SEJARAH BEBERAPA TOPIK ARITMETIKA
|
|
- Harjanti Lesmana
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SEJARAH BEBERAPA TOPIK ARITMETIKA Sumardyono, M.Pd. Angka Hindu-Arab Angka yang kita gunakan sekarang ini ada yang menyebut sebagai Angka Arab, Angka Hindu-Arab, atau Angka Hindu. Apa yang disebut Hindu dalam banyak literatur menunjuk pada makna India, suatu wilayah peradaban yang maju sejak zaman dulu. Secara kronologisnya walau dalam bentuk yang berbeda, angka yang kita gunakan sekarang ini berasal mula dari India, lalu mengalami perubahan di wilayah Arab, baru kemudian diterima di Eropa dan di seluruh dunia. Masa peralihan tersebut tidaklah sederhana. Mungkin mula-mula angka itu berasal dari angka Gvalior, lalu secara berangsur-angsur mengalami perubahan bentuk hingga di tangan beberapa matematikawan, semisal Aryabhata I (476-k.550) dan Brahmagupta (k.598- k.670). Catatan Arab yang pertama menjelaskan tentang angka Hindu tersebut adalah Algoritmi de numero Indorum, terjemahan Latin dari karya al-khwarizmi (k.780-k.850). Dari nama al-khwarizmi pada buku itu, muncul istilah algoritma. Beberapa sejarawan mengatakan bahwa penggunaan pertama bilangan nol sebagai nilai tempat dalam sistem basis desimal (seperti sistem yang kita gunakan sekarang) berasal dari al-khwarizmi dalam bukunya tersebut. Oleh matematikawan Eropa, cara penulisan bilangan Hindu-Arab tersebut kemudian dikenal dengan sebutan algorism (nama ini pula yang menjadi cikal bakal kata algoritma). Buku asli tertua yang masih ada yang membahas tentang angka dan bilangan India tersebut adalah Kitab al-fusul fi al-hisab al-hindi, karya Abu al-hasan al-uqlidisi (k.952). Angka India ini mengalami perubahan bentuk dan terpecah menjadi dua bentuk. Yang pertama berkembang di bagian timur daerah Islam saat itu. Bentuk ini akhirnya menjadi angka yang dipakai orang Arab sekarang ini. Sementara yang berkembang di bagian barat (termasuk Spanyol, dulunya daerah kekhalifahan Abbasiyah), menjadi angka Hindu- Arab yang sekarang kita gunakan. Sebagai gambaran, di bawah ini 2 tipe tersebut dari tulisan al-biruni ( ) tahun 1082 di kawasan timur dan dari tulisan al-banna al- Marrakushi ( ) di kawasan barat.
2 Dari bagian barat kawasan Islam, angka Hindu-Arab beserta sistem desimalnya masuk ke Eropa. Selain karya al-khwarizmi, juga lewat karya Abu Kamil (k.850-k.930) dan Kusyar ibn Labban (k.1000), Eropa mengenal sistem desimal dan angka Hindu-Arab. Tetapi penerimaan ini berjalan lambat. Mungkin teks Latin pertama yang memuat Angka Hindu- Arab adalah Codex Vigilanus yang ditulis oleh seorang rahib tahun 976. Tetapi penerimaan luas Angka Hindu-Arab terjadi setelah Fibonacci (k ) menulis cara pemakaiannya dalam buku Liber Abaci tahun 1202, lebih-lebih lagi setelah penemuan mesin cetak (sekitar 1500-an). Bilangan Pecahan Menurut catatan sejarah, perkembangan bilangan pecahan tertua mungkin dimulai di Mesir Kuno. Bangsa Mesir Kuno mengenal pecahan berupa pecahan satuan (unit fraction), yaitu pecahan dengan pembilang satu. Pengecualian dengan 2 / 3 mereka memiliki lambang tersendiri. Sementara bangsa Babilonia lewat batu bertulis atau loh telah menunjukkan penggunaan bilangan pecahan hingga pada penarikan akar. Penulisan pecahan bangsa Babilonia telah menggunakan nilai tempat. Penggunaan bilangan pecahan di Yunani Kuno telah begitu akrab, bahkan mereka beranggapan semua ukuran panjang dapat dinyatakan dengan perbandingan bilangan bulat, hanya mereka belum menggunakan pelambangan seperti sekarang ini. Pelambangan dan perhitungan dengan pecahan berkembang dari India. Penulisan pecahan desimal yang mendasari pecahan desimal kita sekarang juga berasal dari India. Brahmagupta yang lahir di Sind (kini Pakistan) dalam Brahmasphutasiddhanta menjelaskan tentang penulisan dan perhitungan bilangan pecahan, hanya belum benar-benar persis seperti yang kita gunakan. Ia dan juga matematikawan India lainnya menyatakan pecahan tanpa garis mendatar yang memisahkan pembilang dan penyebut. Walaupun perhitungan pecahannya sudah berdasarkan nilai tempat (desimal) tetapi belum menggunakan penulisan desimal seperti yang kita pakai. Di Cina dapat kita lihat pada Jiuzhang Suanshu atau sering diterjemahkan The Nine Chapter on The Mathematical Arts (sembilan bab tentang seni matematika) juga telah menggunakan nilai tempat untuk pecahan, bahkan menggunakan ide tentang Kelipatan Persekutuan Terkecil. Penggunaan ide pecahan desimal sendiri diawali pada dinasti Shang (sekitar 1800 hingga 1100 SM).
