solenoid tersebut ada 950 lilitan yang dialiri arus 6,60 A. a) Hitunglah kerapatan energi magnetik solenoid. B) Cari energi total yang tersimpan

Transkripsi

1 slenid tersebut ada 950 lilitan yang dialiri arus 6,60 A. a) Hitunglah kerapatan energi agnetik dala slenid. B) Cari energi ttal yang tersipan dala slenid 8) Sebuah generatr eberikan tegangan 00 ke lilitan prier sebuah transfratr. Julah lilitan prier transfratr adalah 50 dan julah lilitan sekunder adalah 500. Berapa tegangan keluaran pada lilitan sekunder? 98

2 Bab 8 Arus Blak-Balik Kita sudag belajar banyak tentang arus searah aupun rangkaian arus searah pada Bab 3. Sesuai dengan naanya, arus searah adalah arus yang arahnya selalu saa setiap waktu. Besarnya arus bisa berubah-ubah tetapi arahnya selalu saa; isalnya selalu tetap dari kiri ke kanan. Kalau kita plt dala grafik arus terhadap waktu, di ana arus adalah subu vertical dan waktu adalah subu hrizntal, aka grafik arus searah bisa berbentuk seperti pada Gabar 8. (a) (b) arus arus waktu waktu (c) (d) arus arus waktu waktu (e) (f) arus arus waktu waktu Gabar 8. Cnth grafik arus searah Pada grafik (a) kita dapatkan arus searah yang besarnya selalu knstan dan bertanda psitif Pada grafik (b) kita dapatkan arus searah yang besarnya selalu knstan dan bertanda negatif 99

3 Pada grafik (c) kita dapatkan arus searah yang nilainya akin laa akin engecil. Arus seaca ini sering disebut arus transien. Pada grafik (d) kita dapatkan arus searah yang besarnya berubah-ubah engikuti pla sinusidal. Walaupun arus berubah engikuti pla sinusidal, tetapi karena nilai arus selalu psitif aka arus tersebut terasuk arus searah. Pada grafik (e) arus selalu eiliki arah yang saa dan nilainya berubah-ubah engikuti pla persegi. Pada gabar (f) arus selalu eiliki arah yang saa (negatif) dan nilainya berubah-ubah engikuti pla segitiga. Atus searah yang kita bahas di kelas dua dibatasi pada arus searah yang besarnya tetap seperti yang ditunjukkan leh gabar (a) atau (b). 8. Arus blak-balik Arus blak-balik adalah arus yang arahnya berubah-ubah secara bergantian. Pada suatu saat arah arus ke kanan, keudian berubah enjadi ke kiri, keudian ke kanan, ke kiri, dan seterusnya. Kalau digabarkan dala bentuk kurva, aka cnth kurva arus blak-bali ditunjukkan dala Gabar 8. arus arus waktu waktu arus arus waktu waktu Gabar 8. Cnth grafik arus blak-balik Pada grafik (a) kita dapatkan arus blak-balik yang berubah secara sinusidal. Setengah peride arus bergerak dala satu arah dan setengah peride lainnya arus bergerak dala arah sebaliknya. Pada grafik (b) kita aati arus blak-balik yang berubah secara persegi. Dala setengah peride 300

4 arus bergerak dala satu arah dan setengah peride lainnya arus bergerak dala arah sebaliknya. Pada grafik (c) kita aati arus blak-balik yang berubah dengan pla segitiga. Pada grafik (d) kita aati arus blak-balik yang berubah secara transien. 8. Arus Blak-balik Sinusidal Bentuk arus blak-balik yang paling sederhana adalah arus sinusidal. Arus yang dihasilkan seua pebangkit tenaga listrik adalah arus blak-balik sinusidal. Kebergantungan arus terhadap waktu dapat dinyatakan leh fungsi ksinus berikut ini I I t -I t - Gabar 8.3 Cnth kurva tegangan dan arus blak-balik I π I cs t ϑ (8.) dengan I adalah arus aksiu (aplitud arus), : peride arus, t : waktu, dan ϕ : fase ula-u la (saat t 0). Jika arus tersebut elewati sebuah habatan, aka tegangan antara dua ujung habatan enuhi huku Oh 30

5 π RI R I cs t ϑ π cs t ϑ (8.) dengan adalah aplitud tegangan. Gbr 8.3 adalah cnth kurva tegangan aupun RI arus terhadap waktu egangan yang engalir pada jaringan listrik PN erupakan tegangan blak-balik sinusidal. egangan sinusidal erupakan tegangan yang paling udah dihasilkan. Dengan eutar lilitan dala edan agnet dengan kecepatan sudut knstan aka dihasilkan tegangan sinusidal. Kebanyakan pebangkit listrik PN dihasilkan dengan eutar kuparan dala edan agnet atau eutar agnet di dala kuparan sehingga dihasilkan tegangan sinusidal. 8.3 egangan Rata-Rata Ada sejulah alat ukur yang dirancang yang hanya dapat engukur nilai rata-rata suatu besaran. Jika ada alat ukur tagangan rata-rata, berapa tegangan rata-rata yang dihasilkan arus blak-balik? Berapa juga arus rata-ratanya? Kita dapat encarinya sebagai berikut. egangan rata-rata didefinisikan sebagai berikut τ li τ dt (8.3) τ 0 Integral di atas dilakukan terhadap waktu dan perata-rataan dilakukan pada selang waktu τ enuju tak berhingga. Untuk fungsi sinusidal, perata-rataan di atas enghasilkan nilai yang saa dengan perata-rataan selaa satu peride saja. Jadi, tegangan rata-rata dapat ditulis dala bentuk 0 dt (8.4) Dengan enggunakan pada persaaan (8.) aka didapat 30

6 0 π cs t ϑ dt 0 π cs t ϑ dt (8.5) Untuk eudahkan penyelesaian integral di atas kita isalkan π t ϑ x Diferensiansi ruas kiri dan kanan aka (8.6) π dt dx atau dt dx (8.7) π Substitusi persaaan (8.6) dan (8.7) ke dala persaaan (8.5) diperlel x dx cs x dx sin x cs π π π π sin t ϑ π π π sin ϑ sin 0 ϑ π 0 π [ sin( π ϑ ) sin( 0 ϑ )] [ sin( ϑ ) sin( ϑ )] 0 π Pada baris terakhir kita sudah enerapkan sifat peridisitas fungsi sinus dengan peride 360 atau π radian, yaitu sin ( π ) sin( ) adalah nl. ϑ ϑ. Jadi, nilai rata-rata tegangan blak balik sinusidal Dengan enggunakan hku Oh I aka nilai rata-rata arus blak balik adalah R I 0 0 R R 303

7 Jadi, nilai rata-rata arus blak balik sinusidal juga nl. Nilai rata-rata nl dapat diengerti karena selaa setengah peride, tegangan dan arus eiliki nilai psitif dan setengah peride berikutnya eiliki nilai negatif. Dengan deikian, nilai tegangan atau arus pada asing-asing setengah peride tersebut saling enghilangkan. Akibatnya tegangan dan arus rata-rata enjadi nl. 8.4 egangan rt ean square (rs) Untuk arus blak-balik, nilai rata-rata tidak eberikan infrasi yang lengkap tentang besaran arus atau tegangan, isalnya aplitud. Karena berapapun besar aplitud, nilai rata-rata selalu nl. Apabila kita gunakan alat ukur tegangan rata-rata aka kita akan aati tegangan listrik PN selalu nl. Agar diperleh data yang lebih infratif aka didefinisikan besaran lain yang dipakai pada arus blak-balik. Besaran tersebut adalah besaran rs (rt ean square). egangan dan arus rs didefinisikan sebagai rs (8.8) I rs I (8.9) apak dari definisi bahwa untuk endapatkan nilai rs aka kita elakukan tiga langkah, yaitu i) besaran tersebut dikuadratkan ii) enghitung nilai rata-rata besaran yang dikuadratkan tersebut iii) engabil akar besaran yang telah dihitung nilai rata-ratanya. Cnth betikut adalah bagaiana kita enghitung nilai rs dari tegangan blak-balik sinusidal. π cs t ϑ π cs t ϑ π π t ϑ cs t ϑ cs π t dt cs ϑ 0 (8.0) 304

8 Kebali kita isalkan π t ϑ x (8.6) Diferensiasi ruas kiri dan kanan aka π dt dx atau dt dx (8.7) π Substitusi persaaan (8.6) dan (8.7) ke dala persaaan (8.0) diperleh cs x dx cs x dx π π (8.) Untuk enyelesaikan integral di atas, kita transfrasi cs x sebagai berikut cs x cs x sin x cs x ( sin x) cs x atau cs x cs x (8) Dengan deikian cs xdx cs x dx dx cs x dx x sin x 4 π π t ϑ sin t ϑ (8.3) Substitusi (8.3) ke persaaan (8.) diperleh 305

