Harjanto, E. 1 dan Tuwankotta, J. M. 2

Transkripsi

1 ى ف مح ف فش Fold ى ف نى ف ء ف ه ف ىب Predator-Prey م ىس فلف Cusp ى ف نى فل ا ف فوف مذ فء فه مل ف ف م ف هه فا Harjanto, E. 1 dan Tuwankotta, J. M. 1 Ganesha 10, Bandung 4013, eric@math.itb.ac.id Ganesha 10, Bandung 4013, theo@math.itb.ac.id Abstrak. Sistem Predator-Prey merupakan sistem yang menarik untuk dipelajari. Sistem Predator-Prey yang akan dibahas dalam paper ini adalah sistem dengan memasukkan faktor pertahanan grup dan gangguan berkala. Sistem ini memperlihatkan dinamik yang tidak biasa, yang salah satunya adalah bagaimana dua buah bifurkasi fold yang hilang tidak dengan melalui bifurkasi cusp. Kata Kunci: Sistem Predator-Prey, Faktor Pertahanan Grup, Gangguan Berkala, Bifurkasi Fold, Bifurkasi Cusp ف وفل مذ ١ Berbagai model di alam dituliskan dalam bentuk sistem persamaan diferensial. Model-model tersebut biasanya bergantung dari parameter yang tidak diketahui secara eksak nilainya, namun besarnya tidak berubah terhadap waktu. Analisis dari model-model tersebut hanyalah bermanfaat jika itu berlaku untuk nilai-nilai parameter yang cukup generik. Dalam hal tersebut, analisis bifurkasi memainkan peranan penting karena, bukan hanya dapat mendeskripsikan dinamik suatu sistem yang secara struktural stabil, tetapi juga menjelaskan transisi antar kondisi yang stabil secara struktural. Paper ini membahas masalah bifurkasi pada sebuah keluarga sistem dinamik dalam kelas sistem Predator-Prey. Khususnya, konsentrasi pada paper ini adalah mendeskripsikan sebuah bifurkasi dengan kodimensi dua dimana dua buah bifurkasi dengan kodimensi satu, yaitu Fold bifurkasi, bertemu kemudian hilang. Mekanisme yang biasanya terjadi ketika dua buah Fold bifurkasi hilang, yang telah dikenal di literatur, adalah melalui bifurkasi Cusp. Meskipun bifurkasi Cusp juga terjadi pada model yang dipelajari, paper ini mengajukan sebuah contoh dimana hilangnya dua buah bifurkasi Fold terjadi melalui mekanisme yang berbeda. Pada bagian selanjutnya, kami akan memperkenalkan sistem Predator-Prey dengan fungsi respon predator yang tak monoton fungsi Holling tipe IV [6]) dan gagguan berkala time periodic perturbation). Bagian selanjutnya menjelaskan kontinuasi numerik yang kami lakukan pada sistem tersebut menggunakan AUTO [7]. Paper ini ditutup dengan beberapa catatan untuk penelitian selanjutnya.

