BAB 2 LANDASAN TEORI. linear antara atom-atom (tiap kolom dalam matriks sebuah dictionary), dengan

Transkripsi

1 BAB 2 LADASA TEORI 2.1 Represetasi da Sparsity Represetasi siyal adalah suatu koefisie yag meyataka suatu siyal dalam betuk siyal basis. Represetasi siyal diperoleh dari hubuga kombiasi liear atara atom-atom (tiap kolom dalam matriks sebuah dictioary), dega siyal iput. Secara matematis diyataka sebagai berikut: y = i = 1 d i x i (2.1) Dimaa: y : siyal iput d : dictioary atau basis x : koefisie represetasi Persamaa (2.1) diatas biasa ditulis dalam betuk matriks mejadi y = Dx ( D adalah matrix sedagka y da x adalah vektor 1). Dictioary merupaka sekumpula kostata siyal basis dari frekuesi redah ke frekuesi tiggi. Betuk siyal basis mempegaruhi hasil koefisie represetasi dari suatu siyal, karea itu tidak ada basis yag mampu merepresetasika semua betuk siyal dega baik. Represetasi sparse adalah represetasi sebuah siyal yag memiliki ilai o-zero yag sedikit. Represetasi sparse dapat memudahka proses pegolaha siyal, hal ii disebabka karea dega sparse represetatio suatu siyal aka direpresetasika mejadi betuk yag lebih padat iformasi. Sehigga memudahka pegambila data utuk proses lebih lajut seperti 6

2 kompresi atau ektraksi ciri. Hasil represetasi meggambarka peyebara siyal basis dega berbagai frekuesi yag berada pada gambar tersebut, sehigga dapat diamati tigkat frekuesi apa saja yag dimiliki gambar tersebut. Kebayaka siyal atau citra memiliki represetasi yag sparse bila diyataka dega basis yag tepat [3]. Siyal y dikataka K-sparse apabila sejumlah K dari koefisieya berilai tidak ol, sedagka sisaya ( 7 K ) berilai ol. Kodisi sparsity yag diigika adalah ketika K <<. Pada keyataaya tidak ada siyal yag sparse, yag ada adalah siyal yag compressible, yaitu apabila siyal y memiliki koefisie represetasi x yag memiliki sebagia kecil koefisie berilai besar da sebagia besar sisaya berilai kecil [8]. Dari siyal yag compressible, sparsity bisa didapatka dega megambil sebagia koefisie besar saja da megabaika sisaya mejadi ol. Tekik tersebut disebut trasform-codig yag merupaka tekik umum yag diguaka pada kompresi citra [9]. Gambar 2.1 [3] (a) Citra asli berukura 1 Megapiksel. (b) Koefisie-koefisie wavelet. (c) Rekotruksi citra yag didapatka dega haya megguaka 25. koefisie wavelet terbesar.

3 8 2.2 Dictioary Yag dimaksud dega dictioary atau kamus dalam image processig adalah sekumpula siyal elemeter dalam betuk kostata, disebut atom, yag dapat merepresetasika siyal sebagai kombiasi liear dari atom-atom tersebut [1]. Bila kamus tersebut orthogoal, maka koefisie represetasiya adalah ier product dari atom-atom dega siyal iput sedagka utuk kasus oorthogoal koefisie represetasi didapat dari ier product atara siyal dega iverse dari kamus, biasa disebut juga sebagai bi-orthogoal. Yag dimaksud dega kamus orthogoal adalah kamus yag tiap atomya uik, tidak dapat dibetuk dari kompoe atom lai atau atau ier product atar atomya ol. Kamus dapat disebut sebagai kamus legkap apabila jumlah atomya sama dega pajag jumlah eleme siyal iput. Selama bertahu-tahu, kamus legkap orthogoal da bi-orthogoal dipakai secara luas karea secara matematis sederhaa [1]. Kamus legkap yag umum diguaka atara lai adalah kamus basis DCT yag diguaka pada kompresi JPG / JPEG da kamus basis wavelet yag diguaka pada kompresi JPEG2. amu kamus legkap memiliki beberapa kekuraga, misalya keefektifa satu jeis kamus yag bagus haya utuk tipe gambar tertetu, da kekuraga tersebut medorog pegembaga kamus lewat-legkap atau overcomplete dictioary. Kamus lewat-legkap adalah kamus yag memiliki jumlah atom lebih bayak dari pajag jumlah eleme siyal iput. Kamus lewat-legkap dapat dihasilka dega berbagai metode, salah satuya yag palig sederhaa adalah dega meggabugka beberapa kamus legkap yag disebut dega uio basis. Secara matematis kamus lewatlegkap uio basis didefiisika sebagai:

