BIFURKASI HOPF PADA MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI
|
|
- Irwan Johan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BIFURKASI HOPF PADA MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
2 ABSTRAK NURRACHMAWATI. Bifurkasi Hopf pada Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa dan dengan Waktu Tunda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan TONI BAKHTIAR. Model siklus bisnis adalah salah satu sistem dinamik dalam bidang ekonomi. Ada beberapa model siklus bisnis, diantaranya model Kaldor-Kalecki. Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki yang dituliskan dalam persamaan diferensial tundaan, merupakan suatu siklus bisnis yang melibatkan pendapatan kotor dan stok modal dari suatu perusahaan. Dalam tulisan ini dianalisis model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda dalam stok modal. Dengan melakukan ekspansi Taylor untuk waktu tunda, model ini dianalisis dengan mencari kestabilan di sekitar titik tetap. Selanjutnya dengan menggunakan teorema Bifurkasi Hopf, dapat ditunjukkan keberadaan orbit periodik dan siklus limit (limit cycle). Dalam model tanpa waktu tunda, dengan mengubah parameter koefisien penyesuaian di pasar barang dapat mengakibatkan terjadinya bifurkasi Hopf serta adanya siklus limit. Begitu juga untuk model dengan waktu tunda, ditunjukkan bahwa pengubahan parameter waktu tunda dapat mengakibatkan terjadinya bifurkasi Hopf dan memunculkan siklus limit. Kata kunci : model siklus bisnis Kaldor-Kalecki, bifurkasi Hopf, persamaan deferensial tundaan
3 ABSTRACT NURRACHMAWATI. Hopf Bifurcation in Nondelayed and Delayed Kaldor-Kalecki Business Cycle Models. Supervised by ALI KUSNANTO and TONI BAKHTIAR. Business cycle model is one of dynamical system models in economic. One of the business cycles model is Kaldor-Kalecki model. Kaldor-Kalecki business cycle model that is written in delayed defferential equations, is a business cycle model that involves gross product and capital stock of a company. In this paper Kaldor-Kalecki business cycle model is analyzed using both nondelay and delay in time of capital stock. By Taylor expansion for the time delayed model, an analysis of stability around the fixed points has been done. Furthermore, by using Hopf bifurcation theorem, it can be shown that there exists periodic orbits and limit cycle. In the nondelayed model, changing the parameter of goods market could lead to the occurrence of Hopf bifurcation and the existence of limit cycle. Similarly, for the delayed model, it has been shown that changing the time delay parameter may result in the occurrence of Hopf bifurcation and limit cycle. Keywords: Kaldor-Kalecki business cycle model, Hopf bifurcation, delayed defferential equations
4 BIFURKASI HOPF PADA MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
5 Judul Nama NRP : Bifurkasi Hopf pada Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa dan dengan Waktu Tunda : Nurrachmawati : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. NIP NIP Mengetahui, Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP Tanggal Lulus :
6 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah Pemodelan Matematika dengan judul Bifurkasi Hopf pada Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa dan dengan Waktu Tunda. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada : 1. Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si dan Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc selaku dosen pembimbing atas segala kesabaran, ilmu dan masukkannya selama membimbing penulis; kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji; 2. Ayahanda Timbang Subroto (Alm) dan Ibunda Rojiah Rambe yang banyak memberi nasihat dan dukungan serta do a yang takterkira, Adikku Toto Suhariyanto yang selalu memberi doa dan keceriaan. Saudaraku Tulang Dalkot, Bang Ipul dan Bang Dede yang selalu memberi doa dan nasihatnya; 3. Keluarga besar dan staf Departemen Matematika FMIPA IPB: Pak Yono, Bu Susi, Bu Ade, Mas Heri, Mas Deni, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam penyusunan skripsi; 4. Teman-teman satu bimbingan: Sri, Fajar dan Aje yang selalu saling mengingatkan dan membantu dalam penyusunan skripsi; 5. Teman-teman terbaikku di kampus: Sri, Melon, Ayung, Della, Tyas, Fajar, Denda, Rofi, Pandi, Dian, dan Rizky yang selalu memberikan semangat, keceriaan, dan bantuan serta mengingatkan penulis dalam penyusunan skripsi; 6. Teman-teman mahasiswa matematika angkatan 44: Sri, Melon, Ayung, Tyas, Della, Fajar, Rofi, Denda, Dian, Pandi, Rizky, Ruhiyat, Wahyu, Iam, Lingga, Ima, Dora, Lugina, Yuyun, Nunuy, Ucu, Wenti, Ndep, Pepi, Ali, Aje, Deva, Eka, Titi, Lilis, Aqil, Ikhsan, Vianey, Yuli, Masayu, Diana, Yanti, Indin, Sari, Lukman, Olih, Cepi, Aswin, Imam, Ririh, Iresa, Anis, Tita, Arina, Tanti, Lili, Nurus, Nadiroh, Naim, Endro, Copa, Yogi, Tendy, Siska, Lina atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika; 7. Kakak-kakak mahasiswa angkatan 43: Kak Nia, Kak Copi, Kak Apri, Kak Cupit, Kak Wira, Kak Arum, Kak Tami, Kak Slamet dkk yang telah memberikan banyak informasi dan motivasinya; adik-adik mahasiswa matematika angkatan 45: Isna, Megha, Bolo, Vivi, Dono, Feni dkk yang telah mendukung penulis dalam menyusun skripsi; 8. Keluarga besar kosan Nusa Indah: Elvita, Rini, Shiva, Riri, Ratih, Sarah, dan Ajeng yang telah memberikan keceriaan, do a dan motivasinya kepada penulis dalam penyusunan skripsi; 9. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil. Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan. Bogor, Oktober 2011 Nurrachmawati
7 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Jakarta pada tanggal 23 September 1989 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan Timbang Subroto dan Rojiah Rambe. Tahun 2001 penulis lulus dari SDN Kelapa Gading Barat 01 Pagi. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 123 Jakarta. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 72 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2008, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Sosinkom periode 2008/2009 dan juga sebagai sekertaris Forum Silahturahmi Matematika (FORSMATH) periode 2009/2010. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, divisi acara pada Agricultural Creativity Festival di Badan Eksekutif Mahasiswa-Keluarga Mahasiswa (BEM-KM) tahun 2008, divisi publikasi dan dekorasi pada Lomba Karya Cipta Mahasiswa (LKCM) nasional di BEM FMIPA tahun 2009, divisi danus Matematika Ria, Pesta Sains tahun 2009 dan divisi kreatif pada Masa Perkenalan Departemen (MPD) Matematika tahun 2010.