9 t t 0 sin ϑ π ϑ π π ϑ π ϑ π ϑ π ϑ π π 0 sin 0 sin ( ) ( ) ( ) ( ) ϑ ϑ ϑ π ϑ π π 0 sin 0 sin ( ) ( ) ϑ ϑ ϑ π ϑ π π sin 4 sin 0 Mengingat sifat peridisitas fungsi sinus aka ( ) ( ) ϑ ϑ π sin 4 sin aka kita dapat enulis ( ) ( ) ϑ ϑ ϑ ϑ π π sin sin 0 π π Akhirnya, tegangan rs enjadi rs (8.4) Cnth egangan listrik PN di Indnesia eiliki frekuensi 50 Hz. egangan yang dialirkan ke ruah tangga besarnya 0. Nyatakan tegangan tersebut sebagai fungsi waktu Jawab Diberikan f 50 Hz Maka peride adalah 50 f s egangan 0 yang dialirkan ke ruah tangga erupakan tegangan rs. Jadi, rs

10 Dengan deikian, aplitud tegangan adalah 0 vlt rs Kita dapatkan tegangan sebagai fyngsi waktu sebagai berikut ( t) π cs t ϑ 0 π cs t ϑ / 50 ( ) 0 cs 00π t ϑ dengan ϑ dapat diberi nilai sebarang. 8.5 Daya dan Daya Rata-Rata Seperti pada arus searah, pada arus blak-balik disipasi daya pada sebuah habatan juga erupakan perkalian arus dan tegangan antara dua ujung habatan. Misalkan sebuah habatan R dialiri arus blak-balik. Misalkan tegangan antara dua ujung habatan eenuhi π cs t ϑ Berdasarkan huku Oh, arus yang engalir pada habatan adalah I π cs t ϑ R R Disipasi daya pada habatan eenuhi P I R Disipasi daya rata-rata pada habatan adalah P (8.5) R R Pebilang pada persaaan (8.5) tidak lain daripada kuadrat dari tegangan rs. Jadi kita dapat enulis 307

11 P rs (8.6) R 8.6 egangan blak balik pada dua ujung habatan Misalkan arus blak-balik yang engalir pada habatan adalah ( ω ϑ I I cs t ) (8.7) dengan ω π. Berapa tegangan antara dua ujung habatan tersebut? R R I I cs (ωtϕ ) Gabar 8.6 Arus blak-balik elewati sebuah habatan I I ωt -I R I R ωt -I R Gabar 8.7 Kurva tegangan dan arus sebagai fungsi waktu kerika arus blak-balik dilewatkan 308

12 pada sebuah resistr egangan tersebut dapat dicari dengan enggunakan hku Oh, yaitu R ( ω t ϑ ) IR I R cs (8.8) apak bahwa arus dan tegangan berubah secara bersaaan. Ketika arus nl, tegangan pun nl dan ketika arus aksiu, tegangan pun aksiu. Jika kita buatkan kurva arus dan tegangan aka kita dapatkan Gabar egangan antara dua ujung kapasitr Misalkan arus yang engalir pada kapasitr juga eenuhi persaaan (8.7). Berapa tegangan antara dua ujung kapasitr tersebut? ihat Gabar 8.8 C C I I cs (ωtϕ ) Gabar 8.8 Arus blak-balik elewati sebuah kapasitr Mari kita hitung. egangan antara dua ujung kapasitr dapat dihitung dengan persaaan Q C (8.9) C Selanjutnya kita enentukan Q dengan cara engintegralkan terhadap waktu arus yang engalir pada kapasitr. ( ωt ϑ ) dt I cs( ωt ϑ ) Q Idt I cs dt I ( ωt ϑ ) sin (8.0) ω Dengan deikian, tegangan antara dua ujung kapasitr adalah 309

13 C I ( ωt ϑ ) sin (8.) ωc Persaaan (8.) di atas dapat ditulis sebagai C C ( ω t ϑ ) I X sin (8.) dengan X C (8.3) ω C Peranan XC saa dengan peranan habatan. Jadi pada arus blak-balik kapasitr berperan sebagai habatan dengan nilai habatan XC. Besaran ini sering dinaakan reaktansi kapasitif. I I ωt -I C I X c π/ -I X c ωt Gabar 8.9 Kurva arus dan tegangan ketika arus blak-balik elewati sebuah kapasitr Habatan kapasitr bergantung pada frekuensi arus yang elewati kapasitr tersebut. Jika frekuensi arus sangat besar aka habatan kapasitr akin kecil. Untuk frekuensi yang enuju 30

14 tak berhingga aka habatan kapasitr enuju nl, yang berarti kapasitr selah-lah terhubung singkat. Sebaliknya jika frekuensi arus yang engalir pada kapasitr enuju nl aka habatan kapasitr enuju tak berhingga. Dala kndisi ini kapasitr berperilaku sebagai sebuah saklar yang terbuka. Ini penyebab engapa kapasitr tidak dapat dilewati arus DC. Arus DC eiliki frekuensi nl. Dengan aturan trignetri kita endapatkan hubungan sin π (8.4) ( ωt ϑ ) cs ωt ϑ Dengan deikian, tegangan antara dua ujung kapasitr dapat ditulis sebagai π C I X C cs ωt ϑ (8.5) Kurva arus yang engalir pada kapasitr dan tegangan antara dua ujung kapasitr tapak pada Gabar 8.9. apak pada Gabar 8.9 bahwa kurva tegangan dapat diperleh dari kurva arus dengan enggeser fasa sebesar π/ atau 90. Dengan kata lain tegangan antara dua ujung kapasitr uncul lebih labat daripada arus. Atau tegangan pada kapasitr engikuti arus dengan keterlabatan fasa π/. 8.8 egangan antara dua ujung inductr Misalkan inductr dengan indultansi juga dialiri arus yang eenuhi persaaan (8.7). Berapa tegangan antara dua ujung induksr tersebut? I I cs (ωtϕ ) Gabar 8.0 Arus blak-balik elewati sebuah induktr Mari kita hitung. egangan antara dua ujung inductr dapat ditentukan dari persaaan di (8.6) dt 3

15 Dengan enggunakan I pada persaaan (8.7) aka diperleh d dt [ I cs ( ω t ϑ )] ωi sin( ωt ϑ ) Jika kita endefinisikan X ω (8.7) kita dapat enulis ( ω t ϑ ) I X sin (8.8) apak dari persaaan (8.8) bahwa ketika dialiri arus blak-balik, inductr berperan sebagai habatan dengan nilai habatan X. Besaran X sering juga disebut reaktansi induktif. Nilai habatan ini akin besar jika frekuensi arus akin besar. Jika frekuensi arus enuju tak berhingga aka habatan inductr enuju tak berhingga. Dala kndisi ini, inductr berperan sebagai sebuah saklar terbuka. Sebaliknya, jika frekuensi arus enuju nl aka habatan inductr juga enuju nl, atau inductr seperti terhubung singkat. I I ωt -I I X π/ ωt -I X 3

16 Gabar 8. Kurva arus dan tegangan ketika arus blak-balik elewati sebuah induktr Dengan aturan trignetri kita dapat enulis sin π t (8.9) ( ω ϑ ) cs ωt ϑ Dengan deikian, tegangan antara dua ujung inductr dapat juga ditulis sebagai π I X cs ωt ϑ (8.30) Gbr 8. adalah kurva arus dan tegangan antara dua ujung inductr. apak bahwa kurva dapat diperleh dari kurva arus dengan enggeser fasa ke kiri sebesar π/ atau 90. Ini enandakan bahwa tegangan antara dua ujung inductr endahului arus dengan fasa sebesar π/ atau Disipasi daya pada kapasitr dan inductr Kita sudah eahai bahwa jika sebuah habatan dilewati arus aka tibul disipasi daya. Ketika dilewati arus blak-bali, kapasitr dan inductr berperan sebagai habatan. Berapakah disipasi daya pada dua kpnen tersebut? Mari kita analisis satu per satu. a) Disipasi daya pada kapasitr Disipasi daya pada kapasitr eenuhi P C C I (8.3) Dengan ensubtitusi arus para persaaan (8.7) dan tegangan C pada persaaan (8.5) ke dala persaaan (8.3) aka π PC I X C cs ω t ϑ cs π I X C cs ω t ϑ cs( ωt ϑ ) [ I ( ωt ϑ )] Selanjutnya kita hitung disipasi daya rata-rata, yaitu 33

