KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA AULIA RETNONINGTYAS

Transkripsi

1 KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA AULIA RETNONINGTYAS DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 2014 Aulia Retnoningtyas NIM G

4 ABSTRAK AULIA RETNONINGTYAS. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT. Model hidden Markov adalah model yang terdiri atas pasangan proses stokastik yaitu proses observasi dan faktor penyebab proses observasinya, di mana faktor penyebab observasinya tidak diamati secara langsung dan diasumsikan membentuk rantai Markov. Model hidden Markov satu waktu sebelumnya merupakan model hidden Markov yang proses observasinya dipengaruhi oleh faktor penyebab kejadian saat ini dan satu waktu sebelumnya. Model hidden Markov satu waktu sebelumnya dapat diaplikasikan untuk nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika di mana nilai tukar rupiah sebagai proses observasinya dan faktor penyebabnya sebagai rantai Markov. Parameter model diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan perhitungannya menggunakan metode iteratif Expectation Maximization (EM). Dengan menggunakan nilai awal yang diperoleh secara trial and error Santoso (2008) dapat memodelkan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dengan MAPE 14.58%. Pada tugas akhir ini nilai awal dibangkitkan secara terstruktur pada selang tertentu sehingga keakuratan model meningkat. MAPE yang diperoleh 4.13% dengan hanya satu kali iterasi. Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah ABSTRACT AULIA RETNONINGTYAS. Numerical Study if the Previous Time Hidden Markov Model for the Exchange Rate of Rupiah to US Dollar. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RUHIYAT. Hidden Markov model is a model that consists of a pair stochastic processes, ie: the process of observation and the cause factors of the observation, where the cause factors of the observation are not observed directly and assumed to be a Markov chain. The previous time hidden Markov model is a hidden markov model that the observation process is influenced by current events and one previous time cause factors. The previous time hidden Markov model can be applied to the exchange rate of rupiah to US dollar, where the exchange rate of rupiah to US dollar is the observation and the contributing factor is a Markov chain. Parameters of the model are estimated using the maximum likelihood method and calculated using expectation maximization (EM) iterative algorithm. Using the initial value obtained by trial and error, Santoso (2008) was able to model the exchange rate of rupiah to US dollar with MAPE 14.58%. In this paper, the initial value is structuredly generated on a specific interval so that the accuracy of model increases. Retrieved MAPE is 4.13% with only one iteration. Key words: EM algorithm, hidden Markov model, MAPE, the exchange rate of Rupiah

5 KAJIAN NUMERIK MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA UNTUK NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA AULIA RETNONINGTYAS Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya, sehingga karya ilmiah berjudul Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya untuk Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika ini dapat diselesaikan. Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada: 1. Dr Berlian Setiawaty, MS selaku dosen pembimbing I dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu, bimbingan, kesabaran serta motivasi yang telah diberikan selama penulisan karya ilmiah ini. 2. Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan saran. 3. Dosen-dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang diberikan, serta staf dan pegawai di Departemen Matematika atas semua bantuan dan layanannya selama ini. 4. Mama, Papa, Tika dan Widy atas doa, dukungan, semangat, kesabaran dan kasih sayang yang selalu diberikan kepada penulis. Serta seluruh keluarga besar yang ada di Jakarta, Depok, Bogor dan Malang atas doa, dukungan dan kasih sayangnya. 5. Atih, Asti, Benz, Uci, Anggi, Je, Devi dan sahabat-sahabat tersayang yang ada di Malang, Surabaya dan Depok lainnya atas perhatian, semangat, dukungan dan doa yang selalu diberikan. 6. Deva, Sari, Della, Devi, Pandi, Dian, Rofi, Denda, Rizky, Mutia, Rachma, Sri, Ayung, Fajar, Imam, Lukman, Yogie dan semua teman-teman Matematika 44 lainnya, serta kakak-kakak dan adik-adik Matematika 42, 43, 45, 46, dan 47 atas dukungan dan doanya. 7. Teman-teman IPB dari departemen lainnya. 8. Semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Oktober 2014 Aulia Retnoningtyas

9 DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 2 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 Peubah Acak dan Sebaran 3 Nilai Harapan 5 Rantai Markov 6 Algoritme Expectation Maximization (EM) 8 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) 9 MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA 9 Model Hidden Markov 9 Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 10 PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DLLAR AMERIKA DAN KAJIAN NUMERIKNYA 18 Data Input Nilai Tukar Rupiah 18 Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 19 Penentuan Nilai Awal untuk Penduga Parameter Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 19 Hasil Progam 20 SIMPULAN 21 DAFTAR PUSTAKA 21 LAMPIRAN 23 RIWAYAT HIDUP 46

10 DAFTAR GAMBAR 1 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan 19 2 Plot persamaan baru dari data yang ada dikurangi rataannya 20 3 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan 21 DAFTAR LAMPIRAN 1 Bukti Lema Bukti persamaan (13) sampai dengan (16) 24 3 Progam untuk mencari nilai dugaan dan MAPE minimum menggunakan software Mathematica Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dan nilai dugaannya 43