8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... vii DAFTAR TABEL... viii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii I II PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan Metode Sistematika Penulisan... 1 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Dinamik Titik Tetap Kestabilan Titik Tetap Persamaan Deferensial Tundaan Ekspansi Taylor Pelinearan Vektor Eigen dan Nilai Eigen Analisis Kestabilan Titik Tetap Bifurkasi Siklus Limit (Limit Cycle) Bilangan Lyapunov... 4 III SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA 3.1 Model tanpa Waktu Tunda Analisis Model tanpa Waktu Tunda Simulasi Model tanpa Waktu Tunda... 6 IV SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI DENGAN WAKTU TUNDA 4.1 Model dengan Waktu tunda Analisis Model dengan Waktu Tunda Model dengan Analisis Model dengan Model dengan Analisis Model dengan Simulasi Model dengan Waktu Tunda V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii
9 DAFTAR TABEL Halaman 1 Kestabilan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda Kestabilan Titik Tetap Model dengan Kestabilan Titik Tetap Model dengan Perubahan Nilai Parameter DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Kurva Fungsi Investasi dan Fungsi Simpanan Bidang Solusi dan Bidang Fase Model tanpa Waktu Tunda pada Simulasi Bidang Solusi dan Bidang Fase Model tanpa Waktu Tunda pada Simulasi Bidang Solusi dan Bidang Fase Model tanpa Waktu Tunda pada Simulasi Kurva Fungsi Investasi Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 1: Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 1: Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 1: Bidang Solusi Model dengan pada Simulasi Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 2: Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 2: Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 2: Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Pelinearan Model tanpa Waktu Tunda Penentuan Jenis Kestabilan Model tanpa Waktu Tunda Program Mathematica 7.0 pada Gambar Analisis Model tanpa Waktu Tunda Program Maple 13 pada Gambar 2, Gambar 3, Gambar Bilangan Lyapunov Model tanpa Waktu Tunda Pendekatan Ekspansi Taylor Model dengan Waktu Tunda Penentuan Titik Tetap Model dengan Waktu Tunda Model Pelinearan pada Model dengan Waktu Tunda Penentuan Nilai tr A dan det A Model dengan Waktu Tunda Penentuan Jenis Kestabilan Model dengan Penentuan pada Model Waktu Tunda Penentuan Jenis Kestabilan Model dengan Program Mathematica 7.0 pada Gambar Analisis Model dengan Program Maple 13 pada Gambar 6, Gambar 7, Gambar 8, Gambar Analisis Model dengan, Simulasi Program Maple 13 pada Gambar 10, Gambar 11, Gambar Bilangan Lyapunov pada Model dengan, Simulasi Program Maple 13 pada Gambar Analisis Model dengan, Simulasi Program Maple 13 pada Gambar 14, Gambar 15, Gambar Bilangan Lyapunov pada Model dengan, Simulasi Analisis Model dengan, Simulasi Program Maple 13 pada Gambar viii
10 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sistem dinamik dapat diterapkan dalam berbagai bidang kehidupan, seperti dalam bidang ekonomi, baik ekonomi mikro maupun ekonomi makro. Salah satu sistem dinamik dalam bidang ini adalah model siklus bisnis. Ada beberapa model siklus bisnis seperti siklus bisnis IS-LM, siklus bisnis Kaldor- Kalecki, siklus bisnis Torre, siklus bisnis Gabisch dan Lorenz, siklus bisnis Cai, dan siklus binis Zhou dan Li. Dalam karya ilmiah ini akan dianalisis model siklus bisnis Kaldor- Kalecki (Anwarudin 2009). Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki merupakan pengembangan pertama dari model siklus bisnis IS-LM. Model IS-LM merupakan suatu sistem dinamik dalam bidang ekonomi yang melibatkan fungsi investasi (I), fungsi simpanan (S), permintaan uang (L), dan persediaan uang (M). Sedangkan model siklus bisnis Kaldor-Kalecki sendiri merupakan suatu siklus bisnis yang melibatkan stok modal (K) dan pendapatan kotor (Y). Dalam karya ilmiah ini dianalisis model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda. Waktu tunda akan diperkenalkan untuk persamaan akumulasi modal dan gagasan tentang keterlambatan dalam proses investasi. Kalecki (1935) menerangkan bahwa waktu tunda dalam model siklus bisnis merupakan hasil dari interval waktu yang diperlukan antara keputusan berinvestasi dan pemasangan investasi modal (Anwarudin 2009). Sedangkan model tanpa waktu tunda menyatakan bahwa tidak ada masa persiapan atau penundaan sampai perlengkapan modal tersedia dan siap untuk digunakan. Model ini dituliskan dalam persamaan diferensial tunda orde kedua. Beberapa teknik umum dalam teori bifurkasi akan dipakai untuk menganalisis model siklus ini. Teori bifurkasi digunakan dalam memelajari dinamika sistem taklinear, yaitu untuk menggambarkan beberapa perubahan perilaku dari sistem dengan beberapa nilai parameter yang bervariasi. Dalam menganalisis model siklus bisnis Kaldor-Kalecki ini, salah satu alat yang digunakan adalah teorema bifurkasi dari Poincar e Andronov Hopf, yaitu teorema bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf digunakan untuk menentukan eksistensi orbit periodik dan limit cycle dari suatu sistem, menjamin keberadaan dan keunikan solusi periodik, serta dapat menunjukkan bahwa dinamika kondisi pendapatan kotor dan stok modal suatu perusahaan dapat digambarkan dalam model Kaldor-Kalecki (Krawiec dan Szydlowski 2001). 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah sebagai berikut: 1. Menganalisis perilaku dinamik yang terjadi pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa dan dengan waktu tunda. 2. Menunjukan terjadinya bifurkasi Hopf pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki. 1.3 Metode Metode dari penulisan karya ilmiah ini adalah menganalisis kestabilan, meneliti kondisi bifurkasi Hopf dan menggambarkan solusi dengan nilai awal tertentu menggunakan pemrograman berbasis sistem aljabar komputer. 1.4 Sistematika Penulisan Pada Bab I dijelaskan latar belakang, tujuan, dan metode dari penulisan karya ilmiah ini. Bab II berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada Bab III akan dibahas model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan terlebih dahulu melakukan pencarian titik tetap, analisis kestabilan titik tetap dan analisis bifurkasi yang terjadi pada model tersebut. Bab IV adalah pembahasan model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda. Simpulan karya ilmiah ini akan diberikan pada Bab V.
11 II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu dan vektor parameter d. Sistem dinamik dinyatakan sebagai berikut: (2.1) dengan dan serta. (Kreyszig 1993) Definisi Titik Tetap Dari sistem dinamik (2.1), dengan f fungsi yang terturunkan, titik disebut titik tetap jika memenuhi. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. (Tu 1994) Definisi Kestabilan Titik Tetap Jika f secara eksplisit tidak bergantung vektor parameter d, maka sistem persamaan diferensial (2.1) dapat ditulis dalam bentuk: (2.2) Misalkan adalah titik tetap sistem persamaan diferensial pada (2.2). adalah solusi yang memenuhi kondisi awal dengan dan sehingga menghasilkan solusi awal. Titik tetap dikatakan titik tetap stabil jika untuk setiap dan sedemikian sehingga jika maka untuk. Jika tidak terpenuhi, maka takstabil. (Verhulst 1990) 2.2 Persamaan Diferensial Tundaan Persamaan diferensial tundaan atau delayed differential equations adalah salah satu bentuk persamaan diferensial di mana turunan dari fungsi yang tidak diketahui berapa waktu tundaan yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai dari fungsi waktu sebelumnya. Bentuk umum persamaan diferensial tundaan untuk, yaitu:, (2.3) di mana merepresentasikan lintasan solusi waktu lampau. Pada persamaan ini f adalah fungsi bentuk ke. Bentuk persamaan diferensial tundaan kontinu yaitu: (2.4) dan persamaan diferensial tunda diskret yaitu: (2.5) untuk. (Bellman et al. 1963) 2.3 Ekspansi Taylor Jika f memunyai penyajian deret pangkat di a, yaitu jika: dengan adalah jari-jari kekonvergenan, maka koefisiennya diberikan oleh Koefisien di atas adalah tunggal (unique). Jadi, jika f memiliki penyajian deret pangkat di a, maka deretnya berbentuk: (2.6) Deret persamaan (2.6) di atas disebut ekspansi Taylor dari fungsi f di a (di sekitar a atau yang berpusat di a). Adapun bentuk ekspansi Taylor dua peubah yaitu:. (2.7) Deret persamaan (2.7) di atas disebut ekspansi Taylor dua peubah dari fungsi f di (di sekitar atau yang berpusat di ). (Stewart 2003) 2.4 Pelinearan Perhatikan sistem persamaan deferensial dengan dua persamaan dan dua peubah berikut: (2.8) Andaikan adalah titik tetap dari dua persamaan di atas, maka dan. Misalkan, dan, maka didapatkan:.
12 3 Dengan melakukan pendekatan ekspansi Taylor dua peubah, maka didapatkan sistem sebagai berikut: dengan merupakan galat yang cukup kecil. Selanjutnya diperoleh:. Dengan melakukan pendekatan ekspansi Taylor dua peubah, maka didapatkan sistem sebagai berikut: Dalam bentuk matriks dapat dituliskan Matriks yaitu:, disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap. Karena, maka dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan linear: ;... (2.9) Bentuk (2.9) disebut model terlinearkan dari model taklinear (2.8). (Strogatz 1994) 2.5 Vektor Eigen dan Nilai Eigen Misalkan matriks A berukuran, Maka suatu vektor taknol x di disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar, yang disebut nilai eigen dari A, berlaku:. (2.10) Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaikan dengan nilai eigen. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran, maka persamaan (2.10) dapat ditulis sebagai berikut:, (2.11) dengan adalah matriks identitas. Persamaan (2.11) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika: (2.12) persamaan (2.12) disebut persamaan karakteristik dari A. (Tu 1994) 2.6 Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan linear berikut: dan didefinisikan matriks A berukuran berikut: Persamaan karakteristik dari A ialah, sedemikian sehingga diperoleh persamaan dengan: Nilai eigen matriks A ialah (2.13) Solusi dari sistem persamaan deferensial diberikan oleh dengan dan adalah vektor eigen yang berpadanan dengan dan. Kestabilan titik tetap ditentukan sebagai berikut: 1. Jika, maka nilai eigen mempunyai akar real yang berbeda tanda, sehingga titik tetap bersifat titik pelana (saddle point) takstabil. 2. Jika, dan memenuhi kondisi, nilai eigen mempunyai akar real dengan tanda yang sama yaitu positif, maka titik tetap merupakan simpul taksejati (node) takstabil. Jika, nilai eigen mempunyai akar real dengan tanda yang sama yaitu negatif maka titik tetap menjadi simpul taksejati (node) stabil. 3. Jika, dan memenuhi kondisi, nilai eigennya merupakan complex conjugat, maka titik tetap bersifat spiral takstabil. Jika maka titik tetap menjadi spiral stabil. 4. Jika, dan ada dua vektor eigen bebas linear dengan tanda.