17 P C π I X C cs ω t ϑ cs ( ωt ϑ ) I X C π cs ω t ϑ cs 0 ( ωt ϑ ) dt Untuk enyelesaikan integral di atas, kita ganti sehingga π cs ω ϑ t dengan sin ( ω ) t ϑ P C I X C ( t ϑ ) cs( ωt ϑ ) sin ω dt (8.3) 0 Kita isalkan ( ωt ϑ ) u sin (8.33) Diferensiasi ruas kiri dan kanan aka ω cs ( ωt ϑ ) dt du atau cs ( ω ϑ ) t dt du ω Dengan deikian sin ( ω t ϑ ) cs ( ωt ϑ ) dt udu u sin ( ωt ϑ ) Jadi persaaan (8.3) enjadi P C I X C [ ϑ ] I X C sin ( ω t ϑ ) sin ( ω ϑ ) sin ( 0 ) 0 Mengingat ω π / aka ω π sehingga 34

18 P C I X C [ sin ( π ϑ ) sin ( ϑ )] Karena sifat peridisitas fungsi sinus aka sin ( π ) sin( ) ϑ ϑ dan akhirnya diperleh P C I X C [ sin ( ϑ ) sin ( ϑ )] 0 Jadi, disipasi daya rata-rata pada kapasitr adalah nl. Kapasitr yang dilewati arus blak-balik tidak engalai peanasan seperti yang dialai resisstr, walaupun pada rangkaian blak-balik kapasitr berperan sepesrti sebuah habatan. b) Disipasi daya pada induktr Disipasi daya pada kapasitr eenuhi P I (8.34) Dengan ensubtitusi arus para persaaan (8.7) dan tegangan pada persaaan (8.30) aka π P I X cs ω t ϑ cs π I X cs ω t ϑ cs( ωt ϑ ) [ I ( ωt ϑ )] Selanjutnya kita hitung disipasi daya rata-rata, yaitu P π I X cs ω t ϑ cs ( ωt ϑ ) I X π cs ω t ϑ cs 0 ( ωt ϑ ) Untuk enyelesaikan integral pada persaaan (8.35), kita ganti ( ω ) sin t ϑ sehingga dt (8.35) π cs ωt ϑ dengan P I X sin( ω t ϑ ) cs( ωt ϑ ) dt 0 Selanjutnya kita isalkan 35

19 sin ( ωt ϑ ) u Diferensiasi ruas kiri dan kanan aka ω cs ( ωt ϑ ) dt du atau cs du t dt ω ( ω ϑ ) Dengan deikian sin Jadi ( ω t ϑ ) cs( ωt ϑ ) dt udu u sin ( ωt ϑ ) P [ ϑ )] I X I X ( t ϑ ) ( ω ϑ ) ( sin sin sin 0 0 ω Mengingat ω π / aka ω π sehingga P I X [ sin ( π ϑ ) sin ( ϑ )] K arena sifat peridisitas fungsi sinus aka sin ( π ) sin( ) ϑ ϑ dan akhirnya diperleh P I X [ sin ( ϑ ) sin ( ϑ )] 0 Jadi, disipasi daya rata-rata pada induktr juga nl, saa dengan disipasi daya pada kapasitr. 8.0 Diagra Fasr Pada bagian berikutnya kita akan epelajari rangkaian arus blak-balik. Pencarian arus dan tegangan pada rangkaian ini lebih ruit daripada pencarian yang saa pada rangkaian arus searah. Pada rangkaian arus blak-balik kita akan eecahkan besaran-besaran yang engandung fungsi trignetri. Untuk eperudah pebahasan tentang arus blak-balik, pada bagian ini kita akan 36

20 epelajari diagra fasr. Diagra fasr sangat eudahkan kita dala elakukan perasi aljabar pada fungsi-fungsi trignetri. Karena arus aupun tegangan blak-balik erupakan fungsi trignetri aka kita akan erasa tertlng dengan enggunakan diagra fasr. Dala diagra fasr, sebuah fungsi trignetri digabarkan sebagai sebuah vektr dala krdinat dua diensi. Panjang vektr tersebut saa dengan aplitud fungsi dan sudut yang dibentuk vektr dengan arah subu datar saa dengan fase fungsi tersebut. Cnthnya, kita eiliki fungsi ( ωt) Acs (8.36) apak aplitud fungsi di atas adalah A dan fasenya adalah ωt. Jika direpresentasikan dala diagra fasr aka kita akan dapatkan vektr dengan panjang A dan ebentuk sudut ωt terhadap subu datar, seperti dintunjukkan dala Gabar 8. A ωt Gabar 8. Cnth diagra fasr untuk fungsi pada persaaan (8.36) Cnth Gabarkan diagra fasr fungsi Acs ( ω t ϑ ) Jawab Kita gabarkab vektr yang panjangnya A dan ebentuk sudut datar. ω t ϑ terhadap subu A ω t ϑ 37

21 Gabar 8.3 Diagra fasr untuk fungsi Acs ( ω t ϑ ) Cara lain enggabar diagra fasr adalah kita dapat eberikan sudut berapa saja pada arah yang sejajar subu datar. Dengan peberian sudut ini aka sudut antara vektr dengan subu datar saa dengan selisih sudut fase ula-ula dengan sudut yang diberikan dala arah datar tersebut. Sebagai cnth, untuk fungsi Acs ( ω t ϑ ) kita dapat eberikan sudut ϑ untuk arah datar. Akibatnya, sudut yang dibentuk vektr terhadap arah datar enjadi ωt saja. Diagra fasrnya adalah A ωt ϑ G abar 8.4 D Acs ω t ϑ dengan engabil subu datar eiliki sudut fasa iagra fasr untuk fungsi ( ) ϑ ebih ekstri lagi, kita dapat juga eberikan sudut enyebabkan bentuk diagra fasr sebagai berikut ω t ϑ untuk arah datar. Peilihan ini A ω t ϑ Gabar 8.5 Diagra fasr untuk fungsi A ( ω t ϑ ) eiliki sudut fasa ω t ϑ cs dengan engabil subu datar abahan. Untuk enggabarkan diagran fasr, lebih dianjurkan seua fungsi dinyatakan dala fungsi ksinus. Jika dijupai fungsi sinus, aka fungsi tersebut diubah ke fungsi ksinus dengan enggunakan hubungan 38

22 π sinθ cs θ (8.37) Cnth Gabarkan diagra fasr fungsi Asin ( ω t ϑ ) Jawab Pertaa, kita ubah fungsi di atas enjadi fungsi ksinus dengan enggunakan hubungan (57.37) Asin ( ωt ϑ ) Acs ωt ϑ π Selanjutnya kita gabarkan diagra fasr dengan eiliki fase arah datar sebarang. Jika kita pilih fase arah datar adalah ω t ϑ aka diagra fasr enjadi sebagai berikut ω t ϑ A π/ Gabar 57.6 Diagra fasr untuk fungsi Asin ( ω t ϑ ) 8. Operasi rignetri dengan Diagra Fasr Sekarang kita akan encari hasil penjulahan dan pengurangan fungsi trignetri dengan enggunakan diagra fasr. Akan terlihat bahwa yang kita cari nanti ternyata prses penjulahan dan pengurangan vektr seperti yang telah kita pelajari di kelas satu. Cntnya, kita akan enjulahan dua buah fungsi trignetri A cs A cs ( ωt) ( ω t ϑ ) 39

23 Kita akan encari fungsi. Yang pertaa kali yang akan kita lakukan adalah enggabarkan dan dala diagra fasr. Karena ke dua fungsi trignetri di atas eiliki salah satu kpnen fase yang saa yaitu ωt, aka akan sangat tertlng apabila kita pilih subu datar eiliki fase ωt. Akibatnya, fungsi digabarkan sebagai vektr yang searah subu datar dan fungsi digabarkan sebagai vektr yang ebentuk sudut ϑ terhadap subu datar. Diagra fasrnya sebagai berikut A ϑ A φ ωt A Gabar 8.7 Diagra fasr fungsi dan serta fungsi hasil penjulahan Yang perlu kita cari selanjutnya adalah encari panjang vektr yaitu A dan enentukan sudut yang dibentuk vektr dengan subu datar, yaitu φ. Dengan aturan penjulahan vektr etde ja jaran genjang kita dapatkan A A A A A csϑ (8.38) Untuk enentukan φ, lihat gabar (8.8) berikut ini A ϑ A φ A sin ϑ ωt A A cs ϑ 30 A A cs ϑ

