PENYELESAIAN PUZZLE SUDOKU MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER MUHAMAD FARDAN WARDHANA

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PUZZLE SUDOKU MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER MUHAMAD FARDAN WARDHANA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 ABSTRAK MUHAMAD FARDAN WARDHANA. Penyelesaian Puzzle Sudoku Menggunakan Pemrograman Linear Integer. Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA. Sudoku dapat dipandang sebagai puzzle (teka-teki) dalam matematika. Pemain harus mengisi sebuah matriks n 2 n 2 yang berisi beberapa unsur awal yang diberikan, sehingga setiap baris, kolom, dan mini grid n n berisi masingmasing bilangan bulat 1 sampai n 2. Tujuan penelitian ini adalah mengkaji Sudoku tradisional, Sudoku X (Sudoku diagonal) dan menggunakan metode branch and bound, untuk mencari hubungan antara kemungkinan solusi yang muncul dengan ukuran Sudoku, dan banyaknya given yang diberikan. Solusi Sudoku ditentukan dengan menggunakan metode branch and bound yang diimplementasikan pada script m-file. Kami dapat menemukan hubungan antara kemungkinan solusi yang muncul dengan ukuran Sudoku, dan banyaknya given yang diberikan. Di sisi lain, kami tidak dapat menemukan hubungan semacam itu untuk ukuran Sudoku yang umum dan konfigurasi yang umum. Kata kunci: Sudoku, linear integer, branch and bound ABSTRACT MUHAMAD FARDAN WARDHANA. Solving Sudoku Puzzle by Using Linear Integer Programming. Supervised by AMRIL AMAN and NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA. Sudoku can be viewed as a puzzle in mathematics. Players must fill in a n 2 n 2 matrix which is containing some given enteries, so that each row, column, and n n mini grid contains each integer 1 through n 2. The objectives of this research are to study the traditional Sudoku puzzle, Sudoku X puzzle (diagonal Sudoku) and use branch and bound method, to find the relation between the number of possible solution with the size of sudoku, and the number quantity givens. The solutions are determined using branch and bound method that was implemented on m-file script. We can find the relation between the number of possible solution with the size of sudoku, and the number quantity givens. On the other hand, we can not find such relation for general size of sudoku and general configuration. Keywords: Sudoku, linear integer, branch and bound

4

5 PENYELESAIAN PUZZLE SUDOKU MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER MUHAMAD FARDAN WARDHANA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skripsi : Penyelesaian Puzzle Sudoku Menggunakan Pemrograman Linear Integer Nama : Muhamad Fardan Wardhana NIM : G Disetujui oleh Dr Ir Amril Aman, MSc Pembimbing I Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga penelitian dengan judul Penyelesaian Puzzle Sudoku Menggunakan Pemrograman Linear Integer dapat diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Amril Aman, MSc dan Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku pembimbing, serta Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada (alm) ayah, (almh) ibu, istri serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Maret 2014 Muhamad Fardan Wardhana

9 DAFTAR ISI PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Perumusan Masalah 1 Tujuan Penelitian 2 Ruang Lingkup Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Definisi 1 Puzzle (teka-teki) Sudoku 2 Definisi 2 Persamaan Linear 2 Pemrograman Linear 3 Definisi 3 Bentuk Standar Suatu PL 3 Solusi Suatu Pemrograman Linear 3 Definisi 4 Daerah Fisibel 4 Definisi 5 Solusi Basis 4 Definisi 6 Solusi Fisibel Basis 4 Definisi 7 Solusi Optimum 4 Pemrograman Linear Integer 4 Metode Branch and Bound 5 DESKRIPSI DAN PEMODELAN MASALAH 9 Deskripsi Masalah 9 Pemodelan Masalah 9 PEMBAHASAN 13 Contoh Kasus 13 Mencari Solusi Puzzle Sudoku Tradisional pada Matriks Mencari Solusi Puzzle Sudoku X (Sudoku Diagonal) pada Matriks Hubungan Antar Ukuran Sudoku, Banyaknya Unsur Awal, dan Konfigurasi Sudoku Tradisional. 28 SIMPULAN DAN SARAN 29 Simpulan 29 Saran 29 DAFTAR PUSTAKA 30

10 DAFTAR GAMBAR 1. Soal Sudoku dengan input data secara acak 1 2. Daerah fisibel PLI (2.5) 7 3. Daerah fisibel untuk Subproblem 2 (x 1 4) dan Subproblem 3 (x 1 3) 7 4. Seluruh pencabangan pada metode branch and bound untuk menentukan solusi PLI (2.5) 9 5. Bentuk umum Sudoku ukuran Contoh soal Sudoku Solusi Sudoku Bentuk umum Sudoku ukuran Contoh soal Sudoku tradisional Solusi Sudoku tradisional ukuran Contoh soal puzzle Sudoku yang memiliki banyak solusi (terhingga) Contoh soal Sudoku X ukuran Solusi Sudoku X ukuran DAFTAR LAMPIRAN 1. Script M-File sudoku.m untuk mencari solusi Sudoku tradisional Script M-File sudokux.m untuk mencari solusi Sudoku X (Sudoku diagonal) Contoh mencari solusi untuk soal Sudoku ukuran 9 9 dengan script M-File Contoh mencari solusi untuk soal Sudoku ukuran 9 9 yang memiliki banyak solusi (terhingga) dengan menggunakan script M-File Contoh mencari solusi untuk soal Sudoku X ukuran 9 9 dengan menggunakan script M-File Contoh mencari solusi untuk soal Sudoku X ukuran 9 9 yang memiliki banyak solusi (terhingga) dengan menggunakan script M-File Hubungan antar ukuran Sudoku, banyaknya unsur awal, dan konfigurasi Sudoku tradisional 44 DAFTAR TABEL 1. Hubungan antar ukuran, unsur, dan konfigurasi Sudoku tradisional 28