4 D = B, B,..., B ] (2.2) [ 1 2 L Dimaa: D : kamus lewat-legkap B : kamus basis orthoormal L : jumlah kamus basis orthoormal yag diguaka. Karea kamus lewat-legkap memiliki piliha atom yag lebih bayak dari yag dibutuhka oleh suatu siyal, maka kamus lewat-legkap diyakii dapat meghasilka represetasi yag lebih baik utuk berbagai macam siyal Discrete Cosie Trasform (DCT) Merupaka salah satu kamus legkap yag umum diguaka. Kepajagaya adalah Discrete Cosie Trasform. Kostata pegaliya merupaka siyal kosius yag sifatya diskrit. Secara matematis, DCT dirumuska sebagai berikut: π(2x + 1) u C( u) = α ( u) (2.3) Dimaa: 1 f ( x)cos x = 2 u :, 1, 2,, -1, merupaka variabel frekuesi f (x) : siyal iput : jumlah data / samplig

5 1 Sedagka iverse DCT adalah sebagai berikut: f ( x) = π(2x + 1) u α (2.4) 1 ( u) C( u)cos u= 2 Dimaa: x :, 1, 2,, -1, merupaka variabel waktu Dalam persamaa (2.3) da (2.4), α (u) didefiisika sebagai: 1, u = α ( u) (2.5) 2, u Dari persamaa (2.3) didapat bahwa utuk u = persamaa (2.3) mejadi: C () = 1 1 x = f ( x) Dega kata lai utuk ilai u = koefisie yag didapat merupaka koefisie DC sedagka utuk ilai u yag lai koefisie yag didapat merupaka koefisie AC. Beberapa sifat dari DCT atara lai eergy compactio, yaitu pemadata iformasi dari siyal kedalam koefisie sesedikit mugki, separability, yaitu pemisaha operasi DCT multi-dimesioal mejadi beberapa operasi DCT 1 dimesi, da orthoormal, yaitu ier product atara atom-atomya berilai da pajag tiap-tiap atom adalah 1. Sifat orthogoal memberika keutuga karea iverse dari matriks trasformasi DCT sama dega matriks traspose-ya. Sama seperti trasformasi Fourier, DCT memproyeksika siyal iput kedalam sekumpula atom berupa siyal kosius yag kotiu sehigga DCT bagus dalam

6 11 meerjemahka siyal yag cederug kosta atau smooth. amu karea siyal kosius bersifat kotiu, DCT kurag bagus dalam meerjemahka iformasi siyal yag bersifat lokal [1] Trasformasi Wavelet Istilah Wavelet pertama kali diperkealka oleh J. Morlet da A. Grossma [12]. Awalya Wavelet berasal dari bahasa Peracis Odelettes yag berarti gelombag kecil. Pada saat itu Wavelet masih berupa sebuah kosep matematika utuk meagai masalah aalisis trasie, ketidakstasioera, serta time-variat. Peerapa dari Wavelet dalam pemrosesa siyal baru ada setelah peelitia oleh Daubechies da Mallat [13] [14] [15]. Pada dasarya trasformasi Wavelet bekerja dega megkovolusika gelombag Wavelet dega siyal iput. Kelebiha dari trasformasi Wavelet adalah sifat multi-resolusiya. Secara matematis trasformasi Wavelet didefiisika sebagai berikut: X WT Dimaa: 1 t τ ( τ, s) = x( t). ψ * dt (2.6) s s x (t) : siyal iput ψ (t ) : mother wavelet atau fugsi basis Sedagka iverse dari trasformasi Wavelet didefiisika sebagai berikut: t τ x( t) = XWT ( τ, s)ψ dτds (2.7) s

