OPTIMASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN MODEL HIDDEN MARKOV DAN APLIKASINYA PADA SAHAM BUMI RESOURCES Tbk KASTOLAN

Transkripsi

1 OPTIMASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN MODEL HIDDEN MARKOV DAN APLIKASINYA PADA SAHAM BUMI RESOURCES Tbk KASTOLAN ` SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov dan Aplikasinya pada Saham Bumi Resources Tbk adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2011 Kastolan NRP G

3 ABSTRACT KASTOLAN. Point and Figure Portfolio Optimization Using Hidden Markov Models and its Application on the Stock of Bumi Resources Tbk. Under supervision of BERLIAN SETIAWATY and N.K. KUTHA ARDANA. The problem of portfolio optimization is to select a trading strategy which maximizes the expected terminal wealth. Since in a real-world market the stocks are traded at discrete random times, we are interested in a time sampling method. The time sampling process obtains sampling of stock price used in point and figure chart. Point and figure chart only displays up or down movements of unbalanced stock price. The basic idea is to describe essential movements of the unbalance stock price using a hidden Markov model. Parameters of this model are transition probability matrices. They are estimated using maximum likelihood method and expectation maximization algorithm. The estimation procedure involves change of measure. The estimation of parameters uses computer algebraic systems on the Mathematica 8.0. The model is then applied to the stock price of Bumi Resources Tbk from January 2 nd 2007 until January 31 st The estimated parameters are used to calculate the optimal portfolio using a recursive algorithm. The results of this study show that the discrete hidden Markov model can be applied to describe essential movements of the stock price. The best result gives 93.63% accuracy of the estimate of observation sequence with mean absolute percentage error (MAPE) 3.63% and 5 factors causing the event. The numerical calculation shows that the optimal logarithmic PF-portfolio increases the wealth. Keywords: point and figure portfolio, optimization portfolio, discrete hidden Markov model, expectation maximization algorithm.

4 RINGKASAN KASTOLAN. Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov dan Aplikasinya pada Saham Bumi Resources Tbk. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan N.K. KUTHA ARDANA. Keputusan investasi pada dasarnya menyangkut masalah pengalokasian aset pada periode tertentu, di mana investor berusaha memaksimumkan return (imbal hasil) dengan tingkat risiko tertentu yang dapat diterima. Kumpulan investasi yang dimiliki oleh perorangan atau institusi disebut portofolio. Portofolio tersebut terdiri dari aset bebas risiko dan aset berisiko (saham). Saham adalah surat berharga sebagai bukti kepemilikan individu atau institusi atas suatu perusahaan. Dalam pasar dunia, saham diperdagangkan dalam waktu kontinu tetapi dalam kenyataannya investor mengambil keputusan untuk menjual atau membeli saham berada dalam waktu diskret. Oleh karena itu perlu proses diskretisasi waktu, yaitu sampling waktu yang menghasilkan harga saham tidak seimbang (naik atau turun). Pada setiap sampel waktu berkorespondensi dengan sampel harga saham saat itu. Sampel harga saham tersebut dapat digambarkan dalam bentuk diagram, yaitu point and figure chart (diagram PF). Portofolio yang hanya mendasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Pergerakan naik-turunnya harga saham merupakan masalah stokastik, yaitu masalah yang terkait dengan peluang suatu kejadian. Pergerakan harga saham diakibatkan oleh suatu penyebab yang dapat berupa faktor ekonomi, politik, keamanan, dan sebagainya. Jika penyebab kejadian tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model hidden Markov (HMM). Misalnya X = {X : k N} adalah rantai Markov yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω, F, P) dengan state berhingga yang bersifat homogen dan diasumsikan tidak diamati secara langsung. Proses Y = {Y : k N} adalah proses observasi dan berada pada range data yang diskret. Pasangan proses stokastik {(X, Y )} disebut model hidden Markov diskret. Model hidden Markov diskret (Elliott et al. 1995) yang dibahas berbentuk: X = AX + V Y = CX + W, k N di mana: 1. {X : k N} merupakan rantai Markov homogen yang tidak diamati dengan ruang state S = {e, e,, e } di mana e merupakan vektor satuan di R ; 2. {Y : k N} adalah proses observasi pada range data yang diskret dengan ruang state S = {f, f,, f } di mana f merupakan vektor satuan di R ;

5 3. A = a adalah matriks peluang transisi dengan a = P(X = e X = e ) yang memenuhi a = 1 dan a 0; 4. C = c adalah matriks peluang transisi dengan c = P(Y = f X = e ) yang memenuhi c = 1 dan c 0. Parameter model hidden Markov diskret di atas adalah matriks peluang transisi A dan C serta nilai harapan dari proses pengamatan. Parameter tersebut diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan algoritme Expectation Maximization (EM). Pendugaan parameter yang dilakukan adalah sebagai berikut. 1. Pendugaan state, yaitu γ (X ) = q = c (Y ) q, e a, 2. Pendugaan banyaknya lompatan, yaitu γ, (J ) = c (Y ) γ, (J ), e a + c (Y ) q, e a e, 3. Pendugaan lamanya waktu kejadian, yaitu γ, (O ) = c (Y ) γ, (O ), e a + c (Y ) q, e a, 4. Pendugaan proses observasi, yaitu γ, (T ) = c (Y ) γ, (T ), e a + M q, e Y, f c a, di mana c = Ce = c, c,, c adalah kolom ke-j dari matriks C = c dan a = Ae = a, a,, a adalah kolom ke-j dari matriks A = a. Hasil pendugaan parameter model adalah ) ) a (k + 1) = γ (J γ (O ) dan c (k + 1) = γ (T γ (O ). Selanjutnya nilai harapan bersyarat Y jika diketahui Y adalah Y = E[Y Y ] = c q (e )f. Pendugaan parameter model tersebut berupa pendugaan rekursif. Sebelum melakukan pendugaan parameter model terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran peluang. Perubahan ukuran peluang dilakukan untuk memperkaya struktur matematik dan mempermudah perhitungan matematik. Perubahan ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang menjadi peluang baru. Berdasarkan ukuran peluang baru akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asal. Perubahan ukuran peluang ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym. Selanjutnya dirancang suatu program komputasi untuk pendugaan parameter menggunakan software Mathematica 8.0, yaitu suatu program Komputasi Aljabar Matematika. Pada proses pendugaan parameter model ini, diambil banyaknya penyebab kejadian N = 2, 3, 4,, 10 dengan kriteria ketepatan dugaan barisan observasi yang maksimum. Model tersebut diaplikasikan pada harga saham Bumi Resources Tbk. Data input penelitian berupa harga saham harian (close-to-close) Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari Berdasarkan ide pokok diagram point and figure dilakukan diskretisasi (sampling) waktu perdagangan saham, yaitu