13 4 yang sama yaitu positif, maka titik tetap bersifat simpul sejati (star node) takstabil. Jika dan ada dua vektor eigen bebas linear dengan tanda yang sama yaitu negatif, maka titik tetap bersifat simpul sejati (star node) stabil. 5. Jika, dan mempunyai nilai eigen yaitu: dengan, maka titik tetap bersifat simple degenerate. Jika, maka nilai eigen bernilai 0, sehingga titik tetap bersifat double degenerate. 6. Jika, nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik tetap bersifat center yang selalu stabil. Dalam persamaan diferensial taklinear, untuk nilai eigen yang berupa imajiner murni jenis kestabilannya dapat bersifat center atau spiral. (Tu 1994) 2.7 Bifurkasi Bifurkasi adalah suatu kondisi di mana terjadi perubahan pada sistem, biasanya berupa perubahan banyaknya titik tetap atau perubahan kestabilan titik tetap. Titik yang mengalami kondisi ini disebut titik bifurkasi. Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasuskasus bifurkasi saddle-node, bifurkasi transcritical, bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical). Sedangkan pada kasus duadimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf. (Strogatz 1994) Teorema 1 Bifurkasi Hopf Perhatikan sistem persamaan deferensial orde-2 berikut: (2.14) dengan parameter dan positif serta vektor fungsi dengan D adalah daerah asal pada. Misalkan bahwa sistem (2.14) memiliki titik tetap di sekitar setiap v yaitu, sehingga:. (2.15) Misalkan matriks pelinearan dari (2.14) di sekitar titik tetap, maka:. (2.16) Misalkan bahwa memiliki nilai eigen imaginer murni,, sehingga:. (2.17) Jika matriks didefinisikan oleh:, (2.18) maka sehingga terjadi perubahan kestabilan titik tetap yaitu spiral stabil dan spiral takstabil serta ada solusi periodik dari (2.14) untuk v di sekitar dan x di sekitar a dengan periode untuk v yang kecil. (Murray 1993) Definisi Siklus Limit (Limit Cycle) Siklus limit adalah orbit tertutup yang terisolasi, yaitu bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Siklus limit dikatakan stabil jika dikelilingi oleh orbit yang menuju ke siklus limit tersebut, jika menjauhi maka siklus limit takstabil. (Strogatz 1994) Definisi Bilangan Lyapunov Misalkan sistem persamaan diferensial (2.8) yang memenuhi kondisi pada saat titik tetap dapat dituliskan sebagai berikut: dengan dan adalah persamaan taklinear dalam dan. Bilangan Lyapunov adalah bilangan yang memenuhi persamaan Jika. (2.19) maka orbit periodik stabil, jika maka orbit periodik takstabil. (Wiggins 1990)
14 III SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA Siklus bisnis Kaldor-Kalecki, nama untuk Nicholas Kaldor dan Michal Kalecki, adalah suatu sistem dinamik dalam bidang ekonomi yang direpresentasikan sebagai sistem persamaan diferensial tundaan. Kalecki menerangkan bahwa waktu tunda dalam model siklus bisnis merupakan hasil dari interval waktu yang diperlukan antara keputusan berinvestasi dan pemasangan investasi modal (Krawiec dan Szydlowski 2001). Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki yang melibatkan fungsi pendapatan kotor dan fungsi stok modal adalah sebagai berikut: dengan α δ T pendapatan kotor pada waktu stok modal pada waktu fungsi investasi fungsi simpanan fungsi investasi dengan waktu tunda koefisien penyesuaian di pasar barang tingkat depresiasi stok modal waktu tunda Dari model di atas didefinisikan bahwa laju pendapatan kotor diperoleh dari fungsi investasi yang dikurangi dengan fungsi simpanan. Hasil dari pengurangan tersebut yang apabila dikalikan dengan koefisien penyesuaian di pasar barang, merupakan laju pendapatan kotor yang dihasilkan. Laju stok modal diperoleh dari fungsi investasi dengan waktu tunda yang dikurangi dengan depresiasi stok modal. Dengan mengasumsikan bahwa fungsi investasi merupakan fungsi taklinear dan waktu tunda (T) adalah konstanta, sistem tersebut merupakan suatu persamaan diferensial tundaan. Ini berarti bahwa perilaku aktual dari sistem tergantung pada keputusankeputusan investasi di masa sebelumnya. Agar mendapatkan gambaran tentang model ini, terlebih dahulu akan dibahas model siklus bisnis tanpa waktu tunda. 3.1 Model tanpa Waktu Tunda Pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki, jika diasumsikan tanpa waktu tunda yaitu T=0, maka diperoleh model sebagai berikut: Misalkan adalah titik tetap dan,,, dan menunjukkan turunan yang berkaitan dengan pendapatan kotor (Y) dan modal (K). Dengan asumsi bahwa,,,, untuk dan sebaliknya serta, siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda ini menyatakan tidak adanya masa persiapan atau penundaan sampai perlengkapan modal tersedia dan siap untuk digunakan. Model ini merupakan model tanpa waktu tunda dengan terjadinya bifurkasi Hopf (Wiens EG 2011). 3.2 Analisis Model tanpa Waktu Tunda Sistem (3.2) merupakan sistem tanpa waktu tunda yang umum, sehingga tidak bisa di dapatkan bentuk umum dari titik tetapnya, terlebih dahulu harus mesubtitusikan fungsi investasi dan simpanan. Berikut akan dianalisis kestabilan titik tetap dari sistem, misalkan: (3.3) Dari persamaan linear pada (2.9) maka didapat model pelinearan yaitu: (3.4) (penentuan model pelinearan dapat dilihat pada Lampiran 1). Dari bentuk pelinearan di atas didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut: Nilai eigen dari matriks Jacobi J diberikan oleh:
15 6 dengan: Perhatikan bahwa Selanjutnya didefinisikan Untuk, ada tiga kasus yang akan dianalisis, dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap Kasus tr J det J Kestabilan 0 > 0 Center atau Spiral < 0 > 0 Spiral stabil > 0 > 0 Spiral takstabil (penentuan jenis kestabilan dapat dilihat pada Lampiran 2). Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa ada perubahan kestabilan, yaitu dari spiral stabil ke spiral takstabil, maka berdasarkan Teorema 1 Bifurkasi Hopf sistem (3.2) mengalami bifurkasi Hopf. Dengan mengambil nilai, dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa kurva investasi akan meningkat di awal. Kemudian pada saat pendapatan kotor bernilai 9 fungsi investasi akan berada pada limit fungsi yaitu di 1.3 dan akan tetap bernilai 1.3 untuk pemberian nilai berikutnya. Sedangkan kurva simpanan akan meningkat seiring dengan penambahan nilai. Dalam simulasi ini akan ditetapkan nilai yaitu,, dan. Simulasi 1: Pada saat, didapat nilai dan yaitu dan serta nilai eigen yaitu. Titik tetap berupa spiral stabil. Pada Gambar 2 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fasenya. 3.3 Simulasi Model tanpa Waktu Tunda Dalam simulasi ini akan diberikan nilainilai sebagai berikut: fungsi investasi yaitu, fungsi simpanan yaitu, tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.2. Dari asumsi-asumsi diatas didapatkan titik tetap yaitu dan diperoleh nilai yaitu Pendapatan Kotor Stok Modal Gambar 2 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Gambar 1 Kurva Fungsi Investasi dan Fungsi Simpanan. Dari bidang solusi dengan memberikan nilai awal y(0)=1 dan k(0)=1, dapat dilihat
16 7 pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase dapat dilihat bahwa titik tetap kearah dalam yaitu menuju kestabilan, yang berarti posisi perusahaan menjadi stabil kedepannya. Simulasi 2: Pada saat didapat nilai dan yaitu dan 0 serta nilai eigen yaitu. Titik tetap berupa spiral stabil. Pada Gambar 3 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fasenya. Simulasi 3: Pada saat, didapat nilai d dan yaitu dan serta nilai eigen yaitu. Titik tetap berupa spiral takstabil. Pada Gambar 4 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fasenya. Pendapatan Kotor Stok Modal Pendapatan Kotor Stok Modal Gambar 4 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Gambar 3 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari bidang solusi dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase dapat dilihat bahwa titik tetap kearah dalam yaitu menuju kestabilan dan orbit periodiknya stabil asimtotik (pembuktian orbit periodik stabil asimtotik terdapat pada Lampiran 6). Dari bidang solusi dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan terus berisolasi menuju limit cycle sampai periode waktu tertentu, tidak stabil. Dari plot bidang fase dapat dilihat bahwa titik tetap ke arah luar yaitu menuju ketakstabilan, yang berarti posisi perusahaan menjadi tidak stabil kedepannya dan terdapat limit cycle stabil. Limit cycle stabil membuktikan bahwa pendapatan kotor dan stok modal akan menuju kesuatu nilai tertentu. Dengan adanya limit cycle berarti dinamika mikro ekonomi perusahaan khususnya mengenai pendapatan kotor dan stok modal mempunyai siklus dengan periode tertentu
17 8 Dalam dinamika siklus bisnis Kaldor- Kalecki tanpa waktu tunda, parameter koefisien penyesuaian di pasar barang memengaruhi dinamika pendapatan kotor. Hal tersebut karena besarnya laju pendapatan kotor suatu perusahaan dipengaruhi oleh nilai. Dengan mengambil nilai sebesar 2, 3.32, dan 4.5 pergerakan laju pendapatan kotor lebih meningkat dibandingkan dengan laju stok modal (perhitungan simulasi terdapat pada Lampiran 4).. IV SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI DENGAN WAKTU TUNDA 4.1 Model dengan Waktu Tunda Pada model (3.1) akan dilakukan beberapa asumsi, transformasi koordinat dan pendekatan Taylor. Diasumsikan fungsi investasi di mana linear,, sehingga. Fungsi simpanan di mana linear,, maka model (3.1) menjadi: (4.1) dengan β laju investasi terhadap stok modal γ laju simpanan terhadap pendapatan kotor Diketahui (Y *,K * ) adalah titik tetap di mana, dilakukan transformasi koordinat sehingga sistem ini berpusat pada titik tetap (Y *,K * ). Misalkan,, dan, sehingga diperoleh model sebagai berikut:. (4.2) Suku dengan waktu tunda, dapat dihampiri melalui ekspansi Taylor, yaitu:. (4.3) (Pendekatan ekspansi Taylor dapat dilihat pada Lampiran 7). Dalam pendekatan yang dilakukan pada (4.3) di atas, sistem (4.2) direduksi menjadi bentuk dua dimensi sistem dinamik otonom, di mana:. Laju perubahan fungsi investasi dievaluasi pada saat pendapatan kotor ( ) sebesar nol. Hal tersebut menjelaskan bahwa laju perubahan fungsi investasi bersifat konstan dan tidak bergantung pada, sehingga sistem menjadi:. (4.4) 4.2 Analisis Model dengan Waktu Tunda Akan ditentukan titik tetap dari model (4.1): dan sehingga diperoleh titik tetap: (penentuan titik tetap dapat dilihat pada Lampiran 8). Bentuk umum dari titik tetap tidak mengandung parameter waktu tunda, maka titik tetap dapat berlaku untuk model dengan dan. Berikut akan dianalisis dengan waktu tunda. Dari sistem (4.1), didapat model pelinearan yaitu: (4.5) (penentuan model pelinearan dapat dilihat pada Lampiran 9). Dari pelinearan didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut: serta dari matriks Jacobi didapat: (penentuan dan dapat dilihat pada Lampiran 10).