7 12 Dari fugsi basis tersebut didapatka semua fugsi Wavelet yag dibutuhka dalam trasformasi melalui proses shiftig dega variabel τ sebagai iformasi waktu / spasial serta proses scalig dega variabel s sebagai iformasi frekuesi. Dari persamaa (2.6) tersebut dapat kami lihat bahwa kelebiha dari trasformasi Wavelet adalah hasil represetasi koefisie dalam domai waktu / spasial da frekuesi secara bersamaa serta sifat multi-resolusiya, utuk frekuesi redah, gelombag Wavelet aka diperlebar da berfugsi utuk meagkap iformasi global dari siyal, sedagka utuk frekuesi tiggi gelombag Wavelet aka dipersempit da berfugsi utuk meagkap iformasi detil dari siyal. Defiisi diatas merupaka Cotiuous Wavelet Trasform atau CWT. Dalam praktikya trasformasi Wavelet diproses megguaka komputer sehigga dibuatlah tekik Discrete Wavelet Trasform atau DWT. Proses DWT berbeda dega CWT karea peghituga koefisie dega cara pecuplika CWT membutuhka proses komputasi yag berat. Utuk itu proses DWT megguaka filter digital yag ekuivale dega mother wavelet pada proses CWT. Sebuah siyal iput aka dilewatka pada sebuah low-pass filter da high-pass filter sehigga meghasilka 2 set koefisie. Utuk itu masig-masig set aka didowsamplig mejadi setegahya saja utuk meghasilka jumlah koefisie yag sama dega jumlah siyal iput. Hasil dowsamplig ii biasa disebut dega koefisie a da koefisie d. Koefisie a merupaka koefisie hasil dari LPF, berisika iformasi aproksimasi dari citra secara keseluruha sedagka koefisie d merupaka koefisie hasil dari HPF, berisika iformasi detil dari citra. Proses ii disebut proses dekomposisi satu level. Selajutya koefisie a

8 13 dapat diguaka sebagai iput utuk proses dekomposisi level berikutya. Proses ii dapat dilakuka beberapa kali higga level dekomposisi yag diigika tercapai. Gabuga dari beberapa koefisie d da satu koefisie a dari LPF pada level terakhir disebut dega koefisie Wavelet yag bersifat sparse. Gambar berikut meujukka DWT tiga level. Gambar 2.2 Proses DWT tiga level Pada setiap level dekomposisi, retag frekuesi dari siyal berkura g setegah sehigga resolusi frekuesi dari koefisie meigkat dua kali pada setiap level. Hal iilah yag disebut sebagai sifat multi-resolusi dari trasformasi Wavelet. Level dekomposisi maksimum yag dapat dicapai tergatug dari pajag siyal, tetuya semaki pajag siyal semaki dalam level yag bisa dicapai. Hasil koefisie dari DWT bisa didapatka dega meggabugka semua koefisie a [ ] da [ ] d dimulai dari level dekomposisi terakhir. Demikia juga utuk proses rekostruksi, kedua set koefisie aka diupsamplig mejadi 2 kali da aka dilewatka pada LPF da HPF lalu dijumlahka utuk medapatka siyal rekostruksi. Gambar berikut meujukka iverse DWT tiga level.

9 14 Gambar 2.3 Proses iverse DWT tiga level Pasaga filter HPF da LPF yag diguaka dalam DWT harus merupaka quadrature mirror filter atau QMF. Pasaga HPF da LPF merupaka QMF bila memeuhi persamaa berikut: h[ L 1 ] = ( 1) g[ ] (2.8) Dimaa: h [] : HPF g [] : LPF L : Pajag filter Jeis-jeis fugsi basis yag dapat diguaka sebagai mother wavelet dalam trasformasi Wavelet ada bayak da masig-masig memiliki karakteristikya sediri. Karea itu pegguaaya perlu disesuaika dega tujua aplikasi utuk medapatka hasil yag efektif. Secara garis besar fugsi basis Wavelet dapat dibagi mejadi dua, yaitu orthogoal wavelet da biorthogoal Wavelet. Beberapa Wavelet yag orthogoal adalah Haar, Daubechies, Coiflet, da Symlet. Sedagka yag bersifat biorthogoal adalah Meyer, Morlet, da Mexica Hat.

