KONSTRUKSI LIFE TABLE UNTUK INDIVIDU

Transkripsi

1 KONSTRUKSI LIFE TABLE UNTUK INDIVIDU DALAM INTERVAL WAKTU SATU TAHUN oleh ANIS FUUADAH NIM. M SKRIPSI dtuls dan dajukan untuk memenuh sebagan persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sans Matematka. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2005

2 SKRIPSI KONSTRUKSI LIFE TABLE UNTUK INDIVIDU DALAM INTERVAL WAKTU SATU TAHUN yang dsapkan dan dsusun oleh ANIS FUUADAH M Pembmbng I, dbmbng oleh Pembmbng II, Drs. Kartko, M.S Dr. Sutanto, M.Sc NIP: NIP: Telah dpertahankan d depan Dewan Penguj pada har Sabtu, tanggal 16 Aprl 2005 dan dnyatakan telah memenuh syarat. Anggota Tm Penguj : Tanda Tangan 1. Drs. Sr Subant M.S NIP Dra. Etk Zukhronah M.S 2... NIP Drs Santosa B.W., M.S 3... NIP Surakarta, 2005 Dsahkan oleh Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan, Ketua Jurusan Matematka, Drs. Marsus, M.S Drs. Kartko M.S NIP NIP

3 ABSTRAK ANIS FUUADAH 2005, KONSTRUKSI LIFE TABLE UNTUK INDIVIDU DALAM INTERVAL WAKTU SATU TAHUN, FMIPA UNS Data yang menunjukkan usa hdup suatu ndvdu dsebut sebaga data waktu hdup. Dengan data waktu hdup dapat dbentuk fungs tahan hdup yang selanjutnya dapat dgunakan untuk mengestmas probabltas kematan ndvdu berusa sampa +1. Selanjutnya hasl estmas yang dperoleh dsajkan dalam bentuk tabel yang dsebut sebaga lfe table. Penulsan skrps n bertujuan untuk menentukan probabltas kegagalan (kematan) suatu ndvdu berusa sampa usa + 1, dengan merupakan usa hdup suatu ndvdu dan dsajkan dalam lfe table. Selanjutnya mengkonstruks lfe table dengan unsur-unsur pembentuk lfe table yang lebh lengkap. Metode yang dgunakan dalam penulsan skrps n adalah stud lteratur dserta dengan contoh aplkas kasus. Langkah yang dpergunakan adalah dengan mengelompokkan keadaan ke dalam kelompok-kelompok kasus yang mungkn terjad. Selanjutnya menentukan parameter untuk masng-masng kasus. Berdasarkan hasl pembahasan, dperoleh kesmpulan bahwa persamaan lkelhood yang menunjukkan probabltas suatu ndvdu berusa mengalam kegagalan (kematan) sampa usa 1 +, 1 dalam adalah + tahun dalam nterval ( ] ( ) + ( ) + ( ) ( + ) rsn q k e d rs e n r n k s q 3 2 ( ) ( ) + d k r+ d + e s+ n + k e q d = 0 Selanjutnya dapat dbentuk lfe table dengan unsur-unsur pembentuknya adalah, d, q, p, l, L, T dan e.

4 ABSTRACT ANIS FUUADAH 2005, CONSTRUCT OF LIFE TABLE FOR INDIVIDUAL IN THE INTERVAL OF TIME A YEAR, FMIPA UNS Llfe epectancy data of an ndvdual s called lfe tme data. Wth lfe tme data, t s possble to form survvor functon that can be used to estmate death probablty of an ndvdual aged to +1. Then the result s presented n a form of table called lfe table. Ths task s amed to determne falure (death) probablty of an ndvdual aged to +1, as the ndvdual lfe tme presented n lfe table. The net step s to construct the lfe table wth more complete lfe table formng elements. The methode used n ths task s lterare study that gven an eample for case applcaton. The steps used are to group crcumstances n possble case groups and to determne parameter for each case. Based on the results of the analyss, the concluson s that the equalty that shows probablty of an ndvdual aged to eperence falure (death) to aged +1 s ( ) + ( ) + ( ) ( + ) rsn q k e d rs e n r n k s q 3 2 ( ) ( ) + d k r+ d + e s+ n + k e q d = 0 Then t can be constructed lfe table wth formng elements are, d, q,, L, T and e. p, l v

5 MOTTO Luangkan waktu untuk bersanta, manakala tba waktunya untuk bertndak, jangan ragu dan bergegaslah untuk menyelesakannya Yakn usaha sampa (Bonaparte, N) (Mars HMI) Impan hanya akan jad angan-angan kecual jka mula kerjakan sekarang juga. (Penuls) v

6 PERSEMBAHAN Skrps n penuls persembahkan sepenuhnya guna kemajuan lmu pengetahuan khususnya bdang Matematka.

7 KATA PENGANTAR Bsmllaahrrahmanrrahm, puj syukur penuls panjatkan kehadrat Allah SWT yang telah memberkan rahmat dan hdayah-nya, sehngga penuls dapat menuangkan pemkran-pemkran penuls dan tersaj dalam skrps n yang berjudul Konstruks Lfe Table untuk Indvdu dalam Interval Waktu Satu Tahun. Penyusunan skrps n dmaksudkan untuk memenuh salah satu persyaratan guna memperoleh gelar sarjana pada jurusan Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Sebelas Maret. Penuls menyampakan ucapan termakash sebesar-besarnya kepada berbaga phak yang telah memberkan bantuan berupa dorongan, bmbngan, petunjuk, krtk dan saran kepada penuls. Karena dengan bantuan yang dberkan maka penulsan skrps n dapat terselesakan. Ucapan termakash terutama penuls tujukan kepada : 1. Bapak Drs. Kartko, M.S. dan Bapak Dr. Sutanto, S.S, DEA selaku dosen pembmbng I dan dosen pembmbng II yang telah memberkan arahan, bmbngan dan saran dalam proses penulsan skrps n. 2. Keluargaku, Bapak, Ibu, adk Iwan dan Gunawan atas dorongan dan do a kepada penuls. 3. Kawan-kawan seperjuangan d HMI Cabang Surakarta Henny, Krs, Rahmat, dan HMI Komsarat MIPA Suharto, Nur, Tryono, Joko Sutopo, Bang Subuh, Bang Drajat, Ryan yang senantasa turut mewarna lku-lku pembuatan skrps n. 4. Kawan-kawan Galat dan kawan-kawan se-angkatan 98 Wan Khudr, Retno, QQ, Yunta atas segala bantuannya selama proses pembuatan skrps n. Penuls mengharapkan semoga skrps n dapat member manfaat bag para pembaca khususnya mahasswa Fakultas Matematka Dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surakarta, Aprl 2005 Penuls