6 waktu-waktu yang menghasilkan harga saham naik (up) atau turun (down). Hasil proses sampling waktu tersebut menghasilkan barisan observasi {Y, Y,, Y } yang mengambil nilai {d, u} di mana d untuk harga saham turun dan u untuk harga saham naik. Hasil komputasi menunjukkan bahwa model hidden Markov yang paling baik menjelaskan perilaku urutan proses observasi terjadi pada banyaknya penyebab kejadian N = 5. Dari hasil komputasi untuk N = 5 diperoleh ketepatan dugaan barisan observasi sebesar 93.63% dan Mean Absolute Percentage Error (MAPE) sebesar 3.63%. Selanjutnya dilakukan proses optimasi portofolio point and figure. Dengan menggunakan fungsi utilitas logaritmik, diperoleh relasi rekursif untuk proses kekayaan X,, yaitu, X, = X + x γ (1)π S S, X S, = x di mana π = X, e, x adalah endowment awal, dan S adalah harga saham didiskon pada waktu acak τ. Hasil komputasi menunjukkan bahwa pendugaan parameter model hidden Markov yang dikombinasikan dengan metode martingale untuk portofolio point and figure logaritmik dapat mengoptimalkan kekayaan pada waktu acak (τ ) perdagangan saham. Kata kunci: portofolio point and figure, optimasi portofolio, model hidden Markov diskret, algoritme Expectation Maximization.

7 Hak Cipta milik IPB, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumbernya a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

8 OPTIMASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN MODEL HIDDEN MARKOV DAN APLIKASINYA PADA SAHAM BUMI RESOURCES Tbk KASTOLAN Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

9 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.

10 Judul Tesis : Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov dan Aplikasinya pada Saham Bumi Resources Tbk. Nama : Kastolan NRP : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Berlian Setiawaty, M.S. Ketua Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr. Tanggal Ujian : 4 Agustus 2011 Tanggal Lulus :

11 PRAKATA Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2010 terkait penerapan matematika pada masalah ekonomi dengan judul Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov dan Aplikasinya pada Saham Bumi Resources Tbk. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Berlian Setiawaty, M.S. dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku pembimbing, serta Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritiknya. Ucapan terima kasih disampaikan kepada Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama, atas beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan program Magister Sains di Institut Pertanian Bogor. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua serta seluruh keluarga, atas segala dukungan dan doanya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2011 Kastolan

12 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Lamongan pada tanggal 20 April 1970 dari pasangan Bapak Triman (alm.) dan Ibu Kastik. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara. Selepas lulus SMA Negeri 2 Lamongan Jawa Timur pada tahun 1989, penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada Program Studi Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP Malang. Tahun 1990 dan 1991 penulis menjadi juara 1 Kontes Matematika antar Mahasiswa Pendidikan Matematika Nasional di IKIP Bandung. Tahun 1991 penulis menjadi juara 1 Lomba Karya Tulis Ilmiah (LKTI) Bidang Pendidikan dalam kegiatan Pekan Ilmiah Mahasiswa Nasional (PIMNAS) di IKIP Semarang. Tahun 1992 penulis menjadi Mahasiswa Berprestasi Utama 1 IKIP Malang. Tahun 1993 penulis menjadi juara harapan 1 Lomba Karya Inovatif Produktif Bidang Pendidikan pada PIMNAS di ITB Bandung. Penulis juga menjabat ketua Senat Mahasiswa FPMIPA IKIP Malang periode Penulis menamatkan pendidikan sarjana tahun 1994 dan memperoleh penghargaan sebagai lulusan dengan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) tertinggi. Tahun 1996 penulis menjadi guru di SMA/MA Insan Cendekia Serpong melalui program STEP (Science and Technology Equity Program) yang diselenggarakan oleh BPPT. Sejak tahun 2005 sampai sekarang penulis aktif menulis buku matematika untuk SMA/MA yang diterbitkan oleh Yudhistira. Selama menjadi guru, penulis mendapatkan juara 1 Lomba Pembuatan Media Pembelajaran yang diselenggarakan Microsoft Indonesia tahun 2005 dan berhak mewakili Indoneisa dalam kegiatan Innovative Teachers Conference di Seoul. Penulis juga mendapat medali perak dalam lomba sejenis yang diselenggarakan Kementerian Pendidikan Nasional tahun Tahun 2005 Penulis menjadi juara 1 Lomba Inovasi Pembelajaran Matematika yang diselenggarakan Kementerian Pendidikan Nasional. Tahun 2006 penulis menjadi Kepala MAN Insan Cendekia Serpong dan tahun 2008 penulis menjabat Kepala Seksi Kurikulum dan Evaluasi Madrasah Aliyah pada Direktorat Pendidikan Madrasah, Direktorat Jenderal Pendidikan Islam, Kementerian Agama. Kesempatan untuk melanjutkan ke Program Magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun Beasiswa pendidikan Pascasarjana diperoleh dari Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia.

