FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Transkripsi

1 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π) Rukmono Budi Utomo NIM February 28, 2016

2 Barisan Fibonacci 1.Asal-Usul Bilangan Pi (π) 1 1.Asal-Usul Bilangan Pi (π) 2 3

3 Bilangan Pi (π) Bilangan Pi atau dilambangkan dengan π merupakan sebuah bilangan tak berujung yang diperoleh dari rasio atau perbandingan antara keliling suatu lingkaran dengan diameternya.

4 Bilangan Pi (π) Bilangan Pi atau dilambangkan dengan π merupakan sebuah bilangan tak berujung yang diperoleh dari rasio atau perbandingan antara keliling suatu lingkaran dengan diameternya. π Bukan Bilangan Rasional Bilangan π bukanlah bilangan rasional, hal ini dikarenakan bilangan π tidak dapat disajikan oleh suatu pembagian a b dengan a dan b bilangan bulat dan b sendiri tidak boleh sama dengan nol. Ilustrasi perhatikan gambar berikut

5 lanjutan Apabila terdapat suatu lingkaran dengan diameter sebesar 1 satuan panjang (meter) maka diperlukan π meter untuk mengelilingi lingkatan tersebut.

6 lanjutan Apabila terdapat suatu lingkaran dengan diameter sebesar 1 satuan panjang (meter) maka diperlukan π meter untuk mengelilingi lingkatan tersebut. lanjutan Gambar pada slide sebelumnya merupakan sebuah lingkaran dengan diameter d dan keliling c. Nilai π merupakan rasio atas pembagian atas c dengan d atau π = c d

7 lanjutan Apabila terdapat suatu lingkaran dengan diameter sebesar 1 satuan panjang (meter) maka diperlukan π meter untuk mengelilingi lingkatan tersebut. lanjutan Gambar pada slide sebelumnya merupakan sebuah lingkaran dengan diameter d dan keliling c. Nilai π merupakan rasio atas pembagian atas c dengan d atau π = c d suatu lingkaran yang memiliki diameter dua kali lipat dari pada lingkaran lainnya, maka lingkaran tersebut juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingga nilai π nya akan selalu sama.

8 Nilai π menurut bangsa Babilonia Lebih dari 4000 tahun sebelum masehi, dipercayai bahwa orang-orang dari bangsa babilonia sudah mengenai suatu bilangan yang saat ini disebut sebagai π. Saat itu bangsa Babilonia menetapkan nilai π = 3 Merasa bahwa nilai π = 3, maka pada tahun SM bangsa babilonia menetapkan bilangan π = atau 25 8

9 Nilai π menurut bangsa Babilonia Lebih dari 4000 tahun sebelum masehi, dipercayai bahwa orang-orang dari bangsa babilonia sudah mengenai suatu bilangan yang saat ini disebut sebagai π. Saat itu bangsa Babilonia menetapkan nilai π = 3 Merasa bahwa nilai π = 3, maka pada tahun SM bangsa babilonia menetapkan bilangan π = atau 25 8 Pada tahun 1850 SM, bangsa mesir telah melakukan perhitungan luas lingkaran dengan menggunakan nilai π =

10 Nilai π menurut bangsa Babilonia Lebih dari 4000 tahun sebelum masehi, dipercayai bahwa orang-orang dari bangsa babilonia sudah mengenai suatu bilangan yang saat ini disebut sebagai π. Saat itu bangsa Babilonia menetapkan nilai π = 3 Merasa bahwa nilai π = 3, maka pada tahun SM bangsa babilonia menetapkan bilangan π = atau 25 8 Pada tahun 1850 SM, bangsa mesir telah melakukan perhitungan luas lingkaran dengan menggunakan nilai π = Sejak 150 SM, Bangsa india menetapkan bahwa bilangan π =

11 Nilai π menurut Archimides Defnisi π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode pendekatan yang lebih akurat dapat ditemukan dari catatan ilmuwan Yunani yakni Archimedes pada tahun 250 SM.

12 Nilai π menurut Archimides Defnisi π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode pendekatan yang lebih akurat dapat ditemukan dari catatan ilmuwan Yunani yakni Archimedes pada tahun 250 SM. Perhitungan keliling lingkaran yang dilakukan oleh Archimedes sebagai bentuk pendekatan (approximate) lingkaran sebagai suatu polygon, yakni bentuk segi-banyak sama sisi.

13 Nilai π menurut Archimides Defnisi π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode pendekatan yang lebih akurat dapat ditemukan dari catatan ilmuwan Yunani yakni Archimedes pada tahun 250 SM. Perhitungan keliling lingkaran yang dilakukan oleh Archimedes sebagai bentuk pendekatan (approximate) lingkaran sebagai suatu polygon, yakni bentuk segi-banyak sama sisi. Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkan panjang sisi polygon segi-96 sama sisi yang digunakan sebagai perimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehingga dihasilkan nilai batas bawah dan batas atas < π < 22 7

14 Nilai π menurut Archimides Defnisi π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode pendekatan yang lebih akurat dapat ditemukan dari catatan ilmuwan Yunani yakni Archimedes pada tahun 250 SM. Perhitungan keliling lingkaran yang dilakukan oleh Archimedes sebagai bentuk pendekatan (approximate) lingkaran sebagai suatu polygon, yakni bentuk segi-banyak sama sisi. Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkan panjang sisi polygon segi-96 sama sisi yang digunakan sebagai perimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehingga dihasilkan nilai batas bawah dan batas atas < π < 22 7 Pendekatan nilai π = 22 7 yang sempat dikenal sebagai konstanta Archimedes masih digunakan hingga sekarang

15 ilustrasi nilai π Archimides Arcimides bereksplorasi pada bidang polygon segi-96. Menurut Aechimides, semakin banyak segi yang dibuat dan mendekati bentuk lingkaran utuh, maka nilai π akan semakin akurat.

