Pasangan sudut siku-siku yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan adalah sama.

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Pasangan sudut siku-siku yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan adalah sama."

Transkripsi

1 SEJARAH MATEMATIKA YUNANI A. Sejarah Matematika Yunani Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota sepanjang Mediterania bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka dibersatukan oleh budaya dan bahasa yang sama. Semua naskah matematika pra-yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untuk membuktikannya. Seperti halnya di Mesir dan Mesopotamia, bangsa Yunani pun mengembangkan system numerasinya sendiri. System numerasi yang digunakan bangsa Yunani ada dua macam, yaitu attic dan ionia. System numerasi attic dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangka dengan lambang tongkat (misalnya dua dengan II). Untuk system numerasi ionia, yang digunakan setelah system numerasi attic, dipakai di Yunani pada awal abad ke 8 SM. System ini menggunakan alphabet Yunani sebagai lambang bilangan. Seperti 1 dengan α (alpha), dua dengan β (beta), tiga dengan γ (gamma), empat dengan δ (delta) dan lima dengan ε (epsilon). Matematika Yunani baru mulai berkembang pada abad keenam sebelum masehi yang dipelopori oleh Thales dan Phytagoras. 1. THALES (± SM) Thales dilahirkan di Militus. Dimasa mudanya Thales aalah seorang pedagang yang membawanya pergi jauh dari negerinya. Dalam kunjungannya ke negeri-negeri yang lain, Thales berkesempatan menambah pengetahuannya dalam bidang matematika, alam dan astronomi. Thales mengemukakan lima teorema tentang geometri, yang mungkin diperolehnya dari hasil perjalanannya. Teorema tersebut adalah: Suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameternya. Sudut-sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama. Pasangan sudut siku-siku yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan adalah sama. Dua segitiga adalah sama dan sebangun apabila dua sudut dan satu sisinya sama.

2 Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah siku-siku. Dalam bidang astronomi, Thales dikagumi karena Thales sudah dapat memprediksi gerakan ellips matahari dalam peredarannya dalam satu tahun. 2. PHYTAGORAS Sama halnya dengan Thales, Phytagoras juga pernah belajar di Mesir, Babylonia, dan India. Sekembalinya dia dari perjalanan ke luar negeri, Phytagoras mendirikan sebuah sekolah di Crotona yang memberikan pelajaran falsafah, matematika dan ilmu pengetahuan alam. Motto dari Phytagoras yang terkenal adalah semua adalah bilangan atau bilangan menguasai seluruh alam. Dalam hal ini, bilangan dianggap sebagai sejumlah titik dalam konfigurasi geometri, yang menggambarkan mata rantai antara geometir dan aritmatika. hasil temuan Phytagoras adalah bilangan bersahabat dan bilangan sempurna. Suatu bilangan dikatakan bilangan bersahabat apabila bilangan yang pertama sama dengan jumlah pembagi murni bilangan kedua, dan bilangan kedua sama dengan pembagi murni bilangan pertama. Sedangkan untuk bilangan sempurna apabila jumlah pembagi murni suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri. Jika bangsa Babilonia menulis pada papan tanah liat menggunakan cuneiform. Bangsa Yunani memulai dengan menggunakan gulungan papyrus untuk menulis. Papyrus berasal dari tanaman sejenis rumput yang tumbuh didaerah delta sungai Nil di Mesir yang digunakan untuk menullis sejak 3000SM. Tetapi sekitar tahun 450SM papyrus sudah tidak digunakan lagi oleh bangsa Yunani. Pada bangsa Yunani tidak ada standar nasional Yunani pada awal millennium SM. Karena banyak negara kepulauan yang membanggakan kemerdekan diri mereka sendiri. Hal ini menimbulkan perbedaan kecil pada sistem angka yang berbeda, karena fungsi utama dari sistem angka pada zaman dahulu digunakan untuk transaksi bisnis. Sehingga masyarakat Yunani dulu mempunyai sistem berbeda untuk angka-angka penting dan urutan angka-angka. B. Sistem bilangan Yunani Tidak ada standar tunggal nasional Yunani di SM milenium pertama. karena berbagai pulau negara membanggakan diri kemerdekaan mereka. Ini berarti bahwa mereka masing-masing memiliki mata uang sendiri, berat dan ukuran dll Ini pada gilirannya menyebabkan perbedaan kecil dalam sistem bilangan antara negara-negara yang berbeda karena fungsi utama dari sistem nomor di zaman kuno adalah untuk menangani transaksi bisnis. Sistem nomor pertama Yunani kita kaji adalah sistem acrophonic mereka yang digunakan dalam SM milenium pertama. 'Acrophonic' berarti bahwa

3 simbol untuk angka berasal dari huruf pertama dari nama nomor, sehingga simbol telah datang dari abreviation dari kata yang digunakan untuk nomor. Berikut adalah simbol untuk, nomor 5 10, 100, 1000, Acrophonic 5, 10, 100, 1000, Kami telah menghilangkan simbol untuk 'satu', sederhana ' ', yang merupakan notasi yang jelas bukan berasal dari huruf awal dari sebuah nomor. Untuk 5, 10, 100, 1000, hanya akan ada satu teka-teki bagi pembaca dan itu adalah simbol untuk 5 yang seharusnya oleh P apakah itu huruf pertama dari Pente. Namun ini hanyalah sebuah konsekuensi dari perubahan alfabet Yunani setelah angka yang berasal dari surat-surat ini telah diperbaiki. Pada saat itu simbol yang mungkin tidak dianggap sebagai berasal dari surat-surat sehingga tidak ada gerakan untuk mengubah mereka dengan perubahan simbol untuk huruf. Bentuk asli π adalah G dan sebagainya Pente awalnya Gente. Sekarang sistem ini didasarkan pada prinsip aditif dalam cara yang mirip dengan angka Romawi. Ini berarti bahwa hanya 8 V, simbol untuk lima diikuti oleh tiga simbol untuk satu. Berikut ini adalah 1-10 dalam jumlah acrophonic Yunani dalam jumlah acrophonic Yunani. Jika basis 10 digunakan dengan sistem aditif tanpa simbol perantara maka banyak karakter yang diperlukan untuk mengekspresikan nomor-nomor tertentu. Nomor 9999 akan membutuhkan 36 simbol dalam sistem tersebut dan ini sangat rumit. Kita sudah melihat bahwa angka acrophonic Yunani memiliki simbol khusus untuk 5. Hal ini tidak mengherankan untuk itu menebang karakter yang dibutuhkan dan juga mungkin timbul dari mengandalkan jari. Kami memiliki 10 jari tapi ada 5 di tangan masingmasing. Apa yang sedikit lebih mengejutkan adalah bahwa sistem memiliki simbol perantara untuk 50, 500, 5000, dan tapi mereka tidak karakter baru, melainkan mereka adalah simbol komposit yang terbuat dari