3 Ada yang menyebutkan bahwa al-qalasadi ( ) yang pertama menulis tanda garis horizontal di antara pembilang dan penyebut. Sementara Jeff Miller menyebut nama al- Hassar (abad ke-12). Sedangkan pemakaian pecahan desimal berikut cara perhitungannya yang signifikan terdapat pada karya dari al-kasyi (k ), Miftah al-hisab (Kunci Perhitungan). Hal ini pertama kali diungkapkan oleh P. Luckey tahun Sebelumnya sering disebut bahwa penemu pecahan desimal adalah Simon Stevin ( ), yang menulis La Disme tahun 1585, padahal Francçis Viéte ( ) sendiri sebelumnya telah menulis tentang pecahan desimal. Sekarang telah banyak diakui bahwa al-kasyi adalah penemu pecahan desimal. Walaupun demikian, dasar-dasarnya telah diperkenalkan sebelumnya terutama di perguruan yang didirikan oleh al-karaji atau al-karkhi (k.953-k.1019 atau 1029), khususnya al- Samawal ( ). Al-Kasyi sendiri belum menggunakan tanda koma untuk pecahan desimal, tetapi menggunakan tanda berupa kata sha (sebuah huruf arab) antara bilangan bulat dan bagian pecahan desimalnya. Bilangan Pi Bilangan yang dilambangkan dengan huruf Yunani π (baca: pi ) merupakan bilangan yang menyatakan perbandingan diameter terhadap keliling lingkaran, dengan kata lain keliling lingkaran panjangnya π kali diameter lingkaran. Asal mula perhitungan dengan bilangan π telah berusia sangat lama. Bangsa Babilonia sekitar 4000 SM secara tak langsung menggunakan nilai 3 1 / 8 untuk π (prasasti Susa). Papirus Ahmes atau Rhind (1650 SM) telah 4 menggunakan nilai 4 3, untuk π. 3 Perhitungan teoritik pertama berasal dari Archimedes ( SM), dengan menggunakan keliling poligon luar dan poligon dalam suatu lingkaran, ia menemukan 10 3 < π < Lalu pada 100 M, Ptolemaeus atau Ptolemy (k ) dengan menghitung busur pada sudut 1 o mendapatkan nilai Chongzhi ( ) berhasil menemukan nilai π, 377 3,1416. Pada 480 M, Tsu Chung Chih atau Zu = 3, Sementara 113 Aryabhata I pada 530 M menggunakan = 3,1416 untuk nilai π. Al-Kasyi tahun M, penemu/perintis bilangan desimal, menemukan nilai π hingga 16 tempat desimal, π = 6, Lalu pada 1596 M, Viéte dengan bantuan rumus setengah sudut mendapatkan bentuk deret: π = Ludolph van Ceulen ( ) pada 1610 dengan cara Archimedes hingga segibanyak 2 62 sisi mendapatkan nilai π hingga 35 tempat desimal yang kemudian dikenal sebagai Bilangan Ludolphian. Tahun 1621 M, Willebord Snell ( ) menemukan nilai π dengan cara yang lebih cepat, yaitu lewat penggunaan trigonometri hingga 35 tempat desimal. John Wallis pada 1650 menggunakan deret bilangan: π = Lalu tahun 1671, James Gregory ( ) menggunakan hubungan trigonometri untuk mendapatkan rumus 71 π = 1 1 / / 5 1 / 7 +. Deret ini sering diatributkan kepada Leibniz, tetapi sebenarnya telah dikenal lebih awal oleh James Gregory. Deret ini belum benar-benar membantu, untuk menghitung
4 hingga 4 tempat desimal π saja dibutuhkan perhitungan hingga suku! Tahun 1706, John Machin ( ) menemukan rumus lain, tetapi tetap kurang membantu. Tahun 1873, Shanks ( ) menghitung hingga 707 desimal, tetapi segera diketahui desimal ke 528 tidak benar, sehingga ia hanya berhasil menghitung 527 desimal. Lalu Comte de Buffon ( ) pada 1760 untuk pertama kali menggunakan metode peluang untuk menentukan nilai π, yaitu lewat P = 2 L (peluang batang sepanjang L menyentuh garis bila dilontar ke bidang yang memuat garis-garis sejajar dengan jarak sejauh a) πa Irasionalitas bilangan π dibuktikan pertama kali oleh Johann Lambert ( ) tahun Lalu pada tahun 1882, giliran Ferdinand von Lindemann ( ) membuktikan bahwa π transendental. Lambang π sendiri pertama kali digunakan oleh William Jones ( ) tahun 1706, dan populer lewat tangan Euler. Euler pulalah yang mengemukakan masalah apakah π irasional dan apakah π aljabar pada tahun Perhitungan dengan komputer dimulai tahun 1949 M oleh ENIAC, komputer generasi awal, di mana dalam tempo 70 jam berhasil menghitung hingga 2037 desimal. Dengan menggunakan superkomputer dan pemilihan rumus yang tepat, kini kita dapat menghitung π secara lebih cepat. Pada bulan Juni 1995, matematikawan Jepang, Yasumasa Kanada menemukan bilangan π teliti hingga tempat desimal. Walaupun secara teoritis kita dapat menghitung dengan desimal hingga berapapun, tetapi patut dicatat bahwa bilangan π hingga 39 tempat desimal saja sudah mencukupi untuk menghitung keliling lingkaran bola dengan jari-jari satu milyar tahun cahaya (jarak beberapa galaksi), dengan ketelitian yang