24 Gabar 8.8 Menentukan sudut fasa fungsi hasil penjulahan dan apak dari gabar di atas, vektr A eiliki kpnen arah hrizntal A h A A csϑ (8.39) dan kpnen arah vertikal A v A sinϑ (8.40) Panjang vektr A dapat juga ditulis ditulis dala bentuk A A A ( A A csϑ ) ( A ϑ ) h v sin (8.4) Sundut yang dibentu vektr A dengan subu datar eenuhi tanφ A v A sinϑ A A A csϑ h (8.4) Setelah panjang A dan sudut φ ditentukan aka fungsi penjulahan dapat diperleh, yaitu ( ω φ) Acs t (8.43) Cnth Dua fungsi trignetri asing-asing berbentuk dan 7sin ωt 5cs ωt π 3 π 6 a) Gabarkan diagra fasr yang euat dua fungsi di atas b) entukan persaaan untuk fungsi Jawab Untuk eudahkan kita ubah seua fungsi trignetri dala bentuk ksinus. Jadi π π π 7sin ωt 7cs ωt 7cs 3 3 ωt π 6 3

25 a) Untuk enggabar diagra fasr, kita dapat engabil arah hrisntal eiliki sudut ωt π / 6. Diagra fasr tapak pada Gbr 8.9 b) Aplitud hasil penjulahan dua fungsi dia atas adalah A A A A A 09 0,4 csϑ cs ( π / 6) A 5 π / 6 A φ A 7 ωt-π/6 Gabar 8.9 Sudut yang dibentu vektr A dengan subu datar eenuhi tanφ atau A A v h A sinϑ A A csϑ 5sin 7 5cs ( π / 6) 5 0,867 ( π / 6) 7 5 0, 5 0,456 φ 4,5 0,4π Dengan deikian, kebergantungan fungsi terhadap waktu enjadi π π Acs ωt φ 0,4 cs ωt 0,4π 0,4 cs t ( ω 0, π ) 8. Rangkaian Arus Blak-Balik Berbekal peahaan tentang diagra fasr aka kita dapat elakukan analisis rangaian 3

26 blak-balik dengan udah. Yang diaksud dengan rangkaian blak-balik di sini adalah rangkaian yang dialiri arus blak-balik. Pada bagian ini kita hanya akan ebahas rangkaian yang engandung resistr, inductr, dan kapasitr. Pada prinsipnya, kpnen apa pun yang dipasang pada rangkaian blak-balik dapat diganti dengan rangkaian yang engandung resistr, kapasitr, dan inductr yang enghasilkan sifat yang serupa. a) Rangkaian R Seri Rangkaian ini hanya engandung resistr dan inductr yang disusun secara seri seperti pada Gbr 8.0 a b c R I I cs (ωtϕ ) Gabar 8.0 Cnth rangakain R seri Kita ingin encari tegangan antara titik a dan b, antara titik b dan c dan antara titik a dan c. Mari kita analisis. ( ) Diber ikan I I cs ω t ϑ dengan arus. Maka kita dapatkan. egangan antara dua ujung habatan eiliki fasa yang saa ab I R cs ( ω t ϑ ) egangan antara dua ujung inductr eiliki fasa yang endahului arus sebesar π/. Maka kita dapatkan bc ( ω t ϑ π / ) I X cs dengan X ω egangan antara ujung kiri resstr dengan ujung kanan inductr enjadi 33

27 ac ab bc R cs t ϑ I X cs ωt ϑ ( ω ) ( π / ) I (8.44) Kita eneui penjulahan trignetri yang tidak sefasa. Maka kita dapat enggunakan diagra fasr untuk enyelesaikannya. Gbr 8. adalah diagra fasr yang kita gunakan I X θ I R ω t ϑ Gabar 8. Diagra farr untuk penjulahan persaaan (8.44) Kita pilih subu datar eiliki sudut fasa dalil Phitagras aka ( ω t ϑ ) agar eudahkan penyelesaian. Dengan ( I R) ( I X ) I ( R X ) I R (8.45) dan X I X X tan θ (8.46) I R R Akirnya kita dapatkan bentuk uu tegangan antara titik a dan c sebagai berikut cs ( ω t ϑ θ ) ac ( ω ϑ θ ) I R X cs t ( 8.47) Persaaan (8.45) dapat juga ditulis sebagai 34

28 ( ω t ϑ θ ) I Z cs (8.48) ac dengan Z R X (8.49) disebut ipedansi rangkaian seri R. Cnth Habatan 30 kω dihubungkan secara seri dengan induktr 0,5 H pada suatu rangkaian ac. Hitung ipedansi rangkaian jika frekuensi suber arus adalah (a) 60 Hz, dan b) 5,0 0 4 Hz Jawab a) f 60 Hz aka ω πf 3, ,8 rad/s X ω 376,8 0, 5 88,4 Ω Z 4 4 ( 3 0 ) ( 88,4) 3 0 R X 30 kω 4 b) f 5,0 0 4 Hz aka 3,4 (5 0 ) 5 X (3,4 0 ), ω 0, 5 Ω ω πf 3,4 0 5 rad/s ( 3 0 ) (,57 0 ),55 0,6 0 Z R X Ω 60 kω b) Rangkaian RC Seri Rangkaian ini hanya engandung resistr dan kapasitr yang disusun secara seri seperti pada Gbr 8. a b c R C I I cs (ωtϕ ) Gabar 8. Cnth rangkaian seri RC Kita ingin encari tegangan antara titik a dan b, antara titik b dan c dan antara titik a dan c. Mari 35

29 kita analisis Diberika n I I cs( ω t ϑ ) dengan arus. Maka kita dapatkan. egangan antara dua ujung habatan eiliki fasa yang saa ab I R cs ω t ϑ ( ) egangan antara dua ujung kapasitr sebesar π/. Maka kita dapatkan eiliki fasa yang engikuti arus dengan keterlabatan bc ( ωt ϑ π / ) I X C cs dengan X C ωc egangan antara ujung kiri resistr dengan ujung kanan kapasitr enjadi ac ab bc I R cs( ω t ϑ ) I X cs( ωt ϑ π / ) (8.50) C Di sini kita eneui penjulahan trignetri yang tidak sefasa. Maka kita dapat enggunakan diagra fasr untuk enyelesaikannya. Gbr 8.3 adalah diagra fasr yang kita gunakan I R ω t ϑ θ I X C Gabar 8.3 Diagra fasr untuk penjulahan persaaan (8.48) Kita eilih subu datar eiliki sudut fasa ( ω t ϑ ) agar eudahkan penyelesaian. 36

30 Dengan ruus Phitagras aka ( I R) ( I X ) I ( R ) C X C I R (8.5) dan X C tan θ I X I R C X R C (8.5) Perhatikan, sudut θ ada di bawah subu datar. Fase yang diiliki tegangan ttal saa dengan fase subu datar dikurangi sudut θ. Dengan deikian kita dapatkan bentuk uu tegangan antara titik a dan c sebagai berikut cs ( ωt ϑ θ ) ac ( ω ϑ θ ) ac I R X C cs t ( 8.53) Persaaan (8.53) dapat juga ditulis sebagai ( ωt ϑ θ ) I Z cs (8.54) ac dengan Z R (8.55) X C disebut ipedansi rangkaian seri RC. Cnth Rangkaian seri RC engandung habatan 00 Ω dan kapasitansi µf. Jika tegangan antara dua ujung kapasitr adalah 0 cs(000 t π/6) vlt tentukan a) Arus yang engalir b) egangan antara dua ujung resistr c) egangan ttal antara ujung resistr dan ujung kapasitr Jawab Diberikan R 00 Ω 37

31 C µf 0-6 F egangan antara dua ujung kapasitr C 0 cs(000 t π/6) vlt Dari sini diperleh 0 C ω 000 rad/s a) Ipedansi kapasitif X C 500 Ω ω C Aplitud arus yang engalir 0 I C 0 A X 500 C Pada rangkaian seri RC, fase tegangan antara dua ujung kapasitr engikuti arus dengan keterlabatan fase π/. Atau fase arus endahului fase tagangan antara dua ujung kapasitr dengan beda fase π/. Karena fase tagangan antara dua ujung kapasitr adalah (000 t π/6) aka fase arus adalah (000 t π/6 π/) (000 t 4π/6). Dengan deikian, fungsi arus adalah I ( 000t 4π / 6) 0 cs( 000t 4π / 6) I cs A b) egangan antara dua ujung resistr. Fase tegangan antara dua ujung resistr saa dengan fase arus. Aplitud tegangan antara dua ujung resistr adalah R I R ( 0 ) 00 Karena saa dengan fase arus aka cs 000t 4π / 6 cs 000t 4π / 6 R R ( ) ( ) c) egangan ttal antara ujung resistr dan ujung kapasitr Ipedansi ttal antara dua ujung kpnen adalah Z R , Ω. X C Aplitud tegangan I Z ( 0 ) 500, 0 Beda fase antara tegangan ttal dan arus adalah θ yang eenuhi 38