4 5 dan simbol untuk 10,, , masing-masing. Berikut adalah bagaimana komposit terbentuk. Menggabungkan angka acrophonic. Perhatikan bahwa karena tidak ada aspek posisi dari sistem, tidak ada kebutuhan untuk nol sebagai tempat dudukan kosong. The H simbol mewakili 100 sebagai tidak ada masalah yang dibuat dalam representasi dengan jumlah yang tidak memiliki puluhan atau unit. Berbagai bentuk 50 di negara Yunani yang berbeda. Unit-unit yang berbeda dari mata uang yang dilambangkan dengan memodifikasi notasi untuk unit di nomor drachma akan ditulis dengan cara ini: Bentuk unit akan menunjukkan drachma bakat akan ditulis sebagai: Unit sekarang akan muncul sebagai T (T untuk bakat). Sejumlah uang yang melibatkan baik drachma dan obols akan ditulis sebagai: 3807 drachma dan 3 obols: Sistem acrophonic digunakan untuk lebih dari uang. Sebuah sistem yang sangat serupa juga digunakan dalam berurusan dengan bobot dan ukuran yang tidak mengejutkan karena nilai uang tentu akan berevolusi dari sistem bobot. Hal ini diperkuat oleh fakta bahwa dirham itu juga nama dari unit berat. Sistem angka kedua Yunani kuno, angka abjad, atau seperti yang kadangkadang disebut, 'belajar' sistem. Seperti nama 'abjad' menunjukkan angka didasarkan pada memberikan nilai ke huruf abjad. Perlu dicatat bahwa orang-orang Yunani adalah salah satu yang pertama untuk mengadopsi

5 sistem penulisan berdasarkan alfabet. Mereka bukan penemu dari bentuk tulisan, untuk Fenisia memiliki sistem seperti di tempat pertama. Alfabet Yunani yang digunakan untuk menulis kata-kata itu diambil alih dari sistem Fenisia dan cukup dekat dengan itu. Ada 24 huruf dalam alfabet Yunani klasik dan ini digunakan bersama-sama dengan 3 huruf yang lebih tua yang telah jatuh dari penggunaan. Ini 27 huruf Simbol untuk 1, 2, abjad 1-9. Perhatikan bahwa 6 diwakili oleh simbol untuk digamma surat usang. Sembilan berikutnya huruf diambil sebagai simbol untuk 10, 20,..., 90. abjad Perhatikan bahwa 90 diwakili oleh simbol untuk Koppa surat usang. Kesembilan sisa surat diambil sebagai simbol untuk 100,, , 900. abjad

6 Perhatikan bahwa 900 diwakili oleh simbol untuk huruf san usang. Kadang-kadang ketika surat-surat ini ditulis untuk mewakili angka, bar diletakkan di atas simbol untuk membedakannya dari surat yang sesuai. Sekarang jumlahnya dibentuk oleh prinsip aditif. Misalnya 11, 12,..., 19 ditulis: abjad Angka yang lebih besar dibangun dalam jenis yang sama dari jalan. Sebagai contoh di sini adalah 269. alfabet 269. Sekarang ini sistem nomor kompak tetapi tanpa modifikasi yang memiliki kelemahan utama tidak memungkinkan angka lebih besar dari 999 untuk diungkapkan. Simbol komposit diciptakan untuk mengatasi masalah ini. Angka-angka antara 1000 dan 9000 dibentuk dengan menambahkan sedikitpun subscript atau superscript ke simbol untuk 1 sampai 9. Pertama berupa 1000,..., Bagaimana orang-orang Yunani mewakili angka lebih besar dari 9999? Yah mereka berdasarkan jumlah mereka lebih besar dari ini pada segudang yang The M simbol dengan angka kecil untuk angka hingga 9999 ditulis diatas itu berarti bahwa jumlah dalam angka kecil dikalikan dengan Oleh karena itu menulis β atas M diwakili 20000: Nomor Demikian pula tertulis di atas M mewakili : Nomor Tentu saja menulis sejumlah besar atas M itu agak sulit begitu sering dalam kasus seperti nomor angka kecil ditulis di depan M daripada di atasnya. Contoh dari Aristarkhus:

7 Aristarchus menulis nomor sebagai: Untuk sebagian besar tujuan ini sistem nomor bisa mewakili semua angka yang mungkin timbul di hari normal kehidupan sehari. Pada nomor Bahkan sebesar akan mungkin muncul sangat sering. Ide yang Apollonius digunakan untuk memperluas sistem untuk angka yang lebih besar adalah untuk bekerja dengan kekuatan segudang. Sebuah M dengan α di atas itu mewakili 10000, M dengan β atasnya diwakili M 2, yaitu , dll nomor yang akan dikalikan dengan 10000, , dll ditulis setelah simbol M dan ditulis antara bagian-bagian dari nomor, kata yang paling diartikan sebagai 'plus'. Sebagai contoh di sini adalah cara yang Apollonius akan menulis Apollonius keterwakilan dari Archimedes merancang sebuah sistem serupa tapi daripada menggunakan = 10 4 sebagai nomor dasar yang dinaikkan menjadi berbagai kekuatan yang digunakan = 10 8 dinaikkan menjadi kekuatan. Oktet pertama untuk Archimedes terdiri dari angka sampai dengan 10 8 sedangkan oktet kedua adalah nomor dari 10 8 hingga Menggunakan sistem Archimedes menghitung bahwa jumlah butiran pasir yang dapat dipasang ke alam semesta adalah dari urutan oktet kedelapan, yaitu dari urutan C. Cara Yunani Menggandakan kubus Asal-usul masalah penggandaan kubus mungkin agak kabur seperti yang baru saja kita lihat, tetapi tidak ada keraguan bahwa orang-orang Yunani telah dikenal untuk waktu yang lama bagaimana memecahkan masalah penggandaan alun-alun. Sebab, mengambil ABCD persegi dan menarik dalam DB diagonal. Buatlah sebuah BDEF persegi di BD. Maka mudah untuk melihat bahwa BDEF adalah ganda ABCD. Hal ini sedikit lebih sulit untuk menggandakan persegi panjang, tapi ini juga dikenal dan disajikan oleh Euclid dalam Buku II dari Elemen.