10 15 Gambar 2.4 Berbagai macam jeis mother wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexica Hat. 2.3 Sparse Codig Sparse codig adalah proses pecaria koefisie y dari siyal x dega dictioary D yag disebut juga dega proses dekomposisi atom. Proses ii melibatka peyelesaia: ( P ) mi x x subject to y = Dx (2.9) ( P x subject to y Dx (2.1), ) mi x 2 Dimaa. adalah l orm (dibaca zero orm), yaitu jumlah koefisie ozero. Utuk mecari peyelesaia dari persamaa (2.9) da (2.1), membutuhka kompleksitas komputasi P, karea bersifat kombiatorial [18]. Utuk itu biasaya diguaka algoritma pursuit dimaa algoritma tersebut haya mecari

11 16 peyelesaia aproksimasi saja. Algoritma pursuit memiliki bayak macam, salah satuya adalah Orthogoal Matchig Pursuit atau disigkat OMP. OMP megguaka algoritma greedy yag memilih atom dictioary secara sekuesial utuk mecari ier product terbesar atara siyal dega atom tersebut Orthogoal Matchig Pursuit (OMP) Utuk megaplikasika OMP, dictioary yag diguaka harus bersifat orthoormal. Dalam setiap lagkah, sebuah atom dari dictioary yag memiliki ier product terbesar dega siyal residu aka dipilih da dimasukka sebagai koefisie. Selajutya siyal residual aka dihitug sebagai selisih dari siyal iput dega siyal rekostruksi utuk kemudia mecari koefisie kembali. Utuk setiap siyal y R K da dictioary D dega K atom { }, OMP = d k k 1 aka dimulai dega siyal residu awal r = y, k = 1 da dalam mecari koefisie x aka melakuka proses berikut: 1. Memilih ideks dictioary i k = arg max w rk 1, d w 2. Meg-update koefisie x = r, d ik k 1 i k 3. M eg-update siyal rekostruksi y k = Dx 4. Meg-update ilai residu rk = y yk Proses pegulaga ii dapat dihetika dega meetuka jumlah perulaga k yag diigika, dega meetuka besar orm dari residu r yag diigika, atau dega meetuka besar ier product maksimal pada tahapa proses selajutya. OMP dapat diterapka dega mudah da dapat diprogram

12 17 utuk meghasilka koefisie dega jumlah o-zero yag telah ditetuka sebelumya. Variasi lai dari OMP adalah dega tidak megguaka ier product terbesar lagsug sebagai ilai dari koefisie, melaika megguaka pseudoiverse dari sub-matriks kamus lewat-legkap. Γ adalah sebuah vektor berisi ideks dari eleme o-zero. Vektor ii diguaka utuk megacu kepada submatriks dari suatu matriks dictioary D atau sub-vektor dari suatu vektor koefisie x. Utuk setiap siyal y R da dictioary D dega K atom { iisialisasi r = y =, s =, Γ = Ø, da prosesya adalah sebagai berikut: K d k } k 1 1. Mecari ier product atom dega residu T 1 α i = d i r utuk i Γ 1 2. Semua ideks atom dega ier product terbesar digabug dalam satu vektor Γ = Γ 1 U arg maxα i ' 3. M eghitug koefisie megguaka atom-atom yag terpilih x = D y Γ Γ 4. Meg-update siyal residu r = y Dx 2.4 Peak Sigal to oise Ratio (PSR) PSR atau Peak Sigal to oise Ratio adalah perbadiga atara ilai power maksimum suatu siyal dega ilai power error atau oise. PSR biasa diyataka dalam desibel, yaitu satua logaritmik basis 1. Satua desibel diguaka karea siyal biasaya memiliki retag yag sagat luas sehigga dega desibel presetasi dari suatu ilai PSR dapat disederhaaka karea

13 18 retagya mejadi jauh lebih kecil. Idealya ilai PSR adalah tak higga yaitu ketika tidak terdapat oise sama sekali. Berikut adalah rumus dari PSR: 2 Max Sigal PSR = 1 log1 (2.11) MSE Dimaa: PSR Max Sigal MSE : Peak Sigal to oise Ratio (db) : ilai maksimum siyal : Mea Square Error MSE sediri dirumuska sebagai: MSE = Dimaa: 1 i = 1 ( S S) 2 (2.12) S : Siyal iput S : Siyal output : Pajag siyal