32 500 tan X C θ R 00 5 atau θ,373 rad 0,44π rad. Untuk rangkaian RC, fase tegangan engikuti arus dengan keterlabatan fase θ 0,44π. Karena fase arus adalah (000 t 4π/6) aka fase tegangan adalah (000 t 4π/6 - θ) (000 t 4π/6-0,44π) (000 t 0,3π). Jadi, kebergantungan tegangan ttal terhadap waktu eenuhi ( 000t 0,3π ) 0 cs( 000 0, 3π ) cs t c) Rangkaian C Seri Rangkaian ini hanya engandung induktr dan kapasitr yang disusun secara seri seperti pada Gbr 8.4 a b c C I I cs (ωtϕ ) Gabar 8.4 Cnth rangkaian seri C Kita ingin encari tegangan antara titik a dan b, antara titik b dan c dan antara titik a dan c. Mari kita analisis Diberikan I I ( ω t ϑ ) cs. egangan antara dua ujung induktr endahului arus dengan fasa sebesar π/. Maka kita dapatkan ab ( ω t ϑ π / ) I X cs dengan X ω. egangan an tara dua ujung kapasitr eiliki fasa yang engikuti arus dengan keterlabatan sebesar π/. Maka kita dapatkan 39

33 bc ( ωt ϑ π / ) I X C cs dengan X C ω C egangan antara ujung kiri induktr dengan ujung kanan kapasitr enjadi ac I X ab cs bc ( ωt ϑ π / ) I X cs( ωt ϑ π / ) C Dengan enggunakan sifat ( α π ) cs α cs aka kita dapat enulis cs ( ω t ϑ π / ) cs( ωt ϑ π / π ) cs( ω t ϑ π / ) Dengan deikian kita perleh I X cs( ω t ϑ π / ) I X C cs( ωt ϑ π / ) ( X X ) cs ( ω t ϑ π / ) ac C I (8.56) I X ω t ϑ I X C Gabar 8.5 Diagra fasr untuk rangkaian seri C Kasus enarik terjadi jika X X C, karena ab 0. Kndisi ini terpenuhi jika ω ωc 330

34 atau ω (8.57) C Kndisi ini diebut kndisi resnansi dan frekuensi ω disebut frekuensi resnansi. C Pada kndisi resnansi terdapat beda tegangan antara dua ujung inductr dan antara dua ujung kapasitr. etapi kedua tegangan tersebut saa besar dan berlawanan fasa sehingga saling enghilangkan. Akibatnya, ketika inductr dan kapasitr tersusun secara seri aka tegangan antara ujung ujung luar inductr dan ujung luar kapasitr nl. Cnth Pada rengkaian seri R terukur tegangan antara dua ujung induksr eenuhi sin(000t) vlt. Induktasi inductr adalah H dan kapasitansi kapasitr adalah 0,5 F. entukan a) arus yang engalir dala rangkaian b) tegangan antara dua ujung kapasitr c) tegangan ttal antara ujung inductr dan ujung kapasitr d) frekuensi arus agar tegangan ttal antara ujung kapasitr dan ujung inductr nl Jawab Diberikan H 0-3 H C 0,5 F,5 0-4 F ω 000 rad/s Reaktasi induktif X ω 000 ( 0 Ω. Reaktansi kapasitif X C 4 Ω ω 4 C 000 (,5 0 ) a) arus yang engalir dala rangaian Arus aksiu yang engalir eenuhi 3 ) I A X Fase antara dua ujung inductr endahului arus sebesar π/ radian. Atau fase arus lebih terbelakang sebesar π/ radian terhadap fase tegangan antara ujung inductr. Karena fase antara ujung inductr adalah sin(000t) aka fase arus adalah sin(000t - π/). Dengan deikian, 33

35 fungsi arus enjadi (000 ) ( ) I I sin t π / sin 000t π / A b) tegangan antara dua ujung kapasitr egangan aksiu antara ujung kapasitr eenuhi I X 4 4 C C Fase antara dua ujung kapasitr engikuti arus dengan keterlabatan sebesar π/ radian. Karena fase arus adalah sin(000t - π/) aka fase antara dua ujung kapasitr adalah sin(000t - π/ - π/) sin(000t - π). Dengan deikian, fungsi tegangan antara dua ujung kapasitr adalah sin ( 000t π ) 4 sin( π ) ( 000t) C C 000t 4 sin c) tegangan ttal antara ujung inductr dan ujung kapasitr R C sin 000t 4 sin 000t 3 sin 000t vlt ( ) ( ) ( ) d) frekuensi arus agar tegangan ttal antara ujung kapasitr dan ujung inductr nl Kndisi ini dicapai saat resnansi yang eenuhi ω C ( 0 3 ) (,5 0 4 ) 44 rad/s c) Rang kaian RC Seri Sekarang kita eningkat lebih lanjut ke rangkaian RC yang disusun secara seri seperti pada Gbr 8.6 a b c d R C I I cs (ωtϕ ) 33

36 Gabar 8.6 Cnth rangkaian seri RC Pada rangkaian terse but engalir arus I I cs ( ω t ϑ ). Kita akan enghitung ab, bc, cd, ac, bd, dan ad Berdasarkan pebahasan di atas dengan segera kita dapatkan I R cs ( ω t ϑ ) ( ω t ϑ π / ) ab bc I X cs cd I X C ω t ϑ cs( π / ) Antara titik a dan c terdapat resistr dan induktr yang disusun secara seri sehingga ac I R X cs t ( ω ϑ θ ) dengan tanθ X / R Antara titik b dan d terdapat induktr dan kapasitr yang disusun secara seri sehingga bd ( X X ) cs( ω t ϑ π / ) I C Antara titik a dan d terdapat tiga kpnen yang disusun secara seri sehingga tegangan ttal eenuhi ad ab bc cd R cs ωt ϑ I X cs ωt ϑ π / I X C cs ωt ϑ ( ) ( ) ( π / ) I (8.58) Penjulahan tiga suku trignetri di atas dapat diungkapkan dala diagra fasr seperti pada Gbr 8.7 I X θ I R ω t ϑ I X C 333

37 Gabar 8.7 Diagra fasr untuk penjulahan pada persaaan (8.58) Dengan dalil Phitagras aka ( I R) ( I X I X ) C I R ( X X ) C I Z (8.59) dengan Z ( X ) X R (8.60) C adalah ipedansi rangkaian seri RC. Dari gabar kita juga elihat bahwa I X I X C X X C tan θ (8.6) I R R Dengan deikian, bentuk uu tegangan antara titik a dan d sebagai fungsi waktu adalah ( ω t ϑ θ ) cs (8.6) ad I Z Cnth Rangkaian RC seri engandung habatan 00 Ω, inductr 0,05 H, dan kapasitr 5 µf. egangan antara dua ujung kapasitr adalah 8 cs(000t π/3) vlt. entukan a) fungsi arus yang engalir b) tegangan antara dua ujung resistr c) tegangan antara dua ujung induktr d) tegangan ttal antara ujung kiri kpnen paling kiri dan ujung kanan kpnen paling kanan Jawab Diberikan R 00 Ω 0,05 H C 5 µf F 334

38 ω 000 rad/s egangan antara dua ujung kapasitr C 8cs 000t π / 3 vlt ( ) Dari sini tapak bahwa 8 vlt C Reaktansi induktif X ω 000 0,05 50 Ω Reaktansi kapasitif X C 00 Ω ω 6 C 000 (5 0 ) a) fungsi arus yang engalir Arus aksiu yang engalir C 8 I 0,0 A X 400 C Fase arus endahului fase tegangan antara ujung kapasatr dengan fase sebesar π/. Fase tegangan antara ujung kapasitr adalah (000t π/3). Maka fase arus adalah (000t π/3 π/) (000t 5π/6). Jadi fungsi arus enjadi I I cs 000t 5π / 6 0,0 cs 000t 5π / 6 A ( ) ( ) b) tegangan antara dua ujung resistr egangan aksiu antara dua ujung resistr I R 0,0 00 R vlt Fase tagangan antara ujung resistr saa dengan fase arus. Dengan deikian, fungsi tegangan antara ujung resistr adalah ( 000t 5π / 6) cs( 000 5π / 6) R R cs t vlt c) tegangan antara dua ujung induktr egangan aksiu antara dua ujung induktr I X 0,0 50 vlt Fase tagangan antara ujung induktr endahui fase arus dengan fase sebesar π/. Fase arus 335