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Nilai tukar mata uang sering digunakan untuk mengukur level perekonomian suatu negara. Nilai tukar mata uang memegang peranan penting dalam perdagangan antar negara, di mana hampir sebagian besar negara-negara di dunia saat ini terlibat dalam aktivitas ekonomi pasar bebas. Bagi perusahaan investasi dan investor mancanegara, nilai tukar mata uang akan berdampak pada return dan portofolio investasinya. Salah satu nilai tukar mata uang yang berpengaruh di negara ini adalah nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika. Faktor-faktor yang mempengaruhi nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika antara lain perbedaan tingkat suku bunga, rasio ekspor dan impor, perbedaan tingkat inflasi serta kestabilan politik negara. Penting bagi pemerintah untuk mengetahui lebih dini perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika agar dapat mengantisipasi serta menentukan kebijakan ekonomi yang akan diambil selanjutnya. Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik yaitu proses observasi dan proses yang mempengaruhi terjadinya proses observasi yang diasumsikan membentuk rantai Markov dan diasumsikan tidak diamati. Model hidden Markov dicirikan oleh beberapa parameter yaitu peluang awal, peluang transisi, dan peluang observasinya. Nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dapat dimodelkan dengan model hidden Markov jika proses yang memengaruhi proses observasinya diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov. Dalam hal ini nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika sebagai proses observasinya dan faktorfaktor yang memengaruhi perubahannya sebagai proses yang memengaruhi proses observasinya. Pada karya ilmiah ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya seperti yang dibahas pada karya ilmiah Santoso (2008). Pada model ini nilai tukar rupiah bergantung pada nilai tukar rupiah sebelumnya dan juga faktor penyebab perubahan nilai tukar pada saat ini dan satu waktu sebelumnya. Perhitungan numerik yang dilakukan oleh Santoso (2008) menggunakan nilai awal yang ditentukan secara trial and error yang menghasilkan galat minimum (0.0032%) dan galat maksimum (5.6773%). Pada tugas akhir ini akan dicari cara menentukan nilai awal yang lebih efisien sehingga diharapkan diperoleh galat yang lebih kecil. Perhitungan numerik yang dilakukan dalam karya ilmiah ini menggunakan software Mathematica 9.0. Kelebihan progam tersebut adalah waktu kerja yang lebih efisien serta mempermudah dalam analisis data karena sudah dilengkapi dengan fungsi-fungsi yang mudah untuk digunakan. Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mendapatkan model hidden Markov satu waktu sebelumnya untuk nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika dengan nilai

12 2 awal yang lebih tepat sehingga modelnya lebih akurat jika dibandingkan dengan Santoso (2008). TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilahistilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini. Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Percobaan Acak Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diketahui dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak. (Ross 1996) Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Medan-σσ Medan-σσ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω yang memenuhi kondisi berikut: 1. F, ii=1 2. Jika AA 1, AA 2, F maka AA ii F, dan 3. Jika AA F maka AA CC F. (Ross 1996) Ukuran Peluang Misalkan F adalah medan-σσ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi PP: F [0,1] pada (Ω, F) yang memenuhi: 1. PP( ) = 0, PP(Ω) = 1, 2. Jika AA 1, AA 2, F adalah himpunan yang saling lepas yaitu AA ii AA jj = untuk setiap pasangan ii jj, maka PP( AA ii ) = ii=1 ii=1 PP(AA ii ). Pasangan (Ω, F, PP) disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Kontinu Absolut Jika vv dan μ merupakan dua ukuran peluang pada (Ω, F). Ukuran peluang vv dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang μμ jika μμ(aa) = 0 maka vv(aa) = 0, untuk setiap AA F. Dinotasikan vv μμ. (Royden 1963)

13 Radon Nikodym Jika PP dan PP merupakan dua ukuran peluang pada (Ω, F) dan PP PP, maka terdapat peubah acak taknegatif Δ sehingga PP (CC) = dddd untuk semua CC F. cc Dinotasikan ddpp =. (Wong dan Hajek 1985) dddd F Kejadian Saling Bebas Kejadian AA dan BB dikatakan saling bebas jika PP(AA BB) = PP(AA)PP(BB). Secara umum, himpunan kejadian {AA ii ; ii II} dikatakan saling bebas jika PP( ii JJ AA ii ) = ii JJ PP(AA ii ) untuk setiap himpunan bagian berhingga JJ dari II. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Peluang Bersyarat Misalkan (Ω, F, PP) adalah ruang peluang dan AA, BB F maka peluang A dengan syarat B didefinisikan sebagai PP(AA BB) = PP(AA BB). (Grimmet dan Stirzaker 2001) PP(BB) 3 Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak Misalkan F adalah medan-σσ dari Ω. Peubah acak X merupakan fungsi XX: ΩΩ R di mana {ωω εε ΩΩ XX (ωω) xx} εε F untuk setiap xx εε R. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari peubah acak XX adalah suatu fungsi FF R [0,1] di mana FF XX (xx) = PP(XX xx). (Grimmet dan Stirzaker 2001) Peubah Acak Diskret Misalkan Ω adalah ruang contoh, F adalah medan-σ dari Ω dan SS adalah himpunan berhingga. Suatu fungsi XX Ω S disebut peubah acak diskret jika memenuhi sifat AA SS berlaku {ωω Ω XX(ωω) AA} F. (Ross 1996) Fungsi Massa Peluang Misalkan (Ω, F, PP) adalah ruang peluang dan SS adalah himpunan berhingga. Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret XX adalah fungsi pp SS [0,1] didefinisikan oleh pp XX (xx) = PP(XX = xx), xx SS.(Grimmet dan Stirzaker 2001) Fungsi Massa Peluang Bersama Misalkan (Ω, F, PP) adalah peluang dan S adalah himpunan berhingga. Fungsi massa peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi ff: SS SS [0,1] yang didefinisikan oleh pp XXXX (xx, yy) = PP(XX = xx, YY = yy), xx, yy SS. (Grimmet dan Stirzaker 2001)

14 4 Fungsi Massa Marginal Misalkan pp XXXX (xx, yy) adalah fungsi massa peluang bersama dari peubah acak diskret XX dan YY. Misalkan AA adalah himpunan nilai yang mungkin dari XX, dan BB adalah himpunan nilai yang mungkin dari YY. Selanjutnya fungsi pp XX (xx) = yy BB pp XXXX (xx, yy) dan pp YY (yy) = xx AA pp XXXX (xx, yy) masing-masing disebut fungsi massa marginal dari XX dan YY. (Ross 1996) Fungsi Massa Peluang Bersyarat Jika XX dan YY merupakan peubah acak diskret, maka fungsi massa peluang bersyarat dari XX jika diberikan YY = yy, terdefinisi untuk setiap yy sedemikian sehinggapp(yy = yy) > 0adalah pp XX YY (xx yy) = PP(XX=xx,YY=yy ).(Ross 1996) PP(YY=yy ) Peubah Acak Kontinu Peubah acak XX disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat xx dinyatakan sebagai FF XX (xx) = ff(uu)dddd untuk suatu fungsi ff: R (0, ) yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi ff = ff XX disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. (Ross 1996) Fungsi Kepekatan Peluang Bersama Misalkan X dan Y peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah ff XXXX (xx, yy) = 2 FF(xx,yy).(Grimmet dan Stirzaker 2001) Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal Misalkan X dan Y peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran FF(xx, yy) dan fungsi kepekatan peluang bersama ff(xx, yy). Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut (Ross 1996) ff XX (xx) = ff(xx, yy)dddd ff YY (yy) = ff(xx, yy)dddd. Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marginal ff YY (yy) > 0, maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat YY = yy adalah ff XX YY (xx yy) = ff XXXX (xx,yy ). (Grimmet dan Stirzaker 2001) ff YY (yy)