13 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL.. xiii DAFTAR GAMBAR. DAFTAR LAMPIRAN.. xiv xv I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian... 4 II TINJAUAN PUSTAKA Teori Peluang Rantai Markov Barisan Bilangan Real dan Kekontinuan Ruang Vektor dan Hasil Kali Dalam Perhitungan Galat.. 18 III PORTOFOLIO POINT AND FIGURE Diagram Point and Figure Portofolio Point and Figure.. 22 IV MODEL HIDDEN MARKOV State dan Proses Observasi Perubahan Ukuran Pendugaan Rekursif Pendugaan Parameter Algoritme Pendugaan Parameter V APLIKASI OPTIMASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN MODEL HIDDEN MARKOV PADA SAHAM BUMI RESOURCES Tbk Masalah Optimasi Portofolio Point and Figure Optimasi Portofolio Point and Figure Data Input Harga Saham Bumi Resources Tbk Aplikasi Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov pada Saham Bumi Resources Tbk VI SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran.. 61 DAFTAR PUSTAKA 63 LAMPIRAN... 65

14 DAFTAR TABEL 1 Sampel harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret Halaman 2 Hasil komputasi pendugaan barisan observasi 56 3 Jumlah ketepatan dugaan barisan observasi Proses kekayaan portofolio PF logaritmik saham Bumi Resources Tbk

15 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret Diagram point and figure harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari Grafik sampel harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari Grafik ketepatan dugaan barisan observasi Grafik Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Grafik harga saham dan sampel harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari Grafik kekayaan portofolio PF logaritmik saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari

16 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Perhitungan dalam Masalah Pembuktian Proposisi Komputasi Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov.. 74

17 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Keputusan investasi pada dasarnya menyangkut masalah pengalokasian aset pada periode tertentu dengan tujuan memaksimumkan return (imbal hasil) dengan tingkat risiko yang dapat diterima. Kumpulan investasi yang dimiliki oleh perorangan atau institusi disebut portofolio (Bodie et al. 2005). Dalam melakukan investasi, kekayaan dialokasikan dengan membentuk portofolio. Portofolio terdiri atas aset bebas risiko dan aset berisiko (saham). Masalah optimasi portofolio (tanpa konsumsi) adalah menentukan strategi perdagangan yang memaksimumkan return pada tingkat risiko yang dapat diterima. Saham adalah surat berharga sebagai bukti kepemilikan individu atau institusi atas suatu perusahaan (Salim 2003). Investor yang mengalokasikan asetnya dalam perdagangan saham harus mempertimbangkan tingkat return dan risiko ketika memilih saham. Tingkat return tersebut berupa dividen dan keuntungan jika harga jual sahamnya melebihi harga belinya. Sedangkan risiko investasi saham diakibatkan oleh fluktuasi naik-turunnya harga saham yang berakibat pada ketidakpastian tingkat return. Dalam pasar dunia, saham diperdagangkan dalam waktu kontinu tetapi dalam kenyataannya investor mengambil keputusan untuk menjual atau membeli suatu saham berada dalam waktu diskret. Oleh karena itu, perlu proses diskretisasi waktu, yaitu sampling waktu yang menghasilkan harga saham tidak seimbang (naik atau turun). Pada setiap sampel waktu berkorespondensi dengan sampel harga saham saat itu. Sampel harga saham tersebut dapat digambarkan dalam diagram yang disebut point and figure chart (diagram PF). Diagram PF hanya menampilkan simbol x untuk harga saham naik (up) dan simbol o untuk harga saham turun (down). Kriteria naik-turunnya harga saham bergantung pada suatu interval harga saham yang ditetapkan. Portofolio yang hanya mendasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Investor yang mengikuti portofolio PF akan memperjualbelikan

18 2 sahamnya pada sampel waktu dan keputusan investor hanya didasarkan pada sampel harga yang bersesuaian dengan sampel waktu tersebut. Permasalahan optimasi portofolio adalah salah satu contoh permasalahan proses stokastik, yaitu permasalahan yang terkait dengan peluang suatu kejadian, di mana kejadian pada waktu yang akan datang tidak dapat diprediksi dengan pasti. Setiap kejadian tentu ada penyebabnya dan terkadang penyebab kejadian tersebut tidak diamati secara langsung. Penyebab suatu kejadian dapat membentuk berbagai model matematika, salah satunya adalah model rantai Markov. Pasangan kejadian dan penyebab kejadian yang tidak diamati (hidden) dan membentuk rantai Markov disebut model hidden Markov. Pergerakan harga saham juga diakibatkan oleh suatu penyebab yang dapat berupa faktor ekonomi, politik, keamanan dan sebagainya. Misalnya, ketika pemerintah melakukan perubahan kebijakan ekonomi, maka pelaku pasar akan meninjau kembali strategi perdagangannya untuk mengambil keputusan menjual, membeli, atau mempertahankan saham yang dimilikinya. Kejadian tersebut dapat terjadi secara berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Akibatnya, besar kemungkinan di waktu mendatang akan terjadi kejadian yang sama. Jadi, karena penyebab kejadian pergerakan harga saham tersebut membentuk rantai Markov yang homogen dan diasumsikan tidak diamati, maka masalah pergerakan harga saham dapat dimodelkan dengan model hidden Markov. Karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh beberapa parameter, yaitu matriks peluang transisi dari penyebab kejadian serta beberapa parameter dari proses observasi. Parameter tersebut diduga dengan metode Maximum Likelihood dan algoritme Expectation Maximization (EM). Hasil pendugaan parameter berbentuk pendugaan rekursif. Parameter yang diperoleh kemudian dievaluasi kembali dengan menggunakan parameter atau dengan data baru. Model hidden Markov memiliki banyak struktur matematis dan dapat memodelkan dengan baik beberapa aplikasi penting. Aplikasi yang sudah dikaji antara lain masalah alokasi asset (Elliott &Vander Hoek 1997), penetapan harga bond (Landen 2000), penetapan harga opsi (Campbell 2002), portfolio optimization (Elliott & Hinz 2002), dan spech recognition (Rabiner 1989).

19 3 Pada penelitian ini, optimasi portofolio PF dengan menggunakan model hidden Markov diaplikasikan pada saham Bumi Resources Tbk. Data input penelitian berupa harga saham harian (close-to-close) Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari Sumber data dari dengan sebaran sebagai berikut Harga Saham (Rupiah) Waktu Pengamatan per Hari (2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011) Gambar 1 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari Dengan menggunakan data tersebut dapat diduga parameter modelnya. Sebelum melakukan pendugaan parameter, terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran peluang yang kemudian diinterpretasikan kembali dengan menggunakan peluang asal. Perubahan ukuran peluang ini dibatasi oleh turunan Radon- Nikodym. Pendugaan parameter tersebut berupa pendugaan rekursif di antaranya penduga untuk state, penduga untuk banyak loncatan, penduga lamanya rantai Markov berada pada suatu state tertentu, dan penduga untuk proses observasi. Selanjutnya dibuat suatu program Komputasi Aljabar Matematika untuk melakukan pendugaan parameter model hidden Markov tersebut. Software yang digunakan adalah Mathematica 8.0. Penyusunan program komputasi menggunakan buku panduan penggunaan Mathematica (Ardana 2004). Keuntungan menggunakan program tersebut adalah waktu kerja yang lebih efisien serta memudahkan analisis data yang cukup banyak.