8 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PENGESAHAN.. ABSTRAK ABSTRACT.. HALAMAN MOTTO... HALAMAN PERSEMBAHAN... KATA PENGANTAR.. DAFTAR ISI..... DAFTAR TABEL. DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL. BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat. BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Tnjauan Pustaka Ruang Sampel dan Probabltas Kejadan Varabel Random Fungs Data Waktu Hdup Fungs Denstas Probabltas Fungs Tahan Hdup Fungs Laju Hazard Statstk Terurut Data Tersensor Data Tersensor Tpe I Data Tersensor Tpe II.... Halaman v v v v v v

9 2.1.6 Metode Estmas Harga Parameter Dstrbus dengan MetodeMaksmum Lkelhood Lfe Tables Kerangka Pemkran... BAB III METODE PENELITIAN. BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Konstruks Lfe Table. 4.2 Aplkas Konstruks Lfe Table untuk Indvdu dalam Interval Waktu Satu tahun BAB V PENUTUP 5.1 Kesmpulan Saran... DAFTAR PUSTAKA v

10 DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL S ruang sampel f (.) fungs denstas probabltas g (.) fungs denstas probabltas untuk statstk terurut F (.) fungs dstrbus S (,) fungs tahan hdup L (.) fungs lkelhood λ (.) fungs laju hazard δ d varabel ndkator untuk data tersensor tpe I usa jumlah kematan ndvdu berusa µ probabltas suatu ndvdu mat pada usa dalam nterval ( +, 1] q probabltas kematan ndvdu berusa dalam ( +, 1] p probabltas tahan hdup ndvdu berusa dalam ( +, 1] l harga harapan ndvdu bertahan hdup dalam ( +, 1] L harga harapan ndvdu bertahan hdup melewat ( +, 1] e w n k r t enders wthdrawals jumlah ndvdu tepat berusa memasuk pengamatan new entrants ssa bulan saat ndvdu memasuk pengamatan dkurang usa eact per 12 bulan ssa bulan saat ndvdu mennggalkan pengamatan dkurang usa eact per 12 bulan

11 1 BAB I PENDAHULUAN Dalam peneltan d bdang bolog, kedokteran dan demograf banyak dhaslkan data waktu hdup (lfe tme data) yatu data yang menerangkan usa hdup suatu ndvdu. Dar data waktu hdup yang dperoleh dapat dpredks lama hdup suatu makhluk hdup yang mengalam kegagalan dan kematan. Perusahaan yang bergerak d bdang asurans sangat memerlukan predks datas sebaga pertmbangan dalam menentukan prem asurans perusahaan atau menentukan lamanya garans waktu untuk sebuah barang. Data waktu hdup yang dperoleh dar hasl peneltan merupakan varable tak negatf dan membentuk suatu fungs. Fungs dstrbus yang terbentuk dar data yang ada tanpa asums dstrbus merupakan nonparametrk. Dalam lmu statstka analss yang dgunakan untuk menganalss data waktu hdup dnamakan analss tahan hdup (survval) (Lawless,1982:1). Analss tahan hdup yang menganalss data waktu hdup dalam nterval waktu tertentu menghaslkan rumusan-rumusan yang basanya dsajkan dalam bentuk tabel dan dsebut lfe table. Lfe table memperlhatkan probabltas kegagalan (kematan) suatu ndvdu dalam nterval waktu tertentu., probabltas tahan hdup suatu ndvdu dalam nterval waktu tertentu dan fungs-fungs lannya yang dkembangkan dar data waktu hdup sesua kebutuhan stakeholder (pengguna) lfetable (Elandt Johnson,1979:93). Untuk memperoleh data waktu hdup yang dgunakan untuk mengkonstruks lfe table, perlu dlakukan pengamatan pada sekelompok ndvdu dalam selang nterval waktu tertentu (cohort). Dalam kenyataannya, pengamatan sampel untuk data waktu hdup serngkal dbutuhkan waktu yang sangat lama sehngga tdak efsen dalam hal waktu dan baya. Untuk mengatas ketdakefsenan tersebut, dlakukan metode penyensoran (censorng), yatu peneltan yang dlakukan dengan batasan waktu atau batasan jumlah data yang dperlukan. Data yang dperoleh dar peneltan yang dlakukan dengan batasan waktu tertentu dnamakan data tersensor tpe I, sedangkan data yang dperoleh

12 2 dar peneltan dengan batasan jumlah data yang dperlukan dsebut sebaga data tersensor tpe II. Data waktu hdup yang dperoleh dar peneltan yang tdak tersensor termasuk dalam data waktu hdup lengkap (complete data), yatu data hdup yang terdr dar waktu kematan atau kegagalan dar semua unt ndvdu dalam sampel (Ban Engelhardt, 1992). Dalam sebuah populas, dmungknkan terjad beberapa kasus yang berkatan dengan penambahan atau pengurangan jumlah anggota populas selama nterval waktu ( +, 1], dengan merupakan usa ndvdu. Pengurangan jumlah anggota populas dapat dsebabkan karena ada ndvdu yang mennggal selama pengamatan atau ada ndvdu yang mennggalkan pengamatan selan sebab kematan (wthdrawals). Berkatan dengan pengurangan dan penambahan jumlah anggota populas tersebut, maka dalam skrps n populas akan dbag kedalam empat kasus yatu: jka dalam nterval ( +, 1] tdak ada ndvdu yang masuk dan keluar pengamatan, jka dalam nterval ( +, 1] ada ndvdu yang masuk dan tdak ada yang keluar pengamatan, jka dalam nterval ( +, 1] tdak ada ndvdu yang masuk dan ada yang keluar pengamatan, dan jka dalam nterval ( +, 1] ada ndvdu yang masuk dan ada ndvdu yang keluar. Dengan analss tahan hdup untuk masng-masng kasus, akan dperoleh probabltas suatu ndvdu berusa yang mengalam kegagalan (kematan) sampa usa + 1 untuk masng-masng kasus. Dar probabltas kegagalan ndvdu dalam nterval ( +, 1] yang dperoleh dapat dcar fungs-fungs dasar lannya untuk mengkonstruks lfe table yang lebh lengkap. Dalam penulsan n juga akan dgambarkan pola kematan per usa tahun dalam satu tahun dar suatu ndvdu.