18 9 4.3 Model dengan Pada model dengan waktu nol, diasumsikan T=0. Dengan asumsi tersebut diperoleh model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda nol sebagai berikut: (4.6) 4.4 Analisis Model dengan Berikut akan dianalisis kestabilan titik tetap dari sistem (4.6). Dengan model pelinearan yaitu: maka didapatkan matriks Jacobi yaitu: serta dari matriks Jacobi didapat: Dengan dan tersebut di atas, maka dan dapat bernilai negatif, positif dan nol. Nilai akan negatif jika, dan. Akan bernilai positif jika. Serta dapat bernilai nol jika. Nilai akan bernilai negatif jika. Bernilai positif jika, dan. Bernilai nol jika. Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap pada model (4.6), dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Kestabilan Titik Tetap Kasus Kestabilan Spiral Stabil dan Simpul stabil Spiral Stabil Spiral stabil, Spiral takstabil, Simpul stabil, Simpul takstabil, Sadel, Simple Degenerate dan Double Degenerate (penentuan jenis kestabilan titik tetap dapat dilihat pada Lampiran 11). Jenis titik tetap tidak memungkinkan untuk terjadi semuanya. Hal tersebut disebabkan pada sistem ini hanya terdapat satu titik tetap., 4.5 Model dengan Pada model dengan waktu tunda tidak nol, memertimbangkan waktu tunda, sehingga diperoleh model sebagai berikut:. (4.7) Siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda tidak nol ini menyatakan sebagian tabungan dari keuntungan investasi dan penambahan modal adalah karena keputusan investasi dimasa lalu, maka diperlukan masa persiapan atau penundaan sampai perlengkapan modal tersedia dan siap untuk digunakan. 4.6 Analisis Model dengan Berikut akan dianalisis kestabilan titik tetap. Nilai didapat dari yaitu nilai dari model (4.1). Didapatkan nilai yaitu: (Penentuan dapat dilihat pada lampiran 12). Dengan model pelinearan yaitu:, maka didapat matriks Jacobi sebagai berikut: serta dari matriks Jacobi didapat: Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda, dapat dilihat pada Tabel 3. Tabel 3 Kestabilan Titik Tetap Kasus Center atau spiral Center atau spiral Center atau spiral Spiral stabil Spiral stabil Spiral stabil Spiral takstabil Spiral takstabil Spiral takstabil (penentuan jenis kestabilan dapat dilihat pada Lampiran 13).
19 10 Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa ada perubahan kestabilan, yaitu dari spiral stabil ke spiral takstabil, maka berdasarkan Teorema 1 Bifurkasi Hopf sistem (4.7) mengalami bifurkasi Hopf. 4.7 Simulasi Model dengan Waktu Tunda Simulasi Sistem (4.6) Untuk mengetahui pengaruh perubahan nilai parameter terhadap jenis kestabilan titik tetap, dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4 Perubahan Nilai Parameter Simulasi Para meter Jenis kestabi lan Spiral stabil Simpul stabil Simple degene rate Sadel Dalam simulasi ini akan diberikan nilai fungsi investasi yaitu. Dari Gambar 5 dapat dilihat kurva fungsi investasi tersebut meningkat di awal, kemudian pada saat pendapatan kotor bernilai 10 fungsi investasi akan berada pada limit fungsi yaitu di 1 dan akan tetap bernilai 1 untuk pemberian nilai berikutnya. Laju fungsi investasi, yaitu sebesar Simulasi 1: Dengan koefisien penyesuaian di pasar barang sebesar 0.25, tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.1, laju investasi terhadap stok modal sebesar 0.1 dan laju simpanan terhadap pendapatan kotor sebesar Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 6. Dari Gambar 6, bidang solusi menunjukan bahwa stok modal naik kemudian stabil di. Sedangkan pendapatan kotor menurun kemudian stabil di. Pengambilan nilai sebesar 0.65 mengakibatkan pendapatan kotor mengalami penurunan. Hal tersebut karena laju simpanan cukup besar yaitu Semakin besar laju simpanan, maka laju pendapatan kotor perusahaan akan semakin kecil. Pendapatan Kotor Stok Modal i y Gambar 5 Kurva Fungsi Investasi. y Gambar 6 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari simulasi didapatkan titik tetap dalam bentuk fungsi investasi yaitu. Didapatkan juga
20 11 nilai d yaitu 0.026, yai u 0.3 dan nilai eigen yaitu. Titik tetap berupa spiral stabil, terbukti dengan nilai eigen yang berupa kompleks sekawan dengan bagian real negatif. Dengan titik tetap yaitu (0.562, 3.655). Dari plot bidang fase, dapat dilihat bahwa titik tetap berada di daerah stabil, yang berarti posisi perusahaan yaitu pendapatan kotor dan stok modal berada pada kondisi stabil Simulasi 2: Dengan koefisien penyesuaian di pasar barang sebesar 0.25, tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.1, laju investasi terhadap stok modal sebesar 0.1 dan laju simpanan terhadap pendapatan kotor sebesar Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 7. Pendapatan Kotor Stok Modal Dari Gambar 7, bidang solusi menunjukan bahwa laju pendapatan kotor dan stok modal mengalami kenaikan di awal kemudian stabil di dan. Pengambilan nilai sebesar 0.17 mengakibatkan pendapatan kotor mengalami kenaikan. Hal tersebut karena laju simpanan kecil yaitu sebesar Semakin kecil laju simpanan, maka laju pendapatan kotor perusahaan akan semakin besar. Sedangkan untuk stok modal, pengambilan nilai tidak berpengaruh terhadap dinamika stok modal itu sendiri. Hal tersebut karena pada sistem laju stok modal tidak dipengaruhi oleh laju simpanan terhadap pendapatan kotor. Dari simulasi didapatkan titik tetap dalam bentuk fungsi investasi yaitu. Nilai d yaitu 0.002, yai u 0.18 dan nilai eigen yaitu. Titik tetap berupa simpul stabil. terbukti dengan mempunyai akar real dengan tanda yang sama yaitu negatif. Dengan mengambil nilai stok modal sebesar 1 maka didapatkan titik tetap yaitu (2.150,3.655). Titik tetap berada di daerah stabil, yang berarti keadaan perusahaan stabil Simulasi 3: Dengan koefisien penyesuaian di pasar barang sebesar 0.25, tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.1, laju investasi terhadap stok modal sebesar 0.1 dan laju simpanan terhadap pendapatan kotor sebesar Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 8. Gambar 7 Bidang Solusi dan Bidang Fase.
