Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN Makalah ini akan membahas tentang tabel kehidupan. Meskipun distribusi parametrik survival mempunyai kelebihan dalam hal meringkas proses kematian atau kegagalan dengan jumlah parameter yang kecil dan merupakan pokok dari fungsi matematika analisis, penggunaan beberapa model kelangsungan hidup ditampilkan pada tabel kehidupan. Distribusi dari variabel random umur kematian dapat diringkas dalam tabel kehidupan. Begitu banyak tabel yang digunakan dalam berbagai ilmu pengetahuan. Akibatnya banyak kasus dikembangkan menggunakan tabel kehidupan. Sebagai contoh, seorang insinyur menggunakan tabel kehidupan untuk mempelajari reliabilitas dari mesin yang kompleks dan sistem elektronik. Di bidang kesehatan, menggunakan tabel kehidupan untuk membandingkan keefektifan perlakuan alternatif dari penyakit serius. Ahli demografi menggunakan tabel kehidupan sebagai perkakas dalam kumpulan proyeksi. Selain itu, tabel kehidupan masih banyak digunakan di berbagai bidang yang lainnya. Dalam pembahasan ini, tabel kehidupan digunakan untuk menentukan modelmodel desain sistem asuransi untuk membantu individu dalam menghadapi ketidakpastian mengenai waktu kematian mereka. Tabel kehidupan merupakan komponen yang sangat diperlukan dari banyak model dalam ilmu asuransi. Faktanya, beberapa sarjana mulai memperkenalkan ilmu asuransi sejak tahun Pada tahun tersebut, Edmund Halley menerbitkan An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, drawn trom Various Tables of Births and Funerals at the City of Bresnau. Tabel kehidupan dinamakan Tabel Bresnau, yang terdapat di paper Halley. Sampai sekarang tabel kehidupan banyak digunakan di berbagai negara. Untuk itu mempelajari tabel kehidupan tersebut sangat penting. Tabel kehidupan menggambarkan lama hidup, mortalitas, dan harapan hidup pada interval umur tertentu. Sebuah tabel kehidupan biasanya berisi tentang tabulasi, oleh umur seseorang, dari fungsi dasar,, dan kemungkinan tambahan fungsi turunan. Dimana adalah probabilitas orang akan meninggal pada umur, adalah jumlah orang yang hidup pada umur, sedangkan adalah jumlah orang yang meninggal pada umur. Probabilitas bersyarat dan tak bersyarat dari kematian dan survival dapat diestimasi dengan menggunakan tabel kehidupan. 1

2 BAB II PEMBAHASAN Tabel kehidupan Meskipun distribusi parametrik survival mempunyai kelebihan dalam hal meringkas proses kematian atau kegagalan dengan jumlah parameter yang kecil dan merupakan pokok dari fungsi matematika analisis, penggunaan beberapa model kelangsungan hidup ditampilkan pada tabel kehidupan. Diberikan inisial cohort atau kelompok dengan anggota, tabel kehidupannya dimulai dari jumlah atau ukuran kelompok dari permulaan sampai waktu habis. Inisial dari ukuran kelompok disebut radix. Probabilitas bersyarat dan tak bersyaratdari kematian dan survival dapat diestimasi dengan menggunakan tabel kehidupan. Dinotasikan sebagai jumlah dari orang yang selamat (survivor) selain pada saat umur. Ketika tabel kehidupan memberikan nilai sebagai bilangan bulat, bukan berarti saat nilai kecil sebagai umur yang sangat muda sama seperti kurang dari satu tahun. Selain itu, tabel kehidupan mempunyai batas atas umur atau umur maksimum., maka =0. Probabilitas bersyarat dan tidak bersyarat dapat diekspresikan sebagai fungsi dari dengan =0,,. Nilai ini merupakan estimasi yang kuat dari probabilitas nyata. Bagaimanapun, kita tidak bisa membedakan antara probabilitas nyata dengan nilai estimasi. Kesulitan ini dapat diatasi dengan mendefinisikan untuk >0 sebagai ekspektasi jumlah orang yang selamat pada umur. Kelebihan dari definisi ini adalah untuk menghindari penggunaan notasi topi pada nilai estimasinya. Akan tetapi, sebagai catatan kita bahwa tabel kehidupan dikonstruksikan dari data yang sebenarnya. Berdasarkan seminar tentang pendidikan, diambil kesimpulan bahwa dugaan dari nilai ekspektasi disimbolkan sebagai ekspektasi jumlah orang yang selamat pada umur. Maka, = = adalah jumlah kematian pada interval (, +1), interval (, + ) adalah jumlah kematian pada 2