8 Langkah besar pertama dalam masalah penggandaan kubus diambil oleh Hippocrates, mungkin tidak lama setelah masalah pertama kali muncul. Namun, tampaknya mungkin bahwa masalah ini sudah dipertimbangkan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu: (I) Untuk menemukan sebuah kubus yang rasio kubus yang diberikan sama dengan rasio dari dua baris yang diberikan. Sekarang Hippocrates mengurangi masalah dengan berikut ini: (Ii) Mengingat dua baris, menemukan dua proportionals berarti antara mereka. yaitu diberi garis a, b menemukan x, y sedemikian rupa sehingga: x = x: y = y: b. Sekarang mudah dengan pemahaman modern kita rasio untuk melihat bahwa (i) dan (ii) ekuivalen. Untuk 3: x 3 = (a: x) = 3 (a: x) (x: y) (y: b) = a: b. Jadi jika kita diberi sebuah kubus dengan sisi dan ingin membangun sebuah kubus b: kali volume, kita perlu membangun kubus sisi x. Sekarang sering di artikel tentang penggandaan kubus argumen dari paragraf terakhir untuk membuktikan hasil dari Hippocrates bahwa (i) dan (ii) adalah setara diberikan; lihat misalnya [3]. Tapi seperti ditunjukkan dalam [8] ini jenis argumen tidak tersedia untuk Hippocrates sehingga kita harus mempertimbangkan tidak hanya bagaimana ia membuktikan kesetaraan tetapi juga bagaimana Hippocrates memikirkan hasil di tempat pertama.tidak ada cara untuk mengetahui dengan pasti jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini. Namun ada petunjuk yang berasal dari masalah kasus dua dimensi. Euclid dalam Elemen, menunjukkan bahwa dua masalah berikut ini adalah ekuivalen: (Iii) Untuk menemukan sebuah persegi yang rasio persegi yang diberikan sama dengan rasio dari dua baris yang diberikan. (Iv) Mengingat dua baris, menemukan satu maksud proporsional di antara mereka, yaitu garis diberikan, b menemukan x sedemikian rupa sehingga: x = x: b. Sekali lagi argumen yang modern memberikan 2: x 2 = (a: x) 2 = (a: x) (x: b) = a: b menunjukkan bahwa diberi persegi sisi itu, jika kita membangun sebuah persegi sisi x, ia memiliki wilayah yang sama dengan b: a kali dari kuadrat sisi. Euclid, dalam Kitab VI Elements, tidak hanya menunjukkan kesetaraan (iii) dan (iv) tetapi ia menunjukkan bagaimana (iv) dapat digunakan untuk memecahkan (iii). Heath juga menunjukkan di [2] bahwa Hippocrates mungkin telah datang ke ide dari teori nomor dia mengutip VIII Elemen Euclid 's Book: -

9 Antara dua nomor kubus ada dua angka proporsional berarti, dan kubus harus kubus yang rangkap tiga rasio yang sisi mana harus samping. Namun, analisis tekstual terampil 'Archimedes Pada bola dan silinder memimpin penulis [8] untuk menyimpulkan bahwa rasio senyawa, sedangkan dikenal Archimedes, milik matematika modern lebih dari itu tersedia untuk Hippocrates. Apapun alasan yang membawa Hippocrates untuk menunjukkan bahwa masalah penggandaan kubus dikurangi menjadi (ii), itu sangat luar biasa bahwa semua matematikawan kemudian menyerang masalah (ii) daripada formulasi aslinya. Adapun solusi dari Archytas, yang dilaporkan oleh Eudemus yaitu: Biarkan dua baris yang diberikan menjadi OA [= a] dan b, diperlukan untuk membangun dua proportionals berarti antara a dan b. Gambarlah OBA lingkaran memiliki diameter OA sebagai mana OA adalah lebih besar [OA = ab], dan menuliskan OB, b panjang dan memproduksinya untuk bertemu di C bersinggungan dengan lingkaran di A.... bayangkan setengah-silinder yang naik tegak lurus pada OBA setengah lingkaran, dan bahwa pada OA dinaikkan tegak lurus berdiri setengah lingkaran di [dasar] dari setengah silinder. Ketika setengah lingkaran ini dipindahkan dari A ke B, O ekstremitas dari diameter yang tersisa tetap, maka akan memotong permukaan silinder dalam membuat gerakan dan akan melacak di atasnya kurva tebal tertentu. Kemudian, jika OA masih tetap, dan jika segitiga OCA pivot tentang OA dengan gerakan yang berlawanan dari setengah lingkaran, maka akan menghasilkan permukaan kerucut dengan cara OC jalur yang, dalam perjalanan dari gerakannya, akan bertemu kurva ditarik pada silinder pada titik tertentu [P].... Untuk melihat, menggunakan matematika modern, mengapa ini bekerja kami mencatat bahwa permukaan silinder memiliki persamaan (1) x 2 + y 2 = ax, permukaan toroida memiliki persamaan (2) x 2 + y 2 + z 2 = a (x 2 + y 2) dan permukaan kerucut memiliki persamaan (3) x 2 + y 2 + z 2 = 2 x 2 / b 2. Jika (p, q, r) adalah titik di mana ketiga permukaan berpotongan kemudian OP = (p 2 + q 2 + r 2) sedangkan ON = (p 2 + q 2). Sekarang dari (1) dan (3) p 2 + q 2 + r 2 = (p 2 + q 2) 2 / b 2.