15 5 Nilai Harapan Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pp XX (xx) = PP(XX = xx) maka nilai harapan dari X adalah EE[XX] = xx xxpp XX (xx) asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak. (Hogg and Craig 2014) Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang ff XX (xx) maka nilai harapan dari X adalah EE[XX] = xxff XX (xx)dddd asalkan integralnya ada. (Hogg and Craig 2014) Nilai Harapan Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan ff XX YY (xx yy) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat YY = yy, maka nilai harapan dari X dengan syarat YY = yy adalah EE[XX YY = yy] = xxff XX YY (xx yy)dddd. (Hogg dan Craig 2014) Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1 xx Jika f kontinu pada [aa, bb], maka fungsi g didefinisikan oleh g(xx) = ff(tt) dddd, aa aa xx bb adalah kontinu pada [aa, bb] dan terdiferensialkan pada (aa, bb) dan g (xx) = ff(xx). (Stewart 1998) Himpunan dan Fungsi Konveks Misalkan SS R NN adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua xx, xx SS dan λλ [0,1] maka (1 λλ)xx + λλλλ SS. Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks S. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan ff (1 λλ)xx + λλλλ (1 λλ)ff(xx) + λλλλ(xx ). (Osborne 1997) Fungsi Konveks Misalkan f memiliki turunan kedua. f adalah fungsi konveks jika dan hanya jika 2 ff(xx) 0, xx SS dan merupakan strictly convex jika 2 ff(xx) > 0, xx SS. (Osborne 1997) Ketaksamaan Jensen Misalkan XX adalah peubah acak dengan EE[XX]berhingga dan g(xx) adalah fungsi konveks. Maka EE[g(XX)] g(ee[xx]). (Krantz 1999)

16 6 Rantai Markov Ruang State Misalkan QQ R merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka QQ disebut ruang state. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Proses Stokastik Proses stokastik SS = {SS tt, tt εε TT} adalah suatu koleksi dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state K. Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T, S t adalah suatu peubah acak. (Ross 1996) Dalam hal ini anggap t sebagai waktu dan nilai dari peubah acak S t sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t. Rantai Markov dengan Waktu Diskret Proses stokastik {SS tt, tt = 0,1,2, }, dengan ruang state {1,2,3,, NN}, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap {tt = 0,1,2,, TT} berlaku PP(SS tt = jj SS tt 1 = ii, SS tt 2 = ii tt 1 ) = PP(SS tt = jj SS tt 1 = ii) = pp iiii untuk semua kemungkinan nilai dari ii 0, ii 1, ii 2,, ii tt 1, ii tt, jj {1,2,3,, NN}. (Ross 1996) Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini SS tt dengan syarat state yang lalu SS 0, SS 1, SS 2,, SS tt 2 dan state sebelumnya SS tt 1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property). Proses di atas dapat digambarkan sebagai N-state rantai Markov dengan peluang transisi pp iiii ii, jj = 1,2,3,, NN. Nilai dari pp iiii menyatakan peluang bahwa, jika proses tersebut berada pada state i, maka berikutnya akan beralih ke state j. Karena pp iiii adalah nilai peluang dan proses tersebut harus bertransisi, maka 1. 0 pp iiii 1, untuk ii, jj {1,2,3,, NN}, dan 2. NN jj =1 pp iiii = 1, untuk ii {1,2,3,, NN}. Peluang transisi ini dapat ditulis dalam bentuk matriks P yang disebut sebagai matriks transisi. pp 11 pp 21 pp NN1 pp PP = pp iiii NN NN = 12 pp 22 pp NN1 pp 1NN pp 2NN pp NNNN dengan j menyatakan baris dan i menyatakan kolom dari matriks P. Terakses Peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i dinotasikan dengan pp (kk) iiii. Suatu state j disebut terakses dari state i (notasi ii jj), jika minimal ada sebuah bilangan bulat kk 0 sehingga pp (kk) iiii > 0 di mana pp (kk) iiii adalah peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i. (Ross 1996)

17 7 Kelas State Kelas state dari suatu rantai Markov, adalah suatu himpunan takkosong SS sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari SS berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota SS yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari SS. (Ross 1996) Rantai Markov Tak Tereduksi Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state (satu gugus tertutup state), yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya. (Ross 1996) First-Passage Time Probability (nn ff ) iiii menyatakan peluang bahwa mulai dari state i, proses bertransisi untuk pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut first-passage time probability. Jadi untuk setiap nn = 1,2,3, (nn ff ) iiii = PP(XX nn = jj, XX kk jj untuk semua 1 kk nn 1 XX 0 = ii) (nn ii, jj {0,1,2, }, dan ff ) iiii = 0 untuk semua ii, jj {0,1,2, }. Selanjutnya, untuk setiap ii, jj {0,1,2, }, didefinisikan ff iiii = (nn ff ) nn =1 iiii. (Ross 1996) Recurrent dan Transient State i disebut recurrent jika ff iiii = 1, dan disebut transient jika ff iiii < 1. (Ross 1996) Reccurent dan Transient (nn State i adalah berulang (recurrent) jika ) nn =0 =. (Ross 1996) Periode, Periodik, dan Aperiodik (nn 1. Suatu state i disebut memiliki periode d jika pp ) iiii = 0 untuk semua n yang tidak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisior) bagi n sehingga (nn pp ) iiii > Suatu state dengan periode = 1 disebut aperiodik, sedangkan state dengan periode 2 disebut periodik. (Ross 1996) Positive Recurrent dan Null Recurrent Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 1996) Ergodic Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic. (Ross 1996) pp iiii