13 3 1.2 Rumusan Masalah Permasalahan yang akan dbahas dalam penulsan skrps n adalah : 1. Bagamana menentukan probabltas suatu ndvdu berusa mengalam kegagalan (kematan) sampa usa + 1? 2. Bagamana menentukan fungs-fungs dasar untuk mengkonstruks lfe table? 3. Bagamana menggambarkan pola kematan per usa tahun dalam satu tahun? 1.3 Batasan Masalah Untuk membatas ruang lngkup pada penulsan n dberkan batasan masalah sebaga berkut : 1. Data yang dgunakan merupakan data waktu hdup tersensor tpe I dan berasal dar populas yang mempunya fungs dstrbus nonparametrk. 2. Data waktu hdup merupakan data berkelompok (cohort) dan tdak terdapat anggota populas yang hlang (wthdrawals). 1.4 Tujuan Tujuan dar penulsan skrps n adalah : 1. Dapat menentukan probabltas suatu ndvdu berusa mengalam kegagalan (kematan) sampa usa Dapat menentukan fungs-fungs dasar untuk mengkonstruks lfe table. 3. Menggambarkan pola kematan per usa tahun dalam satu tahun. 1.5 Manfaat Manfaat yang dharapkan dar penulsan skrps n adalah menambah wawasan pengetahuan tentang lmu stasstk dalam hal lfe table kepada penuls pada khususnya dan pembaca pada umumnya.

14 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II, landasan teor akan dbag menjad dua sub bab, yatu tnjauan pustaka dan kerangka pemkran. 2.1 Tnjauan Pustaka Untuk mengkonstruks lfe table dbutuhkan pengertan tentang konsep dasar statstka yatu ruang sampel dan probabltas kejadan, varabel random, dstrbus varabel random, fungs data waktu hdup, tpe-tpe data tersensor, metode estmas parameter, dan lfe table Ruang Sampel dan Probabltas Kejadan Sebuah ekspermen menunjukkan suatu proses pengamblan sampel dar beberapa fenomena. Sampel-sampel tersebut dbentuk ke dalam suatu rumusan matematka dengan mengacu pada landasan teor yang telah dtentukan. Adapun landasan teor yang dmaksud adalah sebaga berkut. Defns 1 (Ban Engelhardt, 1992:2) Hmpunan dar semua hasl ekspermen yang mungkn dsebut ruang sampel, S. Defns 2 (Ban Engelhardt, 1992:18) Msalkan A dan B menyatakan kejadan-kejadan dar ruang sampel Ω, maka probabltas bersyarat dar kejadan A bla dberkan kejadan B adalah ( B) P( B) P A ( ) = dengan ( ) 0 P AB Varabel Random P B. Defns 3 (Ban Engelhardt, 1992:53) Varabel random X adalah suatu fungs yang terdefns dalam ruang sampel S, yang memetakan setap hasl yang mungkn e dalam S dengan suatu blangan real, sedemkan hngga X ( e) =.

15 Varabel random dbedakan menjad dua, yatu varabel random dskrt dan varabel random kontnu. Defns 4 (Ban Engelhardt, 1992:56) Jka hmpunan dar varable-varable yang mungkn dar varable random X merupakan hmpunan terhtung (countable set) yang dnotaskan dengan 1, 2,..., n, 1, 2,..., maka X dnamakan varable random dskrt. Maka probabltas setap harga yang mungkn dnyatakan dalam fungs kepadatan probabltas (pdf) dskrt, yatu: ( ) = [ = ] f P X, = 1, 2,... Defns 5 (Ban Engelhardt, 1992:58) Fungs dstrbus kumulatf dar varabel random dskrt X ddefnskan untuk setap blangan real adalah F( ) = P( X ) dengan f() merupakan fungs kepadatan probabltas yang bernla non negatf untuk setap dan mempunya probabltas total sama dengan 1. Defns 6 (Ban Engelhardt, 1992:64) Varabel random X dsebut varabel random kontnu jka fungs dstrbus kumulatf dapat dnyatakan dengan F() = f(t)dt dengan f() merupakan fungs kepadatan probabltas yang bernla non negatf untuk setap dan mempunya probabltas total sama dengan 1. Defns 7 (Ban Engelhardt, 1992:159) Hmpunan varabel random X,X 1 2,...,X n dsebut sampel random berukuran n dar suatu populas dengan fungs kepadatan f ( ) apabla fungs kepadatan probabltas bersamanya mempunya bentuk ( ) = ( ) ( ) ( ) f,,..., f f...f 1 2 n 1 2 n

16 2.1.3 Fungs Data Waktu Hdup Terdapat beberapa cara untuk menyatakan dstrbus data waktu hdup. Dantaranya adalah dengan fungs denstas probabltas, fungs tahan hdup dan fungs laju hazard. Dstrbus data waktu hdup dapat dnyatakan dengan fungs denstas probabltas, fungs tahan hdup atau fungs laju hazard. Defns 8 (Ban Engelhardt, 1992:66) Fungs Denstas Probabltas Msalkan varabel random X menunjukkan waktu hdup dar ndvdu dalam suatu populas. Waktu hdup X merupakan varabel random kontnu dan nonnegatf dalam nterval [ 0, ). Maka fungs kepadatan probabltas dar waktu hdup merupakan probabltas suatu ndvdu mat atau gagal dalam nterval waktu dar sampa +. Fungs denstas pobabltas dnyatakan dengan f ( ) ( < < + ) P X = lm ( 2.1 ) Teorema 1 (Ban Engelhardt, 1992:65) Fungs f ( ) merupakan fungs kepadatan probabltas dar varabel random kontnu X jka dan hanya jka memenuh sfat: ( ) f ( ) 0 untuk semua f d ( ) ( ) ( ) = 1. Defns 9 (Lawless,1982:8) Fungs Tahan Hdup Fungs tahan hdup adalah probabltas suatu ndvdu mash dapat bertahan hdup sampa dengan waktu ( > 0).