21 12 Gambar 9, bidang solusi menunjukan bahwa kurva pendapatan kotor dan stok modal akan terus meningkat seiring dengan penambahan waktu. Pendapatan Kotor Stok Modal Pendapatan Kotor Stok Modal Gambar 8 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari Gambar 8, bidang solusi menunjukan bahwa pendapatan kotor dan stok modal akan menuju ke suatu kestabilan di dan. Dari simulasi didapatkan titik tetap dalam bentuk fungsi investasi yaitu. Nilai d yaitu 0, yaitu dan nilai eigen yaitu. Titik tetap berupa simple degenerate, terbukti dengan salah satu nilai eigen yang bernilai nol. Dengan titik tetap yaitu (2.924, 3.655), dapat dilihat bahwa titik tetap berada di daerah stabil, yang berarti posisi perusahaan berada pada kondisi stabil Simulasi 4: Dengan koefisien penyesuaian di pasar barang sebesar 0.25, tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.1, laju investasi terhadap stok modal sebesar 0.1 dan laju simpanan terhadap pendapatan kotor sebesar Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 9. Dari Gambar 9 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari simulasi didapatkan titik tetap dalam bentuk fungsi investasi yaitu. Nilai d yaitu 0.006, yai u 0.14 dan nilai ig n yai u. Titik tetap berupa sadel, terbukti dengan dua nilai eigen yang bernilai positif dan negatif. Dengan titik tetap yaitu (36.553, 3.655). Titik tetap berada pada posisi tidak stabil, yang berarti posisi perusahaan berada pada kondisi tidak stabil (perhitungan simulasi terdapat pada Lampiran 15).
22 13 Simulasi Sistem (4.7) Simulasi 1: Dalam simulasi ini akan diberikan nilainilai fungsi investasi, nilai parameter, dan titik tetap yang sama dengan Simulasi 1 pada Simulasi sistem (4.6). Diperoleh nilai yaitu 48 dan ditetapkan nilai yaitu, dan. Titik tetap berupa spiral stabil pada saat. Pada Gambar 10 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi dengan memberikan nilai awal y(0)=1 dan k(0)=1, dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (0.562, 3.655) menujukkan posisi perusahaan akan stabil. Titik tetap berupa spiral stabil pada saat. Pada Gambar 11 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi, dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (0.562, 3.655) posisi perusahaan akan stabil dan orbit periodiknya stabil asimtotik (pembuktian orbit periodik stabil asimtotik terdapat pada Lampiran 19). Pendapatan Kotor Stok Modal Pendapatan Kotor Stok Modal Gambar 11 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Gambar 10 Bidang Solusi dan Bidang Fase.
23 14 Titik tetap berupa spiral takstabil pada saat. Pada Gambar 12 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi, pendapatan kotor dan stok modal akan terus berisolasi menuju limit cycle sampai periode waktu tertentu, tidak stabil. tersebut menjelaskan bahwa dengan mengambil nilai awal tersebut, perusahaan akan mengalami kerugian di awal lalu perusahan akan mencapai kondisi yang stabil. Sedangkan pada saat, kondisi perusahaan yaitu pendapatan kotor dan stok modal tidak stabil dan akan menuju limit cycle. Pendapatan Kotor Stok Modal Gambar 12 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (0.562, 3.655) posisi perusahaan menjadi tidak stabil dan terdapat limit cycle stabil (perhitungan simulasi terdapat pada Lampiran 17). Pada gambar 13 akan diperlihatkan bidang solusi dengan memberikan nilai awal yang berbeda dari bidang solusi pada, dan sebelumnya. Dengan memberikan nilai awal y(0)=6 dan k(0)=3, dari gambar dapat dilihat bahwa pada saat dan dinamika pendapatan kotor dan stok modal cenderung mengalami penurunan sampai ke angka negatif di awal kemudian akan stabil pada waktu tertentu. Hal Pendapatan Kotor Stok Modal Gambar 13 Bidang Solusi.
24 15 Simulasi 2: Dalam simulasi ini akan diberikan nilainilai fungsi investasi, nilai parameter, dan titik tetap yang sama dengan Simulasi 2 pada Simulasi sistem (4.6). Diperoleh nilai yaitu 28.8 dan ditetapkan nilai yaitu, dan. solusi, dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (2.150,3.655) posisi perusahaan akan stabil dan orbit periodiknya stabil asimtotik (pembuktian orbit periodik stabil asimtotik terdapat pada Lampiran 23). Titik tetap berupa spiral stabil pada saat. Pada Gambar 14 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (2.150,3.655) posisi perusahaan akan stabil. Pendapatan Kotor Stok Modal Pendapatan Kotor Stok Modal Gambar 15 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Titik tetap berupa spiral takstabil pada saat. Pada Gambar 16 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi, pendapatan kotor dan stok modal akan terus berisolasi menuju limit cycle sampai periode waktu tertentu, tidak stabil. Gambar 14 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Titik tetap berupa spiral stabil pada saat. Pada Gambar 15 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang
25 16 Dari Gambar 17, pada bidang solusi dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan terus meningkat seiring dengan penambahan waktu. Pada simulasi ini tidak terjadi bifurkasi Hopf karena nilai det yang di dapat adalah n ga if yai u Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (36.553, 3.655), perusahaan berada pada posisi tidak stabil (perhitungan simulasi terdapat pada Lampiran 24). Pendapatan Kotor Stok Modal Pendapatan Kotor Stok Modal Gambar 16 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (2.150,3.655) posisi perusahaan menjadi tidak stabil dan terdapat limit cycle stabil (perhitungan simulasi periodik stabil asimtotik terdapat pada Lampiran 21). Simulasi 3: Misalkan fungsi investasi suatu perusahaan, nilai parameter, dan titik tetap sama dengan Simulasi 4 pada model (4.6). Dari simulasi diperoleh nilai yaitu Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 17. Gambar 17 Bidang Solusi dan Bidang Fase.
26 V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dapat terjadi bifurkasi Hopf dengan mengubah parameter koefisien penyesuaian di pasar barang dari kecil menjadi besar dari batas koefisien penyesuaian di pasar barang yang telah ditetapkan. Hal ini menyebabkan terjadinya pertukaran kestabilan titik tetap dan adanya siklus limit (limit cycle) dalam dinamika siklus bisnis tersebut. Titik tetap yang semula memiliki kestabilan spiral stabil menjadi spiral takstabil dan terdapat limit cycle didalamnya, sehingga terjadi bifurkasi Hopf. Dengan menetapkan fungsi investasi, fungsi simpanan, dan tingkat depresiasi stok modal akan diperoleh suatu nilai koefisien penyesuaian di pasar barang saat terjadinya bifurkasi Hopf. Dari simulasi. dengan mengambil nilai koefisien penyesuaian di pasar barang kecil dan sama dengan dari koefisien penyesuaian di pasar barang saat terjadinya bifurkasi, maka kestabilan titik tetap spiral stabil. Hal ini berarti posisi suatu perusahaan yaitu pendapatan kotor dan stok modal berada pada posisi stabil. Dengan mengambil nilai koefisien penyesuaian di pasar barang besar dari koefisien penyesuaian di pasar barang saat terjadinya bifurkasi, maka kestabilan titik tetap spiral takstabil, perusahaan berada pada posisi tidak stabil. Siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda nol, menghasilkan jenis kestabilan titik tetap berupa spiral stabil, simpul stabil, simple degenerate dan sadel. Untuk titik tetap simpul stabil, spiral stabil dan simple degenerate, perusahaan berada pada posisi stabil. Sedangkan untuk jenis kestabilan sadel, perusahaan berada pada posisi tidak stabil. Siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda tidak nol, dengan menetapkan fungsi investasi, koefisien penyesuaian di pasar barang, laju investasi terhadap stok modal, laju simpanan terhadap pendapatan kotor dan tingkat depresiasi stok modal akan diperoleh suatu nilai waktu tunda saat terjadinya bifurkasi Hopf. Dengan mengubah parameter waktu tunda dari kecil menjadi besar dari batas waktu tunda yang telah ditetapkan menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Dari simulasi, pada saat waktu tunda diubah menjadi kecil dan sama dengan waktu tunda saat terjadinya bifurkasi, perusahaan berada pada posisi stabil. Pada saat waktu tunda diubah menjadi besar dari waktu tunda saat terjadinya bifurkasi, perusahaan berada pada posisi tidak stabil. Posisi awal berpengaruh terhadap untung atau ruginya perusahaan. 5.2 Saran Penelitian ini masih dapat dilanjutkan. Ada beberapa hal yang dapat dilakukan, yaitu memperbaiki sistem misalnya dengan memasukkan variabel-variabel perekonomian lain kedalam sistem, misalnya variabel tingkat suku bunga dan penelitian dapat dilanjutkan dengan memberikan penundaan pada komponen perekonomian yang lain, misalnya waktu tunda yang tidak hanya diberikan pada stok modal (stock capital) tetapi juga pada pendapatan kotor (gross product). Kemudian, dapat pula dipelajari model-model siklus bisnis lainnya dengan menganalissa perilaku dinamik dari model serta mengkaji apakah pemberian waktu tunda dapat menyebabkan kestabilan sistem perekonomian hilang atau diperoleh kestabilan baru dan siklus dalam dinamika siklus bisnis tersebut.