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Sudoku adalah sebuah puzzle berdasarkan logika yang pertama kali hadir di Amerika Serikat dengan judul Number Place di majalah Dell Pencil Puzzle & Word Games di tahun Pada tahun 1980-an, permainan ini berkembang menjadi popular di Jepang dan telah diganti nama oleh penerbit menjadi suji wa dokushin ni kagiru, yang diterjemahkan menjadi the digits must remain single (angka-angkanya harus tetap tunggal). Pada akhirnya diperpek menjadi Sudoku atau single number (nomor tunggal) (Bartlett, 2008). Sudoku pada umumnya hadir dalam bentuk matriks 9 x 9. Aturannya mudah: isi dalam matriks sehingga setiap baris, kolom, dan submatriks 3 x 3 yang diisi angka 1 sampai 9 hanya satu kali. Sesuai namanya, maka tidak boleh ada angka/digit yang sama. Hal inilah yang dinamakan dengan Prinsip keunikan (Principle of Uniqueness). Setiap puzzle muncul dengan sejumlah nomor yang diberikan. Nomor dan posisinya menentukan tingkat kesulitan permainan ini. Gambar 1 adalah salah satu contoh puzzle Sudoku 9 x 9. Gambar 1 Soal Sudoku dengan input data secara acak Kesulitan tingkat permainan Sudoku, selain diukur dari besar ukuran matriksnya (n 2 n 2 ), biasanya diukur dari problem perumusan angka-angka awal yang telah diatur posisi dan nilainya. Semakin sedikit angka-angka awal yang diberikan, tentunya akan semakin sulit. Perumusan Masalah Sudoku menghasilkan dua pertanyaan menarik secara matematika sebagai berikut: Bagaimana puzzle-puzzle ini bisa diselesaikan secara matematika? dan teknik matematika apa yang bisa digunakan untuk menciptakan dan menyelesaikan puzzle-puzzle Sudoku ini?

12 2 Tujuan Penelitian Di dalam tulisan ilmiah ini akan dipelajari mengenai puzzle (teka-teki) Sudoku, yang selanjutnya disebut dengan Sudoku sebagai sebuah permasalahan pemrograman bilangan bulat (Integer Programming Model). Tujuan dari karya ilmiah ini: 1. Mengkaji Sudoku tradisional menggunakan metode Branch and Bound. 2. Mengkaji Sudoku yang baru (Sudoku diagonal) menggunakan metode Branch and Bound. 3. Mencari hubungan antar ukuran Sudoku, banyaknya unsur awal, dan konfigurasi pada Sudoku tradisional. Ruang Lingkup Penelitian Sudoku memiliki berbagai ukuran. Dalam tulisan ilmiah ini, penulis membatasi pembahasan dan pencarian pola untuk Sudoku berukuran 9 9. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 1 Puzzle (teka-teki) Sudoku Sudoku adalah sebuah permainan teka-teki angka berbasis logika yang pada umumnya berbentuk matriks 9 9 (n 2 n 2 dengan n = 3) dan memiliki aturan yang sederhana dengan menyusun bilangan-bilangan 1,2,3,, n 2 pada kotak berjumlah n 2 n 2 sehingga setiap kolom, baris, maupun mini grid berukuran 3 3 (n n) hanya boleh terisi dengan bilangan 1 sampai 9 yang berjumlah masingmasing satu. Definisi 2 Persamaan Linear Suatu sistem persamaan linear dalam n peubah (variabel) adalah persamaan dengan bentuk a1x 1 a2x2... anxn b di mana a1, a2,..., a n dan b adalah bilangan-bilangan real dan x1, x2,..., x n adalah peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linear dari m persamaan dalam n peubah adalah satu sistem berbentuk: a x a x... a x b n n 1 a x a x... a x b n n 2 a x a x... a x b m1 1 m2 2 mn n m di mana a mn dan b m semuanya adalah bilangan-bilangan real. Sistem-sistem bentuk di atas sebagai sistem linear m n. (Leon 2001)

13 3 Pemrograman Linear Pemrograman Linear (PL) adalah suatu masalah optimasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan berikut: a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif. b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kala. Setiap kala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear. c) Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel x i, pembatasan tanda menentukan x i harus tak-negatif (x i 0) atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign). (Winston 2004) Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3 Bentuk Standar Suatu PL Suatu pemrograman linear dalam bentuk standar didefinisikan sebagai: Max z (atau min) s.t. Dengan mefinisikan: (2.1) A = [ ] [ ] [ ] Maka kala pada (2.1) dapat ditulis dengan sistem persamaan Ax = b (2.2) Solusi Suatu Pemrograman Linear (Winston 2004) Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimum bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947 (Winston 2004), dan dalam perkembangannya merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar. Pada masalah PL (2.2), vektor x yang memenuhi kala Ax = b disebut sebagai solusi dari PL (2.2). Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = (B N), dengan B adalah matriks taksingular berukuran m m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m (n m) yang

14 4 elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kala. Dalam hal ini matriks B disebut matriks basis untuk PL (2.2). Misalkan x dinyatakan sebagai vektor x = ( ) dengan x B adalah vektor variabel basis dan x N adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax = b dapat dinyatakan sebagai: Ax = ( ) = Bx B + Nx N = b (2.3) Karena matriks B adalah matriks tak singular, maka B memiliki invers, sehingga dari (2.3) x B dapat dinyatakan sebagai: x B = B -1 b - B -1 Nx N (2.4) Kemudian, fungsi objektifnya berubah menjadi: min z = (Winston 2004) Definisi 4 Daerah Fisibel Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kala dan pembatasan tanda pada PL tersebut. (Winston 2004) Definisi 5 Solusi Basis Solusi basis adalah solusi pada PL yang didapatkan dengan mengatur variabel n m sama dengan nol dan nilai untuk penyelesaiannya adalah dari sisa variabel m. Hal ini mengasumsikan bahwa mengatur variabel n m sama dengan nol sehingga membuat nilai yang unik untuk sisa variabel m atau sejenisnya, dan kolom-kolom untuk sisa dari variabel m adalah bebas linear. (Winston 2004) Definisi 6 Solusi Fisibel Basis Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabelvariabelnya tak-negatif. (Winston 2004) Definisi 7 Solusi Optimum Untuk masalah maksimalisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. (Winston 2004) Pemrograman Linear Integer Pemrograman linear integer (PLI) adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua

