MEAN SQUARE DEVIATION PROBABILITY. Abstrak. Kata kunci: markov switching, smoothed probability, mean square deviation probability

Transkripsi

1 MEA SQUARE DEVIAIO PROBABILIY MUHAMMAD FAJAR Abstrak Dalam penelitian ini, penulis mengusulkan ukuran kebaikan model markov switching (new criteria for markov switching model) yang mengakomodir nilai probabilitas yang dihasilkan model tersebut. Ukuran yang dimaksud adalah mean square deviation probability (MSDP), didalamnya menggunakan smoothed probability yang dihasilkan dari model markov switching. Kata kunci: markov switching, smoothed probability, mean square deviation probability I. PEDAHULUA AIC adalah salah satu ukuran relatif kebaikan fit dari model statistik. Ukuran tersebut pertama kali diterbitkan oleh Akaike pada tahun Hal ini didasarkan pada konsep entropi informasi, pada dasarnya menawarkan ukuran relatif dari informasi yang hilang ketika sebuah model yang diberikan digunakan untuk menggambarkan realitas dan mempertimbangkan banyaknya parameter dalam model. Pada perumusan AIC mengakomodir jumlah residual kuadrat (yang merupakan perbedaan dari nilai aktual observasi dengan fitted value-nya yang dihasilkan model pada umumnya. Khusus model markov switching bukan hanya melibatkan nilai aktual yang bersifat observable dalam proses estimasi, tetapi juga melibatkan probabilitas yang bersifat hidden. Sehingga model markov switching bukan hanya menghasilkan fitted value tetapi juga menghasilkan estimasi nilai probabilitas, yakni matriks transisi, filtered dan smoothed probability. Oleh karena itu, dalam penelitian ini, penulis mengusulkan suatu ukuran kebaikan model untuk model markov switching yang mengakomodir nilai probabilitas sebagai bagian dari parameter model markov switching. II. KAJIA PUSAKA 2.1 Markov Switching Model Andaikan variabel acak yang ingin diteliti adalah y t dan mengikuti sebuah proses yang tergantung pada nilai dari rezim s t yang bersifat diskrit dan tidak teramati. Diasumsikan terdapat rezim, suatu kondisi berada pada rezim n di periode t ketika s t = n, untuk n = 1,,. Model switching mengasumsikan terdapat perbedaan model regresi pada setiap rezim. Diberikan regresor X t dan Z t, conditional mean dari y t pada rezim n diasumsikan model linier: μ t (n) = X t β n + Z t δ (1) dengan β n dan δ masing-masing sebanyak k X dan k Z vektor koefisien. Koefisien β n untuk X t yang diberi indeks rezim n dan koefisien δ untuk Z t adalah invariant rezim. Kemudian diasumsikan bahwa eror dari regresi mengikuti distribusi normal dengan varians bergantung pada rezim, berikut pemodelannya: y t = μ t (n) + σ(n)ε t (2) dengan s t = n, ε t (eror) i.i.d berdistribusi normal, σ adalah standar deviasi dari eror pada rezim n, σ(n) = σ n. Fungsi likelihood atas persamaan (2) berikut pada periode t: L t (β, δ, σ, γ) = 1 σ n n=1 φ ( y t μ t (n) σ n ) P(s t = n I t 1, γ) (3)

