, adalah peubah acak Poisson, maka pasangan { + disebut model Poisson hidden Markov. Karakteristik dari model Poisson hidden Markov dapat dicirikan sebagai berikut. 1. Diasumsikan { + adalah rantai Markov yang diskret, homogen, aperiodik, dan tak tereduksi dengan ruang state * Matriks peluang state transisi [ ], di mana matriks berukuran ( ) ( ) 3. Dalam model Poisson hidden Markov peubah yang diamati menyebar Poisson untuk setiap. Saat berada pada state i, maka sebaran bersyarat adalah peubah acak Poisson dengan parameter. Untuk setiap, matriks peluang dari proses observasi [ ], dengan ( )

25 9 4. Vektor peluang state awal, -, di mana merupakan vektor berukuran karena rantai Markov * + adalah rantai Markov yang ergodic, merupakan sebaran stasioner sehingga memenuhi persamaan. 5. Untuk setiap, fungsi sebaran marginal dari yaitu ( ) Selanjutnya akan dicari nilai harapan dan ragam dari diberikan oleh. Nilai harapan dari ( ) sedangkan ragam dari diberikan oleh var ( ) var ( + Maka dapat ditunjukkan bahwa terjadinya overdispersi, yaitu var dengan dan. (Bukti lihat di Lampiran 1) Jadi model Poisson hidden Markov { + dicirikan oleh parameter dan dengan, - [ ] [ ] dan

26 10 Pendugaan Parameter Model Poisson hidden Markov bergantung pada beberapa parameter, yaitu vektor peluang state awal, matriks peluang transisi [ ], dan peluang state dari proses observasinya [ ] ( ). Pada subbab ini akan dicari penduga dari parameter tersebut, khususnya akan dicari penduga maksimum likelihood dari peluang transisi. Kemudian, akan dicari penduga maksimum likelihood dari m parameter Poisson yang terdapat dalam state peluang observasi. Untuk penduga vektor state awal bisa dicari dengan menggunakan matriks penduga A melalui persamaan. Misalkan adalah vektor dari parameter yang akan diduga dengan metode maksimum likelihood, dan adalah ruang parameternya. Misalkan adalah vektor dari data observasinya. Vektor y adalah vektor tak lengkap karena vektor dari data yang tidak diamati * + tidak ada. Misalkan adalah vektor dari data yang tidak diamati. Fungsi likelihood dari data yang lengkap dinotasikan dengan merupakan peluang gabungan dari T data yang diamati dan T state yang tidak diamati, yaitu maka fungsi likelihood dari data tak lengkap yaitu dengan adalah peluang observasi dari yang berada pada state untuk Algoritme Expectation Maximization Untuk mendapatkan penduga maksimum likelihood dari, persamaan likelihood tersebut harus diselesaikan. Tetapi karena sulit untuk mendapatkan solusi dari persamaan tersebut secara analitik, maka haruslah digunakan algoritme numerik. Algoritme Expectation Maximization (Algoritme EM) adalah salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan dari data yang tidak lengkap. Algoritme EM terdiri atas dua langkah pada setiap iterasinya, langkah pertama adalah langkah E yang menghitung pendugaan (Expectation) dan yang kedua adalah langkah M yaitu memaksimumkan (Maximization). Ambil sebagai fungsi yang didefinisikan pada langkah E, yaitu ( )

27 untuk setiap vektor yang termasuk dalam ruang parameter. Langkah-langkah dalam algoritme EM adalah sebagai berikut. Ambil sebagai vektor penduga yang didapat pada iterasi ke-k ( ) 11 Pada iterasi ke- langkah E dan M didefinisikan sebagai berikut. ( 1. Langkah E diberikan ), hitung ( ) ( ) 2. Langkah M cari yang memaksimumkan ( ) sehingga untuk setiap. ( ) ( ) Langkah E dan M diulang hingga { ( )} konvergen atau selisih ( ) ( ) kurang dari galat yang diinginkan. Ruang parameter, penduga maksimum likelihood dan fungsi harus memenuhi teorema berikut. Teorema Misal [ ] untuk dan bilangan kecil yang sebarang. Maka 1. himpunan bagian yang terbatas dari 2. kontinu di dan terturunkan di interior ; 3. * + kompak untuk setiap ; 4. ( ) kontinu pada dan. (Bukti lihat Paroli et al. 2000). Jika algoritme konvergen pada iterasi ke-, maka bisa dikatakan ( ( ) ( )) adalah titik stasioner dan ( ) adalah penduga maksimum lokal dari fungsi likelihood. Dalam MPHM, parameter Poisson harus positif dan terbatas. Akan tetapi titik stasioner yang konvergen dalam algoritme EM belum tentu merupakan titik yang maksimum global. Maka untuk mengidentifikasi titik yang maksimum global, penentuan titik awal sangatlah penting. Algoritme Forward-Backward Algortime forward-backward digunakan untuk menentukan peluang munculnya barisan observasi, yaitu Peluang forward yang dinotasikan adalah peluang dari observasi dan berada pada state i di waktu t, yaitu

28 12 Prosedur algoritme forward 1. Diberikan nilai awal untuk. ( ) 2. Dengan cara induksi akan diperoleh ( ) Sedangkan peluang backward yang dinotasikan adalah peluang observasi parsial dan berada pada state i di waktu t, yaitu ( ) Prosedur algoritme backward 1. Diberikan nilai awal untuk. ( ) 2. Dengan cara induksi akan diperoleh (Bukti lihat MacDonald & Zucchini 1997; Wijayanti 2010) Re-estimasi Parameter Pada tahap ketiga, akan dimaksimumkan peluang untuk memperoleh nilai parameter model Poisson hidden Markov yang dapat dengan baik mendeskripsikan rangkaian observasi yang terjadi. Formula re-estimasi dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi ( ) Fungsi ( ) di langkah E pada iterasi ke- pada algoritme EM, yaitu ( ) ( ) (Bukti lihat Lampiran 2)