18 8 Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi (nn Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim nn pp ) iiii ada dan nilainya tak tergantung dari i. (nn ππ jj = lim pp ) nn iiii, jj 1. ππ jj adalah solusi unik tak negatif dari NN (Ross 1996) ππ jj = ππ jj pp iiii ii=1 NN ππ jj = 1. jj =1 Vektor Peluang Steady State Vektor peluang ππ = (ππ 1, ππ 2, ππ 3,, ππ NN ), yang setiap komponennya menyatakan bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1,2,3,, NN untuk nn di mana NN PP(SS tt = jj) = PP(SS tt = jj SS tt 1 = ii)pp(ss tt 1 = ii) ii=1 NN = pp iiii PP(SS tt 1 = ii) ii=1 disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena π adalah vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah bilangan tak negatif serta jumlah semua unsurnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state sering juga disebut sebaran stationer, atau sebaran setimbang (equilibrium distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan. (Ross 1996) Algoritme Expectation Maximization (EM) Misalkan {PP θθ, θθ Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada (Ω, F) dan kontinu absolut terhadap PP 0. Misalkan YY F. Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter θ berdasarkan informasi YY adalah LL(θθ) = EE 0 ddpp θθ YY. ddpp 0 Penduga Maximum Likelihood (MLE) didefinisikan oleh θθ arg max LL(xx). θθ ΘΘ Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung, oleh karena itu diperlukan suatu metode aproksimasi berulang, yakni algoritme Expectation Maximization (EM). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah: 1. Tentukan nilai awal parameter θθ kk dengan kk = 0, 2. Tentukan θθ = θθ kk dan hitung QQ(θθ, θθ ) dengan QQ(θθ, θθ ) = EE θθ llllll dd PP θθ YY, ddpp θθ

19 3. Cari θθ kk+1 arg max QQ(θθ, θθ ), 4. Ganti kk dengan kk + 1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih θθ kk+1 dan θθ kk kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan. 1 Misalkan g( x) = log, karena turunan kedua dari gg(xx) selalu positif x 2 gg(xx) = 2 log 1 xx = 1 > 0, xx > 0 xx2 maka gg(xx) merupakan fungsi konveks. Karena log 1 merupakan fungsi xx konveks, maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan θθ kk, kk 0, yang merupakan fungsi Likelihood yang takturun yaitu log LL θθ kk+1 log LLθθ kk QQ θθ kk+1, θθ kk+1. Bentuk QQ(θθ, θθ ) disebut Pseudo Likelihood bersyarat. (Elliot et al. 1995) 9 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut MMMMMMMM = 100% nn AA tt FF tt nn AA tt tt =1 dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, AA tt menyatakan nilai yang sebenarnya, dan FF tt menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 2010) MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA Model Hidden Markov Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik {SS tt, YY tt }. {SS tt } dengan state {1,2,, NN} adalah proses penyebab terjadinya {YY tt } yang tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov. {YY tt } adalah proses observasinya. Karakteristik {SS tt } hanya bisa diamati melalui proses observasinya. Pada saat SS tt berada pada state j (SS tt = jj), proses yang diamati YY tt menyebar normal dengan nilai harapan μμ jj dan ragam σσ jj 2. Fungsi kerapatan peluang bersyarat dari YY tt dengan syarat SS tt = jj adalah

20 10 ff(yy tt SS tt = jj) = 1 exp yy 2 tt μμ jj 2 2ππσσ jj 2σσ jj (1) dengan jj = 1,2,, NN. Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati SS tt berada pada state j adalah PP(SS tt = jj) = ππ jj (2) dengan jj {1,2,, NN}. Karena {SS tt } rantai Markov maka matriks peluang transisinya PP = pp iiii NN NN ppiiii = PP(SS tt = jj SS tt 1 = ii) (3) dengan ii, jj {1,2,, NN}. Dari persamaan (1) dan (2) serta definisi fungsi kerapatan peluang bersyarat, maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama yy tt dan SS tt = jj, yaitu ff(yy tt, SS tt = jj) = ff(yy tt SS tt = jj)pp(ss tt = jj) = ππ jj σσ jj 2ππ exp yy tt μμ jj (4) 2. 2σσ jj Fungsi kerapatan peluang marjinal tak bersyarat dari YY tt diperoleh dengan menjumlahkan ff(yy tt, SS tt = jj) untuk semua kemungkinan nilai dari j, yaitu NN ff(yy tt ) = ff(yy tt, SS tt = ii). (5) ii=1 Dari persamaan (1), (2), (3), (4) dan (5) diperoleh ff(yy 1,, yy TT ) = NN ii 1 =1 NN ii TT =1 ππ ii1 pp ii1 ii 2 pp iitt 1 ii TT ff(yy 1, SS 1 = ii 1 ) ff(yy TT, SS TT = ii TT ). (6) Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter θθ = (μμ, σσ, ππ, P), μμ = (μμ 1, μμ 2,, μμ NN ), ragam σσ = (σσ 1 2, σσ 2 2,, σσ NN 2 ), peluang ππ = (ππ 1, ππ 2,, ππ NN ) dan P = pp iiii NN NN. 2 Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Pada bab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya (Hamilton 1996) sebagai berikut YY tt μμ SStt = φφ YY tt 1 μμ SStt 1 + εε tt (7) di mana εε tt ~NN(0, σσ 2 ) bebas stokastik identik, {YY tt } proses yang diamati dan bernilai skalar, {SS tt } rantai Markov dengan ruang state SS = {1,2} dan matriks transisi PP = pp 11 pp 21 pp 12 pp 22 di mana pp iiii = PP(SS tt = jj SS tt 1 = ii), μμ 1, μμ 2, dan φφ adalah konstanta real. Karena YY tt tidak hanya bergantung kepada SS tt tetapi juga pada SS tt 1, maka agar tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru SS tt di mana