2 dengan β = (β 1,, β ), σ = (σ 1,, σ ), γ adalah parameter yang menentukan probabilitas rezim, φ(. ) Fungsi densitas normal standar, I t 1 adalah set informasi pada periode t 1. Dalam kasus sederhana γ merupakan probabilitas rezim. Dari persamaan (3) dapat dibentuk full loglikelihood sebagai berikut: l(β, δ, σ, γ) = log ( 1 σ n t=1 n=1 φ ( y t μ t (n) ) P(s σ t = n I t 1, γ)) n (4) dalam proses estimasi persamaan (4) dimaksimumkan terhadap (β, δ, σ, γ). Dalam kasus sederhana, probabilitas bernilai konstan. Lebih umum, asumsi probabilitas bergerak (varying probabilities) bahwa p n adalah sebuah fungsi dari vektor variabel eksogen G t 1 dan koefisien γ diparameterisasi menggunakan spesifikasi logit multinomial P(s t = n I t 1, γ) = p n (G t 1, γ) = exp(g t 1 γ n ) (5) exp(g t 1 γ n ) untuk γ = (γ 1 γ 2 γ n ) dengan mengidentifikasi normalisasi γ n = 0. Pada kasus khusus probabilitas dianggap konstan dengan asumsi G t 1 = 1. Kemudian masukkan persamaan (5) ke persamaan (4) menjadi: l(β, δ, σ, γ) = log ( 1 σ n t=1 n=1 φ ( y t μ t (n) ) p σ n (G t 1, γ)) n (6) Untuk proses estimasi parameter, maka persamaan (6) dimaksimukan terhadap (β, δ, σ, γ) dengan menggunakan iterasi karena beberapa parameter tidak teramati (laten) Filtering Persamaan (6) tergantung pada one-step ahead probability pada sebuah rezim P(s t = n I t 1, γ). Perhatikan, bahwa pengamatan nilai variabel dependen dalam periode yang diberikan memberikan informasi tambahan tentang efek rezim yang masuk. Informasi tersebut digunakan untuk memperbaharui (updating) estimasi probabilitas rezim. Proses estimasi probablitias rezim yang diperbaharui secara iterasi disebut filtering. Dengan menggunakan teorema Bayes dan probabilitas bersyarat, maka filtered probability dirumuskan sebagai berikut: P(s t = n I t ) = P(s t = n y t, I t 1 ) = f(y t s t = n, I t 1 )P(s t = n I t 1 ) f(y t I t 1 ) (7) Sisi kanan persamaan (7) berhubungan dengan persamaan (5) sehingga: Markov Chain 1 φ ( y t μ t (n) ) p σ P(s t = n I t ) = n σ(n) n (G t 1, γ) 1 φ ( y t μ t (j) ) p σ j σ(j) j (G t 1, γ) (8) Asumsi Markov first order adalah probabilitas bahwa s t = j tergantung dari dari masa lalu s t 1, dapat dituliskan: p(s t = j s t 1 = i, s t 2 = h, ) = p(s t = j s t 1 = i) = p ij (t) (9) Probabilitas pada persamaan (9) diasumsikan time invariant sehingga p ij (t) = p ij untuk semua t. Berdasarkan banyaknya rezim dan asumsi markov tersebut dapat dibentuk matriks transisi:

3 p 11 (t) p 1 (t) p(t) = ( ) p 1 (t) p (t) dengan p ij merepresentasikan bahwa probabilitas transisi bergerak dari rezim i pada periode t 1 ke rezim j pada periode t. Dengan mendefinisikan setiap baris ke-i pada matriks: p ij (G t 1, γ i ) = exp(g t 1 γ ij ) exp(g t 1 γ is ) s=1 (10) Untuk j = 1,, dan i = 1,, dengan normalisasi γ i = 0. Umumnya, model markov switching dispesifikasikan adalah probabilitas konstan, jadi G t 1 hanya mengandung konstanta (tetap). Akibat properti Markov dari probabilitas transisi harus dievaluasi secara rekursif. Secara singkat, setiap rekursi langkah dimulai dengan tahapan filtering pada probabilitas untuk periode sebelumnya. Diberikan filtered probability, P(s t 1 = n I t 1 ), proses rekursi dapat dijelaskan ke dalam empat langkah: 1. Pertama bentuklah prediksi one step ahead dari probabilitas rezim menggunakan rumus dasar probabilitas dan matriks probabilitas transisi: P(s t = n I t 1 ) = P(s t = n s t 1 = j)p(s t 1 = j I t 1 ) = p jm (G t 1, γ j )P(s t 1 = j I t 1 ) (11) 2. Selanjutnya, gunakan probabilitas one-step ahead dari sebelumnya ke bentuk densitas gabungan one-step ahead dari data dan rezim pada periode t: f(x t, s t = n I t 1 ) = 1 φ ( y t μ t (n) ) P(s σ n σ(n) t = n I t 1 ) (12) 3. Kontribusi likelihood untuk periode t ditentukan dengan penjumlahan joint probability diantara rezim tidak teramati untuk mendapatkan distribusi marginal data teramati L t (β, δ, σ, γ) = f(y t I t 1 ) = f(y t, s t = j I t 1 ) (13) 4. Langkah akhir untuk untuk mendapatkan filtered probability dengan menggunakan persamaan (12) untuk memperbaharui prediksi one-step dari probabilitas: P(s t = n I t 1 ) = f(x t, s t = n I t 1 ) f(x t, s t = j I t 1 ) (14) Langkah-langkah tersebut diulangi untuk setiap periode, t = 1,,. Karena proses iterasi untuk estimasi pada markov switching membutuhkan inisial filtered probability, P(s 0 = n I 0 ), atau alternatif dengan inisial probabilitas rezim one-step ahead P(s 1 = n I 0 ). otal likelihood diperoleh dengan menjumlahkan persamaan (13), kemudian untuk mendapatkan estimasi dari parameter dengan memaksimumkan fungsi total likelihood terhadap (β, δ, σ, γ) dengan proses iterasi.

