3 Program Studi Matematika FKIP Universitas Jember. Abstract

Transkripsi

1 Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut pada Shackle Graf Triangular Book Putri Rizky H.P. 1,, Ika Hesti A. 1,, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Putrirhp@gmail.com, Hestyarin@gmail.com 3 Program Studi Matematika FKIP Universitas Jember d.dafik@unej.ac.id Abstract Diberikan G graf sederhana, terhubung dan tidak berarah. G(V, E) memiliki selimut-h jika setiap sisi pada E bagian dari subgraf G yang isomorphic dengan H. Total selimut (a, d)-h-antimagic adalah pelabelan total λ dari V (G) E(G) ke bilangan bulat {1,, 3,..., V (G) E(G) }, untuk setiap subgraf H dari G yang isomorfik dengan H dimana H = v V (H) λ(v) + e E(H) λ(e) merupakan barisan aritmatika. Jika {λ(v)} v V = {1,..., V }, maka graf disebut graf super H- antimagic. Pada makalah ini, kita mengkaji mengenai super (a,d)-(bt 3 + e)- antimagic total selimut pada shackle graf triangular book dinotasikan dengan SBt n. Key Words : Super (a, d)-h-antimagic total selimut, Shackle graf triangular book. Pendahuluan Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan oleh Rosa di tahun 1967 [1]. Suatu pelabelan adalah pemetaan satu-satu yang memetakan himpunan dari elemen-elemen graf pada bilangan bulat non-negatif yang disebut label. Berdasarkan elemen-elemen yang dilabeli, pelabelan dibagi menjadi 3 jenis, yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total []. Kemudian pelabelan berkembang menjadi pelabelan graceful, pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib (anti magic) dan lain-lain. Salah satu jenis pelabelan yang banyak diteliti adalah ajaib dan anti ajaib. Pelabelan ajaib pertama kali diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa sebagai M-(valuation) pada tahun 1970 [8]. Selanjutnya Simanjutak dkk. (000) memperkenalkan pelabelan total (a, d)-sisi anti ajaib. Berbagai kelas graf telah ditunjukkan memiliki pelabelan total (a, d)-sisi anti ajaib, diantaranya lintasan dan lingkaran. Lebih detail lihat [10]. Pelabelan total ajaib kemudian dikembangkan menjadi pelabelan selimut ajaib yang pertama kali diperkenalkan oleh Gutiérrez dan Lladó pada tahun 005. Suatu graf G = (V (G), E(G)) dikatakan memiliki pelabelan selimut H-ajaib jika setiap garis pada E(G) termuat dalam subgraf H dari G yang isomorfik dengan H. Dalam hal ini H merupakan subgraf dari G. Lihat [4]. Oleh Inayah dkk kemudian dikembangkan suatu pelabelan selimut H-anti ajaib, dengan penje-