10 Demikian a / (p 2 + q 2 + r 2) = (p 2 + q 2 + r 2) / (p 2 + q 2) = (p 2 + q 2) / b seperti yang diperlukan. Melalui tulisan-tulisan Eutocius, kita tahu bahwa Eudoxus juga memberikan solusi untuk masalah penggandaan kubus. Solusi nya hilang, namun, karena versi yang telah Eutocius di depannya agak sepele tidak benar dan karena itu ia tidak mereproduksi itu. Tidak ada yang percaya bahwa Eudoxus memiliki kesalahan dasar dalam larutan (ia terlalu baik seorang matematikawan untuk itu) sehingga kesalahan pasti kesalahan diperkenalkan ketika solusinya disalin oleh seseorang yang tidak memahaminya dengan benar. Paul Tannery menyarankan bahwa solusi Eudoxus adalah versi dua dimensi yang diberikan oleh Archytas yang telah kami jelaskan, pada dasarnya solusi yang diperoleh dengan memproyeksikan konstruksi Archytas itu ke pesawat. Namun, Heath [2] menunjukkan Eudoxus itu: -... terlalu asli matematika untuk berpuas diri dengan hanya adaptasi dari metode Archytas tentang solusi. Saya [EFR] setuju dengan penilaian Heath, sehingga tampaknya ada sedikit kemungkinan sekarang bahwa kita akan pernah tahu bagaimana Eudoxus memecahkan penggandaan kubus. Menaechmus dikatakan telah membuat penemuan bagian berbentuk kerucut sementara ia berusaha untuk memecahkan masalah penggandaan kubus. Solusi Menaechmus untuk menemukan dua berarti proportionals digambarkan oleh Eutocius dalam komentarnya untuk 'Archimedes Pada bola dan silinder. Menaechmus memberikan dua solusi. Yang pertama berasal dari hiperbola persegi panjang dan parabola yang merupakan dua persamaan pertama dalam daftar kami. Kita sekarang melihat bahwa nilainilai x dan yditemukan dari persimpangan parabola y 2 = bx dan hiperbola persegi panjang xy = ab. Tentu saja kita harus menekankan lagi bahwa ini sama sekali tidak menunjukkan cara yang Menaechmus memecahkan masalah tetapi tidak menunjukkan dalam istilah modern bagaimana parabola dan hiperbola memasuki solusi untuk masalah ini. Untuk Menaechmus solusi kedua menggunakan persimpangan dari dua parabola y 2 = bx dan x 2 = ay yang merupakan persamaan kedua dan ketiga dalam daftar kami. Salah satu teka-teki besar tentang solusi dari masalah penggandaan kubus adalah bahwa ada solusi mekanik yang dikenal sebagai mesin Plato. Ada dua teori mengenai mesin Plato untuk memecahkan masalah penggandaan kubus. Satu teori adalah bahwa Plato menemukan solusi

11 mekanik untuk menunjukkan betapa mudahnya untuk merancang solusi tersebut, tapi teori yang lebih luas dipegang adalah bahwa mesin Plato diciptakan oleh salah satu pengikutnya di Akademi. Jadi mesin yang Eratosthenes diciptakan untuk memecahkan masalah ini adalah terdiri dua garis sejajar dengan segitiga antara mereka seperti yang ditunjukkan dalam diagram atas. Berikut AE dan D H adalah dua panjang yang diperlukan untuk menemukan dua berarti proportionals. Sekarang menjaga AMF segitiga pertama tetap, tetapi memungkinkan segitiga MNG dan NQH untuk meluncur dalam bingkai dibatasi oleh AX dan EY. Putar AX sampai melewati D tetapi saat melakukan hal ini pastikan bahwa titik B dan C di mana ini memotong garis berputar MF dan NG terus juga berbaring di sisi MG dan NH dari dua segitiga yang bergerak ke kiri untuk memungkinkan konfigurasi ini untuk tetap mungkin. Slide segitiga kiri hingga bagian bawah dua diagram tercapai. Dalam diagram akhir BFdan CG adalah dua proportionals berarti antara AE dan DH. Sekarang Eratosthenes komentar dalam kutipan di atas bahwa mesin itu mampu menemukan lebih dari dua proportionals berarti. Jika salah satu adalah untuk meminta 'segudang berarti' proportionals, maka orang akan perlu untuk menempatkan bahwa jumlah segitiga bergerak ke dalam mesin dan prosedur yang sama akan menemukan 'segudang' proportionals berarti. Meskipun banyak metode yang berbeda diciptakan untuk menggandakan kubus dan penemuan matematika yang luar biasa dibuat dalam upaya, Yunani kuno tidak pernah akan menemukan solusi yang mereka benarbenar dicari, yaitu salah satu yang bisa dibuat dengan penggaris dan kompas konstruksi. Mereka tidak akan pernah menemukan seperti konstruksi karena seperti konstruksi tidak dapat dibuat. Namun, tidak ada cara bahwa Yunani kuno pernah bisa membuktikan hasil tersebut karena diperlukan matematika jauh melampaui apa yang mereka kembangkan. Ini adil untuk mengatakan, bagaimanapun, bahwa meskipun mereka tidak bisa membuktikan bahwa seorang penguasa dan konstruksi kompas tidak mungkin yang terbaik dari para ahli matematika Yunani kuno tahu secara intuitif bahwa memang itu tidak mungkin.

12 Bukti dari kemustahilan harus menunggu matematika abad ke-19. Potonganpotongan terakhir dari argumen disatukan oleh Pierre Wantzel. Pada 1837 diterbitkan bukti Wantzel dalam Journal Liouville tentang: -... cara memastikan apakah masalah geometris dapat diselesaikan dengan penggaris dan kompas. Gauss telah menyatakan bahwa masalah penggandaan kubus dan trisecting sudut tidak dapat dipecahkan dengan penggaris dan kompas, tetapi ia tidak memberikan bukti. Dalam makalah ini Wantzel adalah yang pertama untuk membuktikan hasil ini. Bukti Peningkatan kemudian diberikan oleh Charles Sturm tetapi ia tidak mempublikasikannya.