sama untuk ukuran jari-jari atom hidrogen. Logaritma Logaritma ditemukan di awal tahun 1600 oleh John Napier ( ) dan Joost Bürgi ( ), walaupun banyak yang mengatakan Napier adalah perintis yang sebenarnya. Napier sendiri menghabiskan waktu sekitar 20 tahun sebelum menemukan ide logaritma tersebut dengan menerbitkan karyanya, Descriptio (lengkapnya Minifici Logarithmorum Canonis Descriptio) tahun Bürgi di lain pihak, mempublikasikan Progress-Tabulen (lengkapnya Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen) tahun 1620, walaupun penemuannya itu berasal dari tahun Hal ini diketahui melalui sebuah surat dari seorang astronom Reimanus Ursus Dithmarus yang menjelaskan tentang metode Bürgi dalam menyederhanakan perhitungan matematis lewat penggunaan cara yang kini disebut logaritma. Walaupun demikian, pada prinsipnya kedua logaritma yang mereka temukan sama, yang berbeda hanya pendekatannya. Bila Napier lewat pendekatan aljabar, maka Bürgi menggunakan pendekatan geometris. Sebenarnya, sebelum penemuan logaritma, orang telah lebih dulu menggunakan gagasan yang mendasari penelitian ilmu logaritma yaitu prosthaphaeresis, perubahan proses pembagian dan perkalian kepada penambahan dan pengurangan. Orang pertama yang memulai gagasan ini adalah Ibnu Yunus As-Sadafi al-misri ( ) yang sezaman dengan tokoh optik dan geometri, al-haytsam atau al-hazen ( ), karena penemuannya terhadap hukum yang kemudian dikenal sebagai Hukum Ibnu Yunus, yaitu 2.cos x. cos y = cos (x + y) + cos (x y). Aturan serupa juga digunakan oleh Viéte, Werner, Pitiscus, dan Tycho Brahe. Sementara ide pekerjaan Napier dapat dijelaskan secara sederhana. Untuk membuat setiap suku pada deret geometri menjadi sangat dekat, kita tentunya memilih bilangan yang mendekati satu. Napier memilih bilangan (atau 0, ), sehingga tiap suku
5 adalah ( ) L. Kemudian untuk mendapatkan nilai desimal, setiap suku ia kalikan dengan Nah, jika N = 10 7 ( ) L maka L disebutnya sebagai logaritma dari bilangan N. Kata logaritma berasal dari kata logos (perbandingan) dan arithmos (bilangan). Sebelumnya, ia menyebutnya dengan artifisial numbers (bilangan buatan). Perhatikan bahwa logaritma Napier tidaklah sama dengan logaritma yang kita gunakan sekarang. log a + log Sebagai misal, bila logaritma modern menyatakan log ab = log a + log b atau ab = 10 b maka Logaritma Napier menyatakan N 1.N 2 /10 7 = ( ) L1 + L2. Jadi, logaritma dari Napier untuk penjumlahan tidak menyatakan N 1.N 2 melainkan N 1 N 2 /10 7. Logaritma Napier dapat kita dekati menjadi logaritma modern, bila bilangan logaritma dan bilangan N kita bagi dengan Maka akan kita peroleh logaritma modern, tetapi dengan basis mendekati 1 / e. Sedikit berbeda dengan logaritma Napier, Logaritma Bürgi memiliki bentuk N = 10 8 ( ) L, dengan tabel dinyatakan dalam bentuk 10L. Burgi menyebut bilangan L sebagai bilangan merah ( red numbers) dan bilangan N sebagai bilangan hitam ( black numbers). Henry Briggs ( ), seorang profesor geometri di Oxford, mendiskusikan logaritma Napier dan menyarankan metodenya sendiri. Ia melihat, seharusnya log(1) = 1 dan log(10) = 1. Briggs lalu membuat tabel logaritma dengan menggunakan syarat yang ia buat tadi. Sehingga ia dapatkan log(10 1/2 ) = log(3, ) = 0, Briggs lalu mempublikasi tabel logaritma dari 1 hingga 1000 dalam Logarithmorum chilias prima (tahun 1617). Tahun 1624, ia mempublikasikan lagi tabel dengan bilangan hingga dalam Arithmetica logarithmica. Keduanya hingga ketelitian 14 desimal, tetapi tabel pertama mengandung beberapa entri yang tidak tepat. Dari buku tabel kedua itulah, mulai digunakan istilah mantissa dan characteristic. Daftar Pustaka dan Bahan Bacaan Anglin, W. S Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer- Verlag. anonim. September 2003 (diakses). tanpa judul. dalam mathfair2002/ arit/arithm1.htm Boyer, Carl B A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc. Cooke, R The History of Mathematics. A Brief Cource. New York: John Wiley & Sons, Inc. Dali S. Naga Berhitung, Sejarah dan Perkembangannya. Jakarta: Gramedia Eves, Howard An Introduction to The History of Mathematics. New York: Holt, Rinehart, & Winston, Inc. O`Connor, J. J. & Robertson, E. F kumpulan esai dalam & dalam Sabra, Berggren, Iqbal, & Alisjahbana Sumbangan Islam kepada Sains & Peradaban Dunia. Bandung: Penerbit Nuansa Sitorus, J Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah. Bandung: Tarsito.