17 Jka T merupakan varabel random dar waktu hdup suatu ndvdu dalam nterval [ 0, ), maka fungs dstrbus kumulatf F( t ) untuk dstrbus kontnu dengan fungs kepadatan probabltas f(t) ddefnskan sebaga berkut = t F( t) = PT ( t ) atau ( ) ( ) oleh karena tu dperoleh fungs tahan hdup : () 1 () ( ) S t = F t = f d t F f d, untuk t > 0 ( T ) = Pt 0 Jad hubungan fungs kepadatan probabltas dengan fungs tahan hdup adalah : ( < < + ) P X f ( ) = lm = F' = S' ( ) ( ) Fungs tahan hdup S( ) merupakan fungs monoton turun yang mempunya sfat S = untuk 0, ) ( ) 1 ) S( ) = 0 untuk Fungs Laju Hazard Defns 10 (Lawless,1982:8) Fungs laju hazard adalah probabltas suatu ndvdu mat dalam nterval waktu dar sampa +, jka dketahu ndvdu tersebut mash dapat bertahan hdup sampa dengan waktu. Fungs laju hazard secara matematka dnyatakan sebaga : λ ( ) ( < + ) P X X = lm 0 Msalkan f ( ) adalah fungs kepadatan probabltas pada waktu, maka dar persamaan d atas dperoleh :

18 λ ( ) λ ( < + ) P X X = lm 0 ( ) ( < + ) ( ) P( X ) P X X = lm 0 ( < + ) P( X ) P X = lm 0 ( + ) ( ) 1 ( ) 1 F F = lm 0 F ( + ) ( ) F F 1 = lm 0 S ( ) ( ) ( ) F' = S f ( ) λ ( ) = ( 2.2 ) S( ) Statstk Terurut Sampel random berukuran n, X,X 1 2,...,X n dsebut statstk terurut jka sample random tersebut terurut dar terkecl dnyatakan dengan X 1:n,X 2:n,...,X n:n atau Y,Y 1 2,...,Y n. Teorema 2 (Ban Engelhardt,1992:217) ke terbesar atau sebalknya. Statstk terurut Sampel random X,X 1 2,...,X n berukuran n dar fungs kepadatan probabltas yang kontnu, f ( ) > 0; a< < b maka fungs kepadatan probabltas dar statstk terurut ke- k, Y k adalah n! g ( y ) = F y F y f y k! n k! ( 1) ( ) k 1 n k ( ) 1 ( ) ( ) k k k k k, dengan a< yk < b Data Tersensor

19 D dalam analss tahan hdup, data waktu melput data tersensor dan tdak tersensor. Untuk data tersensor sendr mash dbedakan menjad dua bagan, yatu data tersensor tpe I dan data tersensor tpe II Data Tersensor Tpe I (Lawless,1982) Lawless (1982:35) menyebutkan bahwa dalam suatu observas uj hdup, n ndvdu dtempatkan pada suatu uj dan dtentukan untuk mengakhr uj setelah waktu L berlalu. Waktu kegagalan akan dketahu dengan tepat hanya untuk ndvdu yang gagal dalam selang waktu L tersebut. Msalkan terdapat n ndvdu dengan ke- yang dkena waktu penyensoran X merupakan waktu kegagalan ndvdu L. Msalkan berdstrbus dentk dan ndependen dengan fungs kepadatan probabltas f ( ; θ ), fungs tahan hdup S( X ). Tahan hdup yang tepat dar ndvdu ke- akan teramat jka X < L. Data yang terkumpul dapat dsajkan dengan n pasang varabel random (, ) X L dengan ( ) = mn X, L dan δ 1 jkax L = 0 jkax > L dan X X jka teramat = L jka tersensor Defns 11 (Lawless,1982:35) δ mengndkaskan waktu hdup dan = L jka tersensor. X tersensor atau tdak, = X jka teramat, dskrt. Fungs kepadatan probabltas bersama dar dan δ adalah Varabel random Untuk bagan dskrt = L δ (, ) ( ) ( ) 1 δ δ = ( 2.3 ) f f S L merupakan gabungan antara varabel random kontnu dan

20 Sedangkan pada bagan kontnu, untuk nla < L fungs kepadatan probabltas nya adalah dan P( L) < L. ( = ) = ( δ = 0) = ( > ) = ( ) P L P P X L S L ( ) ( ) f = 1 S L < menyatakan fungs kepadatan probabltas dar dengan syarat Jad, dstrbus dar (, ) L mempunya komponen ( =, δ = 0) = ( δ = 0) = ( ) P L P S L (, δ = 1) = ( δ = 1) ( δ = 1) P P P < L = f ( ) dan P(, L ) = f ( ; θ ) dan jka bagan-bagan dar (, ) ( δ = 1) = ( < ) P P L δ ndependen maka fungs lkelhood dberkan dengan n = 1 δ ( ) ( ) 1 L= f S L δ Data Tersensor Tpe II Lawless (1982:32) menyebutkan bahwa data tersensor tpe II merupakan data kematan atau kegagalan dar r observas terkecl dalam sampel random yang berukuran n dengan 1 r n. Data tersensor tpe II dperoleh dar penyeldkan terhadap n observas, sehngga penyensoran berhent sampa observas sampel yang mempunya waktu kematan atau kegagalan ke- r. Penyensoran tpe II umumnya data terdr dar r waktu hdup terkecl dengan r dar sampel random berukuran n. Jka,,..., berdstrbus dentk dan ndependen dengan fungs kepadatan probabltas 2 n

21 (pdf) f ( ) dan fungs tahan hdup ( ) maka fungs dstrbus bersama dar X1, X2,..., X n adalah S serta Y1, Y2,..., Y n merupakan statstk terurut, n! ( (), ( ),..., 1 2 ( )) ( 1) ( 2)... r ( r) ( r) g = f f f S n r! n r Metode Estmas Harga Parameter Dstrbus Dengan Metode Maksmum Lkelhood Metode untuk mengestmas harga parameter dstrbus dar data dalam fungs tahan hdup dalam penulsan skrps n adalah dengan metode maksmum lkelhood. Defns 12 (Ban Engelhardt,1992:293) Fungs kepadatan probabltas (pdf) bersama dar X,X 1 2,...,X n yang devaluas pada 1 2 n parameter θ. Untuk,,..., 1 2 n tetap, n varabel random,,..., adalah f ( ),,...,;θ dengan 1 2 n fungs lkelhood merupakan fungs dar parameter θ dan dnotaskan dengan L( θ ). Jka X,X 1 2,...,X n merupakan sampel random dar fungs kepadatan probabltas (pdf) f ( ;θ ) maka fungs lkelhoodnya adalah : ( θ ) = ( θ) ( θ) ( θ ) = ( θ) L f ; f ;...f ; f ; 1 2 Defns 13 (Ban Engelhardt,1992:294) Msalkan L( θ ) = f ( ; θ) f ( ; θ)...f ( ; θ ) = f ( ; θ) 1 2 n n n = 1 n. θ Ω yang = 1 merupakan fungs kepadatan probabltas (pdf) bersama dar X,X 1 2,...,X n. Bla dberkan hmpunan dar observas,,..., 1 2 n nla ˆθ dalam Ω memberkan nla maksmum pada L( θ ) dsebut maksmum lkelhood estmator dar θ. Dalam hal n ˆθ merupakan nla dar θ yang memenuh : ( ˆ 1 2 θ ) = ( 1 2 n θ) f,,..., maks f,,... ; θ Ω Defns 14 (Ban Engelhardt,1992:294)

