PAM 252 Metode Numerik Bab 1 Pendahuluan

Transkripsi

1 PAM 252 Metode Numerik Bab 1 Pendahuluan Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 1/ 29

2 Apa dan mengapa metode numerik? Apa dan mengapa metode numerik? Karakteristik dan tahap-tahap metode numerik Sifat-sifat metode numerik yang bagus Apa?...metode yang diterapkan untuk memecahkan masalah-masalah matematika dengan memakai tatacara tertentu sehingga diperoleh (aproksimasi) solusi dengan perhitungan yang sederhana. Mengapa? 1 Permasalahan sukar untuk diselesaikan secara analitik 2 Permasalahan menyangkut hitungan yang sangat besar Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 2/ 29

3 Apa dan mengapa metode numerik? Karakteristik dan tahap-tahap metode numerik Sifat-sifat metode numerik yang bagus 1. Permasalahan sukar untuk diselesaikan secara analitik Contoh Tentukan nilai dari exp(3). Selesaikan x 5 +bx +c = 0 Hitung 1 0 sin(exp(x))dx. Selesaikan x (t) = a(y x), y (t) = bx y xy, z (t) = xy cz. Bentuk-bentuk di atas sukar untuk diselesaikan secara analitik. Butuh suatu metode untuk menyelesaikannya (solusi numerik). Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 3/ 29

4 Apa dan mengapa metode numerik? Karakteristik dan tahap-tahap metode numerik Sifat-sifat metode numerik yang bagus 2. Permasalahan menyangkut hitungan yang sangat besar Contoh Selesaikan Ax = b, dimana A adalah matriks berukuran 2 2 dan b adalah vektor berukuran 2 1. Sistem persamaan di atas dapat diselesaikan secara analitik. Namun bagaimana jika matriks A berukuran dan vektor b berukuran 100 1? Bagaimana pula jika matriks A berukuran dan vektor b berukuran ? Butuh suatu metode untuk menyelesaikan masalah di atas dengan cepat dan tepat. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 4/ 29

5 Apa dan mengapa metode numerik? Karakteristik dan tahap-tahap metode numerik Sifat-sifat metode numerik yang bagus Metode numerik dalam dunia kerja Aerospace - desain pesawat komersial - Airbus Aerospace - desain mesin jet - Rolls Royce Otomotif - desain mobil baru Hiburan - animasi, games Olahraga - desain mobil F1, desain perahu layar - Alinghi Finance - desain produk keuangan, penilaian resiko Lingkungan - model perubahan cuaca Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 5 / 29

6 Karakteristik metode numerik Apa dan mengapa metode numerik? Karakteristik dan tahap-tahap metode numerik Sifat-sifat metode numerik yang bagus Mencakup sejumlah besar perhitungan yang bentuknya serupa Memerlukan alat bantu komputer Penyelesaian yang diperoleh selalu berupa hampiran (sangat jarang sekali diperoleh nilai eksak, kecuali masalahnya istimewa) Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 6/ 29

7 Apa dan mengapa metode numerik? Karakteristik dan tahap-tahap metode numerik Sifat-sifat metode numerik yang bagus Tahap-tahap penyelesaian masalah secara numerik 1 Pemodelan, yaitu memformulasikan masalah fisik menjadi masalah matematika. Contoh: model pertumbuhan bakteri y = ky. 2 Pemilihan metode numerik untuk menyelesaikan masalah matematika. 3 Pemrograman: pembuatan algoritma dan proses koding. 4 Penafsiran hasil. Catatan: tahap (1) tidak dipelajari pada kuliah ini. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 7/ 29

8 Sifat-sifat metode numerik yang bagus Apa dan mengapa metode numerik? Karakteristik dan tahap-tahap metode numerik Sifat-sifat metode numerik yang bagus Robust Selalu memberikan jawaban (konvergen) Akurat Solusi numerik mendekati solusi eksak dapat dibuat sekecil yang diinginkan (berkaitan dengan beban kerja komputasi) Estimasi nilai galat dapat dihitung tanpa mengetahui solusi eksak Batas nilai galat dapat ditentukan Efisien Solusi numerik diperoleh dalam waktu singkat Menggunakan beban kerja komputasi sekecil mungkin untuk mencapai akurasi yang diinginkan. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 8/ 29

9 Definisi dan karakteristik algoritma Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh Algoritma adalah prosedur/perintah yang terdiri dari serangkaian berhingga operasi yang mempunyai arti tunggal yang dipakai untuk menyelesaikan suatu masalah. Karakteristik algoritma: 1 Tiap langkah harus didefinisikan dengan persis sehingga mempunyai arti yang jelas dan maksud yang tunggal. 2 Harus sampai pada solusi/penyelesaian dari masalah setelah berhingga langkah. 3 Bersifat umum, misalnya algoritma untuk penyelesaian sebuah sistem persamaan linier (SPL) harus dapat dipakai untuk SPL ukuran berapapun. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 9/ 29