MA1121 Pengantar Matematika
Catatan Kuliah MA1121 Pengantar Matematika Oleh Hendra Gunawan KK Analisis & Geometri FMIPA-ITB Bandung, Desember 2005 0 PENGANTAR Matakuliah MA1121 Pengantar Matematika I merupakan jembatan antara matematika
Lebih terperinci6 Menguak Misteri Bilangan π
6 Menguak Misteri Bilangan π Penemuan Archimedes tentang bilangan π (yang merupakan rasio keliling dan diamater lingkaran) bukan merupakan akhir dari cerita tentang lingkaran. Sebaliknya, penemuan ini
Lebih terperinciBEBERAPA NASKAH KUNO MATEMATIKA
BEBERAPA NASKAH KUNO MATEMATIKA Sumardyono, M.Pd. Plimpton 322 Bangsa-bangsa yang menetap di Mesopotamia (sekarang daerah Iraq dan sekitarnya) antara lain Sumeria, Assiria, dan Babilonia. Tetapi yang memiliki
Lebih terperinciFILSAFAT SAINS NILAI PI (π)
FILSAFAT SAINS NILAI PI (π) Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 February 28, 2016 Barisan Fibonacci 1.Asal-Usul Bilangan Pi (π) 1 1.Asal-Usul Bilangan Pi (π) 2 3 Bilangan Pi (π) Bilangan Pi atau dilambangkan
Lebih terperinciSEJARAH BEBERAPA TOPIK ALJABAR
SEJARAH BEBERAPA TOPIK ALJABAR Sumardyono, M.Pd. Sistem Persamaan Linier Babilonia diketahui yang pertama mengenal dan menulis tentang sistem persamaan. Tentu saja belum menggunakan simbol-simbol seperti
Lebih terperinciBAHAN BELAJAR: LINGKARAN. Untung Trisna Suwaji. Agus Suharjana
BAHAN BELAJAR: LINGKARAN Untung Trisna Suwaji Agus Suharjana KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PPPPTK) MATEMATIKA YOGYAKARTA 2015
Lebih terperinciArchimedes dan Taksiran Bilangan π
Bersains, Vol. 1, No. 7 (Juli 2015) Archimedes dan Taksiran Bilangan π Hendra Gunawan Beri saya tempat untuk bertumpu, dan saya akan angkat Bumi ini. Demikian ujar Archimedes dari Syracusa (287 212 SM),
Lebih terperinciGara-Gara Hantu Lingkaran. Hendra Gunawan
Gara-Gara Hantu Lingkaran Hendra Gunawan 2014 1 Misteri Lingkaran Mulai Menghantui Menurut catatan sejarah, dari tahun 2600 SM (saat Piramida Besar dibangun) hingga tahun 575 SM (puncak peradaban Babilonia),
Lebih terperinci4 Jasa Besar Euclid. 4 Jasa Besar Euclid 19
4 Jasa Besar Euclid Kota Alexandria (Al-Iskandariya), yang terletak di pantai utara Mesir, dibangun oleh Alexander Agung pada tahun 322 SM, menyaingi kota Athena. Pada tahun 300 SM, Raja Ptolemy I Soter
Lebih terperinci22/7: Aproksimasi Nilai Π. Freedom Institute, 22 Juli 2013
22/7: Aproksimasi Nilai Π Hendra Gunawan Freedom Institute, 22 Juli 2013 Orang Babilonia & Mesir Kuno sebagai Geo meter (Ahli ukur Bumi): Mengukur keliling dan luas tanah? Napak Tilas Perjanjian Lama,
Lebih terperinciSEJARAH PENGGUNAAN SIMBOL KONSTANTA π
SEJARAH PENGGUNAAN SIMBOL KONSTANTA π Sumardyono, M.Pd. Dalam sejarah matematika, perbandingan keliling dan diameter lingkaran diungkapkan dalam berbagai simbol di berbagai belahan dunia. Penggunaan huruf
Lebih terperinciBERGELUT DENGAN HANTU LINGKARAN
BAGIAN I BERGELUT DENGAN HANTU LINGKARAN Bagian I Bergelut dengan Hantu Lingkaran 1 2 Hendra Gunawan Gara-Gara Hantu Lingkaran 1 Misteri Lingkaran Mulai Menghantui Menurut catatan sejarah, dari tahun 2600
Lebih terperinciSUKSES BELAJAR KALKULUS
SUKSES BELAJAR KALKULUS Hendra Gunawan, Ph.D. Bandung, 14 Maret 2007 BELAJAR =? proses menumbuhkembangkan pengetahuan dan/atau keterampilan, dengan/melalui pengalaman, pengamatan, mencoba melakukan, praktek/latihan,
Lebih terperinciHome Page. Title Page. Contents. Page 1 of 25. Go Back. Full Screen. Close. Quit
1 Page 1 of 25 Himpunan Bilangan dan Fungsi Page 1 of 25 October 5, 2011 CONTENTS 1 Himpunan Bilangan 3 1.1 Himpunan Bilangan Asli.................................. 3 1.2 Himpuan Bilangan Cacah.................................