15 variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming (MIP). PLI dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 PLI. (Garfinkel & Nemhauser 1972) Metode Branch and Bound Prinsip dasar metode branch-and-bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah relaksasi-pl dengan membuat subproblem-subproblem. Terdapat dua konsep dasar dalam algoritma branch-and-bound. 1. Branch (Cabang) Branching (pencabangan) adalah proses membagi permasalahan menjadi subproblem-subproblem yang mungkin mengarah ke solusi. 2. Bound (Batas) Bounding (pembatasan) adalah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas atas (dalam masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi. Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan relaksasi-pl dari suatu pemrograman linear integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimum PLI. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada relaksasi- PLnya kemudian diselesaikan. Winston (2004) menyebutkan bahwa untuk masalah maksimisasi nilai fungsi objektif optimum untuk PLI lebih kecil atau sama dengan nilai fungsi objektif optimum untuk relaksasi-pl, sehingga nilai fungsi objektif optimum relaksasi-pl merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI. Diungkapkan pula oleh Winston (2004) untuk masalah maksimisasi bahwa nilai fungsi objektif optimum untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kala integer pada masalah PLI, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer. Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika salah satu kondisi berikut terpenuhi: a. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum bagi PLI. b. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah (dalam masalah maksimisasi) dan batas atas (dalam masalah minimisasi) nilai fungsi objektif optimum bagi masalah PLI pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimum untuk masalah PLI. 5

16 6 c. Nilai fungsi objektif optimum untuk subproblem tersebut tidak melebihi batas bawah saat itu (untuk masalah maksimisasi). Suatu subproblem dapat dieliminasi apabila subproblem tersebut takfisibel dan batas bawah kandidat solusi lebih kecil (untuk masalah maksimisasi) dari nilai fungsi objektif optimum untuk subproblem tersebut. Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound : Langkah 0 Didefinisikan z sebagai batas bawah dari solusi PLI yang optimum. Pada awalnya tetapkan z = dan i = 0. Langkah 1 Subproblem PL (i) dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diteliti. Subproblem PL (i) diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai. a) Jika PL (i) terukur, maka batas bawah z dapat diperbarui. Batas bawah z dapat diperbaharui jika solusi PLI yang lebih baik telah ditemukan. Jika tidak, maka bagian masalah (subproblem) baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti, maka proses dihentikan. b) Jika PL (i) tidak terukur, lanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan PL (i). Langkah 2 Pilih satu variabel x j yang nilai optimumnya, yaitu x j *, tidak memenuhi batasan integer dalam solusi PL (i). Singkirkan bidang [x j *] x j [x j *]+1 dengan membuat dua bagian masalah PL yang berkaitan menjadi dua batasan yang tidak dapat dipenuhi secara bersamaan yaitu: x j [x j *] dan x j [x j *]+1, dengan [x j *] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan x j *. Jika PL (i) masih tidak terukur, maka kembali ke Langkah 1. (Taha 1996) Untuk memudahkan pemahaman mengenai metode branch-and-bound diberikan contoh sebagai berikut: Contoh 1 Misalkan diberikan PLI sebagai berikut: Maksimumkan z = 5 x x 2 terhadap x 1 + x x x 2 x 1, x 2 0 dan integer (2.5) Solusi optimal relaksasi-pl dari masalah PLI (2.5) adalah x 1 =3.75, x 2 =1.25, dan z = Jadi batas atas nilai optimal fungsi objektif masalah PLI (2.5) adalah z= Daerah fisibel relaksasi-pl masalah (2.5) ditunjukkan pada Gambar 2 (daerah yang diarsir) sedangkan titik-titik merupakan solusi fisibel masalah PLI (2.5).

17 7 x 2 Daerah fisibel x 1 = 3.75 x 2 = 1.25 Gambar 2 Daerah fisibel PLI (2.5) x 1 Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel relaksasi-pl menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang bernilai pecahan (non-integer). Karena x 1 = 3.75 dan x 2 =1.25 variabel bernilai pecahan maka dipilih salah satu variabel, misalkan x 1, sebagai dasar pencabangan. Jika masalah relaksasi-pl dari PLI (2.5) diberi nama Subproblem 1 dan Subproblem 1 dicabangkan atas x 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu: Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kala x 1 4 Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kala x 1 3. Daerah fisibel untuk kedua subproblem di atas diilustrasikan secara grafis pada Gambar 3. x 2 Subproblem 3 Subproblem 2 Gambar 3 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 (x 1 4) dan Subproblem 3 (x 1 3) Setiap titik (solusi) fisibel dari PLI (2.5) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan, misalkan dipilih Subproblem 2. Solusi optimal untuk Subproblem 2 ini adalah x 1 = 4, x 2 = dan z = Karena solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 2 bukan solusi integer, maka Subproblem 2 dicabangkan atas x 2 sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni: Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah kala x 2 1; x 1