22 Maksmum lkelhood estmator dar θ dperoleh dengan menyelesakan θ persamaan LnL( θ ) = 0, msalkan ada k parameter yang tdak dketahu, maka maksmum lkelhood estmator dar θ ddapat dengan menyelesakan : LnL ( θ, θ,..., θ ) = θ 1 2 k 0 Defns 15 (Ban Engelhardt,1992:290) Statstk T ( X,X,...,X ) n 1 2, dengan = 12,,...,k. =θ yang dgunakan untuk mengestmas nla dar n τθ ( ) dsebut estmator dar τθ ( ) dan nla statstk dsebut taksran dar τθ. ( ) Lfe Tables Dar analss data waktu hdup, dapat dbentuk suatu model dar fungs tahan hdup yang menunjukkan besarnya harga harapan suatu ndvdu dapat bertahan hdup sampa usa + 1 tahun, dengan merupakan usa suatu ndvdu. Model n selanjutnya dsajkan dalam bentuk tabel dsebut lfe tables. Defns 16 (Elandt Johnson, 1979: 84) Msalkan l adalah jumlah ndvdu tepat berusa yang dharapkan mash bertahan hdup dar sejumlah populas l 0. Maka propors dar ndvdu yang bertahan hdup pada usa adalah Msalkan Jka r l = ( 2.4 ) l0 P d merupakan jumlah kematan yang dharapkan dalam nterval (, 1) q merupakan probabltas kematan dalam (, r) +. +, maka probabltas kematan dalam nterval ( +, 1), r = 1 dengan syarat ndvdu hdup d awal nterval adalah q d = ( 2.5 ) l Dan probabltas tahan hdup dalam nterval ( +, 1) atau survve melewat usa + 1 adalah

23 p l = = ( 2.6 ) q l Propors tahan hdup yang dharapkan sampa n tahun dengan syarat hdup d usa adalah Defns 17 (Elandt Johnson, 1979: 84) n l + n = ( 2.7 ) l L merupakan jumlah ndvdu dar banyaknya P l ndvdu berusa yang dharapkan hdup melewat ( +, 1). Masng-masng anggota cohort yang mat pada nterval ( +, 1) memberkan kontrbus satu tahun untuk L. L + 1 = ldy ( 2.8 ) y Defns 18 (Elandt Johnson, 1979: 84) T merupakan jumlah total ndvdu yang dharapkan dar l ndvdu yang berhasl melewat usa, maka dperoleh T = L ( 2.9 ) = 0 + Menurut Elandt Johnson (1979:96) fungs-fungs dasar lan yang pentng dalam konstruks lfe table adala e, yatu harapan hdup ke depan dalam htungan tahun (epectaton of future lfetme) dar suatu ndvdu berusa. Sehngga dperoleh, e T = ( 2.10 ) l probabltas kematan ndvdu berusa + θ dalam nterval ( + θ, + θ + 1] dengan 0< θ < 1 adalah q + θ = 1 p 1 θ q 1 θ q + 1 ( 2.11 ) Dan probabltas suatu ndvdu mat pada usa + t dalam nterval waktu dar sampa + 1, jka dketahu ndvdu tersebut mash dapat bertahan hdup sampa dengan waktu, dnotaskan dengan µ + t adalah

24 ( 1 t ) µ q = = + t q + t 1 tq. ( 2.12 ) 2.2. Kerangka Pemkran Penulsan skrps n dawal dengan membentuk fungs kepadatan probabltas kegagalan (kematan) ndvdu berusa dalam nterval (,+1]. Selanjutnya dlakukan pengestmasan probabltas kegagalan (kematan) ndvdu berusa dalam nterval (,+1], dengan asums ndvdu hdup d awal nterval.. Metode yang dgunakan untuk mengestmas parameter adalah metode maksmum lkelhood. Dalam melakukan pengestmasan probabltas kegagalan (kematan) ndvdu berusa dalam nterval (,+1], dperhtungkan kemungknan kasus-kasus yang terjad dalam suatu populas berkatan dengan jumlah anggota populas. Sehngga dperoleh rumusan probabltas kegagalan (kematan) ndvdu berusa pada nterval nterval (,+1] yang berbeda untuk masng-masng kasus. Setelah dperoleh estmas harga parameter untuk nterval ( +, 1], dlanjutkan dengan membentuk lfe table yang memuat jumlah ndvdu, jumlah kematan, probabltas kematan ndvdu berusa dalam nterval (,+1] dan probabltas tahan hdup ndvvdu berusa dalam nterval (,+1]. Selanjutnya, dengan lfe table yang terbentuk dkonstruks untuk fungs-fungs dasar lfe table lannya, yatu jumlah ndvdu berusa yang dharapkan dapat bertahan hdup sampa usa +1, dan jumlah ndvdu berusa yang dharapkan mash bertahan hdup setelah usa +1.

25 1 BAB III METODE PENELITIAN Penulsan skrps n bersfat stud lteratur, dengan demkan keseluruhan bahan penulsan dambl dar buku referens yang mendukung tentang masalah pengkonstruksan lfe table untuk ndvdu dalam nterval waktu satu tahun. adalah Adapun langkah-langkah yang dperlukan untuk penulsan skrps n 1. Menganggap segala kemungknan yang bsa terjad ada, kemudan mengelompokkan ke dalam kasus-kasus yang mungkn. 2. Menentukan penduga parameter dar dstrbus yang terbentuk, yatu mencar + 1). q (probabltas kematan ndvdu pada usa sampa usa 1. Mengkonstruks lfe table dengan unsur yang lebh kompleks. 4. Untuk menjelaskan tujuan penulsan, skrps n dakhr dengan contoh aplkas kasus.