2 Putri R H P, et.al: Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut 69 lasan bahwa suatu pelabelan selimut H-anti ajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif sehingga terdapat jumlahan yang merupakan deret aritmatika a,a + d,a + d,...,a + (t 1)d. Lebih detail lihat [5] Hasil- hasil pelabelan super ((a,d))-h-antimagic covering yang sudah ditemukan diantaranya adalah lihat [6] dan [7], Oleh karena itu, penelitian ini mengembangkan pelabelan super ((a,d))-h-antimagic covering pada shakle graf triangular book, dimana H = B +. Graf triangular book yang dinotasikan dengan Bt n merupakan famili dari graf Komplete Tripartit, yaitu K 1,1,n, untuk Lebih detail lihat [3]. Kardinalitas Graf Shackle Triangular Book Misalkan k adalah bilangan bulat positif. Maryati dkk (010) mendefinisikan graf shackle dinotasikan dengan shack(g 1,G,...,G k ), sebagai sebuah graf yang dibentuk dari k graf tak terhubung tak trivial G 1,G,...,G k sehingga untuk setiap s,t [1,k] dengan s,t berlaku G s dan G t tidak mempunyai titik yang sama, dan untuk setiap i [1,k 1], G i dan G i+1 mempunyai tepat satu titik yang sama, disebut titik penghubung, dan k 1 titik penghubung itu semua berbeda. Lebih detail lihat [9]. Berdasarkan definisi, shackle graf triangular book adalah graf SBt n dengan himpunan titik V = {x i,y i,z j,p j ;1 i n;1 j n + 1} dan himpunan sisi E = {p i z i ;1 i n + 1} {p i y i p i x i p i p i+1 p i+1 z i p i+1 y i p i+1 x i x i z i+1 ;1 i n}. Berdasarkan himpunan titik dan sisi dari graf shackle triangular book dengan n yang berbeda, didapatkan rumusan jumlah titik pada shackle graf triangular book SBt n adalah p G = 4n +. Sedangkan jumlah sisi pada shackle graf triangular book SBt n adalah q G = 8n+1. Selain itu, terdapat jumlah titik yang merupakan selimut dari shackle graf triangular book adalah p H = 6 dan jumlah sisi pada selimut dari shackle graf triangular book adalah q H = 9 serta jumlah selimut pada shackle graf triangular book yang akan diteliti oleh peneliti adalah sejumlah n. Batas atas d shackle graf triangular book SBt n dapat ditentukan dengan membuktikan lemma berikut: Lemma 1 Jika sebuah graf G (V,E) adalah pelabelan super (a,d)-h antimagic total covering maka d (p G p H )p H +(q G q H )q H s 1 untuk s = H i, p G = V, q G = E, p H = V, q H = E. Bukti. f(v ) = {1,,3,..,p G } dan f(e) = {p G + 1,p G +,p G +,..,p G + q G }.

3 Putri R H P, et.al: Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut 70 Misalkan graf (p G,q G ) mempunyai pelabelan super (a,d)-h antimagic total covering dengan fungsi total f(v E) = {1,,3,4,5,6,..., p G +q G } maka himpunan bobot selimut sebuah graf adalah {a,a+d,a+d,...,a(s 1)d} dimana a merupakan bobot selimut terkecil maka berlaku: p H + (p G + 1) + (p G + ) (p G + q H ) a p H (1 + p H) + q H p G + q H (1 + q H) = Sedangkan untuk nilai terbesar berlaku: p H + p H + q Hp G + q H + q H a + (s 1)d p G + p G 1 + p G (p G (p H 1)) + (p G + q G ) +(p G + q G 1) + (p G + q G ) (p G + q G (q H 1)) = p H p G p H 1 (1 + (p H 1)) + q H p G + q H p G q H 1 (1 + (q H 1)) = p H p G p H 1 (s 1)d p H p G p H 1 p H p G p H 1 (p H ) + q H p G + q H p G q H 1 (q H ) (p H ) + q H p G + q H p G q H 1 (q H ) a (p H ) + q H p G + q H p G q H 1 (q H ) ( p H + p H + q Hp G + q H + q H ) = p H p G p H + p H + q Hp G q H + q H (p H + p H + q H + q H ) = p H p G + q H q G p H qh = p H p G p H + q Hq G q H = (p G p H )p H + (q G q H )q H a d (p G p H )p H + (q G q H )q H (s 1) Dari persamaan diatas terbukti bahwa batas atas d (p G p H )p H +(q G q H )q H s 1 jika graf G memiliki pelabelan super (a, d)-h-antimagic total selimut dari berbagai famili graf.

4 Putri R H P, et.al: Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut 71 Sehingga batas atas d untuk penelitian ini adalah : d (p G p H )p H + (q G q H )q H s 1 (4n + 6)6 + (8n + 1 9)9 n 1 (4n 4)6 + (8n 7)9 n 1 96n 96 n 1 96 Hasil Penelitian Hasil dari penelitian ini didapatkan beberapa teorema mengenai graf pada shackle graf triangular book. Teorema 1 Ada pelabelan super (36n + 84,96)-(Bt 3 + e)-antimagic total selimut pada shackle graf triangular book SBt n untuk n. Bukti. Labeli titik shackle graf triangular book SBt n dengan fungsi bijektif α 1 yang definisikan sebagai pelabelan α 1 : V (SBt n ) {1,,...,4n + } dengan label sebagai berikut: α 1 (x i ) = 4i,untuk 1 i n α 1 (y i ) = 4i 1,untuk 1 i n α 1 (z j ) = 4i,untuk 1 i n + 1 α 1 (p j ) = 4i 3,untuk 1 i n + 1 Untuk pelabelan titik pada α 1 adalah fungsi bijektif yang memetakan SBt n ke himpunan bilangan bulat {1,,...,4n+}. Jika w α1 didefinisikan sebagai bobot selimut dari pelabelan total selimut pada shackle graf triangular book dimana bobot selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan beberapa buah label titik dari H = Bt 3 + e yang menjadi covering pada shackle graf triangular book,