21 11 SS tt = 1 jika SS tt = 1 dan SS tt 1 SS tt = 2 jika SS tt = 2 dan SS tt 1 SS tt = 3 jika SS tt = 1 dan SS tt 1 SS tt = 4 jika SS tt = 2 dan SS tt 1 = 1 = 1 = 2 = 2. (8) Lemma 1 {SS tt } adalah rantai Markov dengan ruang state {1,2,3,4} dan matriks transisi pp 11 0 pp 11 0 PP = pp 12 0 pp pp 21 0 pp 21 0 pp 22 0 pp 22 Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1. Selanjutnya, karena εε tt ~ NN(0, σσ 2 ) bebas stokastik identik maka dapat diperoleh fungsi sebaran bagi εε tt FF εεtt (yy tt ) = PP(εε tt yy tt ) yy tt = 1 2ππσσ exp (εε tt 0) 2 2σσ 2 ddεε tt yy tt = 1 2ππσσ exp (εε tt )2 2σσ 2 ddεε tt. Berdasarkan persamaan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi {YY tt } : FF YYtt (yy tt ) = PP(YY tt yy tt ) = PP φφ YY tt 1 μμ SStt 1 + μμ SStt + εε tt yy tt = PP εε tt yy tt μμ SStt φφ YY tt 1 μμ SStt 1 Misalkan maka dan yy tt μμ SStt φφ YY tt 1 μμ SStt 1 = 1 2ππσσ exp (εε tt )2 2σσ 2 vv = yy tt μμ SStt φφ YY tt 1 μμ SStt 1, vv FF YYtt (yy tt ) = 1 2ππσσ exp (εε tt )2 2σσ 2 ddεε tt ddεε tt. (9)

22 12 ff YYtt (yy tt ) = yy tt FF YYtt (yy tt ) = 1 2ππσσ exp (vv)2 2σσ 2 = 1 exp 2ππσσ yy tt yy tt μμ SStt φφ YY tt 1 μμ SStt 1 2σσ 2 2 (10) 2 = 1 yy tt μμ SStt φφ YY tt 1 μμ 2ππσσ exp SStt 1 2σσ 2. Misalkan YY tt adalah medan-σσ yang dibangun oleh YY 1, YY 2, YY 3,, YY tt. Karena SS tt merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kerapatan peluang bagi YY tt. Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor (4 1) dilambangkan dengan ηη tt, sehingga diperoleh ff(yy tt SS tt = 1, YY tt 1 ) ηη tt = ff(yy tt SS tt = 2, YY tt 1 ) ff(yy tt SS tt = 3, YY tt 1 ) ff(yy tt SS tt = 4, YY tt 1 ) Misalkan 2 1 2ππσσ exp yy tt μμ 1 φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2σσ ππσσ exp yy tt μμ 2 φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2σσ 2 = 2 1 2ππσσ exp yy tt μμ 1 φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2σσ ππσσ exp yy tt μμ 2 φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2σσ 2 (1) ξξ tt tt 1 = ξξ tt tt 1 (2) ξξ tt tt 1 (3) ξξ tt tt 1. (11) (4) ξξ tt tt 1 TT melambangkan vektor (jj ) (4 1) di mana ξξ tt tt 1 pada vektor merepresentasikan PP{SS tt = jj YY tt 1 } dan melambangkan perkalian elemen per elemen, maka PP(SS tt = 1 YY tt 1 ) ff(yy tt SS tt = 1, YY tt 1 ) ξξ tt tt 1 ηη tt = PP(SS tt = 2 YY tt 1 ) ff(yy tt SS tt = 2, YY tt 1 ) PP(SS tt = 3 YY tt 1 ) ff(yy tt SS tt = 3, YY tt 1 ) PP(SS tt = 4 YY tt 1 ) ff(yy tt SS tt = 4, YY tt 1 ) PP(SS (12) tt = 1 YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = 1, YY tt 1 ) = PP(SS tt = 2 YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = 2, YY tt 1 ). PP(SS tt = 3 YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = 3, YY tt 1 ) PP(SS tt = 4 YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = 4, YY tt 1 ) Berdasarkan persamaan (12) maka dapat ditulis PP(yy tt, SS tt = jj YY tt 1 ) = PP(SS tt = jj YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = jj, YY tt 1 ) (13) sehingga diperoleh

23 13 4 ff(yy tt YY tt 1 ) = PP(yy tt, SS tt = jj YY tt 1 ) jj =1 4 = PP(SS tt = jj YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = jj, YY tt 1 ) jj =1 = PP(SS tt = 1 YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = 1, YY tt 1 ) + PP(SS tt = 2 YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = 2, YY tt 1 ) + PP(SS tt = 3 YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = 3, YY tt 1 ) + PP(SS tt = 4 YY tt 1 )ff(yy tt SS tt = 4, YY tt 1 ) = 11 ξξ tt tt 1 ηη tt di mana 11 = [ ]. Berdasarkan persamaan (14) dan (15) maka dapat diperoleh PP yy tt, SS tt = jj YY tt 1 ff(yy tt YY tt 1 ) = PP yy tt,ss tt = jj, YY tt 1 PP(YY tt 1 ) PP(YY tt 1 ) PP(yy tt, YY tt 1 ) = PP yy tt,ss tt = jj, YY tt 1 PP(yy tt, YY tt 1 ) = PP(SS tt = jj, yy tt, YY tt 1 ) PP(yy tt, YY tt 1 ) = PP SS tt = jj yy tt, YY tt 1 = PP(SS tt = jj YY tt ) sehingga berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15) diperoleh PP(SS tt = jj YY tt ) = PP yy tt,ss tt =jj YY tt 1 ff(yy tt YY tt 1 ) (14) (15) (16) (jj ) ξξ tt+1 tt ξξ tt tt = = PP(SS tt+1 = ii YY tt ) 4 ξξ tt tt 1 ηη tt 11 ξξ tt tt 1 ηη tt = PP(SS tt+1 = ii SS tt = jj, YY tt )PP(SS tt = jj YY tt ) jj =1 4 (jj ) = PP(SS tt+1 = ii SS tt = jj, YY tt )ξξ tt tt jj =1 4 (jj ) = pp jjjj ξξ tt tt jj =1 ξξ tt+1 tt = pp 11 ξξ tt tt (1) + pp (3) 11 ξξ tt tt pp 12 ξξ tt tt (1) + pp (3) 12 ξξ tt tt pp 21 ξξ tt tt (2) + pp (4) 21 ξξ tt tt pp 22 ξξ tt tt (2) + pp (4) 22 ξξ tt tt (17)