29 di mana dan dihitung berdasarkan formula dari,,,, dan, masing-masing menggunakan nilai dari parameter yang didapat pada iterasi ke-k, sedangkan didapatkan dari persamaan. Berdasarkan asumsi, memuat informasi tentang matriks peluang transisi A, karena untuk setiap. Menurut Basawa dan Rao (1980) pada jurnal Paroli et al. (2000), untuk T yang sangat besar, pengaruh dari bisa diabaikan. Maka, di langkah M pada iterasi ke-, untuk mendapatkan, penjumlahan pertama pada formula bisa diabaikan saat memaksimumkan ( ). Penduga maksimum likelihood yang didapat pada iterasi ke- dengan algoritme EM, yaitu 13 untuk setiap state i dan state j pada rantai Markov * +. Sedangkan penduga maksimum likelihood yang didapat pada iterasi ke-, yaitu untuk setiap state i pada rantai Markov * +. (Bukti lihat Lampiran 3) Algoritme Pemrograman Diketahui barisan data * +. Akan diduga parameter model Poisson hidden Markov yang memaksimumkan fungsi likelihood. Algoritme yang digunakan adalah sebagai berikut: Langkah : Input data * + dengan banyaknya data T. Langkah : Input kode untuk mencari yang memenuhi syarat. Tentukan nilai awal yang dibangkitkan secara acak, di mana dan, dan memenuhi syarat dan Bangkitkan untuk yang merupakan fungsi kepekatan peluang dari data yang menyebar Poisson. Asumsikan vektor peluang awal tetap untuk setiap iterasi, yaitu dan, untuk setiap.

30 14 Langkah : Tentukan batasan toleransi untuk iterasi likelihood, yaitu toleransi ( ) ( ) dan tentukan banyaknya maksimum iterasi yang dapat dilakukan. Langkah : Hitung. Lakukan untuk sampai dengan T. ( ) Hitung sebagai peluang observasi. Langkah : Hitung nilai terhadap nilai parameter awal. Langkah : Hitung untuk. Lakukan untuk sampai dengan. Hitung nilai duga parameter Langkah : ( Hitung pada setiap iterasi hingga 2 ) 3 konvergen dan maksimum berdasarkan toleransi likelihood yang telah ditentukan. ( Hitung nilai duga parameter ). Hitung nilai AIC dan BIC terhadap nilai likelihood. Langkah : Untuk mengidentifikasi titik yang maksimum global, lakukan langkah 1-7 dengan titik awal yang berbeda pada dan. Setelah dilakukan iterasi, pilih salah satu dari titik awal yang memiliki nilai likelihood terbesar.

31 15 Vektor parameter pada iterasi tersebut adalah vektor penduga maksimum likelihood yang dicari. Langkah : Untuk menentukan dimensi yang paling optimum, lakukan langkah untuk setiap state. Pilih yang memaksimumkan selisih dari, di mana adalah fungsi loglikelihood yang dimaksimumkan terhadap model Poisson hidden Markov dengan rantai Markov yang memiliki state. Sedangkan adalah penalti yang bergantung pada state dan barisan observasi. Dua kriteria pemilihan yang digunakan untuk menentukan adalah Akaike Information Criterion (AIC) dan Bayesian Information Criterion (BIC). AIC adalah kriteria jika, di mana adalah banyaknya parameter yang diduga dengan algoritme EM, yaitu, sehingga BIC adalah kriteria jika, sehingga APLIKASI POISSON HIDDEN MARKOV PADA DATA KLAIM Pada bab ini akan dibahas aplikasi model Poisson hidden Markov pada data kecelakaan yang terjadi pada perusahaan kimia di Bergamo, Italia. Pada setiap subbab akan dijelaskan data input yang digunakan sebagai barisan data observasi. Kemudian dilanjutkan dengan aplikasi model pada data dan penentuan dimensi modelnya berdasarkan kriteria yang digunakan. Terakhir akan dibahas hasil komputasi yang didapat dengan menggunakan software Mathematica versi 9.0. Deskripsi Data Data yang digunakan adalah data orang yang mengalami kecelakaan di perusahaan kimia yang berkisar antara bulan Januari tahun 1998 hingga bulan April tahun 1998 di provinsi Bergamo di Italia. Periode observasi yang digunakan adalah hari, sehingga terdapat sebanyak 120 barisan data observasi yang digunakan pada model ini, dengan rataan yang didapat sebesar dan ragamnya. Data banyaknya kecelakaan pada perusahaan kimia yang berkisar antara bulan Januari 1998 hingga April 1998 di provinsi Bergamo di Italia dapat dilihat pada Lampiran 1. Pada Gambar 1 terlihat bahwa cukup banyak data yang berada pada angka nol, selain itu kecelakaan yang terjadi sering mengalami kenaikan dan penurunan

32 Banyaknya Kecelakaan 16 secara bergantian dan ekstrem yang mengakibatkan data tersebut memiliki nilai ragam yang lebih besar daripada rataannya Periode (Hari) Gambar 1 Grafik banyaknya orang yang mengalami kecelakaan pada perusahaan kimia tahun 1998 di Bergamo Aplikasi Model Poisson Hidden Markov pada Klaim Diasumsikan bahwa barisan data kedatangan klaim dibangkitkan hanya dipengaruhi oleh proses penyebab kejadian yang membentuk rantai Markov dan tidak diamati secara langsung. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya kecelakaan pada perusahaan kimia diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov * +. Data observasi * + diasumsikan menyebar Poisson dan mengalami overdispersi. Jadi pasangan { + merupakan model Poisson hidden Markov. Hasil Komputasi Dari algoritme pemrograman pada bagian 3.3 dibuat program komputasi berdasarkan referensi dari Frey (2009) dengan menggunakan software Mathematica versi 9.0. Nilai loglikelihood yang didapat pada setiap state dengan nilai AIC dan BIC dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Nilai loglikelihood pada iterasi ke- dengan nilai AIC dan BIC Loglikelihood AIC BIC Menurut AIC sebagai kriteria pemilihan model, dipilih rantai Markov tiga state atau, di mana terjadinya kecelakaan pada perusahaan kimia di ( Bergamo dipengaruhi oleh tiga penyebab. Barisan { )} konvergen ( pada iterasi ke- dengan nilai ) Matriks peluang transisi yang memaksimumkan fungsi loglikelihood pada iterasi ke-, yaitu