20 4 1.2 Tujuan Penelitian Dalam penelitian ini ada tiga tujuan yang akan dicapai, ketiganya adalah sebagai berikut. 1. Mengkaji optimasi portofolio point and figure menggunakan model hidden Markov. 2. Melakukan pendugaan parameter model hidden Markov. 3. Mengaplikasikan model hidden Markov untuk optimasi portofolio point and figure pada saham Bumi Resources Tbk.

21 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. Definisi (Ruang Contoh dan Kejadian) (Ghahramani 2005) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω. Definisi (Medan-σ) (Ghahramani 2005) Medan-σ (σ-field) adalah suatu himpunan F yang anggotanya himpunan bagian dari Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut. 1. F; 2. Jika A, A, F, maka A F; 3. Jika A F maka A F, dengan A menyatakan komplemen dari himpunan A. Definisi (Ukuran Peluang) (Ghahramani 2005) Suatu ukuran peluang P pada (Ω, F) adalah suatu fungsi P F [0,1] yang memenuhi syarat-syarat berikut. 1. P( ) = 0 dan P(Ω) = 1; 2. Jika A, A, F adalah himpunan-himpunan yang saling lepas, yaitu P A P A. i 1 i 1 A A =, untuk setiap i, j dengan i j, maka i i Pasangan (Ω, F, P) disebut ruang peluang (probability space).

22 6 Definisi (Kejadian Saling Bebas) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang dan A, B F. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P(A B) = P(A)P(B). Secara umum, misalnya I adalah himpunan indeks, himpunan kejadian {A : i I} disebut saling bebas jika P A P ( A ) untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I. i i ij ij Definisi (Peluang Bersyarat) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang dan A, B F. Jika P(B) > 0 maka peluang kejadian A dengan syarat diketahui kejadian B adalah PA B = P(A B). P(B) Teorema (Teorema Bayes) (Hogg & Craig 2005) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang dan C F, i = 1,2, k. Misalnya kejadian C terjadi hanya dengan salah satu kejadian C maka peluang bersyarat dari C setelah diketahui C adalah P C j C i 1 P C C i i P C C P C P C C k P C P C j j j. Definisi (Peubah Acak) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable) X merupakan fungsi X Ω R di mana {ω Ω X(ω) x} F untuk setiap x R. Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil. Definisi (Peubah Acak Diskret) (Ghahramani 2005) Misalnya Ω adalah ruang contoh, F adalah medan-σ dari Ω dan S adalah himpunan berhingga. Suatu fungsi X Ω S disebut peubah acak diskret jika memenuhi sifat untuk setiap A S berlaku {ω Ω X(ω) A} F.

23 7 Definisi (Fungsi Kerapatan Peluang) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang (probability mass function) dari peubah acak diskret X adalah fungsi p R [0,1] yang didefinisikan oleh p (x) = P(X = x) untuk setiap x R. Definisi (Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi p, : R [0,1] yang didefiniskan oleh p, (x, y) = P(X = x, Y = y) untuk setiap x, y R. Definisi (Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat) (Ross 2000) Jika X dan Y adalah peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X jika diberikan Y = y dengan P(Y = y) > 0 untuk setiap y adalah p (x y) = P(X = x, Y = y). P(Y = y) Definisi (Bebas Stokastik Identik) (Hogg & Craig 2005) Misalnya X, X,, X adalah barisan peubah acak yang memiliki fungsi kerapatan yang sama, yaitu f(x) sehingga f (x ) = f(x ) f (x ) = f(x ) f (x ) = f(x ) dan fungsi kerapatan bersamanya adalah f(x )f(x ) f(x ). Peubah acak X, X,, X disebut bebas stokastik identik. Definisi (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) (Ghahramani 2005) Misalnya X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p (x) = P(X = x), maka nilai harapan dari peubah acak X adalah E[X] = xp (x).

24 8 Definisi (Fungsi Indikator) (Cassela & Berger 1990) Misalnya A adalah suatu kejadian pada ruang peluang (Ω, F, P). Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi I Ω {0,1} yang didefinisikan oleh I A 1, jika A ( ). 0, jika A Definisi (Kontinu Absolut) (Billingsley 1995) Jika P dan P adalah dua ukuran peluang pada (Ω, F). Ukuran peluang P dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang P jika untuk setiap A F, P(A) = 0 mengakibatkan P(A) = 0, dinotasikan P P. Jika P P dan P P maka kedua ukuran dikatakan ekivalen dan dinotasikan P P. Teorema (Radon-Nikodym) (Billingsley 1995) Jika P dan P adalah dua ukuran peluang pada (Ω, F) sedemikian sehingga P P, maka terdapat peubah acak tak negatif Λ sehingga P(A) = A F, dinotasikan dengan dp dp F = Λ. Λ dp untuk semua 2.2 Rantai Markov Definisi (Ruang State) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. Definisi (Proses Stokastik) (Ross 2000) Proses stokastik {X : k N} yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω, F, P) adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. Jadi, untuk setiap k N, X adalah peubah acak. Dalam hal ini, k N dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak X sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu k.