Lebih terperinciArief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs
Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs ariefikhwanwicaksono@gmail.com masawik.blogspot.com @awik1212 Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika
Lebih terperinciSEJARAH MATEMATIKA HINDIA
SEJARAH MATEMATIKA HINDIA A. Sejarah Matematika India Sejarah matematika India yang digunakan untuk memulai dengan menggambarkan geometri yang terkandung dalam Sulbasutras tetapi penelitian ke dalam sejarah
Lebih terperinciPendahuluan. PENGERTIAN ALJABAR DAN SEJARAHNYA Oleh: Hendra Kartika Update: 01 November 2016
PENGERTIAN ALJABAR DAN SEJARAHNYA Oleh: Hendra Kartika Update: 01 November 2016 1.1. Pengertian Aljabar dan Sejarahnya Muhammad bin Musa al-khawarizmi biasa disebut Al-Khawaritzmi adalah seorang ahli matematika,
Lebih terperinciBILANGAN. Bilangan Satu Bilangan Prima Bilangan Komposit. Bilangan Asli
BILANGAN A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan,
Lebih terperinciBASIS 60 PADA JAM. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan. Oleh : Ade Dani Kurnia Suhada
BASIS 60 PADA JAM Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan Oleh : Ade Dani Kurnia Suhada 142151102 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Lebih terperinciKOMPETENSI. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut.
TRIGONOMETRI KOMPETENSI SK Menerapkan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah KD Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut. Mengkonversi koordinat
Lebih terperinciBILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT
BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya
Lebih terperinci2 Pythagoras Membuka Jalan 7
2 Pythagoras Membuka Jalan Siapa yang tidak pernah mendengar nama Pythagoras? Di sekolah dasar, nama Pythagoras biasanya disebut dalam pelajaran matematika di tahun kelima atau keenam, ketika guru membahas
Lebih terperinciKuliah Umum: LINGKARAN DAN SEGI TAK TERHINGGA
Kuliah Umum: LINGKARAN DAN SEGI TAK TERHINGGA Hendra Gunawan Campus Center ITB, 18 April 2015 Yang Mana Lingkaran, dan Yang Mana Segi Tak Terhingga? 0 1 8 ¼ ½ 1 2 metro.co.uk 3 LINGKARAN Sejak 2500 tahun
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinciMATEMATIKA ITU INDAH DAN MENARIK (Sekilas tentang Pola Bilangan) Oleh Endang Cahya MA
MATEMATIKA ITU INDAH DAN MENARIK (Sekilas tentang Pola Bilangan) Oleh Endang Cahya MA Pendahuluan Tidak diragukan lagi bahwa banyak kegunaan praktis matematika dalam kehidupan sehari-hari yang sangat membantu
Lebih terperinciMATEMATIKA. Hendra Gunawan
MENULIS SKRIPSI MATEMATIKA Hendra Gunawan 26 Maret 2011 MATEMATIKA BUKAN BARU LAHIR KEMARIN 2 ±4000 tahun y.l. bangsa Babilonia telah menggunakan geometri sebagai basis perhitungan astronomis. Bangsa Mesir
Lebih terperinciBAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit
BAB I BILANGAN Skema Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif Bilangan Asli
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Matematika menurut catatan sejarah, telah lahir sejak jaman Mesir kuno,
1 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Matematika menurut catatan sejarah, telah lahir sejak jaman Mesir kuno, kira kira lima ribu tahun yang lalu. Bangsa Yunani kuno-lah yang mengembangkan matematika
Lebih terperinciBAB II MACAM-MACAM FUNGSI
BAB II MACAM-MACAM FUNGSI (Pertemuan ke 3) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial,
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 0 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI MALANG) PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP A. ISIAN SINGKAT SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 0 BIDANG STUDI
Lebih terperinciSUKSES BELAJAR KALKULUS
SUKSES BELAJAR KALKULUS Hendra Gunawan, Ph.D. 31 Agustus & 7 September 2007 BELAJAR =? proses menumbuhkembangkan pengetahuan dan/atau keterampilan, dengan/melalui pengalaman, pengamatan, mencoba melakukan,
Lebih terperincipangkatnya dari bilangan 10 yang dipangkatkan ( 1
Desimal A. Pendahuluan Desimal dapat digunakan untuk menyatakan bilangan yang sangat besarataupun bilangan yang sangat kecil, yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan bulat ataupun rasional. Misalnya
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORITIS DAN HIPOTESIS TINDAKAN. pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk
7 BAB II KAJIAN TEORITIS DAN HIPOTESIS TINDAKAN 1.1. Kajian Teoritis 2.1.1 Hakikat Bilangan Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang
Lebih terperinciKarya Monumental umat Islam dalam IPTEKS. AIK IV - Pertemuan II Lusiana Ulfa H, S.Ei, M.Si
Karya Monumental umat Islam dalam IPTEKS AIK IV - Pertemuan II Lusiana Ulfa H, S.Ei, M.Si ... Universitas tertua di dunia adalah Universitas Karaouin, didirikan seorang muslimah di Fez, Maroko pada 859
Lebih terperinci2 Pythagoras Membuka Jalan 7
2 Pythagoras Membuka Jalan Siapa yang tidak pernah mendengar nama Pythagoras? Di sekolah dasar, nama Pythagoras biasanya disebut dalam pelajaran matematika di tahun kelima atau keenam, ketika guru membahas