27 DAFTAR PUSTAKA Anwarudin Analisa Dinamika Model Siklus Bisnis IS-LM dengan Dua Waktu Tunda dalam Persamaan Akumulasi Modal. Master CHAPTER1.pdf [10 Mei 2011]. Bellman R, Cooke KL Differentialdifference equations. New York-London: Academic Press. Krawiec A, Szydlowski M The Kaldor-Kalecki Model of Bisnis Cycle as a Two-Dimensional Dynamical System. Nonlinear Mathematical Physics 8 : Kreyszig E Matematika Teknik Lanjutan. Terjemahan: Bambang Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Murray JD Mathematical Biology. Second, Corrected Edition. New York: Springer-Verlag. Stewart J Kalkulus. Terjemahan Edisi Keempat, Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Strogatz SH Nonlinear Dynamic and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts: Perseus Books Publishing, LLC. Tu PNV Dynamic System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Hiedel berg, Germany: Springer-Verlag. Verhulst F Nonlinear Differential Equations and Dynamical System. New York: Springer-Verlag. Wiens EG. Cycles and Two Dimensional Flows. namics/limitcycles.php. [22 Juli 2011]. Wiggins S Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos. New York: Springer-Verlag.
28 L A M P I R A N
29 20 Lampiran 1. Pelinearan Model tanpa Waktu Tunda Dari persamaan (3.2), misalkan: dari persamaan linear yaitu : (3.3) maka didapat model pelinearan untuk siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda, sistem (3.2) yaitu: karena dan maka dan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut: Lampiran 2. Penentuan Jenis Kestabilan Model tanpa Waktu Tunda Matriks Jacobi yang didapatkan dari sistem (3.2) yaitu: akan diperoleh nilai dan sebagai berikut:
30 21 Persamaan karakteristik, maka maka didapatkan nilai eigen sebagai berikut: nilai eigen berupa imajiner murni (Kestabilan titik tetap berupa spiral stabil). Persamaan karakteristik, maka didapatkan nilai eigen sebagai berikut: nilai eigen berupa kompleks sekawan dengan bagian real negatif (kestabilan titik tetap berupa spiral stabil).
31 22 Persamaan karakteristik, maka didapatkan nilai eigen sebagai berikut: nilai eigen berupa kompleks sekawan dengan bagian real positif (kestabilan titik tetap berupa spiral takstabil). Lampiran 3. Program Mathematica 7.0 pada Gambar 1 Lampiran 4. Analisis Model tanpa Waktu Tunda Simulasi Titik Tetap Misalkan:, dan. Dari fungsi investasi dan fungsi simpanan tersebut maka didapatkan: nilai dengan mensubtitusi nilai-nilai tersebut kedalam titik tetap yaitu: Dengan mengambil nilai Y=3.9, maka didapat
32 23 dari didapat bahwa, maka: maka didapatkan titik tetap dengan mengambil nilai dan yaitu: 3.9 dan 1.5, maka didapatkan titik tetap yaitu: (3.95, 1.448) Mencari nilai Diketahui dengan mensubtitusi nilai-nilai diatas maka didapatkan nilai yaitu: Matiks Jacobi dan Nilai eigen Dari matriks Jacobi : Simulasi 1, untuk Jacobi sebagai berikut:, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks didapatkan nilai dan sebagai berikut: dan Persamaan karakteristik, maka didapatkan nilai eigen sebagai berikut: dan
33 24 Simulasi 2, untuk didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan nilai dan sebagai berikut: dan Persamaan karakteristik, maka dan didapatkan nilai eigen sebagai berikut: Simulasi 3, untuk Jacobi sebagai berikut:, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks didapatkan nilai dan sebagai berikut: dan Persamaan karakteristik, maka dan didapatkan nilai eigen sebagai berikut:
34 25 Lampiran 5. Program Maple 13 pada Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4 Simulasi Bidang Solusi Bidang Fase Bidang Solusi
35 26 Bidang Fase Bidang Solusi Bidang Fase Lampiran 6. Bilangan Lyapunov Model tanpa Waktu Tunda Simulasi Pada saat sebagai berikut: sistem persamaan siklus bisnis Kaldor-Kalecki adalah Diketahui Bilangan Lyapunov adalah sebagai berikut: dengan. misalkan :
36 27 maka: ambil nilai awal untuk Y yaitu 3.9, Y=3.9, maka: didapatkan karena, maka orbit periodik adalah stabil asimtotik Lampiran 7. Pendekatan Ekspansi Taylor pada Model dengan Waktu Tunda Diketahui persamaan umum ekspansi Taylor yaitu: akan dibuktikan bahwa: Pertama akan dibuktikan bahwa misalkan, karena, maka:
37 28 misalkan, Kedua akan dibuktikan bahwa sudah terbukti bahwa kalikan dengan, maka Dengan mensubtitusi persamaan berikut: maka didapatkan hasil sebagai Lampiran 8. Penentuan Titik Tetap Model dengan Waktu Tunda Dari persamaan diatas, titik tetap diperoleh dengan menyederhanakan: (4.4) sehingga: subtitusi ke, didapat:
38 29 subtitusi ke, maka didapat: maka diperoleh titik tetap: atau dapat dituliskan sebagai berikut: Lampiran 9. Model Pelinearan pada Model dengan Waktu Tunda Dari persamaan (4.4) yaitu: misalkan: dari persamaan linear yaitu : maka didapat model pelinearan untuk siklus bisnis Kaldor-Kalecki yaitu: karena dan maka dan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut: (4.5)
BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA
BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI 1) DAN A. KUSNANTO 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK IHDA ANISSA INDRIASTUTI
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK IHDA ANISSA INDRIASTUTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciSOLUSI MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT NUR AISYAH MUKARROMAH
SOLUSI MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT NUR AISYAH MUKARROMAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciINVERS DARI MATRIKS TRIDIAGONAL JACOBI FANI RIAMARLI
INVERS DARI MATRIKS TRIDIAGONAL JACOBI FANI RIAMARLI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK FANI RIAMARLI. Invers dari Matriks Tridiagonal
Lebih terperinciPELABELAN (k, d)-graceful PADA T P -TREE DAN SUBDIVISI DARI T P -TREE SYAIFUL BAHRI
PELABELAN (k, d)-graceful PADA T P -TREE DAN SUBDIVISI DARI T P -TREE SYAIFUL BAHRI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 ABSTRAK SYAIFUL
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI
BIFURKASI HOPF MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA NI NYOMAN SURYANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI
Lebih terperinciT 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf
T 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf Rubono Setiawan Prodi Pendidikan Matematika, F.KIP
Lebih terperinciCreated By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Lebih terperinciMODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM
MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK RIDWAN IDHAM. Model
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL INTERAKSI PEMANGSA DAN MANGSA PADA DUA HABITAT YANG BERBEDA ADE NELVIA
ANALISIS KESTABILAN MODEL INTERAKSI PEMANGSA DAN MANGSA PADA DUA HABITAT YANG BERBEDA ADE NELVIA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II INTAN SELVYA
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II INTAN SELVYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinciMODEL REGRESI LATEN PADA EFEK PLASEBO DIANA PURWANDARI
MODEL REGRESI LATEN PADA EFEK PLASEBO DIANA PURWANDARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK DIANA PURWANDARI. Model Regresi Laten
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE ITERASI VARIASI UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH OSILASI BERPASANGAN SANTI SUSILAWATI
PENGGUNAAN METODE ITERASI VARIASI UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH OSILASI BERPASANGAN SANTI SUSILAWATI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
Lebih terperinciANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II DENGAN MANGSA YANG TERLINDUNG DAN ADANYA PEMANENAN POPULASI EKA PUJIYANTI
ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II DENGAN MANGSA YANG TERLINDUNG DAN ADANYA PEMANENAN POPULASI EKA PUJIYANTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciPREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA
PREDIKSI JANGKA PANJANG DARI PROSES POISSON SIKLIK DENGAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DIKETAHUI AGUSTINA MARGARETHA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan matematika, teorema Taylor, nilai eigen,
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKRET
Vol. 5, No., Juni 009: 54-60 BIFUKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKET ubono Setiawan Mahasiswa S Jurusan Matematika Universitas Gadah Mada Email : rubono_4869@yahoo.co.id Abstrak Di
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA DAN TINGKAT PEMANENAN KONSTAN LOLA OKTASARI
BIFURKASI HOPF PADA MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA DAN TINGKAT PEMANENAN KONSTAN LOLA OKTASARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciMODEL PERTUMBUHAN PENGELUARAN PUBLIK DENGAN PENDEKATAN FUNGSI LOGISTIK SOFYAN ZUHRI