33 17 [ ] ( di mana ) merupakan peluang penyebab terjadinya kecelakaan tersebut. Terlihat bahwa setelah terjadi kecelakan yang disebabkan penyebab pada state 1 akan terjadi kembali kecelakaan dengan peluang bahwa kecelakaan tersebut akan disebabkan oleh penyebab pada state 1. Terdapat peluang bahwa akan terjadi kecelakan karena penyebab pada state 2 setelah terjadinya penyebab pada state 1 dan seterusnya hingga terjadinya kecelakaan yang disebabkan oleh penyebab pada state 3. ( Berdasarkan informasi dari matriks peluang transisi ), didapat vektor peluang awal yang memenuhi, yaitu di mana peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh state 1 adalah, peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh state 2 adalah, dan peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh state 3 adalah. Vektor penduga parameter Poisson pada iterasi ke-, yaitu Sehingga menurut AIC diduga bahwa akan terjadi kecelakaan karena sebab pada state 1 dengan laju orang per hari, karena sebab pada state 2 dengan laju orang per hari dan karena sebab pada state 3 dengan laju orang per hari. Untuk dugaan rata-rata banyaknya kecelakaan pada perusahaan kimia yang terjadi setiap hari didapat dari maka menurut AIC diduga bahwa rata-rata banyaknya kecelakaan yang terjadi pada perusahaan kimia di Bergamo adalah orang per hari. Sedangkan menurut BIC sebagai kriteria pemilihan model, dipilih rantai Markov dua state atau yang artinya kecelakaan yang terjadi pada perusahaan kimia di Bergamo disebabkan oleh dua penyebab. Barisan { ( )} konvergen pada iterasi ke- dengan nilai ( ) Dengan matriks peluang transisi 0 1 di mana menurut BIC setelah terjadi kecelakaan karena sebab di state 1, terdapat peluang akan terjadi kembali kecelakaan karena sebab yang sama.

34 18 Terdapat peluang bahwa setelah kecelakaan karena sebab pada state 1 akan terjadi kecelakaan karena sebab pada state 2. Jika terjadi kecelakaan karena sebab pada state 2 maka terdapat peluang bahwa akan terjadi kecelakaan karena sebab pada state 1 setelahnya, dan terdapat peluang bahwa setelah terjadi kecelakaan karena sebab pada state 2 akan terjadi kembali kecelakaan karena sebab yang sama. Dari matriks peluang transisi didapat vektor peluang awal di mana peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh state 1 adalah, dan peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh state 2 adalah. Vektor penduga parameter Poisson pada iterasi ke-, yaitu yang berarti bahwa diduga terjadinya kecelakaan karena sebab pada state 1 dengan laju orang per hari, dan terjadinya kecelakaan karena sebab pada state 2 dengan laju orang per hari. Dugaan rata-rata banyaknya kecelakaan pada perusahaan kimia yang terjadi setiap hari, yaitu maka menurut BIC diduga bahwa rata-rata banyaknya kecelakaan yang terjadi pada perusahaan kimia di Bergamo adalah orang per hari. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dengan menggunakan model Poisson hidden Markov untuk memodelkan data klaim asuransi kerugian pada perusahaan kimia tahun 1998 di Bergamo Italia, berdasarkan kriteria AIC diperoleh model terbaik model Poisson hidden Markov 3 state dengan dugaan rata-rata terjadinya kecelakaan sebanyak orang per hari. Sedangkan menurut kriteria BIC diperoleh model terbaik model Poisson hidden Markov 2 state dengan dugaan rata-rata terjadinya kecelakaan sebanyak orang per hari. Saran Pada karya ilmiah ini hanya dapat dicari rata-rata dugaan klaim yang datang per hari, tetapi tidak diketahui cara untuk menduga kedatangan klaim per hari yaitu * +, dan masih belum dapat membandingkan kriteria yang lebih baik antara AIC dan BIC ketika didapat hasil yang berbeda menurut masing-masing kriteria. Selain itu data yang digunakan adalah data luar negeri pada tahun 1998

35 sehingga masih belum diketahui apakah model ini cocok untuk data di Indonesia. Karena itu karya ilmiah ini masih memungkinkan untuk dilanjutkan dengan mencari cara untuk menduga kedatangan klaim per hari, membandingkan AIC dan BIC ketika didapat hasil yang berbeda, salah satunya dengan menggunakan metode Minimum Description Length (MDL) dan dengan menggunakan data terbaru yang ada di Indonesia. 19 DAFTAR PUSTAKA Basawa IV, Rao BLSP Statistical Inferences for Stochastic Processes. London (GB): Academic Pr. Frey RJ Tutorial: Hidden Markov Models with Univariate Gaussian Outcomes. [Internet]. [diunduh 2014 Maret 17]. Tersedia pada: Grimmet GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. Ed ke-3. Clarendon Press. Oxford. Hogg RV, Craig AT, McKean JW Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-6. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey. Jackman S Models for Counts Political Science. [Internet]. [diunduh 2013 September 13]. Tersedia pada: Poisson.pdf. Long JS Regression Models for Categorical and Limited Dependent Variables. Number 7 in Advance Quantitive Technique in the Social Sciences. California: Sage Publications. MacDonald IL, Zucchini W Hidden Markov and Other Models for Discrete-valued Time Series. London (GB): Chapman & Hall. McCullagh P, Nelder JA Generalized Linear Models. London: Chapman & Hall. Paroli R, Redaelli G, Spezia L Poisson hidden Markov models for time series of overdispersed insurance counts. Astin Colloquium: Paroli R, Spezia L Gaussian hidden Markov models: parameters estimation and applications to air pollution data. Serie E.P. n. 94 Instituto di Statistica, Universita Catollica S.C Milano. Ross SM Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York. Wijayanti H Kajian Model Hidden Markov Diskret dengan Algoritme Rabiner dan Aplikasinya pada DNA. [Tesis] IPB.