Lebih terperinciMateri Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR
Materi Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR Caturiyati M.Si. Jurdik Matematika FMIPA NY wcaturiyati@yahoo.com Operasi Dasar (penjumlahan pengurangan perkalian pembagian) Hal-hal yang perlu diperhatikan
Lebih terperinci14. KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SD/MI
14. KOMPETENSI INTI DAN MATEMATIKA SD/MI KELAS: I Tujuan kurikulum mencakup empat kompetensi, yaitu (1) kompetensi sikap spiritual, (2) sikap sosial, (3) pengetahuan, dan (4) keterampilan. Kompetensi tersebut
Lebih terperinciSTUDI SEJARAH DAN PERKEMBANGAN BILANGAN PRIMA
STUDI SEJARAH DAN PERKEMBANGAN BILANGAN PRIMA Jansen - NIM : 13506028 Jurusan Teknik Informatika ITB, Bandung email: if16028@students.if.itb.ac.id Abstract Makalah ini membahas tentang perkembangan salah
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT)
SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT) BAGIAN A : ISIAN SINGKAT 1. Sebuah silinder memiliki tinggi dan volume. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir
Lebih terperinci(a) 32 (b) 36 (c) 40 (d) 44
Halaman:. Jika n = 8, maka n0 n bernilai... (a) kurang dari 00 (b) (d) lebih dari 00. Penumpang suatu pesawat terdiri dari anak-anak dari berbagai negara, 6 orang dari Indonesia yang termasuk dari anak-anak
Lebih terperinciDosen prmbimbing. Bintang Wicaksono M.Pd. BAHAN AJAR DERET BILANGAN. Oleh : Junainah ( ) Siti Zumanah ( )
Dosen prmbimbing. Bintang Wicaksono M.Pd. BAHAN AJAR DERET BILANGAN Oleh : Junainah (13144100156) Siti Zumanah (13144100138) Ayo belajar matematika a DERET BILANGAN SK 6. Memahami barisan dan deret bilangan
Lebih terperinci08. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan
08. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir
Lebih terperinci37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI)
37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting
Lebih terperinciMAKALAH KALKULUS Integral Turunan Limit
MAKALAH KALKULUS Integral Turunan Limit KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmat dan karunianya penulis dapat menyelesaiakan makalah ini tepat waktu
Lebih terperinciPenerapan Turunan Fungsi Dalam Bidang Kimia
Penerapan Turunan Fungsi Dalam Bidang Kimia Kelompok 2 Asmiladita Pridilla Athiya Salma Avira Yunita Besafina Hanan Dicky Syahreza Dwi Bhakti Kusuma PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASINYA DALAM KIMIA A.
Lebih terperinciKISI-KISI UJIAN SEKOLAH
KISI-KISI UJIAN SEKOLAH Matematika SEKOLAH MENENGAH PERTAMA DAERAH KHUSUS IBUKOTA (DKI) JAKARTA TAHUN PELAJARAN 2012-2013 KISI KISI PENULISAN SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2012-2013 Jenjang : SMP
Lebih terperinciIdentitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian.
Glosarium A Akar pangkat dua : akar pangkat dua suatu bilangan adalah mencari bilangan dari bilangan itu, dan jika bilangan pokok itu dipangkatkan dua akan sama dengan bilangan semula; akar kuadrat. Asosiatif
Lebih terperinci41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Luar Biasa Tunalaras (SDLB-E)
41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Luar Biasa Tunalaras (SDLB-E) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting
Lebih terperinciKTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) Mapel Matematika kls VII s/d IX. 1-2
KTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, PERANGKAT PEMBELAJARAN STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas/Semester : Matematika. : SMP/MTs. : VII s/d IX /1-2 Nama Guru
Lebih terperincia b c d e nol di belakang pada representasi desimalnya adalah... a b c d e. 40.
Soal Babak Penyisihan OMITS 0 Soal Pilihan Ganda. Banyaknya pasangan bilangan bulat non negatif O, M, I, T, S yang memenuhi : O + M + I + T + S = Dimana O, M 4, I 5, T 6, dan S 7, adalah... a. 80 b. 80
Lebih terperinciBAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi
Lebih terperinci41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs)
41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
Lebih terperinciBab. Bilangan Riil. A. Macam-Macam Bilangan B. Operasi Hitung pada. Bilangan Riil. C. Operasi Hitung pada Bilangan Pecahan D.
Bab I Sumber: upload.wikimedia.org Bilangan Riil Anda telah mempelajari konsep bilangan bulat di Kelas VII. Pada bab ini akan dibahas konsep bilangan riil yang merupakan pengembangan dari bilangan bulat.
Lebih terperinciKUMPULAN SOAL-SOAL OMITS
KUMPULAN SOAL-SOAL OMITS SOAL Babak Penyisihan Olimpiade Matematika ITS 2011 (OMITS 11) Tingkst SMP Se-derajat BAGIAN I.PILIHAN GANDA 1. Berapa banyak faktor positif/pembagi dari 2011? A. 1 B. 2 C. 3 D.
Lebih terperinciPROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR KAMPUS CIBIRU UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA SILABUS
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR KAMPUS CIBIRU UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA SILABUS Nama Mata Kuliah : Pendidikan Matematika II Kode Mata Kuliah : GD302 Bobot SKS : 3 (Tiga) Tingkat/ Semester
Lebih terperinciPEMBELAJARAN SEGIBANYAK BERATURAN DI SMP. Sumardyono, M.Pd.