MODEL PERTUMBUHAN PENGELUARAN PUBLIK DENGAN PENDEKATAN FUNGSI LOGISTIK SOFYAN ZUHRI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK SOFYAN
Lebih terperinciT 3 Model Dinamika Sel Tumor Dengan Terapi Pengobatan Menggunakan Virus Oncolytic
T 3 Model Dinamika Sel Tumor Dengan Terapi Pengobatan Menggunakan Virus Oncolytic Oleh : Ali Kusnanto, Hikmah Rahmah, Endar H. Nugrahani Departemen Matematika FMIPA-IPB Email : alikusnanto@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II
BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,
Lebih terperinciMODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM
MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL TAK MONOTON RIDWAN IDHAM DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 011 ABSTRAK RIDWAN IDHAM. Model
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HUTCHINSON DENGAN WAKTU TUNDA DAN PEMANENAN KONSTAN LILIS SAODAH
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HUTCHINSON DENGAN WAKTU TUNDA DAN PEMANENAN KONSTAN LILIS SAODAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciMODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK
SEMIRATA MIPAnet 2017 24-26 Agustus 2017 UNSRAT, Manado MODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK HASAN S. PANIGORO 1, EMLI RAHMI 2 1 Universitas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciMASALAH PENJADWALAN KERETA SECARA PERIODIK DENGAN BIAYA MINIMUM PADA JALUR GANDA MUHAMMAD RIZQY HIDAYATSYAH
MASALAH PENJADWALAN KERETA SECARA PERIODIK DENGAN BIAYA MINIMUM PADA JALUR GANDA MUHAMMAD RIZQY HIDAYATSYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciDINAMIKA PERKEMBANGAN HIV/AIDS DI SULAWESI UTARA MENGGUNAKAN MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED)
DINAMIKA PERKEMBANGAN HIV/AIDS DI SULAWESI UTARA MENGGUNAKAN MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED) Amir Tjolleng 1), Hanny A. H. Komalig 1), Jantje D. Prang
Lebih terperinciBIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LORENZ
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 BIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LOREN Faisal PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. ani km. 6 Kampus Unlam
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH PRODUKSI DAN DISTRIBUSI ZERO INVENTORY MUHAMAD ROFI HIDAYAT
PENYELESAIAN MASALAH PRODUKSI DAN DISTRIBUSI ZERO INVENTORY MUHAMAD ROFI HIDAYAT DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 ABSTRAK MUHAMAD
Lebih terperinciANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, dan Kus Prihantoso Krisnawan,M.
1 Abstrak ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, Kus Prihantoso Krisnawan,M.Si 3 1 Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas
Lebih terperinciDINAMIKA MODEL POPULASI SPESIES TUNGGAL PADA LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA TUNGGAL DISKRET LAILATUL QODARIAH
DINAMIKA MODEL POPULASI SPESIES TUNGGAL PADA LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA TUNGGAL DISKRET LAILATUL QODARIAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciREGRESI KEKAR SIMPANGAN MUTLAK TERKECIL DENGAN MODIFIKASI SIMPLEKS MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI
REGRESI KEKAR SIMPANGAN MUTLAK TERKECIL DENGAN MODIFIKASI SIMPLEKS MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK
Lebih terperinciBIFURKASI PITCHFORK PADA SISTEM DINAMIK DIMENSI-n SKRIPSI
BIFURKASI PITCHFORK PADA SISTEM DINAMIK DIMENSI-n SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh
Lebih terperinciANALISIS SISTEM DINAMIK LALU LINTAS DENGAN MODEL MOBIL PENGIKUT PENI FITRIA RAHARJANTI
ANALISIS SISTEM DINAMIK LALU LINTAS DENGAN MODEL MOBIL PENGIKUT PENI FITRIA RAHARJANTI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015 PERNYATAAN
Lebih terperinciDINAMIKA ORDE PERTAMA SISTEM NONLINIER TERKOPEL DENGAN RELASI PREDASI, MUTUAL, DAN SIKLIK (Tinjauan Kasus Mangsa-Pemangsa pada Sistem Ekologi)
1 DINAMIKA ORDE PERTAMA SISTEM NONLINIER TERKOPEL DENGAN RELASI PREDASI, MUTUAL, DAN SIKLIK (Tinjauan Kasus Mangsa-Pemangsa pada Sistem Ekologi) Oleh: MADA SANJAYA WS G74103018 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS
Lebih terperinciBIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER
BIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER T - 2 Andini Putri Ariyani 1, Kus Prihantoso Krisnawan 2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 e-mail:andiniputri_ariyani@yahoo.com, 2 e-mail:
Lebih terperinciBAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO
BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO 4.1 Model Dinamika Neuron Fitzhugh-Nagumo Dalam papernya pada tahun 1961, Fitzhugh mengusulkan untuk menerangkan model Hodgkin-Huxley menjadi lebih umum, yang
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL INFEKSI VIRUS HEPATITIS B DENGAN PERTUMBUHAN HEPATOSIT YANG BERSIFAT LOGISTIK DEWI SENJA RAHMAHWATI
ANALISIS KESTABILAN MODEL INFEKSI VIRUS HEPATITIS B DENGAN PERTUMBUHAN HEPATOSIT YANG BERSIFAT LOGISTIK DEWI SENJA RAHMAHWATI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciSTABILITAS GLOBAL MODEL HOLLING-TANNER TIPE II LAZUARDI RAMADHAN
STABILITAS GLOBAL MODEL HOLLING-TANNER TIPE II LAZUARDI RAMADHAN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 013 ABSTRAK LAZUARDI RAMADHAN. Stabilitas
Lebih terperinciPENJADWALAN MATA KULIAH MENGGUNAKAN INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING Studi Kasus di Bina Sarana Informatika Bogor ERLIYANA
PENJADWALAN MATA KULIAH MENGGUNAKAN INTEGER NONLINEAR PROGRAMMING Studi Kasus di Bina Sarana Informatika Bogor ERLIYANA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR
Jurnal Euler, ISSN: 2087-9393 Januari 2014, Vol.2, No.1, Hal.1-12 ANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR Hasan S. Panigoro 1 Diterima:
Lebih terperinciANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA MICHAELIS- MENTEN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI MANGSA HANDANU DWARADI
ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA MICHAELIS- MENTEN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI MANGSA HANDANU DWARADI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
Lebih terperinciMODEL SIKLUS BISNIS IS-LM DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 4, No. 2, Nopember 2007, 9 15 MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN IGN Rai Usadha 1, Ni Ketut Tari T. 2 1 Jurusan Matematika, Institut
Lebih terperinciPENGARUH TINGKAT DISKON DAN TINGKAT SUKU BUNGA TERHADAP PROPORSI TABUNGAN OPTIMAL DARI UNEARNED INCOME DENDA RINALDI HADINATA
PENGARUH TINGKAT DISKON DAN TINGKAT SUKU BUNGA TERHADAP PROPORSI TABUNGAN OPTIMAL DARI UNEARNED INCOME DENDA RINALDI HADINATA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciPENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN KOEFISIEN INTERVAL ANA FARIDA
i PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN KOEFISIEN INTERVAL ANA FARIDA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 i ABSTRAK ANA
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciBENTUK NORMAL BIFURKASI HOPF PADA SISTEM UMUM DUA DIMENSI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 15 23 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BENTUK NORMAL BIFURKASI HOPF PADA SISTEM UMUM DUA DIMENSI MELA PUSPITA Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Definisi 2 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Taklinear)
3 II. LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Biasa Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linear) Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai = + ; =, R (1) dengan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
Lebih terperinciANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal 197 204. ANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI Eka
Lebih terperinciKESTABILAN TITIK EQUILIBRIUM MODEL SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PENYAKIT FATAL DENGAN MIGRASI
KESTABILAN TITIK EQUILIBRIUM MODEL SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PENYAKIT FATAL DENGAN MIGRASI Mohammad soleh 1, Leni Darlina 2 1,2 Jurusan Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Islam
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN INTERFERENSI ANTARPEMANGSA FIKRI AZHARI
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN INTERFERENSI ANTARPEMANGSA FIKRI AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 03 ABSTRAK FIKRI
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Model ini memiliki nilai kesetimbangan positif pada saat koordinat berada di titik
LANDASAN TEORI Model Mangsa Pemangsa Lotka Volterra Bagian ini membahas model mangsa pemangsa klasik Lotka Volterra. Model Lotka Volterra menggambarkan laju perubahan populasi dua spesies yang saling berinteraksi.