25 9 Definisi (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) (Ross 2000) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses stokastik {X : k N} dengan ruang state S, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap k {0, 1, 2, } berlaku PX = i X = i, X = i,, X = i = PX = i X = i untuk semua kemungkinan nilai dari i, i,, i, i S. Jadi pada rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state yang akan datang X bebas terhadap semua state yang lalu X, X,, X dan hanya bergantung pada state sekarang X. Definisi (Matriks Peluang Transisi) (Ross 2000) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) a a a a dengan ruang state S berukuran N. Matriks A = a = a a a adalah matriks peluang transisi di mana a = P(X = j X = i) untuk semua i, j S. Nilai a menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state i maka berikutnya proses akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah tak negatif dan karena proses harus mengalami transisi ke suatu state, maka berlaku: 1. a 0, untuk semua i, j S; a a 2. N a ji 1, untuk semua i S. j1 Definisi (Rantai Markov Homogen) (Ross 2000) Rantai Markov {X : k N} yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S dikatakan homogen jika P(X = j X = i) = P(X = j X = i) untuk semua i, j S. Pada rantai Markov homogen, nilai a tidak bergantung pada k N.

26 10 Definisi (Peluang Transisi n-step) (Ross 2000) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S. Peluang transisi n-step a () adalah peluang suatu proses berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan sebagai a () = P(X = j X = i), n > 0, i, j S. Definisi (Terakses) (Ross 2000) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S. Suatu state j disebut terakses (accessible) dari state i, dinotasikan i j, jika ada sebuah bilangan bulat k 0 sehingga a () > 0. Definisi (Berkomunikasi) (Ross 2000) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S. Dua state i dan j disebut berkomunikasi (communicate), dinotasikan i j, jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i. Definisi (Kelas State) (Ross 2000) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S. Suatu kelas state adalah suatu himpunan tak kososng C S sehingga semua pasangan state anggota C berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota C. Definisi (Rantai Markov Tak Tereduksi) (Ross 2000) Suatu rantai Markov disebut tak tereduksi (irreducible) jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan yang lainnya. Definisi (The First-Passage Time Probability) (Ross 2000) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S. f () merupakan peluang bahwa mulai dari state i, proses

27 11 bertransisi untuk pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut the first-passage time probability. Jadi, untuk setiap n = 1, 2, 3, berlaku f () = P(X = j: X j untuk semua 1 k n 1 X = i), i, j S, dan f () = 0 untuk semua i, j S. Selanjutnya, untuk setiap i, j S didefinisikan f = f (). Jadi untuk setiap i, j S, f menyatakan peluang bahwa suatu proses yang dimulai dari state i akan pernah bertransisi ke state j. Khususnya, untuk setiap state i, f menyatakan peluang bahwa suatu proses yang dimulai dari state i akan pernah bertransisi kembali ke state i. Definisi (Recurrent dan Transient) (Ross 2000) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S. State i disebut recurrent (berulang) jika f = 1 dan transient jika f < 1. Teorema (Recurrent dan Transient) (Ross 2000) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S. State i disebut recurrent jika ( n) aii dan transient jika n0 n0 a ( n) ii. Definisi (Periode, Periodik, dan Aperiodik) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S. Suatu state i disebut memiliki periode d ditulis d(i) jika d adalah persekutuan terbesar (the greatest common divisor) bagi n sehingga a () > 0, dinotasikan d(i) = gcd {n a () > 0}. Suatu state i disebut periodik jika d(i) > 1 dan aperiodik jika d(i) = 1.

28 12 Definisi (Positive Recurrent dan Null Recurrent) (Ross 2000) Misalnya {X : k N} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S. Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. Definisi (Ergodic) (Ross 2000) Rantai Markov yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic. Teorema (Nilai Harapan Rantai Markov Homogen) (Ross 2000) Misalnya X = {X : k N} adalah rantai Markov ergodic yang terdefinisi pada (Ω, F, P) dengan ruang state S berukuran N. Misalnya A = a merupakan matriks peluang transisi berukuran N N dengan a = P(X = j X = i). Nilai harapan dari X dinotasikan E[X] = π yang memenuhi Aπ = π dan π = 1, di mana π 0, j S. Definisi (Himpunan P-Null) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang. Himpunan P-Null didefinisikan sebagai N {N Ω N A, A F, P(A) = 0}. Definisi (Ruang Peluang Lengkap) (Grimmet & Stirzaker 2001) Sebuah ruang peluang (Ω, F, P) disebut lengkap, jika A B, B F, dan P(B) = 0 maka A F. Definisi (Filtrasi) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya F adalah medan-σ dan G = {G k N} adalah barisan submedan-σ dari F dan memenuhi G G untuk semua k N, maka G disebut filtrasi.

29 13 Definisi (Filtrasi Lengkap) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang lengkap dan {G k N} adalah sebuah filtrasi. Jika G memuat semua himpunan P-Null di F, maka G disebut filtrasi lengkap. Definisi (Terukur atau Measurable) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya X adalah peubah acak diskret yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω, F, P) dan S adalah ruang state. Jika {ω Ω X(ω) A} F untuk setiap A S, maka X dikatakan terukur-f. Definisi (Adapted) (Grimmet & Stirzaker 2001) Barisan peubah acak {X k N} yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω, F, P) dikatakan adapted terhadap filtrasi {G }, jika X terukur-g untuk setiap k N. Definisi (Predictable) (Grimmet & Stirzaker 2001) Barisan peubah acak {X : k N} yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω, F, P) dikatakan predictable (terduga) terhadap filtrasi {F }, jika X terukur-f untuk setiap k N. Definisi (Nilai Harapan Bersyarat) (Shreve 2004) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang, G adalah submedan-σ dari F, dan X adalah peubah acak yang terintegralan pada (Ω, F, P), maka E[X G] disebut nilai harapan bersyarat dari X jika diketahui G, didefinisikan sebagai sebarang peubah acak Y yang memenuhi: 1. Y terukur- G; 2. YdP = XdP, A G; Persamaan EX GdP = XdP dapat ditulis E I EX G = E[I X]. Teorema (Nilai Harapan Bersyarat) (Billingsley 1995) Misalnya X terintegralkan, G dan G adalah dua medan-σ yang memenuhi G G, maka berlaku E[E[X G ] G ] = E[E[X G ] G ] = E[X G ].