13 DAFTAR PUSTAKA a 8. Salah Kaduri Haza a,sejarah Matematika Klasik dan Modern,Yogyakarta.2003.

4 Jasa Besar Euclid. 4 Jasa Besar Euclid 19

4 Jasa Besar Euclid. 4 Jasa Besar Euclid 19 4 Jasa Besar Euclid Kota Alexandria (Al-Iskandariya), yang terletak di pantai utara Mesir, dibangun oleh Alexander Agung pada tahun 322 SM, menyaingi kota Athena. Pada tahun 300 SM, Raja Ptolemy I Soter

Lebih terperinci

Geometri di Bidang Euclid

Geometri di Bidang Euclid Modul 1 Geometri di Bidang Euclid Dr. Wono Setya Budhi G PENDAHULUAN eometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama, mulai dari ribuan tahun yang lalu. Berpikir secara geometris dari satu bentuk ke

Lebih terperinci

5 Archimedes Bergelut dengan Lingkaran

5 Archimedes Bergelut dengan Lingkaran 5 Archimedes Bergelut dengan Lingkaran Beri saya tempat untuk bertumpu, maka saya bisa mengangkat Bumi. Demikian ujar Archimedes dari Syracusa (287 212 SM), salah seorang jebolan sekolah yang diasuh oleh

Lebih terperinci

Dalam kehidupan sehari-hari kita akan selalu bertemu yang namanya bilangan karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi,

Dalam kehidupan sehari-hari kita akan selalu bertemu yang namanya bilangan karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, Sejarah Bilangan Sejak zaman purbakala, tidak dapat dipungkiri lagi bahwa pendidikan matematika sangat diperlukan dan telah menyatu dalam kehidupan manusia dan merupakan kebutuhan dasar dari setiap lapisan

Lebih terperinci

TUGAS KELOMPOK 5 GEOMETRI TALI BUSUR, GARIS SINGGUNG, DAN RUAS SECANT. Oleh: AL HUSAINI

TUGAS KELOMPOK 5 GEOMETRI TALI BUSUR, GARIS SINGGUNG, DAN RUAS SECANT. Oleh: AL HUSAINI TUGAS KELOMPOK 5 GEOMETRI TALI BUSUR, GARIS SINGGUNG, DAN RUAS SECANT Oleh: AL HUSAINI 17205004 HANIF JAFRI 17205014 RAMZIL HUDA ZARISTA 17205034 SARI RAHMA CHANDRA 17205038 Dosen Pembimbing: Dr.YERIZON,

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008

Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008 Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

5.1 KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR

5.1 KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR KONSTRUKSI GEOMETRI Unsur-unsur geometri sering digunakan seorang juru gambar atau ahli gambar teknik untuk menggambar konstruksi mesin. Unsurunsur goemetri yang dimaksudkan ini adalah busur-busur, lingkaran,

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian :

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian : 1. Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm C. 26 cm B. 52 cm D. 13 cm 2. Gambar disamping adalah persegi panjang. Salah satu sifat persegi panjang adalah

Lebih terperinci

09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan

09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan 09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir

Lebih terperinci

3 Antiphon dan Eudoxus Turun Tangan 13

3 Antiphon dan Eudoxus Turun Tangan 13 3 Antiphon dan Eudoxus Turun Tangan Antiphon dan Eudoxus memang tidak setenar Pythagoras. Bahkan nama mereka mungkin tidak pernah disebut-sebut di buku pelajaran matematika sekolah. Padahal, Antiphon (425

Lebih terperinci

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA CIREBON

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA CIREBON PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 Matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathema yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Matematika dalam bahasa

Lebih terperinci

BAB 2 MENGGAMBAR BENTUK BIDANG

BAB 2 MENGGAMBAR BENTUK BIDANG BAB 2 MENGGAMBAR BENTUK BIDANG 2.1 Menggambar Sudut Memindahkan sudut a. Buat busur lingkaran dengan A sebagian pusat dengan jari-jari sembarang R yang memotong kaki-kaki sudut AB dan AC di n dan m b.

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Sebagai seorang yang mendalami matematika alangkah lebih baik jika kita mengetahui sejatah matematika. Sejarah adalah hal yang sangat menarik untuk dipelajari, karena

Lebih terperinci

2 Pythagoras Membuka Jalan 7

2 Pythagoras Membuka Jalan 7 2 Pythagoras Membuka Jalan Siapa yang tidak pernah mendengar nama Pythagoras? Di sekolah dasar, nama Pythagoras biasanya disebut dalam pelajaran matematika di tahun kelima atau keenam, ketika guru membahas

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

Gara-Gara Hantu Lingkaran. Hendra Gunawan

Gara-Gara Hantu Lingkaran. Hendra Gunawan Gara-Gara Hantu Lingkaran Hendra Gunawan 2014 1 Misteri Lingkaran Mulai Menghantui Menurut catatan sejarah, dari tahun 2600 SM (saat Piramida Besar dibangun) hingga tahun 575 SM (puncak peradaban Babilonia),

Lebih terperinci

Bab 3 KONSTRUKSI GEOMETRIS 3.1. KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR.

Bab 3 KONSTRUKSI GEOMETRIS 3.1. KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR. Bab 3 KONSTRUKSI GEOMETRIS Materi : Konstruksi-konstruksi dasar. Garis-garis lengkung. Gambar proyeksi. Gambar pandangan tunggal. Proyeksi ortogonal (gambar pandangan majemuk). 3.1. KONSTRUKSI-KONSTRUKSI

Lebih terperinci

14 Menghitung Volume Bangun Ruang

14 Menghitung Volume Bangun Ruang 14 Menghitung Volume Bangun Ruang Pengetahuan kita tentang lingkaran berguna bagi kita dalam memahami bola dan bangun ruang lainnya yang mempunyai penampang lingkaran, seperti elipsoida, silinder, dan

Lebih terperinci

2.4 Relasi dan Fungsi

2.4 Relasi dan Fungsi 2.4 Relasi dan Fungsi Relasi dan fungsi adalah pokok dari matematika. Relasi menggambarkan hubungan sederhana antara dua himpunan. Sedangkan fungsi akan diterangkan pada bahasan berikutnya, sebagai suatu

Lebih terperinci

2 Pythagoras Membuka Jalan 7

2 Pythagoras Membuka Jalan 7 2 Pythagoras Membuka Jalan Siapa yang tidak pernah mendengar nama Pythagoras? Di sekolah dasar, nama Pythagoras biasanya disebut dalam pelajaran matematika di tahun kelima atau keenam, ketika guru membahas