PEMBELAJARAN SEGIBANYAK BERATURAN DI SMP Sumardyono, M.Pd. email: smrdyn2007@gmail.com Konsep segi-n beraturan dengan n suatu bilangan asli lebih dari empat tidak mendapat tempat khusus (secara eksplisit)
Lebih terperinci37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI)
37. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar (SD)/Madrasah Ibtidaiyah (MI) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting
Lebih terperinciJURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No., (203) -6 Kajian Ukuran Keirasionalan pada Bilangan Real Taurusita Kartika Imayanti dan Sunarsini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinci5 Archimedes Bergelut dengan Lingkaran
5 Archimedes Bergelut dengan Lingkaran Beri saya tempat untuk bertumpu, maka saya bisa mengangkat Bumi. Demikian ujar Archimedes dari Syracusa (287 212 SM), salah seorang jebolan sekolah yang diasuh oleh
Lebih terperinciGOOGOL DAN GOOGOLPLEX
GOOGOL DAN GOOGOLPLEX Sumardyono, M.Pd. Pengertian Terkadang untuk suatu kepentingan, kita perlu memberi nama untuk suatu bilangan tertentu. Contohnya bilangan hasil bagi keliling sebarang lingkaran dengan
Lebih terperinciPROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR KAMPUS CIBIRU UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA SILABUS
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR KAMPUS CIBIRU UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA SILABUS Nama Mata Kuliah : Pendidikan Matematika II Kode Mata Kuliah : GD302 Bobot SKS : 3 (Tiga) Tingkat/ Semester
Lebih terperinciSILABUS. 5. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana
Sekolah : SILABUS Kelas Mata Pelajaran Semester : IX : Matematika : II(dua) Standar Kompetensi : BILANGAN 5. Memahami sifat-sifat berpangkat dan bentuk serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan bagian dari warisan budaya. 1. budaya, matematika hadir sebagai solusi di tengah-tengah permasalahan
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan bagian dari warisan budaya. 1 Sebagai warisan budaya, matematika hadir sebagai solusi di tengah-tengah permasalahan kehidupan sosial masyarakat.
Lebih terperinci42. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunanetra (SMPLB A)
42. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunanetra (SMPLB A) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
Lebih terperinciI. KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SMPLB TUNARUNGU
- 591 - I. KOMPETENSI INTI DAN MATEMATIKA SMPLB TUNARUNGU KELAS: VII Tujuan kurikulum mencakup empat kompetensi, yaitu (1) sikap spiritual, (2) sikap sosial, (3) pengetahuan, dan (4) keterampilan. Kompetensi
Lebih terperinciGeometri di Bidang Euclid
Modul 1 Geometri di Bidang Euclid Dr. Wono Setya Budhi G PENDAHULUAN eometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama, mulai dari ribuan tahun yang lalu. Berpikir secara geometris dari satu bentuk ke
Lebih terperinciPiramida Besar Khufu
Sumber: Mesir Kuno Piramida Besar Khufu Peradaban bangsa Mesir telah menghasilkan satu peninggalan bersejarah yang diakui dunia sebagai salah satu dari tujuh keajaiban dunia, yaitu piramida. Konstruksi
Lebih terperinciSaat menemui penjumlahan langsung pikirkan hasilnya dengan cepat lalu lakukan penjumlahan untuk setiap jawaban yang diperoleh.
TRIK PENJUMLAHAN DENGAN BERPIKIR LANGSUNG HASILNYA Penjumlahan merupakan salah satu dari proses berpikir dan menghapal. Keahlian menjumlahkan secara cepat tidak bisa didapat begitu saja melainkan harus
Lebih terperinciPembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012 Jenjang SMP Bidang Matematika
Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 202 Jenjang SMP Bidang Matematika Bagian A : Soal Isian Singkat. Sebuah silinder memiliki tinggi 5 cm dan volume 20 cm 2. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin
Lebih terperinciHUMOR TENTANG PI. Sumardyono, M.Pd.
HUMOR TENTANG PI Sumardyono, M.Pd. PENDAHULUAN Siapa yang tidak mengenal π? Bahkan walaupun-seperti yang penulis temukan di dalam kediklatan-banyak yang tidak dapat menulis huruf π dalam Bahasa Indonesia.
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinciSD kelas 4 - MATEMATIKA PECAHAN (K13 REVISI 2016)UJI KOMPETENSI PECAHAN (K13 REVISI 2016)
1. Perhatikan gambar berikut! SD kelas 4 - MATEMATIKA PECAHAN (K13 REVISI 2016)UJI KOMPETENSI PECAHAN (K13 REVISI 2016) Berdasarkan gambar berikut, nilai pecahan yang dapat menunjukkan bagian yang diarsir
Lebih terperinciabcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000
Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat.