26 17 BAB IV PEMBAHASAN Pada Bab IV n akan dbag menjad dua bagan. Yang pertama adalah konstruks lfe table untuk probabltas suatu ndvdu dapat bertahan hdup dar usa tahun sampa usa + 1 tahun, dengan merupakan usa suatu ndvdu. Untuk yang kedua adalah contoh aplkas kasus dar konstruks lfe table yang dhaslkan. 4.1 Mengkonstruks Lfe Table Untuk dapat mengkonstrukskan lfe table dperlukan pengetahuan statstk tentang analss data waktu hdup (survval) dan metode untuk mencar estmas parameter. Dalam penulsan skrps n metode yang dgunakan untuk mendapatkan estmas parameter adalah Metode Maksmum Lkelhood. Dar analss data waktu hdup, dapat dbentuk suatu model fungs tahan hdup yang menunjukkan besarnya harga harapan suatu ndvdu mat dar usa sampa usa + 1 tahun, dengan merupakan usa suatu ndvdu. Selanjutnya dapat dtentukan probabltas tahan hdup suatu ndvdu berusa dalam nterval ( +, 1] dan fungs-fungs lan yang merupakan unsur pembentuk lfe table. Estmas parameter dar fungs denstas probabltas untuk kematan taptap nvdu berusa tahun sampa + 1 tahun merupakan probabltas terjadnya kematan suatu ndvdu dar usa tahun sampa usa + 1 tahun yang kemudan dnotaskan dengan q, dengan asums ndvdu hdup d usa. Karena dasumskan ndvdu hdup d awal nterval, maka nterval estmas untuk menyatakan batasan estmas dnotaskan dengan (,+ 1]. Dalam suatu populas yang teramat, akan ddapatkan sejumlah ndvdu berusa yang masuk pengamatan dan dnotaskan dengan n dan banyaknya ndvdu berusa yang mennggal selama dalam pengamatan dnotaskan dengan d. Pada beberapa kasus akan djumpa penambahan ndvdu sejumlah k selama pengamatan dan dsebut sebaga new entrants. Juga akan djumpa sejumlah

27 18 ndvdu yang mennggalkan pengamatan dalam nterval estmas selan sebab kematan (wthdrawals). Wthdrawals dbedakan menjad dua, yatu wthdrawals yang terencana (planned), yang dalam penulsan skrps n selanjutnya dsebut sebaga enders, e dan yang tak terencana (losses), w. Enders adalah ndvdu yang mennggalkan pengamatan sesua rencana. Msalnya, seorang warga yang habs masa kontraknya dan harus keluar dar wlayah pengamatan atau dalam asurans seorang pemegang pols yang habs masa kontraknya. Sedangkan wthdrawals yang tak terencana adalah ndvdu yang mennggalkan pengamatan tanpa perencanaan sebelumnya. Msalnya, dalam asurans seorang pemegang pols yang surrender atau dalam observas klnk adalah ndvdu yang hlang selama jangka waktu pengamatan. Dalam suatu populas yang teramat, dmungknkan akan terjad beberapa kasus yang berkatan dengan penambahan atau pengurangan jumlah anggota populas. Kasus-kasus yang mungkn terjad dalam suatu populas yang teramat dalam nterval waktu ( +, 1) terbag ke dalam empat kelompok, yatu 1. Kasus 1 Populas tergolong ke dalam kasus 1 jka tdak ada ndvdu yang masuk dan keluar/mennggal dalam nterval ( +, 1]. 2. Kasus 2 Populas tergolong ke dalam kasus 2 jka ada ndvdu yang masuk dan tdak ada yang keluar dalam nterval ( +, 1]. 3. Kasus 3 Populas tergolong kedalam kasus 3 jka tdak ada ndvdu yang masuk dan ada yang keluar dalam nterval ( +, 1]. 4. Kasus 4 Populas tergolong ke dalam kasus 4 jka ada ndvdu yang masuk dan ada ndvdu yang keluar dalam nterval ( +, 1].

28 19 Msal terdapat sejumlah ndvdu k memasuk pengamatan pada usa rata-rata + r, 0< r < 1 dan e keluar pengamatan pada usa rata-rata + t, 0< t < 1. Dnotaskan l menyatakan jumlah ndvdu yang bertahan sampa akhr nterval estmas. Dan dasumskan tdak terdapat wthdrawals tak terencana dalam kasus n ( w = 0) l = n + k e d Selanjutnya ddefnskan ndvdu dengan ketentuan δ. Sehngga dapat dbangun persamaan sebaga berkut δ sebaga varabel ndkator untuk seorang ( ] 1 jkaorangke mennggaldalam nt erval, + 1 = 0 yanglannya sehngga, untuk t = 1 dan δ = 0, berart ndvdu ke- adalah survvor (ndvdu yang dapat bertahan hdup dan mash dalam pengamatan sampa usa + 1). Jka 0< t < 1 dan δ = 0, artnya ndvdu ke- adalah ndvdu yang keluar dar pengamatan selan sebab kematan. Dan jka t 1 dan δ = 1, artnya ndvdu ke adalah ndvdu yang mennggal dalam ( +, 1]. Tabel 4.1 Kasus-Kasus Dalam Populas r t r = 0 untuk semua ( n + k ) r > 0 untuk k ndvdu yang baru damat t = 1 untuk semua dengan δ = 0 t < 1 untuk e keluar pengamatan dengan δ = 0 Kasus 1 Kasus 2 Kasus 3 Kasus 4

29 20 Pada pengamatan waktu hdup suatu populas, akan ddapat data waktu kematan ndvdu, dengan masng-masng ndvdu mempunya usa kematan yang beragam. Dar ( 2.1 ) dnyatakan probabltas suatu ndvdu mat atau gagal dalam nterval waktu dar sampa + adalah Jka f ( ) ( < < + ) P X = lm adalah sembarang anggota X dalam < X + 1, maka ddefnskan probabltas suatu ndvdu mat dalam nterval waktu dar sampa + 1, dengan syarat ndvdu tersebut mash dapat bertahan hdup sampa dengan waktu adalah ( 1) ( ). P X < + X f ( X > ) = lm P X ( < + ) P X 1 1 f ( X > ) = lm. P( X ) ( ) ( ) f f ( X > ) = S Dar persamaan ( 2.2 ) dperoleh S f X > = ( ) ( ) λ( ) S( ) Dan jka s = dengan merupakan usa kematan ndvdu ke- dalam nterval ( +, 1], maka s adalah panjang waktu hdup dhtung dar usa sampa mennggal. Sehngga probabltas suatu ndvdu mat dalam nterval waktu dar sampa + 1, dengan syarat ndvdu tersebut mash dapat bertahan hdup sampa dengan waktu, q adalah ( ) f X ( ) S( + s) λ( + s) > = ( 4.1 ) S( ) ( + s) S( ) S f X > =. λ + s ( )