4 2.1.3 Smoothing Estimasi probabilitas rezim bisa ditingkatkan dengan menggunakan semua informasi pada sampel. Dalam proses smoothing, estimasi probabilitas rezim pada periode t menggunakan himpunan informasi pada periode final, I, hal ini berbeda pada tahap filtering yang menggunakan informasi pada titik waktu tersebut (contemporaneous information) I t. Secara intuisi, penggunaan informasi tentang realisasi masa depan dari variabel dependen y s (s > t) dapat meningkatkan akurasi estimasi dalam rezim n pada periode t karena matriks probabilitas transisi berhubungan secara serempak pada fungsi likelihood pada periode yang berbeda-beda. Kim (1994) menunjukkan bahwa: P(s t = i, s t+1 = j I ) = P(s t = i s t+1 = j, I )P(s t+1 = j I ) (15) = P(s t = i, s t+1 = j I t ) P(s P(s t+1 = j I t ) t = j I ) (16) Persamaaan (15) bergerak ke persamaan (16) menunjukkan bahwa jika s t+1 diketahui, maka tidak terdapat informasi tambahan tentang s t pada y t+1,, y. Smoothed probability, P(s t = i I ), pada periode t ditentukan dengan memarjinalisasi joint probability terhadap s t+1 : P(s t = i I ) = P(s t = i, s t+1 = j I ) (17) Semua komponen pada sisi kanan persamaan (15) ditentukan sebagai bagian dari tahap filtering. Diberikan himpunan filtered probability, dengan memberikan inisial pada smoothed probability menggunakan P(s = j I ) dan iterasi penghitungan persamaan (16) dan (17) untuk t = 1,,1 sehingga mendapatkan smoothed probability. Dalam proses iterasi komputasi diperlukan inisialisasi pada filtered probability pada periode 0, P(s 0 = n I 0 ). Proses estimasi parameter dalam model markov switching diawali pemberian initial value sebagai nilai awal parameter, kemudian proses selanjutnya adalah tahap filtering, lalu tahap smoothing. Proses iterasi berakhir ketika semua nilai estimasi untuk parameter mencapai kestabilan. III. PEMBAHASA Model markov switching bukan hanya melibatkan nilai aktual yang bersifat observable dalam proses estimasi, tetapi juga melibatkan probabilitas yang bersifat hidden. Sehingga model markov switching bukan hanya menghasilkan fitted value tetapi juga menghasilkan estimasi nilai probabilitas, yakni matriks transisi, filtered dan smoothed probability. Khusus smoothed probability, berguna untuk penanggalan siklus bisnis (Petturson, 2000), maksudnya periodisasi rezim pada siklus bisnis (misalkan dari titik waktu 1996 Q1 sampai 2000 Q2 adalah periode rezim resesi, dan 2000 Q3 sampai 2015 Q2 adalah periode rezim ekspansi). Jika didalam suatu penelitian menetapkan dua rezim, yaitu resesi dan ekspansi sehingga smoothed probability bersifat mirroring, misalnya ketika pada titik waktu tertentu memiliki nilai smoothed probability resesi sebesar 0.2, maka smoothed probability ekspansi sebesar 0.8 dan karena smoothed probability resesi kurang dari 0.5 (apabila nilai smoothed probability resesi kurang dari 0.5 (Hamilton, 1989), maka titik waktu tersebut termasuk dalam periode ekspansi. Kemudian apabila nilai smoothed probability resesi lebih dari atau sama dengan 0.5, maka titik waktu tersebut termasuk dalam periode rezim resesi. Sehingga atas dasar itu dapat dicocokkan antara smoothed probability pada titik waktu dengan realitas rezim yang terjadi pada titik waktu yang sama. Contoh pada kasus Indonesia, misalkan smoothed probability resesi yang dihasilkan suatu model markov switching pada tahun 1998 Q Q1 berturut-turut adalah 0.99, 0.98, 0.97, dan 0.96 dan pada periode tersebut termasuk dalam masa krisis ekonomi Indonesia sehingga probabilitas resesi pada periode 1998 Q Q1 pada tiap kuartalnya adalah 1 (nilai probabilitas sebesar 1 menyatakan peristiwa rezim resesi telah terjadi). Atas dasar itulah, penulis