18 8 Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah kala x 2 0. Saat ini subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3, 4 dan 5. Salah satu subproblem dipilih, misalnya dengan aturan LIFO (last in first out). Dengan aturan ini berarti dipilih Subproblem 4 atau Subproblem 5. Subproblem 4 takfisibel maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimal, yang tersisa adalah Subproblem 3 dan Subproblem 5. Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 5, yang kemudian menghasilkan solusi optimal x 1 =4.5, x 2 =0 dan z=22.5. Karena x 1 =4.5 bukan integer, maka dilakukan kembali pencabangan atas x 1, sehingga diperoleh: Subproblem 6: Subproblem 5 ditambah kala x 1 5 ; Subproblem 7: Subproblem 5 ditambah kala x 1 4. Misalkan dipilih Subproblem 6. Ternyata Subproblem 6 ini juga takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimal. Dengan demikian subproblemsubproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3 dan Subproblem 7. Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 7. Subproblem ini kemudian menghasilkan solusi opimal x 1 =4, x 2 = 0, dan z= 20. Dapat dilihat bahwa solusi optimal subproblem ini semuanya berupa integer, sehingga merupakan kandidat solusi untuk PLI (2.5). Nilai z pada kandidat solusi ini merupakan batas bawah bagi nilai optimal PLI. Penyelesaian Subproblem 3 menghasilkan solusi optimal x 1 = 3, x 2 = 2 dan z= 23. Batas bawah yang ditetapkan dari solusi optimal Subproblem 7 tidak lebih baik dari nilai solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 3. Dengan demikian, nilai solusi optimal Subproblem 3, yakni z = 23 menjadi batas bawah yang baru. Semua solusi optimal telah berupa integer dan tidak perlu dilakukan pencabangan kembali, sehingga solusi optimal dari Subproblem 3 merupakan solusi optimal PLI (2.5), yakni x 1 = 3, x 2 = 2 dan z= 23. Pohon pencabangan yang menunjukkan proses penyelesaian masalah PLI (2.5) secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 4. (Setianto, 2011)

19 9 x 1 =3, x 2 =2, dan z=23 Kandidat Solusi (Solusi Optimal) Gambar 4 Seluruh pencabangan pada metode branch and bound untuk menentukan solusi PLI (2.5) DESKRIPSI DAN PEMODELAN MASALAH Deskripsi Masalah Untuk meskripsikan masalah Sudoku, hal utama yang harus diketahui adalah pada kotak berjumlah n 2 n 2 dan akan digunakan kasus Sudoku umum dengan n = 3 sehingga setiap kolom, baris, maupun submatriks berukuran 3 3 hanya boleh terisi dengan bilangan 1 sampai 9 yang banyaknya masing-masing satu. Soal Sudoku memiliki variasi yang beragam dan memiliki tingkat kesulitan yang berbeda-beda. Pemodelan Masalah Secara matematis, memodelkan Sudoku menggunakan sebuah program linear. Lebih khusus lagi akan dirumuskan oleh formula Binary Integer Linear Programming (BLIP) untuk ukuran puzzle n 2 n 2. Variabel-variabel yang digunakan dalam model untuk penyelesaian puzzle Sudoku: i = indeks baris pada puzzle Sudoku, j = indeks kolom pada puzzle Sudoku, k {1,2,3,4,5,6,7,8,9),

20 10 G = nilai Given. x Untuk memulai, kita definisikan dengan variabel keputusan: 1, jika elemen (, ) pada matriks Sudoku berukuran { 0, Selainnya i j n n mengandung integer k Fungsi objektif dan kala pada Sudoku 9 9 (n 2 n 2, n = 3) yang memiliki mini grid 3 3 (n n, n = 3). Min 0 T x Kala: Kala pertama Pada kolom Sudoku hanya boleh terisi dengan bilangan 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan. 9 x 1, j 1:9, k 1:9...(3.1) i1 Kala kedua Pada baris Sudoku hanya boleh terisi dengan bilangan 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan. n j1 x 1, i 1:9, k 1:9...(3.2) Kala ketiga Pada mini grid Sudoku hanya boleh terisi dengan bilangan 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan. 3q 3p j3q31 i3 p31 x 1, k 1: 9, p 1: 3, q 1: 3...(3.3) Kala keempat Setiap elemen pada Sudoku harus terisi 9 x 1, i 1: 9, j 1: 9 (setiap matriks terisi) k1 Kala kelima Menentukan nilai Given pada Sudoku x 1 ( i, j, k) G (Bartlett, 2008)

21 11 Dari persamaan (3.1) dapat dijabarkan sebagai berikut: x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x Bentuk umum untuk persamaan (3.1) yaitu: n i1 x 1, j 1: n, k 1: n (hanya satu k di setiap kolom) Dari persamaan (3.2) sebagai berikut: x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x Bentuk umum dari persamaan (3.2) yaitu: n j1 x 1, i 1: n, k 1: n (hanya satu k di setiap baris) Dari persamaan (3.3) dapat dijabarkan sebagai berikut:

22 12 x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x441 x541 x6 41 x 451 x 551 x 651 x 461 x 561 x 661 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x771 x871 x971 x781 x881 x981 x791 x891 x x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x549 x649 x459 x559 x659 x469 x569 x669 x 1, x749 x849 x949 x759 x859 x959 x769 x869 x969 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x 1, x x x x x x x x x Persamaan di atas di sederhanakan menjadi: 3 x x x 1; k 1: 9, i1 6 i4 9 i7 3 i1 6 i4 9 i7 3 i1 i1k i2k i3k x x x 1; k 1: 9, i1k i2k i3k x x x 1; k 1: 9, i1k i2k i3k x x x 1; k 1: 9, i4k i5k i6k x x x 1; k 1: 9, i4k i5k i6k x x x 1; k 1: 9, i4k i5k i6k x x x 1; k 1: 9, i7k i8k i9k