30 21 dengan ( + ) S( ) S s adalah fungs tahan hdup suatu ndvdu berusa sampa + s dengan syarat ndvdu tersebut hdup pada usa dan dapat dnotaskan dengan s s p. Dan ( ) λ + s adalah probabltas suatu ndvdu mat pada usa + dalam nterval nterval (, 1] persamaan ( 4.1 ) dapat dtuls sebaga berkut Kemudan ddefnskan dalam nterval (, 1] + dapat dnotaskan dengan ( ) = s s f Pµ + µ + s.sehngga + r sebaga usa saat ndvdu ke- masuk pengamatan +, dengan 0 r < 1, dan ddefnskan + t sebaga usa saat ndvdu ke- keluar pengamatan dalam nterval (, 1] +, dengan 0 < 1. Menggunakan proses penghtungan yang sama dperoleh probabltas seorang ndvdu mat dalam jangka waktu ( ) ( ) + t + r = t r, dengan syarat ndvdu tersebut mash dapat bertahan hdup sampa usa, dapat dperoleh persamaan sebaga berkut ( ) = t r + r + r ( 4.2 ) f P µ Selanjutnya akan dgunakan pengamatan data tersensor tpe 1 untuk melakukan penghtungan estmas parameter. Dar ( 2.3 ) dan ( 4.2 ) dperoleh fungs denstas bersama dar (, ) δ yatu (, δ ) = t r + r ( µ + t) δ f P ( 4.3 ) Dar persamaan( 4.3 ) dbentuk fungs lkelhood n+ k ( ) = t + ( µ + ) r r t δ L q P ( 4.4 ) = 1 Dengan substtus persamaan ( 2.11 ) dan ( 2.12 ) ke( 4.4 ), dperoleh ( ) L q n+ k 1 tq q = = 1 1 rq 1 tq δ ( 4.5 ) t

31 22 Untuk sejumlah d kematan dalam nterval ( +, 1] maka persamaan ( 4.5 ) menjad : n+ k ( ) ( ) ( ) ( ) n+ k d = 1. L q q rq tq = 1 = 1 Dengan fungs ln lkelhoodnya adalah δ lnl q ln q 1 rq. 1 tq. Selanjutnya dcar penduga q. n+ k n+ k ( ) ( ) ( ) ( ) 1 d 1 = = 1 = 1 d lnl( q ) = 0 dq n+ k n+ k d r t + = q 1 rq. 1 tq. ( 1 δ) 0 ( 4.6 ) = 1 = 1 Jka δ = 0, r = 0 untuk semua n, r δ = r untuk semua k dan t = s untuk semua e dengan dan t = 1 untuk n + k e d orang yang bertahan hdup (survvors) maka dar persamaan ( 4.6 ) menjad d r s 1 + k e ( n + k d e) = 0 q 1 rq 1 sq 1 q Dengan menyamakan penyebutnya dperoleh persamaan untuk pemblangnya, yatu: ( 1 )( 1 )( 1 ) + ( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ) rq sq q d q sq q kr q rq q es ( )( )( ) q 1 rq 1 sq n + k e d = ( ) + ( + ) q sq sq rq rq rsq rsq d q q sq sq kr ( q q rq rq) es ( q sq rq rsq)( n k e d) = 0

32 23 Maka akan dperoleh ( ) + ( ) + ( ) ( + ) rsn q k e d rs e n r n k s q 3 2 ( ) ( ) + d k r + d + e s+ n + k e q d = 0 ( 4.7 ) Selanjutnya untuk mempermudah perhtungan dtentukan persamaan-persamaan yang menunjukkan koefsen-koefsen A= 3 2 q, q dan ( rsn) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B = k e d rs+ e n r n + k s C = d k r + d + e s+ n + k e D = d Sehngga persamaan ( 4.7 ) menjad Aq + Bq + Cq D =0 3 2 q, yatu : ( 4.8 ) Selanjutnya persamaan ( 4.7 ) dselesakan dengan menggunakan software Mathcad 2000 untuk membantu perhtungan sehngga dperoleh q ˆ sebaga penduga q dengan ketentuan sebaga berkut: 1. Jka populas tergolong ke dalam kasus 1 maka r = 0 untuk semua ndvdu dalam nk + k dan jka t = 1 untuk semua ndvdu dalam n + k d. 2. Jka populas tergolong ke dalam kasus 2 maka t = 1 untuk semua n + k d, r = 0 untuk n (jumlah ndvdu pada awal nterval) dan r > 0 untuk semua k (peserta baru dalam nterval estmas) 3. Jka populas tergolong ke dalam kasus 3 maka r = 0 untuk semua ndvdu, t survvors. = s untuk semua pengakhr dan t = 1 untuk semua n e d 4. Jka populas tergolong ke dalam kasus 4 maka r = 0 untuk n (jumlah anggota d awal nterval estmas), r = r untuk k (jumlah peserta batu

33 24 dalam nterval estmas), t = s untuk semua untuk semua n + k e d survvors. Dar perolehan e (pengakhr) dan t = 1 q dapat dcar probabltas tahan hdup suatu ndvdu berumur dalam nterval (,+ 1], p. Dar ( 26) p = 1 q. dperoleh Dan dapat dcar jumlah ndvdu yang berhasl melewat awal pengamatan dan dharapkan mash hdup pada usa, l = l p 1 1 l. Dar ( 27). dperoleh Selanjutnya dar ( 2.8 ),( 2.9 ) dan ( 2.10 ) dapat dkonstruks untuk fungs pembentuk lfe table lannya yatu L, T dan e. Sehngga, dar perolehan q,p, l, L, T dan e dapat dbentuk model lfetable sebaga berkut d q p l L T e 4.2 Aplkas Konstruks Lfe Table untuk Indvdu dalam Interval Waktu Satu tahun Pada bab n dberkan contoh kasus untuk populas data waktu hdup sebuah perusahaan dana pensun. Dperoleh data jumlah kematan dar 100 orang anggota sebuah perusahaan dana pensun X setap tahunnya. Pengamatan dsmulaskan berlangsung selama 20 tahun dmula pada tanggal 1 Januar 1960 dan berakhr pada 31 Desember Tabel memuat usa masuk, usa keluar, status saat masuk pengamatan, status saat keluar pengamatan, usa pecahan untuk new entrants (ssa bulan pasca ulang tahun per 12 bulan) dan usa pecahan untuk ndvdu yang keluar dar pengamatan (ssa bulan setelah ulang tahun per 12 bulan).