39 adalah (000t 5π/6). Dengan deikian, fase tegangan antara ujung induktr adalah (000t 5π/6 π/) (000t 8π/6). Akhirnya, fungsi tegangan antara ujung induktr adalah ( 000t 8π / 6) cs( 000 8π / 6) cs t vlt d) tegangan ttal antara ujung kiri kpnen paling kiri dan ujung kanan kpnen paling kanan Ipedansi ttal rangkaian Z ( X X ) 00 (50 00) R C Ω. egangan aksiu antara ujung kiri dan ujung kanan rangkaian I Z 0,0 80 3, 6 vlt Beda fase antara arus dengan tegangan aksiu ini eenuhi X X tanθ R C , atau θ -0,98 rad - 0,3π rad. Karena sifat kapasitif lebih kuat dari sifat knduktif aka secera keseluruhan rangkaian bersifat kapasitif. Fasa tegangan antara ujung ke ujung rangkaian engalai keterlabatan dari fasa arus. Fasa arus adalah (000t 5π/6). Maka fasa tegangan adalah (000t 5π/6 0,3π) (000t 0,5π). Jadi, fungsi tegangan ttal enjadi ( 000 0,5π ) 3,6 cs( 000 0, 5π ) cs t t vlt 8.3 Faktr Daya Selanjutnya kita akan enghitung disipasi daya pada rangkaian RC yang disusun secara seri. Jika rangkaian tersebut dialiri arus ( t) I I cs ω aka dengan segera kita dapat enentukan tegangan antara ujung kiri kpnen paling kiri dengan ujung kanan kpnen paling kanan adalah I Z cs t dengan ( ω θ ) tanθ ( X X ) R C / 336

40 Disipasi daya dala rangkaian ( ω t) ( ω θ ) P I I Z cs cs t Kita gunakan persaaan trignetri csα cs β cs cs ( α β ) ( α β ) sehingga kita dapat enulis cs ( ω t) cs( ωt θ ) cs( ωt [ ωt θ ]) cs( ωt [ ωt θ ]) cs ( ωt θ ) cs( θ ) cs( ωt θ ) cs ( θ ) Dengan deikian I Z I Z P cs ( ωt θ ) cs( θ ) Daya rata-rata adalah P I Z I Z I Z I Z cs ( ω θ ) c s t ( θ ) cs( ωt θ ) cs( θ ) Kalian dapat ebuktikan bahwa ( θ ) 0 cs ωt. Dan karena cs θ knstan aka cs P ( θ ) cs( θ ). Akhirnya diperleh I Z I Z 0 cs ( θ ) I Z csθ (8.63) Di sini, cs θ disebut factr daya. Besaran ini enentukan daya yang dibuang pada rangkaian eskipun besar tegangan dan arus aksiu knstan. Faktr daya bergantung pada frekuensi arus. Jadi, untuk rangkaian yang saa, disipasi daya yang dibuang bergantung pada frekuensi. 337

41 Nilai terbesar cs θ adalah satu. Kndisi ini enyebabkan disipasi daya encapai nilai aksiu. Kndisi ini dicapai saat resnansi di ana X X sehingga tan θ 0 atau cs θ. Daya rata-rata dapat pula ditulis dala bentuk lain. Mengingat I Z aka I I P csθ csθ I rs rs csθ (8.64) Sal dan Penyelesaian ) Sebuah kuparan eiliki habatan R,0 Ω dan induktansi 0,3 H. entukan arus dala kuparan jika dihubungkan dengan tegangan (a) 0 vlt dc, (b) 0 vtl (rs) dengan frekuensi 60 Hz Jawab Diberikan R,0 Ω 0,3 H f 60 Hz atau ω πf π 60 0π rad/s a) Jika dihubungkan dengan tegangan dc aka hanya habatan yang eberi pengaruh pada tegangan yang diberikan. Dengan deikian arus yang engalir adalah I (dc)/r 0/,0 0 A b) Jika dihubungkan dengan tegangan ac aka habatan dan inductr eberi pengaruh pada tegangan yang diberikan. Reaktansi induktif adalah X ω ( 0π ) 0, 3 3 Ω. Ipedansi rangkaian Z R 3 3 Ω X egangan rs yang diberikan adalah 0. Maka arus rs adalah I Z 3 0,94 0 rs rs A 338

42 Arus aksiu adalah I I 0,94,4,33 A rs ) iga kpnen R,, dan C dihubungkan secara seri. Misalkan R 5,0 Ω, 30,0 H, dan C,0 µf. Rangkaian tersebut dihubungkan dengan tegangan ac 90 (rs) dengan frekuensi 500 Hz. Hitung (a) arus dala rangkaian, (b) pebacaan vlteter pada dua ujung asing-asing kpnen, (c) beda fase θ, dan (d) disipasi daya dala rangkaian. Jawab Diberikan R 5,0 Ω 30,0 H 0,03 H C,0 µf, 0-5 F rs 90 f 500 Hz ω πf π rad/s Reaktansi induktif X ω 340 0,03 94, Ω Reaktansi kapasitif X C 6,5 Ω ω C (, 0 ) Ipedansi ttal ( X ) 5 ( 94, 6, ) X Z 7 Ω R 5 C a) Arus rs yang engalir dala rangkaian 90 I rs rs,5 A Z 7 Pebacaan vleter adalah tegangan rs. Beda tegangan antar ujung-ujung kpnen yang dibaca vlt eter adalah Antara ujung resistr R, rs I R,5 5,0 3,5 rs Antara ujung kapasitr I X,5 6,5 33,3 C, rs rs C 339

43 Antara ujung induktr,5 94,, rs I rs X 7,75 c) Beda fase antara arus dan tegangan adalah θ yang eenuhi X X C 94, 6,5 tan θ,7 R 5 atau θ 69,8 Karena X > XC aka rangkaian bersifat induktif sehingga tegangan endahului arus dengan selisih fase θ 69,8 d) Disipasi daya dala rangkaian ( 69, ) P I 5 rs rs cs θ, 90 cs 8 55 watt Pada frekuensi berapakah inductr 00 H eiliki reaktansi,0 kω? Jawab Diberikan X,0 kω 0 3 Ω 00 H 0, H X ω atau ω X 0 0, rad/s 3) Ketika diukur, reaktansi sebuah kapasitr 9,0 pengukuran dilakukan? Jawab Diberikan XC 50 Ω C 9,0 µf 9, 0 X C atau ω C -6 F µf adalah 50 Ω. Pada frekuensi berapakah ω 4375 rad/s 6 CX C (9, 0 )

44 4) Hitung ipedansi dan arus rs dala kuparan radi 60 H yang dihubungkan ke tagangan 0 (rs) pada frekuensi 0,0 khz. Abaikan habatan kuparan Jawab Diberikan 60 H 0,6 H rs 0 f 0,0 khz 0 4 Hz ω πf π 0 4 rad/s Karena hanya ada inductr aka ipedansi saa dengan reaktansi induktif, yaitu Z X ω π 4 ( 0 ) 0,6,0 0 4 Ω Arus rs yang engalir 0 rs I rs 0,0 A 4 Z,0 0 5) Berapa ipedansi kapasitr 0,030 µf jika dihubungkan dengan tegangan rs,0 k dan frekuensi 700 Hz? Berapa pula nilai arus aksiu yang engalir? Jawab Diberikan C 0,030 µf F f 700 Hz ω πf π rad/s rs,0 k 0 4 a) Karena hanya ada kapasitr aka ipedansi saa dengan reaktansi kapasitif, yaitu Z X C Ω 8 ωc 4396 (3 0 ) b) Arus rs yang engalir I rs rs Z 4 0,6 A 7583 Arus aksiu yang engalir adalah I I,6,4 3,7 A rs 6) Sebuah habatan 30 kω dipasang seri dengan inductr 0,5 H dan sebuah suber tagangan ac. Hitung ipedansi rangkaian jika frekuensi suber adalah (a) 50 Hz, (b) 3,0 0 4 Hz. Jawab 34

45 Diberikan R 30 kω Ω 0,5 H a) f 50 Hz, aka ω πf π rad/s 34 0,5 X ω 57 Ω Ipedansi rangkaian Z R X 4 ( 3 0 ) (57) Ω 4 b) f 3,0 0 Hz, aka ω πf π (3,0 0 4 ),9 0 5 rad/s X ω Ipedansi rangkaian 5 (,9 0 ) 0,5 9, Z R X ( 3 0 ) (9,5 0 ),0 0 Ω 0 4 Ω 7) Sebuah habtan,5 kω dipasang seri dengan inductr 40 H. Pada frekuensi berapakah ipedansi saa dengan dua kali ipedansi pada saat frekuensi 60 Hz? Jawab Diberikan R,5 kω 500 Ω 40 H 0,4 H f 60 Hz, atau ω πf π rad/s X ω 377 0,4 58,34 Ω ω.? Ipedansi eenuhi Z R Jadi X Z Z R R X X Untuk Z/Z aka atau R X R R X R X atau 4 R X ( R X ) X 4 Atau 34