3 Probabilitas bersyaratnya atau laju kematian pada interval (, + ) dapat dihitung berdasarkan rumus tabel kehidupan = = Dengan adalah probabilitas seseorang akan meninggal pada usia tahun, probabilitas seseorang berusia tahun akan meninggal dalam waktu tahun. adalah sedangkan peluang hidupnya, =1 =1 = = ( ) = =1 =1 = = ( ) = Dengan adalah probabilitas seseorang akan bertahan hidup pada usia tahun, adalah probabilitas seseorang berusia tahun akan bertahan hidup hingga tahun kedepan. Dari persamaan = Dan persamaan = Dapat dibentuk = = Dengan = merupakan probabilitas seseorang berusia tahun akan meninggal dalam waktu tahun setelah bertahan hidup selama. Pada definisi contohnya., adalah probabilitas bayi baru lahir dan bertahan hidup sampai umur, = ( ). 3

4 Dapat dilihat dari persamaan Dapat dibentuk = = ( )= = ( ) yang berhubungan langsung pada tabel kehidupan dengan SDF Tabel 9.1 Ilustrasi Tabel Kehidupan untuk Hipotesis Populasi (laki-laki)

5

6 Tabel 9.2 Ilustrasi Tabel Kehidupan untuk Hipotesis Populasi (perempuan)

7 Tabel 9.1 dan 9.2 menunjukkan suatu tabel susunan kehidupan dengan populasi awal pada umur 0 setara dengan 1,000,000. Yang digambarkan pada tabel kehidu`pan untuk pria dan wanita, suatu harapan yang diurutkan berdasarkan pada proses kematian pada populasi hypothetical. Pada tabel kehidupan ditunjukkan kolom, dan untuk setiap umur. Pada gambar 9.1 titik dan untuk 0 50 merupakan gambaran populasi pria dalam Tabel 9.1. Dengan mengamati mengenai tabel kehidupan dapat dibuat 1. Secara substansial tingkat atau laju kematian bayi pada lebih besar daripada untuk 50. Tingkat atau laju kematian bayi penting untuk pengukuran kelangsungan hidup pada bayi, anak anak, dan wanita hamil karena ini berhubungan dengan berbagai macam faktor, seperti kesehatan ibu, kualitas dan perkembangan 7

8 pengobatan, kondisi sosialekonomi, dan pelayanan kesehatan umum. Ini juga sering digunakan sebagai indikator ukuran kesehatan pada suatu negara. 2. Pada pria usia 1 10 tahun tingkat kematian q x berkurang secara perlahan, lalu meningkat dari x sama dengan 10 sampai 20 tahun. Setelah umur 21, q x secara terusmenerus memiliki kecenderungan yang menaik secara kuadratik. Begitu juga untuk perempuan. 3. Lebih dari setengah pada populasi pria memiliki harapan bertahan hidup sampai umur 76 tahun dan lebih dari seperempat mempunyai harapan untuk bertahan hidup sampai umur 85 tahun. Sedangkan untuk perempuan sampai umur 82 dan 90 tahun. 4. Pada kedua tabel pria dan wanita tidak menunjukkan batasan umur (ω) pada populasinya. Pada baris terakhir tabel hanya menunjukkan sebuah interval terbuka x > 100. Itu karena data kematian untuk usia tua masih sangat terbatas. Tetapi untuk beberapa aplikasi perencanaan asuransi, tabel kehidupan tertutup (closed life table) ( seperti perluasan pada interval terbuka dari x > 100 sampai akhir ω untuk setiap tabel) sangatlah diperlukan. Ada beberapa cara pada tabel kehidupan tertutup; salah satu metode yang mungkin adalah mengasumsikan fungsi parametrik kematian/bertahan hidup pada interval terbuka. Misalnya pada tabel 9.3 ditunjukkan closed life table untuk populasi hypothetical menggunakan sebuah distribusi Makeham dengan A = 0.002, a = 0.1 dan R = untuk pria, dan R = untuk wanita. Meskipun pengamatan diatas berdasarkan pada tabel kehidupan hypothetical, bentuk serupa juga sering ditemukan pada tabel kehidupan modern pada populasi manusia di kehidupan nyata. Table 9.3 Tabel Kehidupan Tertutup untuk Hipotesis Populasi Laki-laki Wanita =

9 Figure 9.1 0,009 Plot dari qx untuk ilustrasi populasi pada Tabel 9.1 0,008 0,007 0,006 qx 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0, age(x) Contoh 9.8 Tabel memberikan gambaran probabilitas kondisi kelangsungan hidup dari suatu populasi: (a) Hitung ( ) for = 0,1,...,6 (b) Buatlah suatu tabel kehidupan untuk populasi dengan = , beri nilai dari dan (c) Hitung 4, 2, 3. Penyelesaian : (a) Gunakan persamaan (9.32) dengan (0)=1 = = ( +1) ( ) = ( +1) ( ) 9

10 Nilai dari ( ), = 1,...,5 dapat dihitung berulang : ( +1)= ( ) (0)=1 (1)= (0)=0.8 1=0.8 (2)= (1)= =0.56 (3)= (2)= =0.336 (4)= (3)= = (5)= (4)= = (6)= (5)= =0 ( ) (b) Dari (9.34) tabel kehidupan dapat dibuat : = ( ) = = (1)= = = (2)= = = (3)= = = (4)= = = (5)= =2.688 = (6)= =0 = = = = = = = = = = = = =