34 25 TABEL Data Perusahaan Dana Pensun X Awal Pengamatan : 1 Januar 1960 Akhr Pengamatan: 31 Desember 1980 No Usa masuk Usa keluar Status masuk Status keluar r s n d k d k d k e n d n s k d k s n s n s k d n d n d k d k d k d k d k e k d k e k d k d n d n d k d k d k s k d k e k e k d k d

35 k d k d k d k d Lanjutan Table No Usa masuk Usa keluar Status masuk Status keluar r s n s n d n d n d k d k d k s k d n d k e k e k d k d k d k s k e k s n e n d k d k d k s n d k d k d k d n e n s k d k e k e n d n d n s k d k d k d

36 k d k d k d k d n d Lanjutan Tabel No Usa masuk Usa keluar Status masuk Status keluar r s k s k e n e n d n d n e k s k s k s n e n e n d k d k d k d k d k e k d n d n e k e k s Keterangan : Usa Masuk : Usa ndvdu saat masuk pengamatan. Usa keluar : Usa ndvdu saat keluar pengamatan. Status Masuk : Status untuk kods ndvdu saat memasuk pengamatan. - n - : ndvdu masuk pengamatan pada usa tepat k : ndvdu masuk pengamatan pada nterval usa ( +, 1) Status keluar : Status untuk konds ndvdu saat mennggalkan pengamatan. - d : Indvdu keluar pengamatan karena mennggal dalam ( +, 1]

37 28 - s : survvor - e : Indvdu yang keluar pengamatan dalam keadaan hdup, pada usa ( +, 1] r : usa pecahan saat ndvdu memasuk pengamatan. s : usa pecahan saat ndvdu mennggalkan pengamatan. Selanjutnya, peserta yang damat, dsusun berdasarkan status dalam pengamatan yatu sebaga pemula, peserta baru, keluar, pengakhr atau mennggal. Pemula pada usa bers semua ndvdu yang masuk pengamatan pada usa tepat dtambah survvors untuk usa 1, dkurang seluruh peserta yang keluar pada usa tepat. Kemudan dhtung usa pecahan rata-rata tap tahun, untuk kategor peserta baru, pengakhr dan keluar yakn secara berurutan sebaga rs, dan t.dan dperoleh hasl perhtungan pada tabel berkut : TABEL Data Perusahaan Dana Pensun X n k per Kelompok Usa d e s r s

38 Keterangan : n k Lanjutan Tabel d e s r s : usa anggota n : banyaknya pemula (begnners) untuk nterval usa ( +, 1] k : banyaknya peserta baru dalam nterval usa ( +, 1] d : banyaknya peserta yang mennggal dalam nterval usa ( +, 1] e : banyaknya pengakhr.

39 30 s : peserta yang masuk pengamatan dalam nterval (, 1] sampa usa + 1 tahun. + dan bertahan r s : usa pecahan rata-rata untuk k : usa pecahan rata-rata untuk e Kemudan dar Tabel dapat dhtung tap-tap koefsen untuk persaman lkelhoodnya. Dar persamaan ( 4.8 ), dhaslkan koefsen-koefsen untuk persamaan lkelhood sepert terdapat pada Tabel TABEL Koefsen Persamaan Lkelhood A B C D

40 Selanjutnya ˆq dhtung dengan menggunakan software MATHCAD TABEL Lfe Table untuk Anggota Perusahaan Dana Pensun X d q p l L T e

41 Untuk melhat pola kematan, nla-nla yang dnyatakan pada tabel dbuat suatu grafk, sepert d bawah n l Usa Gb. 4.1 Perubahan Jumlah Indvdu per Tahun q Usa Gb Probabltas Kematan Indvdu Dalam Interval (,+1)

42 e Usa Gb Harga Harapan Indvdu Dalam Interval (,+1)

43 BAB V PENUTUP 5.1 Kesmpulan Berdasarkan pembahasan yang telah durakan pada bab IV, dapat dambl kesmpulan sebaga berkut : 1. Persamaan lkelhood yang menunjukkan probabltas suatu ndvdu berusa mengalam kegagalan (kematan) sampa usa + 1 tahun adalah ( ) + ( ) + ( ) ( + ) rsn q k e d rs e n r n k s q 3 2 ( ) ( ) + d k r + d + e s+ n + k e q d = 0 dengan ketentuan sebaga berkut: a. Jka populas tergolong ke dalam kasus 1 maka r = 0 untuk semua ndvdu dalam nk + k dan jka t = 1 untuk semua ndvdu dalam n + k d. b. Jka populas tergolong ke dalam kasus 2 maka t = 1 untuk semua n + k d, r = 0 untuk n (jumlah ndvdu pada awal nterval) dan r > 0 untuk semua k (peserta baru dalam nterval estmas) c. Jka populas tergolong ke dalam kasus 3 maka r = 0 untuk semua ndvdu, t = s untuk semua pengakhr dan t = 1 untuk semua n e d survvors. d. Jka populas tergolong ke dalam kasus 4 maka r = 0 untuk n (jumlah anggota d awal nterval estmas), r = r untuk k (jumlah peserta batu dalam nterval estmas), t = s untuk semua e (pengakhr) dan t = 1 untuk semua n + k e d survvors. 2. Ife table untuk ndvdu dalam nterval waktu satu tahun adalah 34

44 d q p l L T e 5.2 Saran Penulsan n dapat dkembangkan untuk perhtungan probabltas untuk nterval waktu yang berbeda. Selan tu, dapat dkembangkan untuk mengkonstruks fungs-fungs lfe table lannya, sehngga lebh berguna dalam memberkan nformas bag perusahaan-perusahaan dalam pengamblan keputusan yang berhubungan dengan data waktu hdup 35

45 DAFTAR PUSTAKA Ban, L.J., and Engelhardt. (1992). Introducton to Probablty and Mathematcal Statstcs, PWS-KENT Publshng Company, Calforna. Elandts-Johnson, R.C.and Norman L.J. (1979). Survval Models and Data, Analyss, John Wley and Sons, Inc, New York Lawless, J.F. (1982). Statstcs Model and Methods for Lfetme Data Analyss, John Wley and Sons, Inc, New York. 36