30 14 Teorema (Sifat-Sifat Nilai Harapan Bersyarat) (Shreve 2004) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang, G adalah submedan-σ dari F, X, Y dan XY adalah peubah acak yang terintegralkan pada (Ω, F, P), a dan b adalah konstanta, maka berlaku: 1. E EX G = E[X]; 2. Jika X terukur- G, maka EX G = E[X]; 3. EaX + by G = aex G + bey G; 4. Jika X 0, maka EX G 0; 5. Jika Y terukur-g, maka EYX G = YEX G. Definisi (Martingale) (Williams 1991) Misalnya X = {X k N} adalah proses stokastik yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω, F, P), dan {F n N} adalah filtasi dari F. Proses stokastik X disebut proses martingale jika berlaku: 1. X adalah adapted terhadap {F n N}; 2. E[ X ] <, k; 3. E[X F ] = X, a.s (n N). Teorema (Representasi Martingale) (Williams 1991) Jika {X k N} adalah proses martingale yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω, F, P), dan {F : n N} adalah filtasi dari F, maka terdapat secara tunggal proses H = {H : t N} yang predictable dengan E[ H ] < dan proses martingale Z = {Z : t N} sehingga berlaku X = X + H (Z Z ). Definisi (Stopping Time) (Williams 1991) Misalnya (Ω, F, P) adalah ruang peluang dengan {F : n N} adalah filtrasi dari F. Suatu fungsi T Ω N { } disebut stopping time dari proses stokastik {X k N} jika {T n} = {ω Ω T(ω) n} F, n.

31 15 Definisi (Gerak Brown) (Karatzas & Shreve 1987) Proses stokastik {X k N} yang adapted terhadap filtrasi {F n N} disebut gerak Brown berdimensi satu jika berlaku: 1. X = 0; 2. untuk 0 s < t, peubah acak X X adalah saling bebas; 3. untuk 0 s t, berlaku X X ~N(0, t s). 2.3 Barisan Bilangan Real, Kekontinuan, dan Fungsi Concave Definisi (Medan Borel) (Hogg & Craig 2005) Medan Borel adalah medan-σ terkecil yang mengandung semua selang berbentuk (, r] dengan r R, dinotasikan B(R). Definisi (Barisan) (Bartle 1976) Suatu barisan S = {s } dari bilangan real adalah suatu fungsi dari N (himpunan bilangan bulat positif) ke R (himpunan bilangan real). Definisi (Konvergen Hampir Pasti) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya X, X, adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, F, P). Suatu barisan peubah acak X, X, dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak X, dinotasikan X. X untuk n, jika ε > 0 berlaku P lim X X < ε = 1. Dengan kata lain, konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang sama dengan 1. Definisi (Batas Atas dan Batas Bawah) (Bartle 1976) Misalnya S R, u R disebut batas atas dari S jika s u, s S, dan w R disebut batas bawah dari S jika w s, s S. Himpunan S terbatas di atas jika memiliki batas atas, dan terbatas di bawah jika memiliki batas bawah. Jika himpunan S memiliki batas atas dan batas bawah, maka himpunan S disebut terbatas.

32 16 Definisi (Supremum dan Infimum) (Bartle 1976) 1. Suatu bilangan u R disebut supremum (batas atas terkecil) dari S R jika berlaku: a. s u, s S; b. jika s v, s S, maka u v. 2. Suatu bilangan w R disebut infimum (batas bawah terbesar) dari S R jika berlaku: a. w s, s S; b. jika v s, s S, maka v w. Definisi (Himpunan Konveks) (Royden 1988) Misalnya K R adalah himpunan vektor. K disebut himpunan konveks jika untuk semua x, y K maka λx + (1 λ)y K untuk 0 λ 1. Selanjutnya, {z z = λx + (1 λ)y} disebut segmen garis yang menghubungkan x dan y. K adalah himpunan konveks jika untuk setiap x, y di K, maka segmen garis yang menghubungkan x dan y juga terletak di K.. Definisi (Fungsi Concave) (Royden 1988) Misalnya f adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan konveks K. Fungsi f disebut fungsi concave jika untuk semua x, y K dan 0 < λ < 1 berlaku f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y). Sedangkan jika untuk semua x, y K dengan x y dan 0 < λ < 1 berlaku f(λx + (1 λ)y) > λf(x) + (1 λ)f(y) maka f disebut strictly concave. Definisi (Kekontinuan) (Purcell & Varberg 1999) Suatu fungsi f disebut kontinu pada bilangan c jika berlaku lim f ( x) f ( c). Fungsi f disebut kontinu kanan pada bilangan c jika berlaku lim f ( x) f ( c), xc xc sedangkan fungsi f disebut kontinu kiri pada bilangan c jika berlaku lim f ( x) f ( c). Fungsi f disebut kontinu pada interval I jika f kontinu pada xc

33 17 bilangan c untuk semua c I. Himpunan fungsi-fungsi yang kontinu pada interval I dinotasikan sebagai C (I). Definisi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun) (Purcell & Varberg 1999) Misalnya x, x R. 1. Fungsi f dikatakan fungsi naik, jika x < x maka f(x ) < f(x ). 2. Fungsi f dikatakan fungsi turun, jika x < x maka f(x ) > f(x ). 2.4 Ruang Vektor dan Hasil Kali Dalam Definisi (Ruang Vektor) (Anton 1997) V disebut ruang vektor, jika untuk setiap vektor u, v, w V dan sebarang skalar k dan l berlaku: 1. Jika u, v, V, maka u + v V; 2. u + v = v + u; 3. u + (v + w) = (u + v) + w; 4. Ada 0 V sehingga 0 + u = u + 0, u V; 5. u V, ada u V sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0; 6. Jika k adalah sebarang skalar dan u V, maka ku V; 7. k (u + v) = k u + k v; 8. (k + l) u = k u + l u; 9. k (l u) = (k l) u; 10. 1u = u. Definisi (Perkalian Dalam) (Anton 1997) Jika u = (u, u,, u ) dan v = (v, v,, v) adalah sebarang vektor di R, maka hasil kali dalam (euclidean inner product) u, v didefinisikan dengan u, v = u v + u v + + u v. Definisi (Ruang Hasil Kali Dalam) (Anton 1997) Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real u, v dengan masing-masing pasangan vektor u