36 20 Lampiran 1 Data banyaknya orang yang mengalami kecelakaan pada perusahaan kimia tahun 1998 di Bergamo Hari Januari Februari Maret April (Sumber: Istituto Nazionale per l Assicurazione contro gli Infortuni sul Lavoro)

37 21 Lampiran 2 Pembuktian overdispersi Misalkan ( ) adalah nilai harapan bersyarat dari, dengan peubah acak adalah indikator dari suatu kejadian * +. Akan dibuktikan terjadi overdispersi, yaitu var. Diketahui ( ( )) ( ) ( ( )) ( ), maka var ( ) (( ) *. ( )/ ( ).( ) /. ( )/ var( ). Sehingga jelas terlihat bahwa var Lampiran 3 Pembuktian fungsi ( ) pada re-estimasi parameter Pembuktian pada formula (13) menggunakan referensi dari jurnal Paroli dan Spezia (1999). Langkah E dari algoritme EM pada iterasi ke- didefinisikan ( ) *, - ( )+ Dengan melihat bagian likelihood saja, maka, ( )- maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sedangkan peluang setiap barisan state untuk ; yaitu:

38 22 ( ) ( ) Sehingga [( + ( +] Selanjutnya dengan teknik penyederhanaan didapat ( ) Subtitusikan (2) dan (3) ke (1), maka didapat [ ] ( + ( +

39 23 * + * +

40 24 Dengan hanya melihat penjumlahan kedua pada formula (4), maka * + * ( ) ( ) ] di mana ( ) ( ) ( ) Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke (5), didapat * ( ) ( ) ] * ( ) ( ) ( )] * ( ) ( )- di mana ( )

41 ( ) ( ) 25 Dengan mensubstitusikan (8) ke (7), didapat * ( ) ( )] * ( ) ( ) ( )] Substitusikan persamaan (9) ke (4), maka didapat * ( ) ( ) ( )] * +

42 26 Akan disubstitusikan peubah forward-backward dan beberapa parameter ke dalam persamaan yang didapat dengan algoritme EM. Dengan melihat pada pejumlahan pertama pada formula (10), yaitu Di mana ( ) ( ) ( ) Pertama akan dilihat terlebih dahulu bagian pembilang pada formula (10) ( ) ( ) ( ) ( ) selanjutnya pada bagian penyebut untuk ( ) ( )

43 27 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

44 28 Maka Sehingga persamaan pada langkah E pada iterasi ke- adalah ( ) ( ) Lampiran 4 Pembuktian dan pada iterasi ke- Dengan melihat masalah pendugaan parameter sebagai sebuah kendala optimasi dari, teknik perkalian Lagrange dapat digunakan untuk menemukan nilai yang memaksimumkan. Berdasarkan bentuk standard optimasi Lagrange, sebagai fungsi objektif yang memaksimumkan adalah: ( ) ( ) Tetapi menurut Basawa dan Prakasa Rao (1980) pada jurnal Paroli et al. (2000), Untuk T yang sangat besar pengaruh dari peluang awal bisa diabaikan, sehingga fungsi objektifnya menjadi:

45 29 ( ) dengan fungsi kendala, yaitu: Persamaan Lagrange-nya menjadi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dengan sebagai parameter pengali Lagrange. Selanjutnya untuk memperoleh penyelesaian (nilai maksimum) pertama akan dicari penduga dari, yaitu ( ( ) ( ), ( )

46 30 dengan menjumlahkan j pada kedua ruas maka didapat substitusikan, sehingga diperoleh sehingga penduga, yaitu: Kedua, akan dicari penduga dari. penduga dari dapat dicari dengan teknik penurunan sederhana yaitu :. ( )/ ( + karena, maka ( +

47 31 ( *

48 32 Lampiran 5 Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica 9.0

49 33

50 34

51 35

52 36

53 37

54 38 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Rengat pada tanggal 23 September 1991 dari ayah Argausman dan ibu Martinalis. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Islam. Penulis adalah putra kedua dari dua bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri 026 Pematang Reba, tahun 2006 penulis lulus dari SMP Negeri 5 Rengat dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Benai. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa departemen Matematika FMIPA IPB dengan mayor Matematika dengan pilihan minor Statistika Terapan. Penulis juga mendapatkan beasiswa prestasi dari PT. Chevron Riau selama empat tahun. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten praktikum Kalkulus dua pada semester lima tahun ajaran 2011/2012. Penulis juga aktif sebagai staf Divisi Keilmuan himpunan profesi Matematika GUMATIKA IPB 2010/2011 dan GUMATIKA IPB 2011/2012. Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti kegiatan seperti kepanitiaan Pesta Sains Nasional 2010/2011 sebagai staf Divisi Tim Khusus, Pesta Sains Nasional 2011/2012 sebagai ketua Divisi Tim Khusus, dan IPB Mathematics Challenge (IMC) 2011/2012 sebagai staf Divisi Tim Khusus.

PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI NOSOKOMIAL JUNIAWAN PRASETYO

PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI NOSOKOMIAL JUNIAWAN PRASETYO PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI NOSOKOMIAL JUNIAWAN PRASETYO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI

Lebih terperinci

PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN PERUSAHAAN MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV ADITYA PRAYUDANTO

PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN PERUSAHAAN MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV ADITYA PRAYUDANTO PEMODELAN HUBUNGAN PELANGGAN DAN PERUSAHAAN MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV ADITYA PRAYUDANTO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN

Lebih terperinci

KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H

KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI

Lebih terperinci

PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN

PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 Percobaan Acak (Ross 2000) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi

Lebih terperinci

BAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY

BAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY BAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY 3.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang Ω,,. Misalkan ; adalah rantai Markov dengan state berhingga

Lebih terperinci

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MENGGUNAKAN METODE TIPE KERNEL Ro fah Nur Rachmawati Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Binus University Jl.