46 X 4X ( R X ) R 3R 4X 3R 4 3R Atau X 4X 4X X 3R 3 3R R 3R 3R 3R 3 (58,34) 3 (,5 0 ) 434,7 3 3 (,5 0 ) Ω Dengan deikian diperleh frekuensi sudut agar ipedansi dua kali adalah ω X 434,7 0, Hz 8) Berapa ipedansi ttal, sudut fase, dan arus rs dala rangkaian RC seri yang dihubungkan dengan suber tagangan 300 (rs) dan frekuensi 0,0 khz jika,0 H, R 8,70 kω, dan C pf? Jawab Diberikan R 8,70 kω 8,7 0 3 Ω,0 H 0,0 H C pf F rs 300 f 0,0 khz 0 4 Hz ω πf π 0 4 6,8 0 4 rad/s Reaktansi induktif rangkaian X ω 4 ( 6,8 0 ) 0,0,4 Reaktansi kapasitif rangkaian X 4 ωc ( 6,8 0 ) (5 0 C 9 Ipedansi rangkaian Z R ( X X C ) 0 3 Ω 4 3, 0 Ω ) ( 8,7 0 ) (,4 0 3, 0 ) 7, ,9 Ω 343

47 Sudut fase antara arus dan tegangan, θ, eenuhi 3 X X C,4 0 3, 0 tanθ 3 R 8,7 0 atau θ - 3 0, Karena sifat kapasitif lebih kuat daripada sifat induktif aka tegangan engikuti arus. Arus rs yang engalir 300 I rs rs 0,034 A Z 3 8, 9 0 9) egangan 4,8 sin (754t) diterapkan pada rangkaian RC seri. Jika 3,0 H, R,4 kω, dan C 3,0 µf, berapa disipasi daya dala rangkaian? Jawab Diberikan 3,0 H 3,0 0-3 H R,4 kω,4 0 3 Ω C 3,0 µf 3,0 0-6 F Persaaan uu tegangan dapat ditulis sin (ωt) Dari bentuk tegangan yang diberikan kita dapat sipulkan 4,8 vlt ω 754 rad/s Reaktansi kapasitif X C 44 Ω ω C 6 (754) (3,0 0 ) Reaktansi induktif X ω (3,0 0 ),3 Ω Ipedansi rangkaian Z R ( X ) X C 3 (,4 0 ) (,3 44) 467 Ω Sudut fase antara arus dan tegangan, θ, eenuhi 344

48 X tanθ atau θ -7,4 X R C,3 44, ,34 Arus aksiu yang engalir dala rangkaian I Z 4,8 3 3,3 0 A 467 Disipasi daya rata-rata dala rangkaian 3 I (3,3 0 ) 4,8 P csθ cs( 7,4 ) 0,05 W 0) Suatu rangkaian engandung resistr 50 Ω yang diseri dengan inductr 40,0 H dan generatr 50,0 (rs). Disipasi daya adalah 9,50 W. Berapa frekuensi generatr? Jawab Diberikan rs 50,0 R 50 Ω 40,0 H H <P> 9,5 W rs rs P I rs rs csθ rs csθ csθ Z Z ihat Gbr. 8.8 I X I Z θ I R Gabar 8.8 apak dari gabar bahwa 345

49 cs θ Jadi I R I Z R Z rs R rs R P Z Z Z Dengan deikian, Z rs R P ,5 Ω etapi X Z R (50) 380 Ω atau X Ω Frekuensi generatr adalah X 57 ω 45 rad/s 4 0 Sal atihan ) Kapasitr 3500 pf dihubungkan dengan inductr 50 µh yang eiliki habatan 3,0 Ω. Berapa frekuensi resnansi rangkaian? ) Kapasitr variable dala tuner radi AM eiliki kapasitansi 800 pf jika radi tersebut di-tune ke stasiun 580 khz. (a) berapa kapasitansi kapasitr jika radi tersebut ditune ke satsiun 600 khz? (b) berapa induktansi rangkaian? 3) Rangkaian RC eiliki 4,8 H dan R 4,4 Ω. (a) Berapa C agar terjadi resnansi pada frekuensi Hz. (b) berapa arus aksiu pada saat resnansi jika tegangan puncak eksternal adalah 50 vlt? 4) Berapa arus yang engalir pada rangkaian R seri jika (rs) 0 vlt dan frekuensi 60 Hz? Besar habatan adalah,8 kω dan induktansi adalah 900 H. b) Berapa sudut fasa antara arus dan tegangan? (c) berapa daya yang dibuang rangkaian? (d) berapa tegangan rs antara dua ujung habatan dan antara dua ujung inductr? 5) Sebuah kuparan inductr bekerja pada tegangan 0 (rs) dan frekuensi 60 Hz. Kuparan tersebut enarik arus,8 A. berapa induktansinya? 346

50 6) Sebuah habtan,5 kω dihubungkan secara seri dengan kapasitr 4,0 µf dan suber tagangan ac. Hitung ipedansi rangkian jika frekuensi suber adalah (a) 00 Hz, dan (b) Hz 7) ulislah arus sebagai fungsi waktu yang dihasilkan leh generatr yang eberikan arus rs 0 A dan frekuensi 50 Hz 8) Arus rs yang elewati sebuah habatan R adalah,0 A. Berapa tegangan aksiu antara dua ujung habatan jika R 000 Oh? 9) entukan arus aksiu yang ditarik leh bhla lapu yang tertulis 00 W dan 0 0) Sebuah tegangan yang dihasilkan leh generatr dapat ditulis dala bentuk ( t) 00 cs(40πt ) vlt. Berapa tegangan rs dan frekuensi tegangan tersebut? ) Sebuan resistr dihubungkan seri dengan sebuah generatr. Seuab apereeter yang dihubungklan seri dengan resistr tersebut eberikan bacaan,5 A dan vlteter yang engukur beda tegangan antara dua ujung resistr eberikan bacaan 75,0. Berapa daya rata-rata yang diberikan generatr pada resistr tersebut? ) Sebuah habatan,0 Ω dihubungkan ke generatr tegangan ac. Osilskp encatat arus ac yang engalir pada resistr dan eperlihatkan arus aksiu 0,5 A. Berapa daya rata-rata yang dibuang leh resistr? 3) Sebuah kapasitr 80 µf dihubungkan ke suber tegangan ac yang eiliki frekurisn 60 Hz. Berapa reaktansi kapasitf? 4) Jika sebuah kapasitr dihubungkan secara seri dengan suber tegangan ac yang eiliki frekuensi 50,0 H diperleh reaktansi kapasitif 00 Ω. Berapa reaktansi jika kapasitr tersebut dihubungkan ke suber yang eiliki frekeuensi 0 khz? 5) entukan arus yang ditarik leh kapasitr 45 µf jika dihubungkan dengan suber tegangan 0, 50 Hz. 6) Sebuah suber tegangan ac dengan frekuensi 60 Hz eiliki tegangan utput 0. Berapa kapasitansi kapasitr yang dihubungkan ke suber tegangan tersebut agar dihasilkan arus,00 A? 7) Ku paran 0,5 H yang tidak eiliki habatan enghasilkan rekatansi 0 Ω ketika dihubungkan dengan sebuah suber tegangan ac. entukan frekuensi suber 8) entukan reaktansi induktif sebuah kuparan 0,0 H yang dihubungkan dengan suber tegangan yang eiliki frekuensi 00 Hz 9) Induktr 50 H dihubungkan ke sebuah suber tegangan ac yang eiliki frekuensi 60 Hz dan tegangan utput rs 5. entukan reaktansi induktr tersebut. 0) Pada gabar 8.9, berapa pebacaan asing-asing alat ukur? 347

51 Gabar 8.9 ) Pada gabar 8.30, berapa pebacaan asing-asing alat ukur? Gabar 8.30 ) Sebuah hair dryer 00 W bekerja pada tegangan 0. Berapa habatannya dan berapa arus yang ditarik? 3) Gabar 8.3 eperlihatkan rangkaian eksperien untuk epelajari sifat habatan R dala rangkaian ac. ransfratr yang eiliki input 0 eberikan tegangan keluaran 30 pada frekuensi 60 Hz dan apereeter eberikan pebacaan 500 A. Dianggap tidak ada kehilangan daya pada kabel-kabel yang digunakan. Berapa daya rata-rata yang terbuang pada habatan? Berapa daya yang dihasilkan jika tidak digunakan transfatr, tetapi rangkaian langsung disabungkan ke tegangan PN? 348