23 13 6 i4 9 i7 x x x 1; k 1: 9, i7k i8k i9k x x x 1; k 1: 9. i7k i8k i9k Persamaan (3.3) memiliki bentuk umum yaitu: mq mp jmqm1i mpm1 x 1, k 1: n, p 1: m, q 1: m (hanya satu k di setiap sub matriks) PEMBAHASAN Contoh Kasus Pada bagian ini akan diberikan contoh kasus dalam penyelesaian Sudoku dengan ukuran 4 4 (n 2 n 2, n = 2) dan memiliki mini grid 2 2 (n n, n = 2). Misalkan elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j adalah xi, jmaka Sudoku secara umum adalah Penyelesaian Sudoku tersebut menggunakan metode branch and bound memerlukan kala-kala sebagai berikut: 4 x 1, j 1: 4, k 1: 4...(4.1) i1 4 j1 x 1, i 1: 4, k 1: 4...(4.2) mq mp jmqm1i mpm1 Sehingga : 2 2 j1 i1 2 4 j1 i3 4 2 j3 i1 Gambar 5 Bentuk umum Sudoku ukuran 4 4 x 1, k 1: 4, p 1: 2, q 1: 2 x x x 1, k 1: 4...(4.3) 1, k 1: 4...(4.4) 1, k 1: 4...(4.5)

24 14 4 k1 4 4 j3 i3 x 1, k 1: 4...(4.6) x 1, i 1: 4, j 1: 4...(4.7) x 1 ( i, j, k) G Dari persamaan (4.1) diperoleh: x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x141 x241 x341 x441 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x142 x242 x342 x442 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x143 x243 x343 x443 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x Dari persamaan (4.2) diperoleh : x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x411 x421 x431 x441 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x412 x422 x432 x442 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1,

25 15 x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x Dari persamaan (4.3) diperoleh: x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x Dari persamaan (4.4) diperoleh: x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x Dari persamaan (4.5) diperoleh: x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x Dari persamaan (4.6) diperoleh: x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x Dari persamaan (4.7) diperoleh: x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x411 x412 x413 x414 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1,

26 16 x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x431 x432 x433 x434 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x 1, x x x x Misalkan diberikan soal Sudoku 4 4: Dari konfigurasi soal puzzle diatas jika dimasukan ke dalam kala adalah sebagai berikut: Dari persamaan (4.1) x x x x x x x x x x x x x141 x241 x341 x x x x x x x x x x x x x x142 x242 x342 x x x x x x x x x x x x x x143 x243 x343 x x x x x x x x x x x x x x x x x Gambar 6 Contoh soal Sudoku 4 4

27 17 Dari persamaan (4.2) x x x x x x x x x x x x x411 x421 x431 x x x x x x x x x x x x x x412 x422 x432 x x x x x x x x x x x x x x413 x423 x433 x x x x x x x x x x x x x x x x x Dari persamaan (4.3) x x x x x x x x x x x x x x x x Dari persamaan (4.4) x x x x x x x x x x x x x x x x Dari persamaan (4.5) x x x x x x x x x x x x x x x x

28 18 Dari persamaan (4.6) x x x x x x x x x x x x x x x x Dari persamaan (4.7) diperoleh: x x x x x x x x x x x x x411 x412 x413 x x x x x x x x x x x x x x421 x422 x423 x x x x x x x x x x x x x x431 x432 x433 x x x x x x x x x x x x x x x x x Dari konfigurasi puzzle yang diberikan sudah dapat diketahui given yang diberikan yaitu: x 1; x 1; x 1; x 1; x 1; x 1; x Kala di atas memiliki 64 persamaan dan 64 variabel, dan persamaan yang sudah memenuhi kondisi yaitu sebanyak 28 persamaan. Jadi membutuhkan banyak iterasi pada persamaan di atas untuk memperoleh solusi dari puzzle yang diberikan. Oleh karena itu, berdasarkan konsep yang sama, digunakan langkahlangkah yang dapat merealisasikan formulasi tersebut. Langkah pertama Menentukan kemungkinan nilai k pada setiap elemen, dengan menambahkan nilai k pada elemen yang kosong, dan menambahkan angka 0 untuk selain nilai k. Nilai k pada soal merupakan bilangan given (G)

29 19 Untuk k bernilai given : x231 1 Untuk k bernilai given : x122 1 Untuk k bernilai given : x 1; x 1; x Untuk k bernilai given : x 1; x Langkah kedua Menentukan kemungkinan pada nilai k berdasarkan konsep hanya boleh ada 1 bilangan angka pada baris, kolom, dan mini grid dengan langkah: jadikan bilangan given sebagai poros; cek baris, kolom, dan mini grid, jika ada yang bernilai k maka ganti dengan angka 0 Kemungkinan k bernilai 1, dengan given x 23 sebagai poros

30 20 Kemungkinan k bernilai 2, dengan given x 12 sebagai poros Kemungkinan k bernilai 3, dengan given: x21; x42; x 34 sebagai poros Kemungkinan k bernilai 4, dengan given: x41; x 33 sebagai poros Langkah ketiga Setelah mencari kemungkinan nilai k, barulah memasukan kala pada semua kemungkinan nilai k. Kala: 4 x 1, j 1: 4, k 1: 4, i1 4 j1 x 1, i 1: 4, k 1: 4, 2 2 j1 i1 2 4 j1 i3 4 2 j3 i1 4 4 j3 i3 x x x x 1, k 1: 4, 1, k 1: 4, 1, k 1: 4, 1, k 1: 4. Kemungkinan k bernilai 1 4 x 1, j 1: 4, k 1 i1 ij1

31 21 x x x x x x x x x x x x x x x x j1 x 1, i 1: 4, k 1 ij1 x x x x x x x x x x x x x x x x j1 i1 x ij1 1, k 1 x111 x211 x121 x j1 i3 x ij1 1, k 1 x311 x411 x321 x j3 i1 x ij1 1, k 1 x131 x231 x141 x j3 i3 x ij1 1, k 1 x331 x431 x341 x Pada iterasi di atas dengan k = 1 diperoleh nilai x x 1; x 1( given); x 1; x yang memenuhi kondisi yaitu: dan selanjutnya iterasi dilanjutkan hingga k = 4, sehingga diperoleh nilai x, yaitu: x 1; x 1( given); x 1; x x 1( given); x 1( given); x 1; x 1( given) x 1( given); x 1; x 1( given); x