2 ف فوف مذ فء فه مل Predator-Prey مل ح ٢ ف ف م ف هه فا فل ا Misalkan x menyatakan kepadatan dari prey mangsa), dan y kepadatan dari predator pemangsa). Model Predator-Prey dengan faktor pertahanan grup dan gangguan berkala adalah sebagai berikut: ) dengan ẋ = x ẏ = y 1 λ ε sin ωt)x, x +x+1) ) 1) δ µy + P x) = x x +x+1 x x + x + 1. Pada model ini telah dilakukan penskalaan disebut juga normalisasi) sehingga tingkat pertumbuhan prey adalah satu. Parameter δ dan µ berturutturut menyatakan tingkat mortalitas dari predator dan tingkat kompetisi antar predator. Daya dukung lingkungan carrying capacity) diasumsikan bervariasi terhadap waktu disekitar nilai rata-rata λ 0 ; sebagai contoh pandang model predator-prey di sebuah danau yang volume airnya bervariasi musiman. Model ini juga memuat fungsi respon P x) yang bergantung pula terhadap dua parameter dan. Fungsi ini menggambarkan tingkat predasi prey sebagai fungsi dari kepadatan prey. Parameter dan berfungsi untuk menyediakan kebebasan untuk memodelkan misalkan keefektifan pemangsaan terhadap kepadatan prey. Untuk suatu nilai dan, kita dapat memasukan efek pertahanan dari prey saat kepadatan prey meningkat. Inilah alasan mengapa model 1) ini disebut sebagai model Predator-Prey dengan faktor pertahanan grup. Salah satu interaksi di alam yang menggambarkan hal tersebut adalah interaksi antara kuda zebra dan singa. Fungsi respon predator yang lainnya dan pembahasan dalam model Predator-Prey dapat dilihat di [6], [4], dan [5]. Untuk mengubah sistem menjadi autonomous, maka sistem 1) dipasangkan dengan sistem dinamik yang memiliki solusi u = sin ωt, v = cos ωt yang stabil asimtotik. Maka sistem menjadi: ẋ = x 1 λ εu)x ẏ = y δ µy + x x +x+1 u = u + ωv uu + v ), v = ωu + v vu + v ). y y x +x+1) Khususnya, kita membatasi dengan syarat awal x0), y0), u0), v0) = x, y, 1, 0) dengan x, y R. ) م ىس ى فل ى ف نى ٣ Pada paper ini, kita memilih nilai parameter δ = 1.1, λ 0 = 0.01, µ = 0.1, dan ω = 1. Pilihan ini sesuai dengan analisis Broer dkk. dalam [1] yaitu ), ), )

3 pada permukaan S 1 pada [1]) untuk Sistem 1) tetapi tanpa adanya gangguan berkala pada carrying capacity. Diagram bifurkasi untuk Sistem ) untuk ε = 0 bersesuaian dengan hasil yang diperoleh pada paper [1]. Diagram bifurkasi dua parameter terhadap dan diperoleh dengan melakukan kontinuasi ekuilibrium x, y ) = , ). Hal ini dapat dilakukan pada Sistem ) karena ketika ε = 0, persamaan untuk u dan v tidak lagi terpasangkan dengan persamaan untuk ẋ dan ẏ. Titik awal untuk dan adalah berturut-turut 0.00 dan 0.5. Diagram bifurkasi yang diperoleh adalah seperti pada Gambar 1. Ketika ε 0, diagram bifurkasi yang didapat berbeda dengan kasus ε = 0: munculnya dua buah bifurkasi Cusp yang baru lihat Gambar ). Untuk x Fold M Hopf Fold Hopf Gambar 1. Diagram bifurkasi tanpa gangguan berkala ε = 0) terhadap dan dengan nilai awal δ = 1.1, λ 0 = 0.01, µ = 0.1, = 0.00, = 0.5, ω = 1, x = 1.816, dan y = 1.434, kanan : perbesarannya Cusp N Cusp Torus Gambar. Diagram bifurkasi dengan gangguan berkala ε = 0.07) terhadap dan dengan nilai awal δ = 1.1, λ 0 = 0.01, µ = 0.1, = 0.00, = 0.5, ω = 1, x = 1.816, dan y = mengerti mekanisme apa yang menyebabkan kemunculan dua buah bifurkasi ini, dilakukan kontinuasi solusi periodik dari sistem ) terhadap dengan tetap fixed) seperti pada Gambar 3 slicing terhadap ). Ada tiga buah garis di bidang dan, yaitu: B1 = {, 0.49)}, B = {, )}, dan B3 = {, 0.48)}. Untuk nilai-nilai parameter dan, pada ketiga garis 3