5 Putri R H P, et.al: Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut 7 maka fungsi bijektif w α1 dapat ditentukan sebagai berikut: w α1 = α 1 (p i ) + α 1 (x i ) + α 1 (y i ) + α 1 (z i ) + α 1 (p i+1 ) + α 1 (z i+1 ) = (4i 3) + (4i) + (4i 1) + (4i ) + (4(i + 1) 3) + (4(i + 1) ), jika 1 i n} = 4i 3 Labeli sisi shackle graf triangular book SBt n dengan fungsi bijektif f yang definisikan sebagai pelabelan f : E(SBt n ) {4n + 3,4n + 4,...,8n + 1} maka pelabelan f dapat dituliskan sebagai berikut: f(p i z i ) = 4n + 8i 5,untuk1 i n + 1, f(p i y i ) = 4n + 8i 4,untuk1 i n, f(p i x i ) = 4n + 8i 3,untuk1 i n, f(p i p i+1 ) = 4n + 8i,untuk1 i n, f(p i+1 z i ) = 4n + 8i 1,untuk1 i n, f(p i+1 y i ) = 4n + 8i,untuk1 i n, f(p i+1 x i ) = 4n + 8i + 1,untuk1 i n, f(x i z i+1 ) = 4n + 8i +,untuk1 i n, Jika W α1 didefinisikan sebagai bobot covering total selimut pada shakle graf triangular book berdasarkan penjumlahan bobot selimut dengan label sisinya maka W α1 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot selimut w α1 dan rumus label sisi f dengan syarat batas i yang bersesuaian, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut: W α1 = w α1 + f(p i z i ) + f(p i y i ) + f(p i x i ) + f(p i p i+1 ) + f(p i+1 z i ) + f(p i+1 y i ) + f(p i+1 x i ) + f(x i z i+1 ) + f(p i z i ); jika 1 i n = 36n + 96i 1 Dengan demikian W α1 = {36n + 84,36n + 180,...,13n 1}. Karena U n = a + (n 1)b = 36n (n 1)96 = 13n 1 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan super (36n + 84,96)-(Bt 3 + e)-total selimut pada shackle graf

6 Putri R H P, et.al: Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut 73 triangular book SBt n untuk n. Teorema Ada pelabelan super (5n + 68,60)-(Bt 3 + e)-antimagic total selimut pada shackle graf triangular book SBt n untuk n. Bukti. Labeli titik shackle graf triangular book SBt n dengan fungsi bijektif α yang definisikan sebagai pelabelan α : V (SBt n ) {1,,...,4n + } dengan label sebagai berikut: α (x i ) = 4i,untuk 1 i n α (y i ) = 4i 1,untuk 1 i n α (z j ) = 4i,untuk 1 i n + 1 α (p j ) = 4i 3,untuk 1 i n + 1 Untuk pelabelan titik pada α adalah fungsi bijektif yang memetakan SBt n ke himpunan bilangan bulat {1,,...,4n+}. Jika w α didefinisikan sebagai bobot selimut dari pelabelan total selimut pada shackle graf triangular book dimana bobot selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan beberapa buah label titik dari H = Bt 3 + e yang menjadi covering pada shackle graf triangular book, maka fungsi bijektif w α dapat ditentukan sebagai berikut: w α = α (p i ) + α (x i ) + α (y i ) + α (z i ) + α (p i+1 ) + α (z i+1 ) = (4i 3) + (4i) + (4i 1) + (4i ) + (4(i + 1) 3) + (4(i + 1) ), jika 1 i n} = 4i 3 Labeli sisi shackle graf triangular book SBt n dengan fungsi bijektif f yang definisikan sebagai pelabelan f : E(SBt n ) {4n + 3,4n + 4,...,8n + 1} maka pela-