Lebih terperinci

Shortlist Soal OSN Matematika 2015

Shortlist Soal OSN Matematika 2015 Shortlist Soal OSN Matematika 2015 Olimpiade Sains Nasional ke-14 Yogyakarta, 18-24 Mei 2015 ii Shortlist OSN 2015 1 Aljabar A1 Fungsi f : R R dikatakan periodik, jika f bukan fungsi konstan dan terdapat

Lebih terperinci

Siswa dapat menyebutkan dan mengidentifikasi bagian-bagian lingkaran

Siswa dapat menyebutkan dan mengidentifikasi bagian-bagian lingkaran KISI-KISI PENULISAN SOAL DAN URAIAN ULANGAN KENAIKAN KELAS Jenis Sekolah Penulis Mata Pelajaran Jumlah Soal Kelas Bentuk Soal AlokasiWaktu Acuan : SMP/MTs : Gresiana P : Matematika : 40 nomor : VIII (delapan)

Lebih terperinci

MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT

MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT 1. MEMBAGI GARIS a. Membagi garis menjadi 2 bagian yang sama panjang Membagi garis menjadi 2 bagian yang sama

Lebih terperinci

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI Segitiga 1. Beberapa sifat yang berlaku pada segitiga adalah : Jumlah sudut-sudut sembarang segitiga adalah 180 0 Pada segitiga ABC berlaku AC = BC B = A

Lebih terperinci

Jikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5

Jikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5 Soal Babak Penyisihan OMITS 011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan A. Bulat B. Asli C. Rasional

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

SUDUT SEGITIGA PADA BIDANG NON-EUCLID ( MATEMATIKA DASAR )

SUDUT SEGITIGA PADA BIDANG NON-EUCLID ( MATEMATIKA DASAR ) SUDUT SEGITIGA PADA BIDANG NON-EUCLID ( MATEMATIKA DASAR ) Sunaryo Oentara * I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Sebuah artikel di internet menuliskan bahwa jumlah sudut pada segitiga tidak selalu berjumlah

Lebih terperinci

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE

Lebih terperinci

E59 MATEMATIKA. Pak Anang. Rabu, 18 April 2012 ( ) Pembahasan soal oleh

E59 MATEMATIKA. Pak Anang. Rabu, 18 April 2012 ( ) Pembahasan soal oleh DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA Pembahasan soal oleh http://pak-anang.blogspot.com E9 MATEMATIKA SMA/MA IPA MATEMATIKA SMA/MA IPA Pak Anang http://pakhttp://pak-anang.blogspot.com MATEMATIKA Rabu, 8 April

Lebih terperinci

3.1. Sub Kompetensi Uraian Materi MODUL 3 MENGGAMBAR BENTUK BIDANG

3.1. Sub Kompetensi Uraian Materi MODUL 3 MENGGAMBAR BENTUK BIDANG 3.1. Sub Kompetensi Kemampuan yang akan dimiliki oleh mahasiswa setelah memahami isi modul ini adalah sebagai berikut : - Mahasiswa mampu memahami dan menggambar bentuk bidang dalam gambar kerja. 3.2.

Lebih terperinci

Bab 1 : Skalar dan Vektor

Bab 1 : Skalar dan Vektor Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar

Lebih terperinci

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK)

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Pembahasan Soal SBMPTN 2016 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

Lebih terperinci

SEJARAH DAN FILSAFAT MATEMATIKA

SEJARAH DAN FILSAFAT MATEMATIKA SEJARAH DAN FILSAFAT MATEMATIKA A. Kompetensi Inti Guru (KI) Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan yang mendukung mata pelajaran yang diampu B. Kompetensi Guru Mata Pelajaran Menjelaskan

Lebih terperinci

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 2014 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERSIAPAN UN 04 DISUSUN OLEH AHMAD THOHIR MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JATENG KATA PENGANTAR Tulisan yang sangat sederhana ini berisi kisi-kisi UN 0 disertai contoh soal

Lebih terperinci

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011

SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 (90menit) 1. Semua tripel (x, y, z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs)

41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) 41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai

Lebih terperinci

MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT

MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT 1. MEMBAGI GARIS a. Membagi garis menjadi 2 bagian yang sama panjang Membagi garis menjadi 2 bagian yang sama panjang menggunakan jangka dapat diikuti melalui

Lebih terperinci

D. GEOMETRI 2. URAIAN MATERI

D. GEOMETRI 2. URAIAN MATERI D. GEOMETRI 1. TUJUAN Setelah mempelajari modul ini diharapkan peserta diklat memahami dan dapat menjelaskan unsur-unsur geometri, hubungan titik, garis dan bidang; sudut; melukis bangun geometri; segibanyak;

Lebih terperinci

Menemukan Dalil Pythagoras

Menemukan Dalil Pythagoras Dalil Pythagoras Menemukan Dalil Pythagoras 1. Perhatikan gambar di bawah ini. Segitiga ABC adalah sebuah segitiga siku-siku di B dengan sisi miring AC. Jika setiap petak luasnya 1 satuan, tentukan luas

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010 . Perhatikan argumen berikut ini. p q. q r. r ~ s TRY OUT MATEMATIKA PAKET B TAHUN 00 Negasi kesimpulan yang sah dari argumen di atas adalah... A. p ~s B. p s C. p ~s D. p ~s E. p s. Diketahui npersamaan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Kata geometri berasal dari bahasa Yunani yaitu geos yang berarti bumi dan metron yang berarti pengukuran. Orang-orang dahulu baik yang berbangsa Mesir, Cina,

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA

BAB II KAJIAN PUSTAKA BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada Bab II ini akan diuraikan berbagai konsep dasar yang digunakan pada bagian pembahasan. Pada bab II ini akan dibahas pengenalan Geometri Non- Euclid, Geometri Insidensi, Geometri

Lebih terperinci

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun

Lebih terperinci

1. BARISAN ARITMATIKA

1. BARISAN ARITMATIKA MATEMATIKA DASAR ARITMATIKA BARISAN ARITMATIKA 1. BARISAN ARITMATIKA Sering disebut barisan hitung, adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi

Lebih terperinci

MAKALAH. GEOMETRI BIDANG Oleh Asmadi STKIP Muhammadiyah Pagaralam

MAKALAH. GEOMETRI BIDANG Oleh Asmadi STKIP Muhammadiyah Pagaralam MAKALAH GEOMETRI BIDANG Oleh Asmadi STKIP Muhammadiyah Pagaralam 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Kata geometri berasal dari bahasa Yunani yang berarti ukuran bumi. Maksudnya mencakup segala sesuatu

Lebih terperinci

D46 MATEMATIKA. Rabu, 18 April 2012 ( ) Pembahasan soal oleh Perpustakaan.