10 Penulisan algoritma Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh (a) Diagram alir (flow chart) Dituliskan dalam bentuk diagram yang menggunakan simbol-simbol tertentu dengan arti yang sudah baku. Aliran perintah digambar dengan garis dan anak panah dari satu simbol ke simbol lainnya. Karena menimbulkan kerumitan dan panjang, penulisan dengan cara ini sudah mulai ditinggalkan. Biasanya hanya dipakai untuk menggambarkan garis besar dari algoritma. (b) Kode semu (pseudo code) Ditulis dengan memakai kalimat-kalimat biasa. Kalimat-kalimat yang dipakai biasanya dibakukan dan sudah mirip dengan sintaks dari bahasa pemrograman komputer. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 10/ 29

11 Komponen-komponen algoritma Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh (a) Masukan/input Berupa data yang diperlukan untuk melakukan perhitungan yang akan menyelesaikan masalah. (b) Keluaran/output Data yang ingin dihasilkan dari perhitungan algoritma. (c) Langkah-langkah Perintah-perintah dan perhitungan-perhitungan yang dijalankan algoritma untuk menyelesaikan masalah. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 11/ 29

12 Contoh 1 Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh Diberikan suatu vektor a dengan n elemen yang berisikan bilangan-bilangan riil. Algoritma berikut menghitung jumlah keseluruhan elemen-elemen dari vektor a, yaitu D = n i=1 a i. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 12/ 29

13 Contoh 2 Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh Buat algoritma untuk menentukan nilai bilangan terbesar dari bilangan positif {a 1,a 2,...,a n }. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 13/ 29

14 Contoh 3 Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh Diberikan koefisien dari persamaan kuadrat ax 2 +bx +c = 0. Buatlah algoritma untuk menghitung akar-akar dari persamaan tersebut dengan mempertimbangkan kasus-kasus yang akan terjadi. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 14/ 29

15 Tugas Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh Buat algoritma untuk mengurutkan bilangan-bilangan {a 1,a 2,...,a n } dari yang nilainya terkecil sampai yang terbesar. Buat algoritma untuk menentukan semua faktor positif dari sebuah bilangan bulat positif. Buat algoritma untuk menentukan apakah sebuah bilangan bulat termasuk bilangan prima atau bukan. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 15/ 29

16 Tugas No. 1 Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh Buat algoritma untuk mengurutkan bilangan-bilangan {a 1,a 2,...,a n } dari yang nilainya terkecil sampai yang terbesar. Masukan: n banyak bilangan a[i], i=1,2,...,n bilangan-bilangan Keluaran: a[i], i=1,2,...,n bilangan-bilangan terurut dari yang nilainya terkecil sampai yang terbesar Langkah-Langkah : 1. untuk i=1,2,...,n-1 untuk j=i+1,i+2,...,n jika a[i]>a[j] maka b:=a[i] a[i]:=a[j] a[j]:=b 2. tuliskan a[i], i=1,2,...,n Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 16/ 29

17 Tugas No. 2 Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh Buat algoritma untuk menentukan semua faktor positif dari sebuah bilangan bulat positif. Masukan: a bilangan positif Keluaran: f[i] Langkah-Langkah : 1. i:=1 2. untuk b=1,2,...,a jika a mod b = 0 maka f[i]:=b i=i+1 faktor-faktor positif Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 17/ 29

18 Tugas No. 3 Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh Buat algoritma untuk menentukan apakah sebuah bilangan bulat termasuk bilangan prima atau bukan. Masukan: a bilangan Keluaran: a bilangan prima atau bukan Langkah-Langkah : 1.jika a=1 maka a bukan bilangan prima, stop. 2.untuk b=2,3,...,a jika a mod b = 0 dan a=~b maka a bukan bilangan prima, stop. 3. a bilangan prima Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 18/ 29

19 Kuis Definisi dan karakteristik algoritma Penulisan algoritma Komponen-komponen algoritma Contoh-contoh Buat algoritma untuk menentukan semua faktor prima dari sebuah bilangan bulat positif. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 19/ 29

20 Definisi galat (1) Definisi galat Sumber galat Galat (E) adalah perbedaan nilai dari suatu besaran antara nilai eksak (x) dengan nilai hampirannya (x ) E = x x. Untuk E biasa disebut dengan galat mutlak/absolut dari x. Selain itu didefinisikan juga galat relatif, yaitu e = x x. x Q: Mana yang lebih baik untuk pengukuran galat, E atau e? Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 20/ 29

21 Definisi galat (2) Definisi galat Sumber galat Pada prakteknya, nilai eksak x tidak diketahui. Untuk komputasi yang berulang (iterasi), galat seringkali diestimasi dengan ε n = xn xn 1 atau ε n = x n x n 1 xn, dimana indeks n menunjukkan langkah iterasi (iterasi ke-n). Pada kasus ini, komputasi akan dihentikan pada iterasi ke-n jika memenuhi ε n < ε, dimana ε adalah toleransi galat yang ditentukan (ε > 0). Hubungan di atas disebut kriteria penghentian iterasi. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 21/ 29