7 Putri R H P, et.al: Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut 74 belan f dapat dituliskan sebagai berikut: f(p i z i ) = 4n + 4i 1,untuk1 i n + 1, f(p i x i ) = 4n + 4i,untuk1 i n, f(p i+1 z i ) = 4n + 4i + 1,untuk1 i n, f(p i+1 x i ) = 4n + 4i +,untuk1 i n, f(p i y i ) = 8n + 4i,untuk1 i n, f(p i p i+1 ) = 8n + 4i + 1,untuk1 i n, f(p i+1 y i ) = 8n + 4i +,untuk1 i n, f(x i z i+1 ) = 8n + 4i + 3,untuk1 i n, Jika W α didefinisikan sebagai bobot covering total selimut pada shackle graf triangular book berdasarkan penjumlahan bobot selimut dengan label sisinya maka W α dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot selimut w α dan rumus label sisi f dengan syarat batas i yang bersesuaian, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut: W α = w α + f(p i z i ) + f(p i x i ) + f(p i+1 z i ) + f(p i+1 x i ) + f(p i y i ) + f(p i p i+1 )f(p i+1 y i ) + f(x i z i+1 ) + f(p i z i ); jika 1 i n = 5n + 60i + 8 Dengan demikian W α = {5n + 68,5n + 18,...,11n + 8}. Karena U n = a + (n 1)b = 5n+68+(n 1)60 = 11n+8 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan super (5n + 68,60)-(Bt 3 + e)-total selimut pada shackle graf triangular book SBt n untuk n. Teorema 3 Ada pelabelan super (60n + 60,48)-(Bt 3 + e)-antimagic total selimut pada shackle graf triangular book SBt n untuk n. Bukti. Labeli titik shackle graf triangular book SBt n dengan fungsi bijektif α 3 yang definisikan sebagai pelabelan α 3 : V (SBt n ) {1,,...,4n + } dengan

8 Putri R H P, et.al: Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut 75 label sebagai berikut: α 3 (x i ) = 4i,untuk 1 i n α 3 (y i ) = 4i 1,untuk 1 i n α 3 (z j ) = 4i,untuk 1 i n + 1 α 3 (p j ) = 4i 3,untuk 1 i n + 1 Untuk pelabelan titik pada α 3 adalah fungsi bijektif yang memetakan SBt n ke himpunan bilangan bulat {1,,...,4n+}. Jika w α3 didefinisikan sebagai bobot selimut dari pelabelan total selimut pada shackle graf triangular book dimana bobot selimut tersebut diperoleh dari penjumlahan beberapa buah label titik dari H = Bt 3 + e yang menjadi covering pada shackle graf triangular book, maka fungsi bijektif w α3 dapat ditentukan sebagai berikut: w α3 = α 3 (p i ) + α 3 (x i ) + α 3 (y i ) + α 3 (z i ) + α 3 (p i+1 ) + α 3 (z i+1 ) = (4i 3) + (4i) + (4i 1) + (4i ) + (4(i + 1) 3) + (4(i + 1) ), jika 1 i n} = 4i 3 Labeli sisi shackle graf triangular book SBt n dengan fungsi bijektif f yang definisikan sebagai pelabelan f : E(SBt n ) {4n + 3,4n + 4,...,8n + 1} maka pelabelan f dapat dituliskan sebagai berikut: f(p i z i ) = 1n 8i + 11,untuk1 i n + 1, f(p i y i ) = 1n 8i + 10,untuk1 i n, f(p i x i ) = 1n 8i + 9,untuk1 i n, f(p i p i+1 ) = 1n 8i + 8,untuk1 i n, f(p i+1 z i ) = 1n 8i + 7,untuk1 i n, f(p i+1 y i ) = 1n 8i + 6,untuk1 i n, f(p i+1 x i ) = 1n 8i + 5,untuk1 i n, f(x i z i+1 ) = 1n 8i + 4,untuk1 i n, Jika W α3 didefinisikan sebagai bobot covering total selimut pada shackle graf triangular book berdasarkan penjumlahan bobot selimut dengan label sisinya maka