D46 MATEMATIKA. Rabu, 18 April 2012 ( ) Pembahasan soal oleh  Perpustakaan. DOKUMEN NEGARA Pembahasan soal oleh http://pak-anang.blogspot.com D6 MATEMATIKA SMA/MA IPA MATEMATIKA SMA/MA IPA Perpustakaan SMAN Wonogiri MATEMATIKA Rabu, 8 April 0 (08.00 0.00) A-MAT-ZD-M0-0/0 Hak Cipta

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS VII ( 1 ) SEMESTER I

KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS VII ( 1 ) SEMESTER I KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS VII ( 1 ) SEMESTER I 16 KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Sekolah : SMP/MTs... Kelas : VII Semester : I

Lebih terperinci

D46 MATEMATIKA. Pak Anang MATEMATIKA SMA/MA IPA. Rabu, 18 April 2012 ( )

D46 MATEMATIKA. Pak Anang MATEMATIKA SMA/MA IPA. Rabu, 18 April 2012 ( ) SANGAT RAHASIA D Pembahasan soal oleh http://pak-anang.blogspot.com Pak Anang http://pak-anang.blogspot.com MATEMATIKA Rabu, 8 April 0 (08.00 0.00) A-MAT-ZD-M0-0/0 SANGAT RAHASIA Pembahasan soal oleh http://pak-anang.blogspot.com

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

22/7: Aproksimasi Nilai Π. Freedom Institute, 22 Juli 2013

22/7: Aproksimasi Nilai Π. Freedom Institute, 22 Juli 2013 22/7: Aproksimasi Nilai Π Hendra Gunawan Freedom Institute, 22 Juli 2013 Orang Babilonia & Mesir Kuno sebagai Geo meter (Ahli ukur Bumi): Mengukur keliling dan luas tanah? Napak Tilas Perjanjian Lama,

Lebih terperinci

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak 4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci

LATIHAN SOAL PROFESIONAL

LATIHAN SOAL PROFESIONAL LATIHAN SOAL PROFESIONAL 1. Jika 7 x = 8; maka 7 +x =. A. 686 B. 512 C. 4 D. 256 E. 178 7 x = 2 (7 x ) = 2 7 x = 2 7 x+ = 7. 7 x = 7. 2 = 4. 2 = 686 2. Panjang sisi miring segitiga siku-siku sama kaki

Lebih terperinci

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000 Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat.

Lebih terperinci

D. 90 meter E. 95 meter

D. 90 meter E. 95 meter 1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah... A. x² + 7x + 10 = 0 B. x² - 7x + 10 = 0 C. x² + 3x + 10 = 0 Kunci : E Rumus : (x - x 1 ) (x - x 2 ) = 0 dimana x 1 = 5, dan x 2 = -2 (x - 5) (x

Lebih terperinci

Kegiatan Belajar 1 HAKIKAT MATEMATIKA

Kegiatan Belajar 1 HAKIKAT MATEMATIKA Kegiatan Belajar 1 HAKIKAT MATEMATIKA A. Pengantar Matematika merupakan salah satu bidang studi yang dijarkan di SD. Seorang guru SD yang akan mengajarkan matematika kepada siswanya, hendaklah mengetahui

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010 TRY OUT MATEMATIKA PAKET A TAHUN 00. Diketahui premis premis () Jika hari hujan terus menerus maka masyarakat kawasan Kaligawe gelisah atau mudah sakit. () Hujan terus menerus. Ingkaran kesimpulan premis

Lebih terperinci

KTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) Mapel Matematika kls VII s/d IX. 1-2

KTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) Mapel Matematika kls VII s/d IX. 1-2 KTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, PERANGKAT PEMBELAJARAN STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas/Semester : Matematika. : SMP/MTs. : VII s/d IX /1-2 Nama Guru

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2002 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2003

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2002 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2003 Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 003 Bidang Matematika Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait

Lebih terperinci

Pola (1) (2) (3) Banyak segilima pada pola ke-15 adalah. A. 235 C. 255 B. 250 D Yang merupakan bilangan terbesar adalah. A. C. B. D.

Pola (1) (2) (3) Banyak segilima pada pola ke-15 adalah. A. 235 C. 255 B. 250 D Yang merupakan bilangan terbesar adalah. A. C. B. D. SOAL SELEKSI AWAL 1. Suhu dalam sebuah lemari es adalah 15 o C di bawah nol. Pada saat mati listrik suhu dalam lemari es meningkat 2 o C setiap 120 detik. Jika listrik mati selama 210 detik, suhu dalam

Lebih terperinci

LINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

LINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN LINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 4 ia nc o3 D.c om Bab r: w be Su m. pa ww ne b Lingkaran Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran

Lebih terperinci

2009 ACADEMY QU IDMATHCIREBON

2009 ACADEMY QU IDMATHCIREBON NASKAH UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2008/2009 Jenjang Sekolah : SMA/MA Hari/Tanggal : Rabu/22 April 2009 Program Studi : IPA Waktu : 08.00 10.00 Petunjuk: Pilihlah satu jawababan yang tepat! 1. Perhatikan

Lebih terperinci

Pembahasan Soal OSK SMA 2018 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA OSK Matematika SMA. (Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)

Pembahasan Soal OSK SMA 2018 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA OSK Matematika SMA. (Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA) Pembahasan Soal OSK SMA 018 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 018 OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA) Disusun oleh: Pak Anang Pembahasan Soal OSK SMA 018 OLIMPIADE SAINS

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

15. KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SMP/MTs

15. KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SMP/MTs 15. KOMPETENSI INTI DAN MATEMATIKA SMP/MTs KELAS: VII Tujuan kurikulum mencakup empat kompetensi, yaitu (1) kompetensi sikap spiritual, (2) sikap sosial, (3) pengetahuan, dan (4) keterampilan. Kompetensi

Lebih terperinci

1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l B. 2 < p < 3 C.