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan

Lebih terperinci

KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS MUSAFA

KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS MUSAFA KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DAN APLIKASINYA PADA HARGA BERAS MUSAFA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan

Lebih terperinci

PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI

PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI PENDUGAAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK SYAMSURI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Lebih terperinci

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Lebih terperinci

BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV

BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV 4.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang (Ω, F, P). Misalnya X = {X : k N} adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen

Lebih terperinci

RISIKO GEMUK (FAT-TAILED ADRINA LONY SEKOLAH

RISIKO GEMUK (FAT-TAILED ADRINA LONY SEKOLAH PENENTUAN BESARNYA PREMI UNTUK SEBARAN RISIKO YANG BEREKOR GEMUK (FAT-TAILED RISK DISTRIBUTION) ADRINA LONY SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER

Lebih terperinci

PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH

PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

Lebih terperinci

PENDAHULUAN LANDASAN TEORI

PENDAHULUAN LANDASAN TEORI 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu

Lebih terperinci

PENENTUAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN DAN TITIK KESETIMBANGANNYA DALAM PORTOFOLIO HETEROGEN

PENENTUAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN DAN TITIK KESETIMBANGANNYA DALAM PORTOFOLIO HETEROGEN PENENTUAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN DAN TITIK KESETIMBANGANNYA DALAM PORTOFOLIO HETEROGEN (PREMIUM PRICING BASED ON DEMAND FUNCTION AND EQUILIBRIUM POINT IN HETEROGENOUS PORTOFOLIO) Usep

Lebih terperinci

PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER MARKOV CHAIN RUDY HARIONO

PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER MARKOV CHAIN RUDY HARIONO PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER MARKOV CHAIN RUDY HARIONO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN

Lebih terperinci

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT RO FAH NUR RACHMAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN

Lebih terperinci

Pemodelan Data Besar Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Distribusi Mixture Erlang

Pemodelan Data Besar Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Distribusi Mixture Erlang Statistika, Vol. 17 No. 1, 45 51 Mei 2017 Pemodelan Data Besar Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Distribusi Mixture Erlang Indah permatasari, aceng komarudin mutaqin, lisnur wachidah Program

Lebih terperinci

APLIKASI MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET UNTUK MENDETEKSI PENYALAHGUNAAN KARTU KREDIT PUTRI UTARI

APLIKASI MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET UNTUK MENDETEKSI PENYALAHGUNAAN KARTU KREDIT PUTRI UTARI APLIKASI MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET UNTUK MENDETEKSI PENYALAHGUNAAN KARTU KREDIT PUTRI UTARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 ABSTRAK

Lebih terperinci

E-Jurnal Matematika Vol. 5 (4), November 2016, pp ISSN:

E-Jurnal Matematika Vol. 5 (4), November 2016, pp ISSN: E-Jurnal Matematika Vol 5 (4), November 2016, pp 133-138 ISSN: 2303-1751 PERBANDINGAN REGRESI ZERO INFLATED POISSON (ZIP) DAN REGRESI ZERO INFLATED NEGATIVE BINOMIAL (ZINB) PADA DATA OVERDISPERSION (Studi

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus

Lebih terperinci

SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM BERDISTRIBUSI WEIBULL LILYANI SUSANTI

SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM BERDISTRIBUSI WEIBULL LILYANI SUSANTI SISTEM BONUS MALUS DENGAN FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI GEOMETRIK DAN UKURAN KLAIM BERDISTRIBUSI WEIBULL LILYANI SUSANTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN

Lebih terperinci

PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO

PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Lebih terperinci

Masalah Overdispersi dalam Model Regresi Logistik Multinomial

Masalah Overdispersi dalam Model Regresi Logistik Multinomial Statistika, Vol. 16 No. 1, 29 39 Mei 2016 Masalah Overdispersi dalam Model Regresi Logistik Multinomial Annisa Lisa Nurjanah, Nusar Hajarisman, Teti Sofia Yanti Prodi Statistika, Fakultas Matematika dan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. komoditas, model pergerakan harga komoditas, rantai Markov, simulasi Standard

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. komoditas, model pergerakan harga komoditas, rantai Markov, simulasi Standard BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas beberapa tinjauan mengenai teori yang diperlukan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya antara lain tentang kontrak berjangka komoditas, model pergerakan

Lebih terperinci

Penaksiran Parameter Regresi Linier Logistik dengan Metode Maksimum Likelihood Lokal pada Resiko Kanker Payudara di Makassar

Penaksiran Parameter Regresi Linier Logistik dengan Metode Maksimum Likelihood Lokal pada Resiko Kanker Payudara di Makassar Vol.14, No. 2, 159-165, Januari 2018 Penaksiran Parameter Regresi Linier Logistik dengan Metode Maksimum Likelihood Lokal pada Resiko Kanker Payudara di Makassar Sutrianah Burhan 1, Andi Kresna Jaya 1

Lebih terperinci

MODEL REGRESI POISSON YANG DIPERUMUM UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI PADA MODEL REGRESI POISSON

MODEL REGRESI POISSON YANG DIPERUMUM UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI PADA MODEL REGRESI POISSON MODEL REGRESI POISSON YANG DIPERUMUM UNTUK MENGATASI OVERDISPERSI PADA MODEL REGRESI POISSON Ade Susanti, Dewi Retno Sari Saputro, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak

Lebih terperinci

PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA

PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER

Lebih terperinci

PENERAPAN REGRESI POISSON DAN BINOMIAL NEGATIF DALAM MEMODELKAN JUMLAH KASUS PENDERITA AIDS DI INDONESIA BERDASARKAN FAKTOR SOSIODEMOGRAFI

PENERAPAN REGRESI POISSON DAN BINOMIAL NEGATIF DALAM MEMODELKAN JUMLAH KASUS PENDERITA AIDS DI INDONESIA BERDASARKAN FAKTOR SOSIODEMOGRAFI Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 58 65 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENERAPAN REGRESI POISSON DAN BINOMIAL NEGATIF DALAM MEMODELKAN JUMLAH KASUS PENDERITA AIDS DI INDONESIA

Lebih terperinci

SIMULASI TOTAL KERUGIAN ASURANSI MENGGUNAKAN DEDUCTIBLE DAN LIMITED COVERAGE SYAMSUL

SIMULASI TOTAL KERUGIAN ASURANSI MENGGUNAKAN DEDUCTIBLE DAN LIMITED COVERAGE SYAMSUL SIMULASI TOTAL KERUGIA ASURASI MEGGUAKA DEDUCTIBLE DA LIMITED COVERAGE SYAMSUL DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR BOGOR 2016 PERYATAA MEGEAI SKRIPSI

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. beberapa konsep dan teori yang berkaitan dengan penduga parameter distribusi GB2

II. LANDASAN TEORI. beberapa konsep dan teori yang berkaitan dengan penduga parameter distribusi GB2 5 II. LANDASAN TEORI Dalam proses penelitian penduga parameter dari suatu distribusi diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika. Berikut ini akan dijelaskan beberapa konsep