24 14 = = PPξξ tt tt ξξ tt tt (1) (2) ξξ tt tt (3) ξξ tt tt pp 11 0 pp 11 0 pp 12 0 pp pp 21 0 pp 21 0 pp 22 0 pp 22 (4) ξξ tt tt ξξ tt+mm tt = PP m ξξ tt tt. (18) Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal bagi ξξ tt tt 1 adalah dengan membuat ξξ 1 0 sama dengan vektor dari peluang tak bersyarat ππ = [ππ 1 ππ 2 ππ 3 ππ 4 ] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu ππ = PPππ ππ 1 + ππ 2 + ππ 3 + ππ 4 = 1. Penduga kemungkinan maksimum bagi θθ diperoleh dengan memaksimumkan TT L(θθ) = log ff(yy tt YY tt 1 ; θθ) tt=1 dengan membuat turunan pertama dari log-likehood terhadap parameter θ sama dengan nol, maka diperoleh 1 μμ 1 = QQ TT BB 1 φφ BB 1 φφ φφ + CCφφ 2 (19) + DD di mana TT μμ 2 = φφ = σσ 2 = tt=1 TT tt=1 TT tt=1 TT tt=1 1 RR CC + DDφφ 2 (20) + EE 1 φφ EE 1 φφ φφ 1 SS (21) [(yy tt μμ 1 )2 (BB + CC) + (yy tt 1 μμ 2 )2 (DD + EE)] 1 UU (22) [BB + CC + DD + EE] QQ = BB 1 φφ yy tt φφ yy tt 1 CCφφ yy tt μμ 2 φφ yy tt 1 + DD yy tt φφ yy tt 1 + φφ μμ 2 tt=1 TT RR = EE 1 φφ yy tt φφ yy tt 1 + DDφφ yy tt μμ 1 φφ yy tt 1 + CC yy tt φφ yy tt 1 + φφ μμ 1 tt=1 TT SS = (yy tt μμ 1 ) BB(yy tt μμ 1 ) + DD(yy tt 1 μμ 2 ) tt=1 TT + (yy tt μμ 2 ) CC(yy tt 1 μμ 1 ) + EE(yy tt 1 μμ 2 ) UU = BB (yy tt μμ 1 ) φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2 + CC (yy tt μμ 2 ) φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2 tt=1 + DD (yy tt μμ 1 ) φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2 + EE (yy tt μμ 2 ) φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2.

25 15 Bukti dapat dilihat pada lampiran 2. Karena persamaan (19) sampai (22) taklinear, maka untuk mencari penduga kemungkinan maksimum bagi θ digunakan algoritma iteratif yang merupakan kasus khusus dari prinsip EM. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: 1. Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta input data (yy 1, yy 2, yy 3,, yy TT ). 2. Untuk mm = 0 dan matriks transisi PP (mm) = PP (00) pp 11 0 pp 11 0 pp = 12 0 pp 12 0, 0 pp 21 0 pp 21 0 pp 22 0 pp 22 beri nilai awal bagi θθ yang dilambangkan dengan θθ (mm) = μμ 1, μμ 2, φφ, σσ Cari fungsi kerapatan bersyarat bagi yy TT untuk setiap tt = 1,2,, TT dengan cara ff yy tt SS tt = 1, YY tt 1 ; θθ (mm) ff yy tt SS tt = 2, YY tt 1 ; θθ (mm) ηη tt = ff yy tt SS tt = 3, YY tt 1 ; θθ (mm) ff yy tt SS tt = 4, YY tt 1 ; θθ (mm) 2 1 2ππσσ exp yy tt μμ 1 φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2σσ ππσσ exp yy tt μμ 2 φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2σσ 2 = ππσσ exp yy tt μμ 1 φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2σσ ππσσ exp yy tt μμ 2 φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2σσ 2 4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu t pada contoh dapat diperoleh melalui a. Tentukan nilai awal bagi ξξ tt tt 1 yang dilambangkan dengan ξξ 1 0, b. Beri nilai awal i = 1, c. Untuk t = i, cari nilai dari, ff yy tt YY tt 1 ; θθ (mm ) = 11 ξξ tt tt 1 ηη tt = PP SS tt = 1 YY tt 1 ; θθ (mm) 1 2ππσσ exp (yy tt μμ 1 ) φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2 2σσ 2 +PP SS tt = 2 YY tt 1 ; θθ (mm) 1 2ππσσ exp (yy tt μμ 2 ) φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2σσ 2 2

26 16 +PP SS tt = 1 YY tt 1 ; θθ (mm) 1 2ππσσ exp (yy tt μμ 1 ) φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2σσ 2 +PP SS tt = 1 YY tt 1 ; θθ (mm) 1 2ππσσ exp (yy tt μμ 2 ) φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2σσ 2 PP SS tt = 1 YY tt ; θθ (mm ) PP SS tt = 2 YY tt ; θθ (mm ) ξξ tt tt = PP SS tt = 3 YY tt ; θθ (mm ) = ξξ tt tt 1 ηη tt 11 ξξ tt tt 1 ηη tt PP SS tt = 4 YY tt ; θθ (mm ) PP SS tt+1 = 1 YY tt ; θθ (mm) PP SS tt+1 = 2 YY tt ; θθ (mm) ξξ tt+1 tt = PP SS tt+1 = 3 YY tt ; θθ (mm) = PP ξξ tt tt PP SS tt+1 = 4 YY tt ; θθ (mm) ii = ii + 1. d. Ulangi mulai dari langkah (c) stop jika t = T. Lanjutkan ke Misalkan 1 BB = ff yy tt YY tt 1 ; θθ (mm ) PP SS tt = 1 YY tt 1 ; θθ (mm ) ff yy tt SS tt = 1, YY tt 1 ; θθ (mm ) 1 CC = ff yy tt YY tt 1 ; θθ (mm ) PP SS tt = 2 YY tt 1 ; θθ (mm ) ff yy tt SS tt = 2, YY tt 1 ; θθ (mm ) 1 DD = ff yy tt YY tt 1 ; θθ (mm ) PP SS tt = 3 YY tt 1 ; θθ (mm ) ff yy tt SS tt = 3, YY tt 1 ; θθ (mm ) 1 EE = ff yy tt YY tt 1 ; θθ (mm ) PP SS tt = 4 YY tt 1 ; θθ (mm ) ff yy tt SS tt = 4, YY tt 1 ; θθ (mm ) cari nilai dari 1 μμ 1 = TT BB 1 φφ BB 1 φφ φφ + CCφφ 2 + DD μμ 2 = tt=1 TT tt=1 TT BB 1 φφ yy tt φφ yy tt 1 CCφφ yy tt μμ 2 φφ yy tt 1 tt=1 + DD yy tt φφ yy tt 1 + φφ μμ 2 1 CC + DDφφ 2 + EE 1 φφ EE φφ φφ 2 TT CC yy tt φφ yy tt 1 + φφ μμ 1 + EE 1 φφ yy tt φφ yy tt 1 tt=1 + DDφφ yy tt μμ 1 φφ yy tt 1 2 2