4 tersebut, kita mengikuti solusi periodik dari sistem ), dan hasilnya dipresentasikan pada Gambar 4. Solusi periodik yang dikontinuasi terhadap pada Gambar 4 direpresentasikan oleh max x. Mengikuti garis B1, kita menemukan empat buah bifurkasi Fold yang diberi label F 1, F, F 3, dan F 4. Dengan memperbesar nilai mengikuti titik terjadinya locus) bifurkasi Fold, titik F 1 dan F, bersatu pada bifurkasi Cusp, yaitu Cusp 3, sedangkan F 3 dan F 4 bersatu pada bifurkasi Cusp lihat Gambar ). Ketika kita mengikuti solusi periodik dari sistem ) sepanjang garis B, kita menemukan bahwa bifurkasi fold F 1 dan F 4 bertemu, namun tidak melalui bifurkasi Cusp seperti pertemuan antara F 1 dan F, serta F 3 dan F 4). Ketika nilai semakin kecil, yaitu pada garis B3, titik F 1 dan F 4 hilang, dan terbentuklah sebuah kurva tertutup di bidang: max x seperti pada Gambar 4 kanan. Jika kita memperhatikan Gambar 4 kanan, dan mengikuti solusi periodik dari sistem ) terhadap, dengan mulai dari = 0.04 dan = 0.48, maka kita akan memiliki sebuah solusi periodik yang memenuhi: 1.6 < max x < 1.7. Solusi periodik ini dapat dikontinuasi dengan memperbesar hingga tanpa mengalami bifurkasi apapun. Untuk < < terjadi bifurkasi non lokal yaitu tidak terkait dengan solusi periodik yang telah kita peroleh sebelumnya) yaitu bifurkasi Fold F 3. Setelah melalui bifurkasi ini, dengan memperbesar, dua buah solusi periodik tercipta dan kemudian bertemu kembali melalui bifurkasi Fold F 4 di sekitar: = B F B F4 F B Torus Cusp Torus Gambar 3. Kotak N pada Gambar dengan proses slicing terhadap pada diagram bifurkasi tersebut Kurva tertutup yang menghubungkan titik F 3 dan F 4 tidak dapat diperoleh dengan mengkontinuasi solusi periodik sepanjang garis B3. Untuk memperoleh kurva ini kita perlu melakukan kontinuasi solusi periodik pada garis B1 yang 4

5 Max x 1.9 F4 F F1 Max x 1.9 F4 F1 F Max x 1.9 F Gambar 4. Diagram bifurkasi terhadap max x dari B1, B, dan B3 pada Gambar 3. Atas: B1 dan B berturut-turut, bawah: B3 dekat dengan titik F 3 atau F ), dan mengkontinuasinya dengan memperkecil dan mempertahankan konstan). ف ى مث ٤ Model Predator-Prey dengan faktor pertahanan grup dan gangguan musiman memiliki dinamik yang berbeda dengan model yang tanpa gangguan musiman. Pada model dengan gangguan musiman muncul dua bifurkasi Cusp yang baru. Pada kemunculan dua bifurkasi Cusp yang baru ini dua buah Fold bersatu dan menghilang tanpa melalui bifurkasi Cusp seperti yang biasanya terjadi. Kami menduga kemunculan kedua bifurkasi Cusp melalui bifurkasi berkodimensi tinggi yaitu Swallowtail. Ini akan menjadi topik selanjutnya dalam penelitian kami. ف ف ذ ف نفء 1. H. W. Broer et al., 005, Bifurcations of a predator-prey model with nonmonotonic response function, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I ),pp H. W. Broer et al., 006, A predator-prey model with non-monotonic response function, Regular and Chaotic Dynamics 11 ) 006), pp H. W. Broer et al., 007, Dynamics of a predator-prey model with non-monotonic response function, DCDS-A 18 &3) 007),pp S. Rinaldi et al., 1993, Multiple Attractors, Catastrophes and Chaos in Seasonally Perturbed Predator-Prey Communities, Bull. Math. Biol ), pp

6 5. Huaiping Zhu et al., 00, Bifurcation Analysis of a Predator-Prey System with Nonmonotonic Functional Response, SIAM J. Appl. Math ),pp C. S. Holling, 1965, The Functional Response of Predators to Prey Density and Its Role in Mimicry and Population Regulation, Mem. ent. Soc. Can. 45, pp E. J. Doedel et al., 008, AUTO 000: Continuation and Bifurcation Software for Ordinary Differential Equations. 6