32 22 Semua solusi dari iterasi persamaan di atas dimasukan ke dalam Sudoku, ditampilkan pada gambar di bawah ini. Mencari Solusi Puzzle Sudoku Tradisional pada Matriks 9 9 Untuk menyelesaikan Sudoku yang berukuran 9 9 dengan aturan tradisional, kita bisa menggunakan dengan kala yang serupa, dengan nilai n=9, dan m=3, sehingga memiliki kala: n i1 x 1, j 1: n, k 1: n (hanya satu k di setiap kolom, dengan nilai n = 9) 9 i1 9 i2 x 1, j 1: 9, k 1: 9, x 1, j 1: 9, k 1: 9, Gambar 7 Solusi Sudoku 4 4 n j1 9 i9 x 1, j 1: 9, k 1: 9. x 1, i 1: n, k 1: n (hanya satu k di setiap baris dengan nilai n=9) 9 j1 9 j2 x 1, i 1: 9, k 1: 9, x 1, i 1: 9, k 1: 9, mq 9 j9 x 1, i 1: 9, k 1: 9. mp jmqm1i mpm1 x 1, k 1:9, p 1:3, q 1:3

33 23 9 k1 3 3 j1 i1 6 3 j4 i1 9 3 j7 i1 3 6 j1 i4 6 6 j4 i4 9 6 j7 i4 3 9 j1 i7 6 9 j4 i7 9 9 j7 i7 x x x x x x x x x 1, k 1: 9, 1, k 1: 9, 1, k 1: 9, 1, k 1: 9, 1, k 1: 9, 1, k 1: 9, 1, k 1: 9, 1, k 1: 9, 1, k 1: 9. x 1, i 1:9, j 1:9 x 1 ( i, j, k) G Bentuk matriks Sudoku ukuran 9 9 secara umum adalah: Gambar 8 Bentuk umum Sudoku ukuran 9 9

34 24 Untuk memperoleh solusi dari Sudoku berukuran 9 9 menggunakan software MATLAB , dengan membuat algoritma berbentuk script m-file dengan nama sudoku.m (lampiran 1). Contoh soal Sudoku 9 9: Gambar 9 Contoh soal Sudoku tradisional 9 9 Dan diubah ke dalam bentuk matriks, dengan nama matriks M: M Dan file dari sudoku.m dieksekusi akan memberikan solusi seperti di bawah ini sol _ M

35 Maka diperoleh Sudoku setiap elemen pada kolom, baris dan sub-matriks terisi oleh angka 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan. Gambar di bawah ini merupakan solusi dalam bentuk tabel Gambar 10 Solusi Sudoku tradisional ukuran 9 9 Pada script m-file sudoku.m dapat mengeksekusi soal Sudoku tradisional yang memiliki banyak solusi (terhingga). Output yang diberikan dari m-file ini adalah seluruh solusi. Di bawah ini akan diberikan contoh soal Sudoku yang memiliki banyak solusi yang terhingga. Soal Sudoku di atas setelah dieksekusi memberikan output (solusi) sebanyak 16 matriks solusi (lampiran 4) Mencari Solusi Puzzle Sudoku X (Sudoku Diagonal) pada Matriks 9 9 Pada bagian pembahasan ini, diperlukan kala tambahan untuk mencari solusi sudoku X, kalanya yaitu: 9 xrrk 1, k 1:9 (diagonal pertama tiap elemennya harus terisi angka 1-9) r Gambar 11 Contoh soal puzzle Sudoku yang memiliki banyak solusi (terhingga) x111 x221 x331 x441 x551 x661 x771 x881 x991 1

36 26 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xr (10 r) k 1, k 1:9 (diagonal kedua tiap elemennya harus terisi angka 1-9) r1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Dengan menambahkan kala, jadi diperlukan perubahan pada script Sudoku untuk mencari solusi sudoku X. Script m-file Sudoku yang baru diberi nama sudokux.m (Lampiran 2) untuk mencari solusi Sudoku diagonal. Contoh Gambar 12 Contoh soal Sudoku X ukuran 9 9 permasalahan untuk Sudoku diagonal:

37 27 Bentuk matriks dengan nama matriks M: M Jika sudokux.m dieksekusi akan memberikan solusi (lampiran 4), diperoleh solusi Sudoku X dalam bentuk matriks: sol _ M Maka solusi dalam bentuk tabel adalah: Gambar 13 Solusi Sudoku X ukuran 9 9

38 28 Hubungan Antar Ukuran Sudoku, Banyaknya Unsur Awal, dan Konfigurasi Sudoku Tradisional. Tabel di bawah ini diberikan gambaran hubungan antar ukuran Sudoku, unsur awal, dan konfigurasi pada Sudoku tradisional. Ukuran Sudoku yang digunakan yaitu: 4 4 (n 2 n 2, n = 2) dan 9 9 (n 2 n 2, n = 3), dengan unsur awal yang diberikan beragam : Ukuran Sudoku Unsur Awal Konfigurasi *) #Solusi yg diberikan I II III IV V VI VII I II III IV I II I II *) Lihat lampiran 12 Tabel 1 Hubungan antar ukuran, unsur, dan konfigurasi Sudoku tradisional Pada ukuran Sudoku 4 4 dengan pemberian 1 given, 2 given dan 3 given diketahui memiliki beragam solusi, kecuali pemberian 1 given memilik jumlah solusi yang sama (berlaku pada semua konfigurasi Sudoku ukuran 4 4). Dengan pemberian 2 given, pada tabel di atas diketahui ada yang memiliki solusi 24, 18,