Lebih terperinci

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH

KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

II. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan

Lebih terperinci

E-Jurnal Matematika Vol. 3 (3), Agustus 2014, pp ISSN:

E-Jurnal Matematika Vol. 3 (3), Agustus 2014, pp ISSN: E-Jurnal Matematika Vol. 3 3), Agustus 2014, pp. 107-115 ISSN: 2303-1751 PERBANDINGAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF DAN REGRESI GENERALISASI POISSON DALAM MENGATASI OVERDISPERSI Studi Kasus: Jumlah Tenaga Kerja

Lebih terperinci

Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis LAMPIRAN 33 Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 (Ruang contoh dan kejadian) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya

Lebih terperinci

ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO-INFLATED POISSON (ZIP) MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN

ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO-INFLATED POISSON (ZIP) MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO-INFLATED POISSON (ZIP) MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN Karima Puspita Sari, Respatiwulan, dan Bowo Winarno Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Model regresi zero-inflated

Lebih terperinci

PERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE

PERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE PERBANDINGANN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATAA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS

Lebih terperinci

Model Regresi Zero Inflated Poisson Pada Data Overdispersion

Model Regresi Zero Inflated Poisson Pada Data Overdispersion Model Regresi Zero Inflated Poisson Pada Data Overdispersion Wirajaya Kusuma Fakultas MIPA, Universitas Mataram e-mail: Kusuma_Wirajaya@yahoo.co.id Desy Komalasari Fakultas MIPA, Universitas Mataram e-mail:

Lebih terperinci

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2014

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang. 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

II LANDASAN TEORI. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang. 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui

Lebih terperinci

PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN TAKHINGGA PADA PROSES KEPUTUSAN MARKOV DAN APLIKASINYA DI BIDANG PERTANIAN BILYAN USTAZILA

PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN TAKHINGGA PADA PROSES KEPUTUSAN MARKOV DAN APLIKASINYA DI BIDANG PERTANIAN BILYAN USTAZILA PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN TAKHINGGA PADA PROSES KEPUTUSAN MARKOV DAN APLIKASINYA DI BIDANG PERTANIAN BILYAN USTAZILA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT

Lebih terperinci

PERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU

PERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU v PERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA

Lebih terperinci

PREDIKSI JUMLAH LULUSAN DAN PREDIKAT KELULUSAN MAHASISWA FMIPA UNTAN TAHUN ANGKATAN 2013/2014 DENGAN METODE RANTAI MARKOV

PREDIKSI JUMLAH LULUSAN DAN PREDIKAT KELULUSAN MAHASISWA FMIPA UNTAN TAHUN ANGKATAN 2013/2014 DENGAN METODE RANTAI MARKOV Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3(2015), hal 347-352. PREDIKSI JUMLAH LULUSAN DAN PREDIKAT KELULUSAN MAHASISWA FMIPA UNTAN TAHUN ANGKATAN 2013/2014 DENGAN METODE RANTAI

Lebih terperinci

PENERAPAN REGRESI ZERO-INFLATED NEGATIVE BINOMIAL (ZINB) UNTUK PENDUGAAN KEMATIAN ANAK BALITA

PENERAPAN REGRESI ZERO-INFLATED NEGATIVE BINOMIAL (ZINB) UNTUK PENDUGAAN KEMATIAN ANAK BALITA E-Jurnal Matematika Vol. 2, No.4, Nopember 2013, 11-16 ISSN: 2303-1751 PENERAPAN REGRESI ZERO-INFLATED NEGATIVE BINOMIAL (ZINB) UNTUK PENDUGAAN KEMATIAN ANAK BALITA NI MADE SEKARMINI 1, I KOMANG GDE SUKARSA

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 4 BAB II LANDASAN TEORI Teori yang ditulis dalam bab ini merupakan beberapa landasan yang digunakan untuk menganalisis sebaran besarnya klaim yang berekor kurus (thin tailed) dan yang berekor gemuk (fat

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori dasar yang digunakan untuk menetapkan harga premi pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen yang terdapat opsi surrender dalam kontraknya,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci

Lebih terperinci

MODEL ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR MENGGUNAKAN DISTRIBUSI MIXED POISSON ABSTRACT

MODEL ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR MENGGUNAKAN DISTRIBUSI MIXED POISSON ABSTRACT JURNAL GAUSSIAN, Volume 1, Nomor 1, Tahun 2012, Halaman 229-240 Online di: http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian MODEL ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR MENGGUNAKAN DISTRIBUSI MIXED POISSON Tina

Lebih terperinci

MASALAH NILAI AWAL ITERASI NEWTON RAPHSON UNTUK ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LOGISTIK ORDINAL TERBOBOTI GEOGRAFIS (RLOTG)

MASALAH NILAI AWAL ITERASI NEWTON RAPHSON UNTUK ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LOGISTIK ORDINAL TERBOBOTI GEOGRAFIS (RLOTG) MASALAH NILAI AWAL ITERASI NEWTON RAPHSON UNTUK ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI LOGISTIK ORDINAL TERBOBOTI GEOGRAFIS (RLOTG) Shaifudin Zuhdi, Dewi Retno Sari Saputro Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH

ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan

Lebih terperinci

ANALISIS REGRESI TERPOTONG BEBERAPA NILAI AMATAN NURHAFNI

ANALISIS REGRESI TERPOTONG BEBERAPA NILAI AMATAN NURHAFNI ANALISIS REGRESI TERPOTONG DENGAN BEBERAPA NILAI AMATAN NOL NURHAFNI SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan

Lebih terperinci

PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA

PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA PENENTUAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN DENGAN ARGUMEN GEOMETRIS SEDERHANA PRAMA ADISTYA WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. real. T dinamakan himpunan indeks dari proses atau ruang parameter yang

II. TINJAUAN PUSTAKA. real. T dinamakan himpunan indeks dari proses atau ruang parameter yang II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Stokastik Stokastik proses = { ( ), } adalah kumpulan dari variabel acak yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω, ς, P) yang nilai-nilainya pada bilangan real. T dinamakan

Lebih terperinci

Prosiding Statistika ISSN:

Prosiding Statistika ISSN: Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Distribusi Binomial Negatif-Lindley pada Data Frekuensi Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor di Indonesia Binomial Negative-Lindley Distribution in the Frequency Data