34 18 dan v pada V sedimikian sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua u, v, w V dan skalar k. 1. u, v = v, u ; 2. u + v, w = u, w + v, w ; 3. ku, v = k u, v ; 4. v, v 0 dan v, v = 0 jika dan hanya jika v = 0. Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real. 2.5 Perhitungan Galat (Error) Definisi (Mean Absolute Percentage Error) (Wei 1994) Mean Absolute Percentage Error (MAPE) atau persentase rataan galat absolut didefinisikan sebagai MAPE = 1 N Y Y 100%. Semakin kecil nilai MAPE mendekati 0, maka semakin kecil pula kesalahan akibat penggunaan Y. Y

35 BAB III PORTOFOLIO POINT AND FIGURE 3.1 Diagram Point and Figure Dalam konteks Black-Scholes (Korn 1997), terdapat dua jenis aset dalam pasar modal, yaitu aset bebas risiko {S (t): t 0} dan aset berisiko (saham) {S (t): t 0}. Dalam melakukan investasi, aset dialokasikan dengan membentuk portofolio. Investor yang mengalokasikan asetnya dalam perdagangan saham harus mempertimbangkan tingkat return dan risiko ketika memilih saham. Untuk meningkatkan tingkat return dengan risiko yang dapat diterima, investor harus melakukan analisis terhadap harga sahamnya. Salah satu analisis terhadap harga saham adalah analisis teknikal. Analisis teknikal mendasarkan pada informasi yang termuat dalam diagram/grafik pergerakan harga saham. Metode ini dilakukan dengan cara membandingkan gerakan harga saham saat ini dengan gerakan harga saham di masa lalu untuk memprediksi harga saham di masa depan yang logis (Salim 2003). Salah satu diagram/grafik yang digunakan dalam analisis teknikal adalah diagram point and figure (diagram PF). Diagram PF hanya menampilkan perubahan harga saham yang signifikan. Hal ini didasarkan kenyataan bahwa investor hanya memperjualbelikan sahamnya pada waktu harga saham mengalami perubahan (naik atau turun). Dorsey (2007) menyebutkan bahwa diagram PF menampilkan simbol x untuk harga saham naik (up) dan simbol o untuk harga saham turun (down). Dalam setiap kolom hanya berisi simbol x atau o. Perubahan simbol dalam kolom menandakan perubahan arah pergerakan harga saham. Konstruksi diagram PF dari pergerakan harga saham dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut (Elliott & Hinz 2002). 1. Menetapkan nilai > Memulai pengamatan pada waktu τ. 3. Menuliskan salah satu simbol x atau o pada waktu τ jika harga saham melewati interval [S (τ ), S (τ ) + ]. Jika harga saham naik sampai batas atas dari S (τ ) +, maka pada diagram dituliskan simbol x dan jika

36 20 harga saham turun sampai batas bawah dari S (τ ), maka dituliskan simbol o. 4. Mengulangi prosedur yang sama untuk interval berikutnya, yaitu interval [S (τ ), S (τ ) + ]. Proses tersebut dilakukan secara rekursif sehingga diperoleh sampel waktu {τ : k N} yang merupakan stopping time dari harga saham. Setiap sampel waktu τ berpadanan dengan harga saham S (τ ). Langkah-langkah konstruksi diagram PF tersebut diaplikasikan pada harga saham Bumi Resources Tbk periode tanggal 4 Januari s.d. 31 Maret Data pengamatan sebanyak 61 buah dengan nilai awal pengamatan S (τ ) = Sebaran data tersebut seperti pada Gambar 2 berikut ini. Harga Saham (Rupiah) Waktu Pengamatan per Hari (4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010) Gambar 2 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret Langkah-langkah konstruksi diagram PF pada data tersebut adalah sebagai berikut. 1. Tetapkan = Nilai S (τ ) adalah harga saham awal pengamatan, yaitu S (τ ) = Untuk interval [S (τ ), S (τ ) + ] = [2 325, 2 525] dan berdasarkan Gambar 2 harga saham bergerak naik dan melewati interval tersebut. Sehingga pada waktu τ harga saham berada pada level sehingga S (τ ) = dan pada kolom pertama diagram PF dituliskan sombol x.

37 21 4. Untuk interval berikutnya [S (τ ), S (τ ) + ] = [2 425, 2 625] dan berdasarkan Gambar 2 harga saham masih bergerak naik dan melewati interval tersebut. Sehingga S (τ ) = dan masih pada kolom pertama diagram PF dituliskan simbol x. Hal tersebut terjadi karena kenaikan harga saham ekivalen dengan tingginya simbol x pada kolom diagran PF demikiann halnya untuk penurunan harga. 5. Mengulangi proses tersebut untuk interval [S (τ ), S (τ ) + ] dengan k = 2, 3,,18. Akhirnya, diperoleh barisan waktu {τ : k = 1, 2,, 19} yang merupakan sampel waktu. Harga saham yang bersesuaian dengan sampel waktu tersebut ditunjukkan oleh Tabel 1. Tabel 1 Sampel harga saham Bumi Resource Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010 k S 1 (τ k )

38 22 Diagram point and figure dari harga saham tersebut ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut Harga Saham (Rupiah) X X O X O X O O X O X O X X O O X O O Keterangan: X menyatakan harga saham naik dan O harga saham turun Gambar 3 Diagram point and figure harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret Berdasarkan prosedur konstruksi diagram PF tersebut, maka harga saham yang kecil dan tidak signifikan, yaitu yang berada dalam interval (S (τ ), S (τ ) + ) dapat dihilangkan dalam diagram PF. Analis teknikal menyebut diagram PF sebagai filter yang hanya menampilkan informasi terpenting dari harga saham. Hal tersebut sesuai dengan kenyataan, walaupun saham diperdagangkan dalam waktu kontinu tetapi investor hanya memperjualbelikannya pada waktu diskret, yaitu waktu ketika harga saham naik atau turun. Portofolio yang hanya berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Investor yang mengikuti portofolio PF akan memperjualbelikan saham hanya pada waktu {τ : k N}. Setiap waktu τ keputusan investor hanya berdasarkan pengamatan S (τ ), S (τ ),, S (τ ). Sehingga optimasi portofolio PF adalah masalah pemilihan portofolio diskret. 3.2 Portofolio Point and Figure Misalnya {S (t): t 0} adalah harga aset bebas risiko dan {S (t): t 0} adalah harga aset berisiko (saham) yang mempunyai dinamika (Korn 1997): ds (t) = S (t)r(t)dt, S (0) = 1, ds (t) = S (t)[b(t)dt + σ(t)dw(t)], S (0) (0, ).