9 Putri R H P, et.al: Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut 76 W α3 dapat diperoleh dengan merumuskan jumlah bobot selimut w α3 dan rumus label sisi f dengan syarat batas i yang bersesuaian, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut: W α3 = w α3 + f(p i z i ) + f(p i y i ) + f(p i x i ) + f(p i p i+1 ) + f(p i+1 z i ) + f(p i+1 y i ) + f(p i+1 x i ) + f(x i z i+1 ) + f(p i z i ); jika 1 i n = 108n 48i + 60 Dengan demikian W α3 = {60n + 60,60n + 108,...,108n + 1}. Karena U n = a + (n 1)b = 60n (n 1)48 = 108n + 1 maka terbuktilah bahwa ada pelabelan super (60n + 60,48)-(Bt 3 + e)-total selimut pada shackle graf triangular book SBt n untuk n. Kesimpulan Pada bagian ini akan direview kembali mengenai total selimut super (a,d)- H-antimagic pada shackle graf triangular book. Berdasarkan hasil penelitian diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat beberapa teorema yang telah dibuktikan adalah sebagai berikut : Ada pelabelan super (36n+84,96)-(Bt 3 +e)-antimagic total selimut pada shackle graf triangular book SBt n untuk n. Ada pelabelan super (5n+68,60)-(Bt 3 +e)-antimagic total selimut pada shackle graf triangular book SBt n untuk n. Ada pelabelan super (60n+60,48)-(Bt 3 +e)-antimagic total selimut pada shackle graf triangular book SBt n untuk n. Namun demikian, sesuai dengan batas atas d 96, sedangkan dalam penelitian ini baru diketemukan d {96,60,48} sehingga masih tersisa d yang lain yang belum diketemukan. Oleh karena itu penelitian mengajukan masalah terbuka berikut: Open Problem 1 Tentukan (a,d)-(bt 3 + e)-total selimut pada shackle graf triangular book SBt n bila n untuk d 96 selain d {96,60,48}.

10 Putri R H P, et.al: Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut 77 References [1] A, Rosa On Certain Valuations of the Vertices of a Graph. In Theory of Graphs (Proc. Int. Symposium, Rome, July 1966), Gordon and Breach, N. Y. and Dunod Paris [] Dafik, M.Miller, J.Ryan and M.Bača, On super (a,d)-edge antimagic total labeling of disconnected graphs, Dicrete Math. (009), [3] Dafik, Slamin, Candra, F., Sya diyah, L Super Antimagicness of Triangular Book and Diamond Ladder Graphs. Indoms (Indonesian Mathematics Society), Department of Mathematics Universitas Gajah Mada, Indonesia. [4] Gutiérrez, A. dan Lladó, A. (005). Magic Coverings. The Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 55,4356. [5] Inayah, N., Simanjuntak, R., Salman, A On (a,d)-h-antimagic Covering of Graph. The Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 71, [6] Inayah, N., Simanjuntak, R., Salman, A Super (a,d)-h-antimagic Total Labelings For Shackles of A Connected Graph H. Australasian Journal of Combinatorics 57, [7] Karyanti. 01. Pelabelan Selimut (a,d)-h-anti Ajaib Super pada Graf Fan, Sun, dan Generalized Petersen. Tidak dipublikasikan (Skripsi). Surakarta: Universitas Sebelas Maret. [8] Kotzig, A. dan Rosa, A. (1970). Magic Valuations of Finite Graph. Canada Mathematics Bulletin 13, [9] Maryati, T. K., Salman, A., Baskoro, E. T., Ryan, J. Miller, M On H Supermagic Labellings for Certain Shackles and Amalgamations of A Connected Graph Antimagic Total Labelings For Shackles of A Connected Graph. Utilitas Math 83, [10] Simanjuntak, R., Miller, M., dan Bertault, F. (000). Two New (a,d)- Antimagic Graph Labelings. Proceeding of the Eleventh Australasian Workshop of Combinatorial Algorithm (AWOCA),