Lebih terperinci

KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET DAN APLIKASINYA PADA DNA N U R M A I L Y

KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET DAN APLIKASINYA PADA DNA N U R M A I L Y KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV DISKRET DAN APLIKASINYA PADA DNA N U R M A I L Y SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada saat ini bahaya, kerusakan, dan kerugian merupakan suatu ketidakpastian yang pasti akan dialami siapapun. Sehingga kemungkinan terjadi resiko dalam kehidupan

Lebih terperinci

M-2 PERHITUNGAN PREMI ASURANSI KENDARAAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI PELUANG

M-2 PERHITUNGAN PREMI ASURANSI KENDARAAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI PELUANG M-2 PERHITUNGAN PREMI ASURANSI KENDARAAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI PELUANG Anita Andriani Universitas Hasyim Asy ari Tebuireng, Jombang anita.unhasy@gmail.com Abstrak Asuransi kendaraan bermotor

Lebih terperinci

PENGARUH MIXED DISTRIBUTION PADA PENDEKATAN QUASI-LIKELIHOOD DALAM MODEL LINEAR 1)

PENGARUH MIXED DISTRIBUTION PADA PENDEKATAN QUASI-LIKELIHOOD DALAM MODEL LINEAR 1) PENGARUH MIXED DISTRIBUTION PADA PENDEKATAN QUASI-LIKELIHOOD DALAM MODEL LINEAR 1) Anang Kurnia Departemen Statistika FMIPA IPB Jl. Meranti, Wing 22 Level 4 Kampus IPB Darmaga, Bogor Email: anangk@ipb.ac.id

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik, adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang states. Jadi,

Lebih terperinci

PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH

PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga GMM pada data

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga GMM pada data 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga GMM pada data panel ini, penulis menggunakan definisi, teorema dan konsep dasar yang berkaitan dengan pendugaan parameter,

Lebih terperinci

BAB III. Hidden Markov Models (HMM) Namun pada beberapa situasi tertentu yang ditemukan di kehidupan nyata,

BAB III. Hidden Markov Models (HMM) Namun pada beberapa situasi tertentu yang ditemukan di kehidupan nyata, BAB III Hidden Markov Models (HMM) 3.1 Pendahuluan Rantai Markov mempunyai state yang dapat diobservasi secara langsung. Namun pada beberapa situasi tertentu yang ditemukan di kehidupan nyata, beberapa

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel

LANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel 5 II. LANDASAN TEORI 2.1 Model Regresi Poisson Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel prediktor

Lebih terperinci

OPTIMASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN MODEL HIDDEN MARKOV DAN APLIKASINYA PADA SAHAM BUMI RESOURCES Tbk KASTOLAN

OPTIMASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN MODEL HIDDEN MARKOV DAN APLIKASINYA PADA SAHAM BUMI RESOURCES Tbk KASTOLAN OPTIMASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN MODEL HIDDEN MARKOV DAN APLIKASINYA PADA SAHAM BUMI RESOURCES Tbk KASTOLAN ` SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 PERNYATAAN MENGENAI

Lebih terperinci

MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG

MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI

Lebih terperinci

PENERAPAN PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN PADA SISTEM INVENTORI-PRODUKSI. Nurus Sa adah, Toni Bakhtiar, Farida Hanum

PENERAPAN PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN PADA SISTEM INVENTORI-PRODUKSI. Nurus Sa adah, Toni Bakhtiar, Farida Hanum PENERAPAN PRINSIP MAKSIMUM PONTRYAGIN PADA SISTEM INVENTORI-PRODUKSI Nurus Sa adah, Toni Bakhtiar, Farida Hanum Departemen Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor

Lebih terperinci

Bab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Pengantar Proses Stokastik

Bab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Pengantar Proses Stokastik Bab 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan penjelasan singkat mengenai pengantar proses stokastik dan rantai Markov, yang akan digunakan untuk analisis pada bab-bab selanjutnya. 2.1 Pengantar Proses

Lebih terperinci

PENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES PADA 2 CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA KEMUNGKINAN MAKSIMUM SITI MASLIHAH

PENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES PADA 2 CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA KEMUNGKINAN MAKSIMUM SITI MASLIHAH PENDUGAAN PARAMETER WAKTU PERUBAHAN PROSES PADA CONTROL CHART MENGGUNAKAN PENDUGA KEMUNGKINAN MAKSIMUM SITI MASLIHAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Dalam proses penelitian pendugaan parameter dari suatu distribusi diperlukan

LANDASAN TEORI. Dalam proses penelitian pendugaan parameter dari suatu distribusi diperlukan II. LANDASAN TEORI Dalam proses penelitian pendugaan parameter dari suatu distribusi diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika. Berikut akan dijelaskan beberapa konsep dan

Lebih terperinci

PERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS

PERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS PERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN

Lebih terperinci

PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO

PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan

Lebih terperinci

PENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN RISMAWATI SIDIK

PENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN RISMAWATI SIDIK PENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO HETEROGEN RISMAWATI SIDIK DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 04

Lebih terperinci

Reliabilitas Suatu Mesin Menggunakan Rantai Markov (Studi Kasus: Mesin Proofer Di Pabrik Roti Super Jam Banten)

Reliabilitas Suatu Mesin Menggunakan Rantai Markov (Studi Kasus: Mesin Proofer Di Pabrik Roti Super Jam Banten) Jurnal Matematika Integratif ISSN 42-684 Volume 3 No, April 27, pp 4-47 Reliabilitas Suatu Mesin Menggunakan Rantai Markov (Studi Kasus: Mesin Proofer Di Pabrik Roti Super Jam Banten) Mega Novia Andriani,

Lebih terperinci

ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL SUJITA

ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL SUJITA ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL SUJITA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan

Lebih terperinci

BAB III REGRESI SPASIAL DENGAN PENDEKATAN GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POISSON REGRESSION (GWPR)

BAB III REGRESI SPASIAL DENGAN PENDEKATAN GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POISSON REGRESSION (GWPR) BAB III REGRESI SPASIAL DENGAN PENDEKATAN GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POISSON REGRESSION (GWPR) 3.1 Regresi Poisson Regresi Poisson merupakan suatu bentuk analisis regresi yang digunakan untuk memodelkan data