Lebih terperinciPEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT VIRUS EBOLA DAN ANALISIS PENGARUH PARAMETER LAJU TRANSMISI TERHADAP PERILAKU DINAMISNYA TUGAS AKHIR SKRIPSI
PEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT VIRUS EBOLA DAN ANALISIS PENGARUH PARAMETER LAJU TRANSMISI TERHADAP PERILAKU DINAMISNYA TUGAS AKHIR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH PENGIRIMAN PAKET KILAT UNTUK JENIS NEXT-DAY SERVICE DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM. Oleh: WULAN ANGGRAENI G
PENYELESAIAN MASALAH PENGIRIMAN PAKET KILAT UNTUK JENIS NEXT-DAY SERVICE DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM Oleh: WULAN ANGGRAENI G54101038 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciPenerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik. Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti. Nida Sri Utami
Penerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti Nida Sri Utami Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UMS Lina Aryati Jurusan Matematika FMIPA UGM ABSTRAK
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik merupakan formalisasi Matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik yang bergantung terhadap waktu (Kuznetsov,
Lebih terperinciMODEL PERTUMBUHAN EKONOMI MANKIW ROMER WEIL DENGAN PENGARUH PERAN PEMERINTAH TERHADAP PENDAPATAN
MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI MANKIW ROMER WEIL DENGAN PENGARUH PERAN PEMERINTAH TERHADAP PENDAPATAN Desi Oktaviani, Kartono 2, Farikhin 3,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas
Lebih terperinciKETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN
KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan
Lebih terperinciANALISIS MATEMATIKA MODEL GOMPERTZ, MODEL GYLLENBERG-WEBB DAN MODIFIKASINYA PADA PERTUMBUHAN TUMOR KHAIRIDA ISKANDAR
ANALISIS MATEMATIKA MODEL GOMPERTZ, MODEL GYLLENBERG-WEBB DAN MODIFIKASINYA PADA PERTUMBUHAN TUMOR KHAIRIDA ISKANDAR SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciBIFURKASI PADA MODEL INTERAKASI TUMBUHAN DAN HERBIVORA IRMA SAHARA
i BIFURKASI PADA MODEL INTERAKASI TUMBUHAN DAN HERBIVORA IRMA SAHARA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 ii iii PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI
Lebih terperinciPenentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey
J. Math. and Its Appl. ISSN: 9-65X Vol., No., Nov 5, 5 Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey Dian Savitri Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Negeri Surabaya d savitri@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciPERAN PENTING LAJU PERUBAHAN KALOR PADA MODEL DINAMIK UNSUR UNSUR UTAMA IKLIM
PERAN PENTING LAJU PERUBAHAN KALOR PADA MODEL DINAMIK UNSUR UNSUR UTAMA IKLIM A.I. Jaya 1 1 Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus BumiTadulakoTondo Palu Abstrak Model dinamik interkasi unsur unsure utama
Lebih terperinciBab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Lebih terperinciMODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA INTERAKSI DUA POPULASI
MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA INTERAKSI DUA POPULASI Supandi, Saifan Sidiq Abdullah Fakultas PMIPATI Universitas PGRI Semarang hspandi@gmail..com Abstrak Persaingan kehidupan di alam dapat dikategorikan
Lebih terperinciANALISIS DINAMIKA MODEL KEBAHAGIAAN NELI YUSRI MARDIANA G
ANALISIS DINAMIKA MODEL KEBAHAGIAAN NELI YUSRI MARDIANA G54008 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 007 ABSTRACT NELI YUSRI MARDIANA. Analysis of
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH
PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Lebih terperinciANALISIS PENYEBARAN PENYAKIT DIARE SEBAGAI SALAH SATU PENYEBAB KEMATIAN PADA BALITA MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA SIS
ANALISIS PENYEBARAN PENYAKIT DIARE SEBAGAI SALAH SATU PENYEBAB KEMATIAN PADA BALITA MENGGUNAKAN MODEL MATEMATIKA SIS (SUSCEPTIBLE-INFECTED-SUSCEPTIBLE) SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODIFIKASI MODEL PREDATOR-PREY LESLIE GOWER DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING TIPE II
BIFURKASI HOPF PADA MODIFIKASI MODEL PREDATOR-PREY LESLIE GOWER DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING TIPE II skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
Lebih terperinciIDENTIFIKASI TITIK TITIK BIFURKASI DARI MODEL TRANSMISI PENYAKIT MENULAR
IDENTIFIKASI TITIK TITIK BIFURKASI DARI MODEL TRANSMISI PENYAKIT MENULAR R. Ratianingsih Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus Bumi Tadulako Tondo Palu Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG
Buletin Ilmiah Math. Stat. Dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 3 (2014), hal 235-244 ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG Hidayu Sulisti, Evi Noviani, Nilamsari Kusumastuti
Lebih terperinciANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR SKRIPSI
ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
Lebih terperinciPERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN HASANNUDIN
PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN HASANNUDIN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciBIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI
BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI Yolpin Durahim 1 Novianita Achmad Hasan S. Panigoro Diterima: xx xxxx 20xx, Disetujui: xx xxxx 20xx o Abstrak Dalam
Lebih terperinciPELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0 ABSTRAK NURUL NUR INDAH
Lebih terperinciPENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN
PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH KONEKTIVITAS DI AREA KONSERVASI DENGAN ALGORITME HEURISTIK NUR WAHYUNI
PENYELESAIAN MASALAH KONEKTIVITAS DI AREA KONSERVASI DENGAN ALGORITME HEURISTIK NUR WAHYUNI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2012 ABSTRAK NUR
Lebih terperinciANALISIS DINAMIK SKEMA EULER UNTUK MODEL PREDATOR-PREY DENGAN EFEK ALLEE KUADRATIK
ANALISIS DINAMIK SKEMA EULER UNTUK MODEL PREDATOR-PREY DENGAN EFEK ALLEE KUADRATIK (DYNAMICAL ANALYSIS OF EULER SCHEME FOR PREDATOR- PREY WITH QUADRATIC ALLEE EFFECT) Vivi Aida Fitria 1, S.Nurul Afiyah2
Lebih terperinciANALISIS DINAMIKA PENYEBARAN VIRUS DEMAM BERDARAH DENGUE DENGAN DUA SEROTIPE AHMAD SUYUTI LATIF
ANALISIS DINAMIKA PENYEBARAN VIRUS DEMAM BERDARAH DENGUE DENGAN DUA SEROTIPE AHMAD SUYUTI LATIF SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika
Lebih terperinciANALISA KESEIMBANGAN INTERAKSI POPULASI TERUMBU KARANG, SIPUT DRUPELLA DAN PREDATORNYA MELALUI PHASE PORTRAIT
JIMT Vol. 11 No. 1 Juni 2014 (Hal. 82 93) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 2450 766X ANALISA KESEIMBANGAN INTERAKSI POPULASI TERUMBU KARANG, SIPUT DRUPELLA DAN PREDATORNYA MELALUI PHASE PORTRAIT
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I Pendahuluan ini dijelaskan mengenai latar belakang yang mendasari penelitian yang kemudian dirumuskan dalam rumusan masalah. Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT DINAMIK DARI MODEL INTERAKSI CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 50 55 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT DINAMIK DARI MODEL INTERAKSI CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN AIDA BETARIA Program
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III nanti, di antaranya model matematika penyebaran penyakit,
Lebih terperinciANALISIS KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN DENGAN FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS AYU LEMBAYUNG
ANALISIS KETIMPANGAN DISTRIBUSI PENDAPATAN DENGAN FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS AYU LEMBAYUNG DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011 ABSTRAK AYU
Lebih terperinciMODEL DINAMIKA CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 96 103 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND MODEL DINAMIKA CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN SUCI RAHMA NURA, MAHDHIVAN SYAFWAN Program
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK TUGAS 3. Oleh RIRIN SISPIYATI ( ) Program Studi Matematika
SISTEM DINAMIK TUGAS Oleh RIRIN SISPIYATI (16 Program Studi Matematika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 9 EXERCISE 4 4. 1. In Eercise. of chapter we analysed the eistence of perios solutions in an invariant
Lebih terperinciDinamik Model Epidemi SIRS dengan Laju Kematian Beragam
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Volume 10 No 1, April 2014, hal 1-7 Dinamik Model Epidemi SIRS dengan Laju Kematian Beragam Ni matur Rohmah, Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Jurusan Matematika,
Lebih terperinciMODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI
MODEL DISTRIBUSI PERTUMBUHAN EKONOMI ANTARKELOMPOK PADA DUA DAERAH ADE LINA HERLIANI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya
Lebih terperinciFAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA. Rahmawati ABSTRACT
FAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA Rahmawati Mahasiswa Program Studi S Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya,
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN LINTASAN MIRING DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH TRACKING ERROR OPTIMAL BAMBANG EDISUSANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN
Lebih terperinciKarena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
Lebih terperinci