39 23 di mana {r(t): t 0} adalah tingkat bunga aset bebas risiko, {b(t): t 0} rataan tingkat return, dan {σ(t): t 0} volatilitas. Ketiganya adalah proses stokastik yang terukur dan adapted dalam ruang peluang (Ω, F, P) dengan filtrasi lengkap {G : t 0} adalah kontinu kanan dan {G, W(t): t 0} adalah gerak Brown. Misalnya r(. ), b(. ), σ(. ), dan σ (. ) adalah terbatas, r(. ) adalah deterministik, dan σ(. ) > 0 hampir pasti t > 0. Misalnya F adalah filtrasi lengkap yang dihasilkan oleh {S (t): t 0}. F menunjukkan informasi dari pengamatan atas harga saham sampai waktu t. Asumsikan F adalah satu-satunya informasi yang tersedia untuk investor pada waktu t. Berikut ini adalah beberapa definisi terkait portoflio PF. Definisi (Portofolio) (Elliott & Hinz 2002) Suatu portofolio Θ(. ) adalah pasangan Θ (. ), Θ (. ) dari {F : t 0} yang prosesnya terukur dan adapted dengan Θ (s) ds < hampir pasti (i = 0, 1) t 0. Dalam hal ini, Θ (t) menunjukkan jumlah unit aset ke-i (i = 0,1) yang dimiliki pada waktu t. Definisi (Proses Kekayaan) (Korn 1997) Proses kekayaan investor yang bersesuaian dengan Θ(. ) pada waktu t adalah X (t) = Θ (t)s (t), t 0. Definisi (Portofolio Self-Financed) (Korn 1997) Portofolio Θ(. ) disebut self-financed pada waktu t, jika berlaku X (t) = X (0) + Θ (u)ds (u), t 0. Self-financed adalah strategi perdagangan ketika pembelian terhadap sejumlah aset hanya didanai dari hasil penjualan aset portofolio. Seorang investor dalam melakukan investasi akan memerhatikan tingkat kepuasan. Tingkat kepuasan tersebut tergantung dari tingkat return dan risiko yang ditimbulkan dari proses investasi tersebut. Dalam ilmu ekonomi, tingkat kepuasaan diukur dengan fungsi utilitas. Fungsi utilitas mengukur tingkat kekayaan investor di akhir periode perencanaan investasi.

40 24 Definisi (Fungsi Utilitas) (Korn 1997) Suatu fungsi U: (0, ) R dan U C (0, ) disebut fungsi utilitas jika fungsi tersebut merupakan strictly concave, fungsi naik, dan U merupakan fungsi turun dengan lim U (z) = + dan lim U (z) = 0. Selanjutnya definisikan U min(u, 0), yaitu U adalah bagian negatif dari U. Optimasi portofolio adalah menentukan strategi perdagangan yang memaksimumkan return pada tingkat risiko yang dapat diterima. Memaksimumkan return dapat dipandang sebagai memaksimumkan fungsi objektif dengan suatu kendala tertentu. Dalam penelitian ini, fungsi objektif investor berupa memaksimumkan nilai harapan utilitas dari kekayaan selama horison waktu T (periode perencanaan investasi). Fungsi objektif tersebut dapat dituliskan sebagai sup E U X (T) dengan kendala kekayaan yang dimiliki investor selama horison waktu adalah tak negatif. Periode perencanaan investasi tersebut berupa waktu T yang kontinu sehingga saham harus diperdagangkan secara kontinu. Hal ini tidak mungkin terjadi secara nyata dalam pasar dunia karena akan melibatkan biaya transaksi yang tinggi. Oleh karena itu, diperlukan sampling waktu yang menjadi ide pokok dalam diagram PF. Sebelum membahas sampling waktu, terlebih dahulu didefinisikan proses harga didiskon. Definisi (Proses Harga Didiskon) (Elliott & Hinz 2002) Proses harga didiskon S (t) didefinisikan sebagai di mana 1 S (t) adalah faktor diskon. S (t) = S (t) S (t), t 0 Misalnya 0 < d < 1 < u, definisikan secara rekursif barisan hampir pasti berhingga pada {F : t 0} yang merupakan stopping time {τ : k N} sebagai berikut.

41 25 τ =0, τ = inf t τ : S (t) [d. S (τ ), u. S (τ )]. (3.1) Definisikan proses waktu acak diskret oleh sampling S = S (τ ), S = S (τ ), S = S (τ ), k N. (3.2) Diketahui bahwa proses S k N memenuhi persamaan rekursif S = S. Y (3.3) di mana {Y : k 1} adalah proses stokastik yang mengambil nilai pada {d, u} dengan 0 < P(Y = d) < 1, k 1. Berdasarkan definisi proses sampling waktu tersebut, kenaikan atau penurunan sampel harga dalam diagram PF tidak konstan sebesar. Hal ini disebabkan perubahan selang kepercayaan dari [S (τ ), S (τ ) + ] menjadi [d. S (τ ), u. S (τ )]. Meskipun demikian, proses sampling waktu tersebut tetap memenuhi karakteristik diagram PF seperti yang diuraikan sebelumnya. Berdasarkan proses sampling waktu tersebut selanjutnya akan didefinisikan portofolio PF sebagai berikut. Definisi (Portoflio PF) (Elliott & Hinz 2002) Suatu portofolio self-financed Θ (. ) disebut portofolio PF jika t 0 berlaku Θ (t) = Θ I [, ](t) + Θ I (, ] (t), (i = 0, 1) (3.4) di mana {Θ k N} dan {Θ k N} adalah adapted-y dengan Y = σs τ : j k: k N = σy : j k: k N, I (t) adalah fungsi indikator pada himpunan A, dan σy, Y,, Y adalah medan-σ lengkap yang dibangkitkan oleh Y, Y,, Y. Selanjutnya, jika Θ (. ) adalah self-financed, maka kekayaan X (. ) memenuhi X (τ ) X (τ ) = Θ S (τ ) S (τ ), k N. (3.5)