Lebih terperinciBILANGAN-BILANGAN YANG MENAKUTKAN
BILANGAN-BILANGAN YANG MENAKUTKAN Sumardyono, M.Pd. Teori bilangan merupakan salah satu cabang matematika yang paling mengasyikkan. Mengapa tidak? Kebanyakan teka-teki atau permainan banyak terkait dengan
Lebih terperinci41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs)
41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
Lebih terperinciKUMPULAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA BAGIAN PERTAMA
KUMPULAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA BAGIAN PERTAMA KUMPULAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Bagian Pertama Disusun Oleh Raja Octovin P. D APRIL 2008 SMA NEGERI 1 PEKANBARU Jl. Sulthan Syarif Qasim 159 Pekanbaru
Lebih terperinciSieve of Eratosthenes, Algoritma Bilangan Prima
Sieve of Eratosthenes, Bilangan Prima M. R. Al-ghazali NIM. 13509068 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan aspek yang unik dari hasil pemikiran manusia 1. Matematika memainkan peran penting terhadap sejarah peradaban manusia pada masa lalu, sehingga dapat
Lebih terperinciPROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I. Mata Pelajaran : Matematika
PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I Mata Pelajaran : Matematika 191 PROGRAM SEMESTER TAHUN PELAJARAN 20 / 20 Nama Sekolah : Kelas/ Semester : VII/1 Mata Pelajaran : Matematika Aspek : BILANGAN Standar
Lebih terperinciSEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK BADAN PUSAT STATISTIK SOAL UJIAN MASUK PROGRAM D-IV TAHUN AKADEMIK 2011/2012 MINGGU, 5 JUNI 2011 MATEMATIKA 90 MENIT
SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK BADAN PUSAT STATISTIK SOAL UJIAN MASUK PROGRAM D-IV TAHUN AKADEMIK 2011/2012 MINGGU, 5 JUNI 2011 MATEMATIKA 90 MENIT Petunjuk Di bawah setiap soal dicantumkan 5 kemungkinan
Lebih terperinci43. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunarungu (SMPLB B)
43. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa Tunarungu (SMPLB B) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
Lebih terperinciPROGRAM TAHUNAN. Sekolah : MTs... Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Semester : VII / 1 dan 2 Tahun pelajaran : Target Nilai Portah : 55
PROGRAM TAHUNAN Sekolah : MTs.... Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Semester : VII / 1 dan 2 Tahun pelajaran : Target Nilai Portah : 55 Standar Sem Kompetensi 1 BILANGAN 1. Memahami sifat-sifat operasi
Lebih terperinciSELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2013 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan
Lebih terperinci2. Untuk interval 0 < x < 360, nilai x yang nantinya akan memenuhi persamaan trigonometri cos x 2 sin x = 2 3 cos adalah
Soal Babak Semifinal OMITS 007. Hubungan antara a dan b agar fungsi f x = a sin x + b cos x mempunyai nilai stasioner di x = π adalah a. a = b b. a = b d. a = b e. a = b a = b. Untuk interval 0 < x < 60,
Lebih terperinciSILABUS ALOKASI WAKTU T M P S P I SUMBER BELAJAR MATERI PEMBELAJARAN KOMPETENSI DASAR INDIKATOR. Kuis Tes lisan Tes tertulis Pengamatan Penugasan
SILABUS KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil KODE : D.1 : 57 x 45 menit 1. Menerapkan operasi pada bilangan riil Dua atau lebih bilangan bulat
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS Sesi 1 ini akan membahas manfaat dari mempelajari Matematika Bisnis dalam kehidupan sehari-hari terutama dalam perekonomian
Modul ke: MATEMATIKA BISNIS Sesi 1 ini akan membahas manfaat dari mempelajari Matematika Bisnis dalam kehidupan sehari-hari terutama dalam perekonomian Fakultas EKONOMI BISNIS Sri Purwaningsih,SE.,M.Ak
Lebih terperinciPENURUNAN METODE NICKALLS DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN KUBIK
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. Hal. 40 47 ISSN : 2303 290 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENURUNAN METODE NICKALLS DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN KUBIK MISNAWATI Program Studi Matematika,
Lebih terperinciUji Komptensi. 2. Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 200 yang habis dibagi 5
Uji Komptensi Barisan dan Deret "Aljabar Linear Elementer". Diketahui barisan 84,80,77,... Suku ke-n akan menjadi 0 bila n =... Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 00 dan 00 yang habis
Lebih terperinciMATEMATIKA EBTANAS TAHUN 1993
MATEMATIKA EBTANAS TAHUN 99 EBT-SMP-9-0 Ditentukan A = {v, o, k, a, l} ; B = {a, i, u, e, o} Diagram yang menyatakan hal tersebut di atas A. B. v o u v o i a k u k l I l a e v o u v o u a k a k l e l i
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciPROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA
PERANGKAT PEMBELAJARAN PROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA Kelas VII SEMESTER 1 & 2 MTs.... PROGRAM TAHUNAN Sekolah : MTs.... Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Semester : VII / 1 dan 2 Tahun
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Kompresi Data Kompresi data adalah proses mengubah sebuah aliran data input menjadi aliran data baru yang memiliki ukuran lebih kecil. Aliran yang dimaksud adalah berupa file
Lebih terperinciSEJARAH MATEMATIKA Perkembangan Matematika Mesir
E-Learning SEJARAH MATEMATIKA Perkembangan Matematika Mesir Oleh Nanang Khuzaini, S.Pd.Si PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU KEPENDIDIKAN UNIVERSITAS MERCU BUANA YOGYAKARTA
Lebih terperinci02. Jika. 0, maka nilai x + y =... 3 = A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 E. 21. ; a dan b bilangan bulat, maka a + b =... A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 E.
PILIHLAH JAWABAN YANG PALING TEPAT 0. Diketahui : Premis : Jika laut berombak besar, maka nelayan tidak berlayar Premis : Jika nelayan tidak berlayar, maka tidak ada ikan di pasar. Negasi dari kesimpulan
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
Lebih terperinciSOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 2008/2009
SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 2008/2009 1. Hasil dari ( 18 + 30): ( 3 1) adalah. A. -12 B. -3 C. 3 D.12 BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN ( 18 + 30): ( 3 1) = 12
Lebih terperinciKISI KISI UJIAN SEKOLAH TULIS
KISI KISI UJIAN SEKOLAH TULIS Mata Pelajaran : Matematika Bentuk Soal : PGB Satuan Pendidikan : SMP Jumlah Soal : 40 Tahun Pelajaran : 2015/2016 Penyusun : Tatik Triagustinah Waktu : 120 menit Penelaah
Lebih terperinciPRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA CIREBON
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 Matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathema yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Matematika dalam bahasa
Lebih terperinci1. BARISAN ARITMATIKA
MATEMATIKA DASAR ARITMATIKA BARISAN ARITMATIKA 1. BARISAN ARITMATIKA Sering disebut barisan hitung, adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi
Lebih terperinci