22 Sumber galat Definisi galat Sumber galat Galat diskritisasi Timbul akibat: model matematika (kasus kontinu) model numerik Dalam hal ini, fungsi kontinu dipartisi atas sejumlah titik partisi yang berhingga. Semakin banyak titik partisi, semakin kecil nilai galat. Galat pemotongan Timbul akibat pemotongan rumus matematika tertentu untuk menghampiri suatu besaran. Galat pembulatan Timbul akibat pembulatan bilangan. Biasanya terjadi karena keterbatasan memori atau ketelitian pada alat komputasi yang dipakai. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 22/ 29

23 Ilustrasi galat pemotongan Definisi galat Sumber galat Misalkan kita ingin menghitung sin(0, 1) dengan menggunakan hampiran deret Maclaurin. Deret Maclaurin untuk sin(x) adalah [buktikan!] sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9!. Ruas kanan dari deret di atas diaproksimasi sampai sejumlah suku tertentu saja, misalnya hanya sampai suku x5 5!. Dalam hal ini diperoleh hasil sin(0,1) 0,1 (0,1)3 3! dengan galat pemotongan sebesar E = (0,1)7 7! + (0,1)9 9! + (0,1)5 5!. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 23/ 29

24 Ilustrasi galat pembulatan (1) Definisi galat Sumber galat Misalkan kita menggunakan komputer/kalkulator dengan kemampuan menyimpan sampai 5 angka desimal. Jika kita ingin menyimpan bilangan 2 3 = 0, , maka bilangan tersebut disimpan menjadi 0, (terjadi galat pembulatan). Galat pembulatan biasanya akan merambat terus selama kita melakukan operasi perhitungan dalam komputer. Misalkan x dan y adalah dua besaran eksak dan nilai hampirannya x dan y. Dari definisi galat E x = x x dan E y = y y, maka [buktikan!] E x+y = E x +E y, E x y = E x E y, e xy e x +e y, e x/y e x e y. Dalam hal ini, (x ±y) = x ±y, (xy) = x y, (x/y) = x /y. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 24/ 29

25 Ilustrasi galat pembulatan (2) Definisi galat Sumber galat Galat pembulatan dalam suatu perhitungan rumus kadang-kadang dapat diperkecil dengan memodifikasi rumus tersebut. Sebagai contoh, perhatikan rumus: f(x) = x( x +1 x). Dengan menggunakan komputer dengan ketelitian 4 angka desimal, diperoleh f(500) = 500( ) =... = 11,1500. Sekarang modifikasi f(x) menjadi ˆf(x) x = x+1+ x [justifikasi!], sehingga diperoleh hasil ˆf(500) =... = 11,1748. Sebagai perbandingan, nilai eksaknya f(500) = g(500) = 11, Dari ilustrasi di atas dapat disimpulkan bahwa operasi pengurangan dua bilangan yang nilainya hampir sama akan menyebabkan galat yang besar. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 25/ 29

26 Tentang MATLAB Tentang MATLAB Fitur pada MATLAB Mempelajari MATLAB MATLAB (Matrix Laboratory) - interactive system for numerical computation. Originally written by Cleve Moler as a teaching aid. Now widely used for teaching and research in universities. Also widely used by business and industry. Knowing MATLAB is a valuable skill - good addition to your CV Learning MATLAB can be fun! Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 26/ 29

27 Fitur pada MATLAB Tentang MATLAB Fitur pada MATLAB Mempelajari MATLAB Allows quick and easy coding in a high-level language. Simple data structures - variables need not be declared in advance. Interactive interface makes it easy to experiment and easy to debug code. High-quality graphics can be produced easily. Programs and functions can be stored in M-files, which are completely portable. Lots of people have written M-files that are freely available on the internet. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 27/ 29

28 Bagaimana mempelajari MATLAB? Tentang MATLAB Fitur pada MATLAB Mempelajari MATLAB The best way to learn any computer language is to use it! MATLAB is no exception. Do attend the Computer Workshops and try the exercises. Work through the MATLAB Guide at a computer. Ask for help. Read other people s code, look at the solutions to the exercises. Don t be afraid to experiment - you can t break anything! Practise - to do repeatedly in order to gain a skill. Programming is a very valuable skill but it will take time to acquire. Be patient. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 28/ 29

29 Hal-hal spesifik Tentang MATLAB Fitur pada MATLAB Mempelajari MATLAB Upper and lower case characters are not equivalent. Typing a variable name will cause MATLAB to display its current value. Putting a semicolon at the end of a command suppresses its output to the screen. Parentheses (), square brackets [] and curly braces { } are all used and mean different things. You can use the up and down arrows to scroll through your previous commands. You can get help by typing help topic where topic is a command or function. You can leave MATLAB by typing exit or quit. Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pendahuluan 29/ 29