52 Gabar 8 3 4) Pada gabar 8.3 seua paraeter diberikan kecuali C. Carilah (a) arus sebagai fungsi waktu, (b) daya yang dibuang dala rangkaian, (c) arus sebagai fungsi waktu setelah saklar saja yang dibuka, (d) kapasitansi C jika arus dan tegangan eiliki fase yang saa setelah saklar juga dibuka, (e) ipedansi rangkaian jika dua saklar dibuka, (f) energi aksiu yang disipan daka kapasitr, (g) energi aksiu yang disipan dala induktr, (h) perubahan beda fase antara arus dan tegangan jika frekuensi dijadikan dua kali, (i) frekuensi sehingga reaktansi induktif saa dengan setengah reaktansi kapasitif. Gabar

53 Bab 9 Besaran Gelbang Kalian sudah sering endengar istilah gelbang seperti gelbang suara, gelbang cahaya, gelbang laut, dan sebagainya. Kalian juga pernah engaati gelbang seperti gelbang air ketika dijatuhkan batu diperukaannya atau ketika perahu lewat. etapi apakah kalian sudah eahai apa gelbang itu? Bagaiana persaaan-persaaan fisika yang enerangkan gejala gelbang? 9. Definisi gelbang Kita ulai dengan definisi gelbang. Apabila kita aati gelbang seperti penyebaran pla riak air ketika di perukaannya dijatuhkan batu, aka akan ada dua fenena yang diaati i) Ada silasi atau getaran, seperti titik di perukaan air yang bergerak naik dan turun ii) Adanya perabatan pla Gabar 9. Pada gelbang diaati dua fenena sekaligus, yaitu silasi titik pada ediu dan perabatan pla silasi. Dua fenena ini pasti diaati pada gelbang apa saja. Ketika kalian enggetarkan salah satu ujung tali aka kalian akan elihat pla sipangan pada tali bergerak ke ujung tali yang lain. Naun kalian aati pula bahwa bagian-bagian tali itu sendiri tidak bergerak bersaa pla gelbang. itik-titik pada ediu tepat perabatan hanya bersilasi di sekitar titik seibangnya. Dari pengaatan tersebut kita dapat ebuat definisi uu gelbang. Jadi gelbang adalah silasi yang erabat pada suatu ediu tanpa diikuti perabatan bagian-bagian ediu itu sendiri. 350

54 9. Gelbang ransversal dan ngitudinal Kalau kalian aati gelbang tali, pla yang terbentuk erabat sepanjang tali sedangkan gerakan kpnen tali (sipangan) terjadi dala arah tegak lurus tali. Gelbang dengan arah silasi tegak lurus arah rabat dinaakan gelbang transversal. Untuk gelbang bunyi yang dihasilkan akibat peberian tekanan, arah silasi yang terjadi searah dengan perabatan gelbang. Cnthnya, gelbang bunyi di udara. Gelbang ini dihasilkan dengan eberikan tekanan secara peridik pada salah satu bagian udara sehingga lekul-lekul udara di sekitar daerah tersebut ikut bergetar. Mlekul yang bergetar enubuk lekul di sekitarnya yang dia, sehingga lekul yang ula-ula dia ikut bergetar dala arah yang saa. Begitu seterusnya sehingga lekul yang akin jauh ikut bergetar. Ini adalah fenena perabatan gelbang. Arah getaran persis saa dengan arah rabat gelbang. Gelbang dengan arah silasi saa dengan arah rabat gelbang dinaakan gelbang lngitudinal. transversal renggang apat renggang Gabar 9. Cnth gelbang transversal (gabar atas) dan lngitudinal (gabar bawah) yang dihasilkan pada pegas yang panjang. 9.3 Besaran-Besaran Gelbang Mari kita pelajari besaran-besaran apa yang diiliki gelbang. a) Sipangan Sipangan adalah jarak perpindahan titik pada ediu diukur dari psisi keseibangan. Selaa gelbang erabat, sipangan suatu titik pada ediu selalu berubah-ubah, ulai 35

55 dari nilai iniu hingga nilai aksiu. Nilai aksiu dan iniu dicapai secara peridik. y y y 3 Gabar 9.3 Sipangan suat gelbang b) Aplitud Aplitud adalah sipangan aksiu titik dala ediu yang dilewati gelbang. Aplitud Gabar 9.4 Aplitud gelbang adalag panjang sipangan aksiu c) Peride Peride adalah waktu yang diperlukan leh satu titik pada ediu kebali ke keadaan silasi seula. i) Misalkan suatu titik berada pada sipangan nl. ii) Keudian sipangannya ebesar dan encapai aksiu. iii) erus engecil enjadi nl. iv) alu bergerak enuju sipangan aksiu negatif. v) Keudian kebali enjadi nl. 35

56 Selang waktu untuk urutan gerakan i) sapai v) di atas disebut satu peride. d) Frekuensi Frekuensi adalah julah silasi yang dilakukan titik-titik pada ediu selaa satu detik. Berapa kali satu paket prses i) sapai v) di atas berlangsung selaa satu detik endefinisikan frekuensi gelbang. e) Panjang gelbang Cba kalian aati gelbang yang terjadi pada perukaan air saat enjatuhkan batu di perukaan air tersebut. Kalian aati puncak dan lebah yang lkasinya bergantian. Yang didefinisikan sebagai panjang gelbang adalah jarak dua puncak berdekatan atau jarak dua lebah berdekatan. Atau jarak antara dua titik yang lkasinya paling dekat yang eiliki keadaan gerak yang saa. satu panjang gelbang satu panjang gelbang Gabar 9.5 Panjang gelbang untuk gelbang perukaan air dan gelbang tali f) Kecepatan Osilasi Kecepatan silasi engukur berapa cepat perubahan sipangan titik-titik pada ediu. Untuk gelbang transversal, kecepatan silasi engukur berapa cepat gerakan naik dan turun sipangan (dala arah tegak lurus arah gerak gelbang). Untuk gelbang lngitudinal, kecepatan silasi engukur berapa cepat getaran aju undur titik-titik dala ediu. g) Kecepatan rabat gelbang Kecepatan rabat gelbang engukur berapa cepat pla silasi berpindah dari satu tepat ke tepat lain. Untuk gelbang di perukaan air isalnya, kecepatan rabat gelbang engukur berapa cepat sebaran gelbang arah radial keluar eninggalkan titik jatuhnya batu. 353

57 kecepatan rabat gelbang Gabar 9.6 Arah kecepatan rabat gelbang 9.4 Persaaan Gelbang Untuk gelbang yang eiliki pla sinusidal, artinya, pla gelbang erupakan fungsi sinus atau csinus, bentuk uu sipangan gelbang eenuhi y( x, t) t x Acs π π ϕ (9.) λ dengan y ( x, t) adalah sipangan titik pada ediu yang berada pada krdinat x pada waktu t, A aplitud sipangan, peride gelbang, λ panjang gelbang, ϕ fase awal gelbang, t waktu, dan x psisi. Seua bagian yang berada dala tanda kurung csinus dinaakan fase t x gelbang. Jadi fase gelbang adalah π π ϕ. λ Dengan endefinisikan Frekuensi sudut: ω π (9.) π Bilangan gelbang k (9.3) λ Kita dapat juga enulis persaaan gelbang ( ω t kx ϕ ) y( x, t) Acs (9.4) Berapa kecepatan gelbang yang diungkapkan persaaan (9.) atau (9.4)? Kita tinjau gelbang tali yang baru terbentuk. Di depan pla tersebut belu terbentuk sipangan. Kita aati pla yang terjadi pada waktu yang berbeda-beda. 354

58 (a): t 0 (b): t /4 A A (c): t / A (d): t 3/ A (e): t A λ Gabar 9.7 Bentuk gelbang pada berbagai waktu. Berdasarkan Gabar 9.7 kita elihat: Pada keadaan (a): titik A eiliki sipangan nl dan sedang bergerak ke atas Pada keadaan (b): titik A eiliki sipangan aksiu psitif dan sedang bergerak ke bawah Pada keadaan (c): titik A eiliki sipangan nl dan sedang bergerak ke bawah Pada keadaan (d): titik A eiliki sipangan aksiu negatif dan sedang bergerak ke atas Pada keadaan (e): titik A eiliki sipangan nl dan sedang bergerak ke atas. Keadaan ini persis saa dengan keadaan (a). Dengan deikian, waktu yang diperlukan gelbang berubah dari keadaan (a) ke keadaan ( e) saa dengan satu peride, atau t. Naun, selaa selang waktu ini, gelbang telah berpindah sejauh λ. Dengan deikian, kecepatan rabat gelbang eenuhi λ v (9.5) Dengan enggunakan definisi pada persaaan (9.) dan (9.3) kita dapat juga enulis 355