16 ilustrasi nilai π Archimides Arcimides bereksplorasi pada bidang polygon segi-96. Menurut Aechimides, semakin banyak segi yang dibuat dan mendekati bentuk lingkaran utuh, maka nilai π akan semakin akurat. Figure: Nilai π dapat diperkirakan dengan menghitung keliling poligon dalam dan luar lingkaran

17 Penentuan nilai π dengan Poligon Selain Archimides, banyak ilmuwan pada tahun Masehi yang meneliti nilai pendekatan yang lebih akurat dari nilai π, diantaranya :

18 Penentuan nilai π dengan Poligon Selain Archimides, banyak ilmuwan pada tahun Masehi yang meneliti nilai pendekatan yang lebih akurat dari nilai π, diantaranya : Astronom Persia Jamshid al kashi menghasilkan 16 digit nilai π pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3x2 228

19 Penentuan nilai π dengan Poligon Selain Archimides, banyak ilmuwan pada tahun Masehi yang meneliti nilai pendekatan yang lebih akurat dari nilai π, diantaranya : Astronom Persia Jamshid al kashi menghasilkan 16 digit nilai π pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3x2 228 Matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3x2 17

20 Penentuan nilai π dengan Poligon Selain Archimides, banyak ilmuwan pada tahun Masehi yang meneliti nilai pendekatan yang lebih akurat dari nilai π, diantaranya : Astronom Persia Jamshid al kashi menghasilkan 16 digit nilai π pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3x2 228 Matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3x2 17 Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630 adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.

21 Penentuan nilai π Pada Abad ke 16 dan 17 dengan Deret Beberapa Ilmuwan pada abad ke 16 dan 17 merumuskan beberapa deret sebagai usaha untuk memperoleh hampiran π yang lebih akurat, diantaranya

22 Penentuan nilai π Pada Abad ke 16 dan 17 dengan Deret Beberapa Ilmuwan pada abad ke 16 dan 17 merumuskan beberapa deret sebagai usaha untuk memperoleh hampiran π yang lebih akurat, diantaranya matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1593 merumuskan suatu perkalian tak hingga π =

23 Penentuan nilai π Pada Abad ke 16 dan 17 dengan Deret Beberapa Ilmuwan pada abad ke 16 dan 17 merumuskan beberapa deret sebagai usaha untuk memperoleh hampiran π yang lebih akurat, diantaranya matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1593 merumuskan suatu perkalian tak hingga π = Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghampiri bilanganπ π 4 = 4 arctan 1 5 arctan 1 239

24 lanjutan Gregory-Leibniz merumuskan Deret tak terhingga untuk menaksi nilai π yakni π =

25 lanjutan Gregory-Leibniz merumuskan Deret tak terhingga untuk menaksi nilai π yakni π = Nilakantha pada abad ke 15 memperkenalkan sebuah deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghampiri niai i π π = (2) (3) (4) 4 (4) (5) (6) + 4 (6) (7) (8) +

26 Nilai π dengan Komputer dan Algoritma Kreatif Setelah Era pendekatan nilai π dengan Poligon seperti yang dilakukan Archimides dan Francois Viete pada tahun Masehi, pada awal abad ke 20, Banyak ilmuwan menggunakan komputer untuk mendapatkan hampiran dari π diantaranya:

27 Nilai π dengan Komputer dan Algoritma Kreatif Setelah Era pendekatan nilai π dengan Poligon seperti yang dilakukan Archimides dan Francois Viete pada tahun Masehi, pada awal abad ke 20, Banyak ilmuwan menggunakan komputer untuk mendapatkan hampiran dari π diantaranya: Pada tahun 1999, Yasumasa Kanada dan timnya di University of Tokyo memperoleh pendekatan π lebih dari 200 miliar angka desimal menggunakan super komputer HITACHI SR8000/MPP

28 Nilai π dengan Komputer dan Algoritma Kreatif Setelah Era pendekatan nilai π dengan Poligon seperti yang dilakukan Archimides dan Francois Viete pada tahun Masehi, pada awal abad ke 20, Banyak ilmuwan menggunakan komputer untuk mendapatkan hampiran dari π diantaranya: Pada tahun 1999, Yasumasa Kanada dan timnya di University of Tokyo memperoleh pendekatan π lebih dari 200 miliar angka desimal menggunakan super komputer HITACHI SR8000/MPP Pada Agustus 2009, Daisuke Takahashi menggunakan super komputer T2K Open dan memperoleh pendekatan nilai π dalam angka desimal

29 lanjutan Selain itu banyak ilmuwan lain berhasil merumuskan algoritma deret kreatif untuk memperoleh pendekatan π, diantaranya:

30 lanjutan Selain itu banyak ilmuwan lain berhasil merumuskan algoritma deret kreatif untuk memperoleh pendekatan π, diantaranya: (3).Pada akhir tahun 1800 dan awal 1900, matematikawan India Srinivasa Ramanujan deret untuk yang didasarkan pada persamaan modular nila yakni 1 π = k=0 (4k)! ( k) k! 4 ( 396 4k)

31 lanjutan Selain itu banyak ilmuwan lain berhasil merumuskan algoritma deret kreatif untuk memperoleh pendekatan π, diantaranya: (3).Pada akhir tahun 1800 dan awal 1900, matematikawan India Srinivasa Ramanujan deret untuk yang didasarkan pada persamaan modular nila yakni 1 π = k=0 (4k)! ( k) k! 4 ( 396 4k) Algoritma ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe yang berbunyi π = i=1 ( i 8i i i ) 8i + 6

32 Referensi nilai pi rumus luas dan keliling lingkaran pi