5 mengusulkan ukuran yang mengakomodir aspek probabilitas dari model markov switching yang disebut mean squared deviation probability (MSDP). Dalam perumusannya, MSDP memasukkan unsur perbedaan nilai probabilitas antara smoothed probability rezim tertentu dengan realitas rezim yang terjadi pada titik waktu, dimana perumusannya berdasarkan analogi penghitungan mean squared error (MSE), berikut perumusan MSE: MSE = 1 ( t t) 2 dengan: t : nilai aktual; t: nilai prediksi. Maka MSDP yang mengakomodir sisi probabilitas dirumuskan sebagai berikut: t=1 MSDP = 1 (R t P(s t = i I )) 2 (18) (19) dengan: R t : probabilitas bernilai 1 jika titik waktu tersebut termasuk dalam rezim resesi dan bernilai 0 untuk lainnya (dalam analogi MSE, R t adalah nilai aktual). p(s t = 1 x ; ς): smoothed probability resesi pada titik waktu t (dalam analogi MSE, P(s t = i I ) adalah nilai prediksi) yang dihasilkan persamaan (82) pada saat iterasi sudah konvergen. Berdasarkan persamaan (19) merupakan MSDP untuk model markov switching tanpa adanya autoregressive. amun, jika persamaan (19) diterapkan untuk penentuan order pada model markov switching autoregressive, maka: MSDP (d) = 1 d (R t P(s t = i I )) 2 (20) dengan d: order dari model markov switching autoregressive. Model markov switching autoregressive order (d) terbaik dipilih dari beberapa kandidat model berdasarkan model yang menghasilkan MSDP minimum: min d ( 1 d (R t P(s t = i I )) 2 ) (21) Perbedaan MSDP pada persamaan (19) dan (20) dengan P (turning point) oleh Hamilton dan Quiroz (1996) adalah jika P menggunakan filtered probability dan MSDP menggunakan smoothed probability. IV. APLIKASI Sebagai contoh penerapan MSDP, penulis menggunakan data penelitian Hamilton (1994) yang digunakan untuk memodelkan siklus bisnis dengan salah satu model markov switching autoregressives, yaitu MSM (markov switching in mean)-ar(4), yaitu pertumbuhan PB riil periode 1951 Q Q4, dimana MSM-AR (d) dirumuskan sebagai berikut: (g t ε st ) = ρ 1 (g t 1 ε st 1 ) + + ρ d (g t d ε st d ) + ι t dengan: g t : pertumbuhan PB riil, ρ d : koefisien autoregressive pada order d, ε st : mean pertumbuhan PB riil pada rezim s, dan ι t : random eror. Penulis juga akan mengestimasi MSM-AR (1), MSM-AR (2), MSM-AR (3), MSM-AR (4). Lalu penulis meninjau AIC dan MSDP dari setiap model, tetapi tidak dijelaskan secara gamblang Hamilton (1989) memilih model MSM-AR (4). amun penulis menduga bahwa alasan menggunakan model MSM-AR (4) karena data yang digunakan adalah data dengan level waktu kuartal. Kemudian tabel 3.1 menyajikan periode resesi USA yang dikeluarkan resmi oleh BER, sehingga penulis dapat menghitung MSDP dari setiap model berdasarkan persamaan (21) dan tabel 3.2 menyajikan hasil estimasi MSM-AR (1), MSM-AR (2), MSM-AR (3), dan MSM-AR (4).