11 = = = = = = (c) Dari (9.31) kita dapat : = = = = Atau dapat juga diselesaikan dengan 4 = = = Dari (9.32) kita dapat : = Atau dapat juga diselesaikan dengan = = = = =0.92 = = = =

12 dan = = = =0.048 Contoh 9.9 Diberikan ( )= ( ) untuk 0. Jika = dan =45.000, carilah nilai dan. Penyelesaian : Dari persamaan 9.34 = ( ) = (40) = (1+40) = 1 (41) (41) =2,222 = ln(2,222) ln(41) Jadi untuk = (50) = =0,215 ( ), = Untuk digunakan persamaan 9.31 = 12

13 Sehingga diperoleh = 1 = (1+20), (1+24), 1 = (21), 1 =1,912 (25), Contoh 9.10 Tentukan nilai berikut dari the male life table pada Tabel 9.1 (a) (b) (c) Penyelesaian : dari persamaan 9.32 = dan =1 a) = = =0,9805 b) =1 =1 = =1 0,9209 =0,

14 Contoh 9.11 c) Dari persamaan 9.33 diperoleh = = = = = =0,0701 Dengan menggunakan Tabel 9.2 tentukan : (a) Probabilitas bahwa seorang perempuan berusia 25 akan mati dalam 10 tahun (b) Probabilitas bahwa seorang perempuan berusia 40 akan mati antara usia 55 dan 60 (c) Probabilitas bahwa seorang perempuan berusia 65 akan bertahan hidup sampai usia 95 Penyelesaian : (a) =1 = =1 0,9928 =0,0072 (b) (c) = = = = =0,0297 = =0,

15 BAB III KESIMPULAN Meskipun distribusi parametrik survival mempunyai kelebihan dalam hal meringkas proses kematian atau kegagalan dengan jumlah parameter yang kecil dan merupakan pokok dari fungsi matematika analisis, penggunaan beberapa model kelangsungan hidup ditampilkan pada tabel kehidupan. Tabel 9.1 dan 9.2 menunjukkan suatu tabel susunan kehidupan dengan populasi awal pada umur 0 setara dengan 1,000,000. Yang digambarkan pada tabel kehidupan untuk pria dan wanita, suatu harapan yang diurutkan berdasarkan pada proses kematian pada populasi hypothetical. Pada tabel kehidupan ditunjukkan kolom, dan untuk setiap umur. Pada gambar 9.1 titik dan untuk 0 50 merupakan gambaran populasi pria dalam Tabel 9.1. Dengan mengamati mengenai tabel kehidupan dapat dibuat 1. Secara substansial tingkat atau laju kematian bayi pada lebih besar daripada untuk 50. Tingkat atau laju kematian bayi penting untuk pengukuran kelangsungan hidup pada bayi, anak anak, dan wanita hamil karena ini berhubungan dengan berbagai macam faktor, seperti kesehatan ibu, kualitas dan perkembangan pengobatan, kondisi sosialekonomi, dan pelayanan kesehatan umum. Ini juga sering digunakan sebagai indikator ukuran kesehatan pada suatu negara. 2. Pada pria usia tahun tingkat kematian q x berkurang secara perlahan, dari x sama dengan 1 sampai 10. Setelah umur 21, q x meningkat dengan konstan. Begitu juga untuk perempuan. 3. Lebih dari setengah pada populasi pria memiliki harapan berrtahan hidup sampai umur 76 tahun dan lebih dari seperempat mempunyai harapan untuk bertahan hidup sampai umur 85 tahun. Sedangkan untuk perempuan sampai umur 82 dan 90 tahun. 4. Pada kedua tabel pria dan wanita tidak menunjukkan batasan umur (ω) pada populasinya. Pada baris terakhir tabel hanya menunjukkan sebuah interval terbuka x > 100. Itu karena data kematian untuk usia tua masih sangat terbatas. Tetapi untuk beberapa aplikasi perencanaan asuransi, tabel kehidupan tertutup (closed life table) ( seperti perluasan pada interval terbuka dari x > 100 sampai akhir ω untuk setiap tabel) sangatlah diperlukan. Ada beberapa cara pada tabel kehidupan tertutup; salah satu metode yang mungkin adalah mengasumsikan fungsi parametrik kematian/bertahan hidup pada interval terbuka. Misalnya pada tabel 9.3 ditunjukkan closed life table 15

16 untuk populasi hypothetical menggunakan sebuah distribusi Makeham dengan A = 0.002, a = 0.1 dan R = untuk pria, dan R = untuk wanita. Meskipun pengamatan diatas berdasarkan pada tabel kehidupan hypothetical, bentuk serupa juga sering ditemukan pada tabel kehidupan modern pada populasi manusia di kehidupan nyata. 16