39 36, 12 dengan konfigurasi yang berbeda-beda. Konfigurasi I, II, dan III memiliki variasi solusi yang seragam yaitu sebanyak 24 solusi. Konfigurasi I menempatkan given pada x 1,1 dan x 2,2 dengan x1,1 x2,2,konfigurasi II menempatkan given pada x1,2 dan x 1,3 dengan x1,2 x1,3, dan konfigurasi III menempatkan given pada x 2,2 dan x 2,3 dengan x2,2 x2,3. Sedangkan konfigurasi IV, V dan VI memberikan banyak solusi yang beragam, yaitu: 18, 36, dan 12 (lampiran 12). Untuk konfigurasi IV dan VI menghasilkan solusi yang seragam yaitu 18 solusi, sedangkan untuk konfigurasi V memberikan solusi 36 dan 12 (lampiran 12). Jadi dari beberapa bentuk konfigurasi dengan pemberian 2 given tidak memberikan jumlah solusi yang sama, begitu juga dengan pemberian 3 given pada Sudoku ukuran 4 4 memberikan beragam solusi. Hal ini juga terjadi pada Sudoku ukuran 9 9 memberikan beragam solusi untuk given yang sama (lampiran 12). SIMPULAN DAN SARAN 29 Simpulan Dalam penulisan karya ilmiah ini telah diperlihatkan pencarian solusi Sudoku dari soal puzzle yang ditentukan, dengan menggunakan metode branch and bound yang diimplementasikan pada script m-file. Pencarian solusi Sudoku diperluas tidak hanya untuk mencari solusi Sudoku tradisional, tetapi dengan penambahan beberapa kala dan perubahan pada script m-file sehingga bisa menemukan solusi untuk Sudoku diagonal atau dikenal dengan nama Sudoku X. Script m-file pada penulisan karya ilmiah ini telah berhasil memperoleh solusi Sudoku dengan menggunakan metode branch and bound. Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan juga bahwa hubungan antar ukuran Sudoku, unsur awal, dan konfigurasi Sudoku tradisional belum dapat menentukan pola keteraturan banyaknya solusi untuk Sudoku ukuran 9 9, namun untuk konfigurasi tertentu dapat ditentukan pola keteraturan menentukan banyaknya solusi yang muncul (Sudoku dengan ukuran 4 4). Saran Pada karya ilmiah ini pencarian solusi Sudoku hanya sampai solusi untuk Sudoku tradisional dan Sudoku X (diagonal). Saran untuk penulisan selanjutnya yaitu mencari solusi beberapa varian Sudoku yang baru. Dalam tulisan ini untuk mecari soal Sudoku masih menggunakan nilai given yang sudah tersedia, mungkin untuk penulisan selanjutnya bisa membuat soal-soal Sudoku yang memiliki hanya 1 (satu) solusi.

40 30 DAFTAR PUSTAKA Bartlett AC, Chartier TP, Langville AN, Rankin TD An Integer Programming Model for the Sudoku Problem. College of Charleston and Davidson College, (US). [Jurnal] Garfinkel RS & GL Nemhauser Integer Programming, New York.(US): John Willey & Sons. Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Alit Bondan: Penerjemah, Jakarta. (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra With Applications. Setianto D Penjadwalan Kereta Api Menggunakan Pemrograman Linear Integer [Skripsi]. Bogor (ID): Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Taha HA Pengantar Riset Operasi. Drs. Daniel Wirajaya: Penerjemah, Jakarta. (ID): Binarupa Aksara. Terjemahan dari: Operations Research. Winston WL Operations Research; Applications and Algorithms 4th ed. Duxbury, New York (US).

41 31 Lampiran 1 Script m-file sudoku.m untuk mencari solusi Sudoku tradisional. %created by: Michael Kleder, December 2006 %Script M-File MATLAB function A=sudoku(M) if ndims(m)~=2 error('matriks harus 2 dimensi.') if any((size(m)-[9 9])~=0) error('matriks yang dibuat harus memiliki 9 kolom dan 9 baris.') if any(any(m~=floor(m))) any(abs(m(:)-4.5)>4.5) error(soal dan solusi merupakan bilangan bulat 1 sampai 9.') A=0*M; [M,imp,A]=recurse(M,A); if imp error('tidak ada solusi.') A=A(:,:,2:); return function [M,imp,A]=recurse(M,A) [M,imp]=deduce(M); if imp return z=find(~m(:)); if isempty(z) A(:,:,+1)=M; return impall=zeros(1,9); for v=1:9 Q=M; Q(z(1))=v; [Q,impall(v),A]=recurse(Q,A); imp=all(impall); M=Q; return function [M,imp]=deduce(M) imp=0; Mprev = 10*M; while any(m(:)-mprev(:)) Mprev=M; N=ones(9,9,9); [i,j]=find(m); for n=1:length(i) N(i(n),j(n),:)=0; N(i(n),j(n),M(i(n),j(n)))=1;

42 32 if any(any(sum(n,3)<1)) imp=1; return [i,j]=find(sum(n,3)<2); for n=1:length(i) if any(any(sum(n,3)<1)) imp=1; return v = find(n(i(n),j(n),:)); M(i(n),j(n)) = v; N(:,j(n),v)=0; N(i(n),:,v)=0; br = floor((i(n)-.5)/3)*3+1; bc = floor((j(n)-.5)/3)*3+1; N(br:br+2,bc:bc+2,v)=0; N(i(n),j(n),v)=1; for i=1:9 for j=1:9 k=find(n(i,j,:)); if length(k)==1 M(i,j)=k; for i=1:9 for k=1:9 j=find(n(i,:,k)); if length(j)==1 M(i,j)=k; for j=1:9 for k=1:9 i=find(n(:,j,k)); if length(i)==1 M(i,j)=k; for i=[1 4 7] for j=[1 4 7] for k=1:9 Q=N(i:i+2,j:j+2,k); [pr,pc]=find(q); if length(pr)==1 M(i+pr-1,j+pc-1)=k; return