Lebih terperinci

PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER AZWIRDA AZIZ SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005

PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER AZWIRDA AZIZ SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005 1 PENGGUNAAN REGRESI SPLINE ADAPTIF BERGANDA UNTUK DATA RESPON BINER AZWIRDA AZIZ SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2005 2 SURAT PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul

Lebih terperinci

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DARI SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN LIA YULIAWATI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. TINJAUAN PUSTAKA II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik penduga distribusi generalized gamma dengan metode generalized moment ini, penulis menggunakan definisi, teorema dan konsep dasar

Lebih terperinci

PENERAPAN REGRESI GENERALIZED POISSON UNTUK MENGATASI FENOMENA OVERDISPERSI PADA KASUS REGRESI POISSON

PENERAPAN REGRESI GENERALIZED POISSON UNTUK MENGATASI FENOMENA OVERDISPERSI PADA KASUS REGRESI POISSON E-Jurnal Matematika Vol., No., Mei 013, 49-53 ISSN: 303-1751 PENERAPAN REGRESI GENERALIZED POISSON UNTUK MENGATASI FENOMENA OVERDISPERSI PADA KASUS REGRESI POISSON I PUTU YUDANTA EKA PUTRA 1, I PUTU EKA

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 21 Beberapa Pengertian Definisi 1 [Ruang Contoh] Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan (Grimmet dan Stirzaker,1992)

Lebih terperinci

Penerapan Model Frailty Weibull-Eksponensial pada Data Tabel Mortalitas Indonesia Tahun 1999

Penerapan Model Frailty Weibull-Eksponensial pada Data Tabel Mortalitas Indonesia Tahun 1999 Prosiding Statistika ISSN: 2460-6456 Penerapan Model Frailty Weibull-Eksponensial pada Data Tabel Mortalitas Indonesia Tahun 1999 1 Anjalina Kusumawardhani, 2 Aceng Komarudin Mutaqin, 3 Lisnur Wachidah

Lebih terperinci

ANALISIS RISIKO OPERASIONAL MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI KERUGIAN DENGAN METODE AGREGAT YUSUFI ARBI

ANALISIS RISIKO OPERASIONAL MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI KERUGIAN DENGAN METODE AGREGAT YUSUFI ARBI ANALISIS RISIKO OPERASIONAL MENGGUNAKAN PENDEKATAN DISTRIBUSI KERUGIAN DENGAN METODE AGREGAT YUSUFI ARBI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2013

Lebih terperinci

ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO ADJUSTED INVERSE GAUSSIAN (ZAIG) UNTUK MENENTUKAN BESAR KLAIM

ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO ADJUSTED INVERSE GAUSSIAN (ZAIG) UNTUK MENENTUKAN BESAR KLAIM Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 323-328 ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI ZERO ADJUSTED INVERSE GAUSSIAN (ZAIG) UNTUK MENENTUKAN BESAR KLAIM Nurul Huda,

Lebih terperinci

MODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA

MODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA MODIFIKASI METODE RELE UNTUK MODEL PENDUDUK QUASI-STABIL CECEP A.H.F. SANTOSA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi

Lebih terperinci

Informasi Fisher pada Algoritme Fisher Scoring untuk Estimasi Parameter Model Regresi Logistik Ordinal Terboboti Geografis (RLOTG)

Informasi Fisher pada Algoritme Fisher Scoring untuk Estimasi Parameter Model Regresi Logistik Ordinal Terboboti Geografis (RLOTG) SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Informasi Fisher pada Algoritme Fisher Scoring untuk Estimasi Parameter Model Regresi Logistik Ordinal Terboboti Geografis (RLOTG) Aulia Nugrahani

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)

Lebih terperinci

Penaksiran Parameter Model Kalibrasi Linier yang Berdistribusi Skew-Normal dengan Algoritma-EM

Penaksiran Parameter Model Kalibrasi Linier yang Berdistribusi Skew-Normal dengan Algoritma-EM Vol. 12, No. 1, 36-47, Juli 2015 Penaksiran Parameter Model Kalibrasi Linier yang Berdistribusi Skew-Normal dengan Algoritma-EM Try Widyaiswara Hairil 1, Anna Islamiyati 1, Raupong 1 Abstrak Sebuah penelitian

Lebih terperinci

ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO

ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan

Lebih terperinci

PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL

PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan

Lebih terperinci

BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT

BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Peluang Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak.

Lebih terperinci

PENERAPAN METODE PENGGEROMBOLAN BERDASARKAN GAUSSIAN MIXTURE MODELS DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION MAXIMIZATION ULA SUSILAWATI

PENERAPAN METODE PENGGEROMBOLAN BERDASARKAN GAUSSIAN MIXTURE MODELS DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION MAXIMIZATION ULA SUSILAWATI PENERAPAN METODE PENGGEROMBOLAN BERDASARKAN GAUSSIAN MIXTURE MODELS DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EXPECTATION MAXIMIZATION ULA SUSILAWATI DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Permasalahan

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Permasalahan BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Permasalahan Perkembangan bisnis asuransi semakin hari semakin menjanjikan, hal ini dikarenakan hampir semua bidang kehidupan mempunyai resiko, antara lain, kematian,

Lebih terperinci

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Rantai Markov Waktu Kontinu Pendahuluan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai

Lebih terperinci

BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas

Lebih terperinci

PENERAPAN REGRESI POISSON UNTUK MENGETAHUI FAKTOR-FAKTOR YANG MEMENGARUHI JUMLAH SISWA SMA/SMK YANG TIDAK LULUS UN DI BALI

PENERAPAN REGRESI POISSON UNTUK MENGETAHUI FAKTOR-FAKTOR YANG MEMENGARUHI JUMLAH SISWA SMA/SMK YANG TIDAK LULUS UN DI BALI PENERAPAN REGRESI POISSON UNTUK MENGETAHUI FAKTOR-FAKTOR YANG MEMENGARUHI JUMLAH SISWA SMA/SMK YANG TIDAK LULUS UN DI BALI KOMANG AYU YULIANINGSIH 1, KOMANG GDE SUKARSA 2, LUH PUTU SUCIPTAWATI 3 1,2,3

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan

Lebih terperinci