27 17 φφ = TT tt=1 σσ 2 = 1 [(yy tt 1 μμ 1 )2 (BB + CC) + (yy tt 1 μμ 2 )2 (DD + EE)] TT (yy tt μμ 1 ) BB(yy tt 1 μμ 1 ) + DD(yy tt 1 μμ 2 ) tt=1 + (yy tt μμ 2 ) CC(yy tt 1 μμ 1 ) + EE(yy tt 1 μμ 2 ) TT tt=1 6. Cari P yang baru, yaitu 1 [BB + CC + DD + EE] TT BB (yy tt μμ 1 ) φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2 tt =1 + CC (yy tt μμ 2 ) φφ(yy tt 1 μμ 1 ) 2 + DD (yy tt μμ 1 ) φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2 + EE (yy tt μμ 2 ) φφ(yy tt 1 μμ 2 ) 2. (jj ξξ tt TT ) = ξξ tt tt pp iiii = TT tt=2 (jj ) PP (jj ) ξξ tt+1 TT (jj ) ( )ξξ tt+1 tt PP(SS tt = jj, SS tt+1 = ii YY tt ; θθ) TT PP(SS tt+1 = ii YY tt ; θθ) tt=2 PP(SS tt 1 = ii SS tt = jj, YY TT ; θθ) = PP(SS tt = jj YY tt ; θθ)pp(ss tt 1 = ii SS tt = jj, YY TT ; θθ) PP(SS tt = jj YY tt ; θθ)pp(ss tt 1 = ii SS tt = jj, YY tt ; θθ) = PP(SS tt = jj YY tt ; θθ)pp(ss tt 1 = ii SS tt = jj, YY tt ; θθ) PP(SS tt = jj YY tt ; θθ) = PP(SS tt = jj YY TT ; θθ)pp(ss tt 1 = ii YY tt ; θθ)pp(ss tt = jj SS tt 1 = ii; θθ) PP(SS tt = jj YY tt ; θθ) = ξξ tt TT (jj ) (ii) ξξ tt 1 tt 1 (jj ) ξξ tt tt pp iiii NN PP(SS tt 1 = ii YY TT ; θθ) = PP(SS tt 1 = ii, SS tt = jj YY TT ; θθ) pp iiii = TT tt=2 jj =1 ξξ (jj ) tt TT ξξ (ii) tt 1 tt 1 pp TT iiii tt=2 ξξ (jj ) tt tt NN jj =1 ξξ (jj ) tt TT ξξ (ii) tt 1 tt 1 pp iiii ξξ (jj ) tt tt. (Kim 1994) (Hamilton 1996) 7. Untuk mm = 1, ulangi mulai dari langkah 2 stop jika mm = TT. Gunakan parameter yang sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar rupiah yang akan datang.

28 18 E yy tt S tt = jj, YY tt 1 ; θθ (TT) = E φφ yy tt 1 μμ SStt 1 + εε tt + μμ SStt S tt = jj, YY tt 1 ; θθ (TT) = φφ yy tt 1 μμ SStt 1 + μμ SStt YY tt = E yy tt YY tt 1 ; θθ (TT) = yy tt ff yy tt YY tt 1 ; θθ (TT) ddyy tt NN = yy tt PP S tt = jj YY tt 1 ; θθ (TT) ff yy tt S tt = jj, YY tt 1 ; θθ (TT) ddyy tt NN jj =1 (jj ) = ξξ tt tt 1 E yy tt S tt = jj, YY tt 1 ; θθ (TT). jj =1 PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA DAN KAJIAN NUMERIKNYA Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika beserta kajian numeriknya. Namun terlebih dahulu akan dibahas mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan nilai tukar rupiah dan yang terakhir kajian numeriknya. Data Input Nilai Tukar Rupiah Dalam karya ilmiah ini data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulannya. Data tersebut diambil dari laman Data diambil dengan selang waktu antara bulan Juni 1997 hingga Juni 2013 yang berarti terdapat 193 data observasi (yy tt ). Data yang diduga sebanyak 192, data dari Juli 1997 hingga Juni Grafik data disajikan pada Gambar 1.