43 Lampiran 2 Script m-file sudokux.m untuk mencari solusi Sudoku X (Sudoku diagonal) %Script M-File MATLAB function [A,B]=sudokuX(M) if ndims(m)~=2 error('matriks harus 2 dimensi.') if any((size(m)-[9 9])~=0) error('matriks yang dibuat harus memiliki 9 kolom dan 9 baris.') if any(any(m~=floor(m))) any(abs(m(:)-4.5)>4.5) error('soal dan solusi merupakan bilangan bulat 1 sampai 9.') A=0*M; [M,imp,A]=recurse(M,A); if imp error('tidak ada solusi.') A=A(:,:,2:); C=numel(A)/81; for sol = 1:C seq=[ ]; seqver=zeros(1,9); seqhor=zeros(1,9); for i =1:9 seqver(i)=a(i,i,sol); for j =1:9 seqhor(j)=a(j,10-j,sol); if ((sum(abs(seq-sort(seqver)))==0) && (sum(abs(seqsort(seqhor)))==0)) B=A(:,:,sol); return B='Tidak ada solusi untuk sudoku X.'; return function [M,imp,A]=recurse(M,A) [M,imp]=deduce(M); if imp return z=find(~m(:)); if isempty(z) A(:,:,+1)=M; return 33

44 34 impall=zeros(1,9); for v=1:9 Q=M; Q(z(1))=v; [Q,impall(v),A]=recurse(Q,A); imp=all(impall); M=Q; return function [M,imp]=deduce(M) imp=0; Mprev = 10*M; while any(m(:)-mprev(:)) Mprev=M; N=ones(9,9,9); [i,j]=find(m); for n=1:length(i) N(i(n),j(n),:)=0; N(i(n),j(n),M(i(n),j(n)))=1; if any(any(sum(n,3)<1)) imp=1; return [i,j]=find(sum(n,3)<2); for n=1:length(i) if any(any(sum(n,3)<1)) imp=1; return v = find(n(i(n),j(n),:)); M(i(n),j(n)) = v; N(:,j(n),v)=0; N(i(n),:,v)=0; br = floor((i(n)-.5)/3)*3+1; bc = floor((j(n)-.5)/3)*3+1; N(br:br+2,bc:bc+2,v)=0; N(i(n),j(n),v)=1; for i=1:9 for j=1:9 k=find(n(i,j,:)); if length(k)==1 M(i,j)=k; for i=1:9 for k=1:9 j=find(n(i,:,k)); if length(j)==1 M(i,j)=k;

45 for j=1:9 for k=1:9 i=find(n(:,j,k)); if length(i)==1 M(i,j)=k; for i=[1 4 7] for j=[1 4 7] for k=1:9 Q=N(i:i+2,j:j+2,k); [pr,pc]=find(q); if length(pr)==1 M(i+pr-1,j+pc-1)=k; return 35

46 36 Lampiran 3 Contoh mencari solusi untuk soal Sudoku ukuran 9 9 dengan script m-file >> M = [ ; ; ; ; ; ; ; ; ]; >> sudoku(m) ans =

47 Lampiran 4 Contoh mencari solusi untuk soal Sudoku ukuran 9 9 yang memiliki banyak solusi (terhingga) dengan menggunakan script m-file 37 >> M=[ ; ; ; ; ; ; ; ; ]; >> sudoku(m) ans(:,:,1) = ans(:,:,2) = ans(:,:,3) =

48 38 ans(:,:,4) = ans(:,:,5) = ans(:,:,6) = ans(:,:,7) =

49 39 ans(:,:,8) = ans(:,:,9) = ans(:,:,10) = ans(:,:,11) =

50 40 ans(:,:,12) = ans(:,:,13) = ans(:,:,14) = ans(:,:,15) =

51 41 ans(:,:,16) =

52 42 Lampiran 5 Contoh mencari solusi untuk soal Sudoku X ukuran 9 9 dengan menggunakan script m-file >> M = [ ; ; ; ; ; ; ; ; ]; >> [A,B]=sudokuX(M) A = B = Matriks B merupakan solusi untuk Sudoku X

53 Lampiran 6 Contoh mencari solusi untuk soal Sudoku X ukuran 9 9 yang memiliki banyak solusi (terhingga) dengan menggunakan script m-file 43 >> M=[ ; ; ; ; ; ; ; ; ]; >> [A,B]=sudokuX(M) A(:,:,1) = A(:,:,2) = B = Matriks B merupakan solusi untuk Sudoku X

54 44 Lampiran 7 Hubungan antar ukuran Sudoku, banyaknya unsur awal, dan konfigurasi Sudoku tradisional Sudoku 4 4 dengan unsur awal (given) 2 Konfigurasi I Konfigurasi II Dimana dan Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan 24 solusi Konfigurasi III Dimana dan Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan 24 solusi Konfigurasi IV Dimana dan Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan 24 solusi dan Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan 18 solusi

55 45 Konfigurasi V Konfigurasi VI dan Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan beragam solusi, yaitu 36 dan 12 solusi dan Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan 18 solusi Konfigurasi VII dan Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan 18 solusi

56 46 Sudoku 4 4 dengan unsur awal (given) 3 Konfigurasi I Konfigurasi II dan Dimana ; ; Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan 12 solusi dan Dimana ; ; Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan 6 solusi Konfigurasi III Konfigurasi IV dan Dimana ; ; Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan 6 solusi dan Dimana ; ; Dengan konfigurasi tersebut menghasilkan solusi yang beragam, yaitu: 6, 12, dan 3 solusi

57 47 Sudoku 9 9 dengan unsur awal (given) 45 Konfigurasi I Menghasilkan sebanyak 3448 solusi Menghasilkan sebanyak 2861 solusi Konfigurasi II Menghasilkan sebanyak 1356 solusi Menghasilkan sebanyak 1608 solusi