6 abel 3.1 Periode Resesi USA, 1951 Q Q4 Periode Rezim Periode Rezim Keterangan 1953 Q Q2 Resesi 1973 Q Q1 Resesi 1957 Q Q2 Resesi 1980 Q Q3 Resesi 1960 Q Q1 Resesi 1981 Q Q4 Resesi 1969 Q Q4 Resesi Sumber: BER Probabilitas Resesi pada tiap titik waktu dalam periode resesi bernilai 1 abel 3.2 Hasil Estimasi MSM-AR Berdasarkan Data Penelitian Hamilton (1989) MSM-AR(1) MSM-AR(2) MSM-AR(3) MSM-AR(4) ε [0.0000] [0.5193] [0.0000] [0.0000] ε [0.0000] [0.0000] [0.2727] [0.1905] ρ [0.0719] [0.0004] [0.1911] [0.9136] ρ [0.3588] [0.5396] [0.6868] ρ [0.2011] [0.0258] ρ [0.0630] AIC MSDP sumber: pengolahan penulis, menggunakan Eviews 9.5 versi Demo, [. ] menyatakan p-value. Berdasarkan tabel 3.2, diketahui bahwa MSM-AR(1) memiliki nilai AIC paling rendah diantara model lainnya, yaitu tetapi MSM-AR (1) memiliki MSDP paling tinggi diantara model lainnya yaitu Sedangkan MSDP paling rendah yakni dimiliki MSM-AR (4). ilai berarti perbedaan smoothed probability rezim resesi dengan realitas resesi yang terjadi sangat kecil dan berimplikasi kepada periodisasi rezim yang makin mendekati kenyataan periode yang terjadi. Contoh di atas juga menunjukkan bahwa belum tentu model markov switching yang memiliki AIC minimum memberikan akurasi prediksi periodisasi rezim resesi (atau rezim lainnya) dalam siklus bisnis yang baik, ini diindikasikan dari MSDP yang besar dibandingkan model lainnya yang memiliki MSDP lebih rendah tetapi memiliki AIC yang lebih besar. Untuk contoh selanjutnya, penulis menggunakan kurs tengah rupiah terhadap dollar USA periode 1985 Q1 sampai dengan 2010 Q1, dimana 1985 Q Q2 sebagai rezim mengambang terkendali dan 1997 Q3 sampai 2010 Q1 didefinisikan sebagai rezim sistem nilai tukar mengambang bebas. Penulis mengajukan model MSM-AR (2), MSM-AR (3), MSM-AR (4) sebagai kandidat model. abel 3.3 Hasil Estimasi MSM-AR Berdasarkan Data Kurs engah Rupiah erhadap US Dollar 1985 Q Q1 MSM-AR(2) MSM-AR(3) MSM-AR(4) ε [0.000] [0.0000] [0.0000] ε [0.000] [0.000] [0.000] ρ [0.113] [0.000] [0.000] ρ [0.000] [0.258] [0.143] ρ [0.616] [0.056] ρ [0.001] AIC MSDP sumber: pengolahan penulis, menggunakan Eviews 9.5 versi Demo, [. ] menyatakan p-value.

7 abel 3.3 menyajikan hasil estimasi kandidat model MSM-AR (2), MSM-AR (3), dan MSM-AR (4). Berdasarkan tabel 3.4 AIC minimum dimiliki model MSM-AR (4), sedangkan MSDP minimum dimiliki model MSM-AR (2) (dimana perbedaan MSDP dari kandidat model sangat kecil). Pada kasus ini menunjukkan juga bahwa model yang memiliki AIC minimum belum tentu memiliki MSDP minimum. Penggunaan MSDP dan AIC tergantung tujuan penelitian apakah untuk mengidentifikasi periodisasi rezim atau peramalan nilai. Jika penelitian bertujuan untuk mengidentifikasi periodisasi rezim, maka gunakan MSDP, dan jika penelitian bukan bertujuan untuk periodisasi rezim, maka gunakan AIC atau sejenisnya. V. KESIMPULA DA SARA 5.1 Kesimpulan Bahwa salah ukuran untuk memilih model markov switching terbaik yang mengakomodir nilai probabilitas rezim adalah mean square deviation probability (MSDP) yang analogi dengan MSE, berikut perumusan MSDP dari model markov switching: MSDP = 1 (R t P(s t = i I )) 2 Sedangkan untuk MSDP dari model markov switching autoregressive order d adalah: 5.2 Saran MSDP (d) = 1 d (R t P(s t = i I )) 2 MSDP menjadi kredibel diterapkan di Indonesia pada fenomena siklus bisnis, jika otoritas ekonomi Indonesia membuat pengumuman resmi perihal keadaan resesi dan ekspansi perekonomian. Kemudian perlu dikaji properti MSDP dan perbedaan properti antara P dengan MSDP. REFERESI Akaike, H A ew Look at the Statistical Model Identification. IEEE. ransaction on Automatic Control, AC-19, Goodwin,.H Business Cycle Analysis with a Markov switching Model. Journal of Business & Economic Statistics 11 o. 3: Hamilton, J.D ime series Analysis. Princeton, Princeton University Press. Hamilton, J.D A ew Approach to the Economic Analysis of onstationary time series and the business cycle. Econometrica 57: Hamilton, J. D Analysis of ime Series Subject to Changes in Regime. Journal of Econometrics 45: Hamilton, J. D., dan Quiroz, G.P What Do the Leading Indicators Lead?. he Journal of Business, Vol.69, o.1, pp

8 Hamilton, J. D Regime-Switching Models (prepared for: Palgrave Dictionary of Economics). Melalui [19/08/16]. Kim, C.J Dynamic Linear Models with Markov-Switching. Journal of Econometrics 60(1): Kim, C. J. dan Charles R State-Space Models with Regime Switching. Cambridge, he MI Press. Petturson,. G Business Cycle Forecasting and Regime Switching. Central Bank of Iceland Working Paper no.7. BER. (2016). US Business Cyce Expansion and Contractions. /cycles/cyclemain.html. Diakses pada tanggal 2 Desember 2016.