29 Gambar 1 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Model yang digunakan adalah model hidden Markov satu waktu sebelumnya seperti pada hal 10 yaitu: YY tt μμ SStt = φφ YY tt 1 μμ SStt 1 + εε tt. Berdasarkan model di atas nilai tukar rupiah saat ini diasumsikan tidak hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu sebelumnya, tetapi juga bergantung pada nilai tukar rupiah satu waktu sebelumnya. Pada karya ilmiah Santoso (2008) nilai awal yang digunakan μμ = , φφ = dan σσ = MAPE yang dihasilkan dari nilai awal secara trial and error yang digunakan sebesar 14.58%. Pada tugas akhir ini akan dibangkitkan nilai awal yang tepat agar keakuratan pada model meningkat. Keakuratan dianggap baik bila MAPE < 5%. Penentuan Nilai Awal untuk Penduga Parameter Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya Penentuan Nilai Awal μμ 11, μμ 22 dan φφ Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 1997 hingga Mei 2013(yy tt 1 ) dan bagian kedua data dari Juli 1997 hingga Juni 2013(yy tt ). Kedua bagian data tersebut dicari nilai rataannya. Data pertama didapatkan nilai rataannya sebesar (rat1) dan data kedua didapatkan nilai rataannya sebesar (rat2). Nilai awal untuk parameter μμ 1 dan μμ 2 yang digunakan dibangkitkan menggunakan sebaran di sekitar rataan nilai datanya yaitu [9000,9200]. Nilai rataan kedua data yang didapatkan kemudian menjadi selang nilai acuan untuk membangkitkan parameter μμ 1 dan μμ 2. Pembangkitan nilai awal dengan satu kali iterasi untuk μμ 1 dan μμ 2 nilai yang digunakan adalah dan

30 20 Setelah didapatkan nilai rataannya, diplot nilai dari data yang ada dikurangi dengan nilai rataannya. Nilai yang akan diplot adalah yy = yy tt rrrrtt2 terhadap xx = yy tt 1 rrrrrr1. Persamaan baru yang didapatkan yaitu YY = xx. (23) Gambar 2 Plot persamaan baru dari data yang ada dikurangi rataannya. Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model yang digunakan sehingga dapat digunakan untuk acuan pembangkitan nilai awal φφ. Nilai awal φφ yang digunakan adalah , didapatkan dari persamaan (23). Penentuan Nilai Awal P Sedangkan untuk nilai awal P, dibangkitkan secara acak dari interval peluangnya [0,1] karena 0 pp iiii 1. Hasil dari satu kali iterasi nilai awal yang digunakan untuk P adalah Penentuan Nilai Awal σσ Nilai awal untuk σσ yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai [100,2000] yang merupakan selang nilai dari standar deviasinya. Standar deviasi dari data yang digunakan sebesar Hasil dari satu kali iterasi nilai awal untuk σσ yang dibangkitkan dan digunakan adalah Hasil Progam Dari bagian sebelumnya nilai awal yang digunakan untuk membangkitkan dugaan nilai tukar rupiah adalah μμ 1 = , μμ 2 = , = 0.79,

31 PP = dan σσ = Galat nilai dugaan yang ditunjukan oleh MAPE adalah 4.14%, diperoleh hanya melalui satu kali proses iterasi seperti yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini model dianggap baik apabila MAPE < 5%. Hasil dari nilai dugaan yang didapatkan mendekati nilai tukar rupiahnya, menandakan bahwa hasil yang didapatkan cukup baik dan lebih akurat dibandingkan dengan hasil akhir dari Santoso (2008) dengan MAPE sebesar 14.58%. Nilai tukar rupiah dan nilai dugaannya tertera pada Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada Gambar Nilai Sebenarnya Nilai Dugaan Gambar 3 Perubahan nilai tukar rupiah terhadap dolar Amerika per bulan dan nilai dugaan yang didapatkan SIMPULAN Penentuan nilai awal yang tepat bagi parameter yang digunakan pada model akan mempengaruhi keakuratan nilai akhir yang didapatkan. Nilai awal yang digunakan dibangkitkan menggunakan software Mathematica 9.0. Nilai awal yang didapatkan pada karya ilmiah ini menghasilkan nilai akhir yang baik. Parameter dan nilai awal yang digunakan adalah μμ 1 = , μμ 2 = , = 3.94, PP = 0.87 dan σσ = Hasil akhir dianggap baik jika MAPE < 5%. MAPE 0.75 yang didapatkan sebesar 4.14% lebih baik dibandingkan hasil akhir Santoso (2008) dengan MAPE sebesar 14.58%.

32 22 DAFTAR PUSTAKA Elliot RJ, Aggoun L, Moore JB Hidden Markov Models Estimation and Control. New York (US): Springer-Verlag. Grimmet GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford (GB): Oxford Univ Pr. Hamilton J D Time Series Analysis. New Jersey (US): Princenton Univ Pr. Hogg RV, Craig AT Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. New Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs. Krantz SG Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhäuser. Kim CJ Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of Econometrics 60:1-22. Mynsbrugge JV Bidding strategies using price based unit commitment in a deregulated power market [tesis]. Belgium (BE): K.U.Leuven. Ross SM Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons. Royden HL Real Analysis. New York (US): The Macmilan Company. Santoso DH Pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika menggunakan deret waktu hidden markov satu waktu sebelumnya [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Stewart J Kalkulus Jilid I. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga. Osborne MJ Concave and Convex Function of Many Variables. Canada (CA): University of Toronto. Wong E, Hajek B Stochastic Processes in Engineering System. New York (US): Springer-Verlag.

33 23

34 24

35 25

36 26

37 27

38 28

39 29

40 30

41 31

42 32

43 33

44 34

45 35

46 36

47 Lampiran 3 Progam untuk mencari nilai dugaan dan MAPE minimum menggunakan software Mathematica

48 38 YY tt μμ SStt = φφ YY tt 1 μμ SStt 1 + εε tt YY = x

49 39

50 40 k 1

51 41

52 42

53 43 Lampiran 4 Nilai tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika dan nilai dugaannya t Nilai Rupiah Nilai Dugaan t Nilai Rupiah Nilai Dugaan

54 44 t Nilai Rupiah Nilai Dugaan t Nilai Rupiah Nilai Dugaan

55 45 t Nilai Rupiah Nilai Dugaan MAPE %

56 46 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 10 Juni 1989 dari pasangan Bapak Subiyanto dan Ibu Endah Mustika Hidayat. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis menempuh pendidikan di SMA Negeri 4 Malang. Penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur SPMB. Penulis memilih jurusan Matematika, fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. juga pernah menjadi panitia pada acara Welcome Ceremony Mathematics 2009, Pesta Sains Nasional Institut Pertanian Bogor 2009, dan beberapa try out yang diadakan untuk mahasiswa TPB pada tahun 2009 dan 2010.