1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l B. 2 < p < 3 C. 1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 Kunci : C Persamaan fungsi : F(x)

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika SMP IX

Pembahasan Matematika SMP IX Pembahasan Matematika SMP IX Matematika SMP Kelas IX Bab Pembahasan dan Kunci Jawaban Ulangan Harian Pokok Bahasan : Kesebangunan Kelas/Semester : IX/ A. Pembahasan soal pilihan ganda. Bangun yang tidak

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. sebuah geometri selain aksioma diperlukan juga unsur-unsur tak terdefinisi. Untuk. 2. Himpunan titik-titik yang dinamakan garis.

II. TINJAUAN PUSTAKA. sebuah geometri selain aksioma diperlukan juga unsur-unsur tak terdefinisi. Untuk. 2. Himpunan titik-titik yang dinamakan garis. 5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Geometri Insidensi Suatu geometri dibentuk berdasarkan aksioma yang berlaku dalam geometrigeometri tersebut. Geometri insidensi didasari oleh aksioma insidensi. Di dalam sebuah

Lebih terperinci

Galileo and the Science of Mechanics

Galileo and the Science of Mechanics Galileo and the Science of Mechanics Galileo and the Science of Mechanics http://www.google.co.id/imgres?q=galileo+and+the+science+of+mechanic/ ILMU astronomi dikaitkan dengan imamat dan tradisi ilmiah

Lebih terperinci

PEMBAHASAN UN SMA IPA TAHUN AJARAN 2011/2012

PEMBAHASAN UN SMA IPA TAHUN AJARAN 2011/2012 Page of PEMBAHASAN UN SMA IPA TAHUN AJARAN 0/0 OLEH: SIGIT TRI GUNTORO, M.Si MARFUAH, S.Si, M.T REVIEWER: UNTUNG TRISNA S., M.Si JAKIM WIYOTO, S.Si Page of Misalkan, p : hari ini hujan q: saya tidak pergi

Lebih terperinci

8. Nilai x yang memenuhi 2 log 2 (4x -

8. Nilai x yang memenuhi 2 log 2 (4x - 1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 2. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 013

Lebih terperinci

KUMPULAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Bagian Pertama

KUMPULAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Bagian Pertama KUMPULAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Bagian Pertama Disusun Oleh Raja Octovin P D 00 SOAL PILIHAN APRIL 008 SMA NEGERI PEKANBARU Jl Sulthan Syarif Qasim 59 Pekanbaru Bank Soal Matematika Bank Soal Matematika

Lebih terperinci

PERTEMUAN 2 GARIS, HURUF DAN KONSTRUKSI GEOMETRIS

PERTEMUAN 2 GARIS, HURUF DAN KONSTRUKSI GEOMETRIS PERTEMUAN 2 GARIS, HURUF DAN KONSTRUKSI GEOMETRIS 2.1. Berbagai jenis huruf dan garis serta penggunaannya Dalam gambar dipergunakan beberapa jenis garis, yang masing-masing mempunyai arti dan penggunaannya

Lebih terperinci

SOAL TO UN SMA MATEMATIKA

SOAL TO UN SMA MATEMATIKA 1 1) Perhatikan premis-premis berikut. 1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara. 2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding. Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus

Lebih terperinci

BAB III SISTEM NUMERASI

BAB III SISTEM NUMERASI BAB III SISTEM NUMERASI PENDAHULUAN Sejak zaman dahulu kala, manusia berkepentingan dengan bilangan untuk menghitung banyaknya ternak yang dimiliki, mengukur luas sawahnya, untuk berkomunikasi dengan sesamanya.

Lebih terperinci

MAKALAH. Pembuktian Teorema Pythagoras

MAKALAH. Pembuktian Teorema Pythagoras MAKALAH Pembuktian Teorema Pythagoras Disusun Oleh: Kelompok 12 1. Muhammad Naufal Faris 12030174229 2. Weni Handayani 14030174003 3. Wahyu Okta Handayani 14030174024 4. Faza Rahmalita Maharani 14030174026

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Pada bab pembahasan ini akan dibahas mengenai Geometri Hiperbolik yang

BAB III PEMBAHASAN. Pada bab pembahasan ini akan dibahas mengenai Geometri Hiperbolik yang BAB III PEMBAHASAN Pada bab pembahasan ini akan dibahas mengenai Geometri Hiperbolik yang didasarkan kepada enam postulat pada Geometri Netral dan Postulat Kesejajaran Hiperbolik. Akan dibahas sifat-sifat

Lebih terperinci

41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs)

41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) 41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai

Lebih terperinci

VEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

VEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

Lebih terperinci

SEJARAH MATEMATIKA Perkembangan Matematika Mesir

SEJARAH MATEMATIKA Perkembangan Matematika Mesir E-Learning SEJARAH MATEMATIKA Perkembangan Matematika Mesir Oleh Nanang Khuzaini, S.Pd.Si PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU KEPENDIDIKAN UNIVERSITAS MERCU BUANA YOGYAKARTA

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I. Mata Pelajaran : Matematika

PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I. Mata Pelajaran : Matematika PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I Mata Pelajaran : Matematika 191 PROGRAM SEMESTER TAHUN PELAJARAN 20 / 20 Nama Sekolah : Kelas/ Semester : VII/1 Mata Pelajaran : Matematika Aspek : BILANGAN Standar

Lebih terperinci

SOAL-SOAL UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012

SOAL-SOAL UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012 SOAL-SOAL UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012 1. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 +ax - 4=0 adalah p dan q. Jika p 2-2pq + q 2 =8a, maka nilai a =... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 2. Persamaan

Lebih terperinci

GAMBAR TEKNIK PROYEKSI ISOMETRI. Gambar Teknik Proyeksi Isometri

GAMBAR TEKNIK PROYEKSI ISOMETRI. Gambar Teknik Proyeksi Isometri GAMBAR TEKNIK PROYEKSI ISOMETRI Gambar Teknik i halaman ini sengaja dibiarkan kosong Gambar Teknik ii Daftar Isi Daftar Isi... iii... 1 1 Pendahuluan... 1 2 Sumbu, Garis, dan Bidang Isometri... 2 3 Skala

Lebih terperinci

MakALAH TEOREMA PYTHAGORAS

MakALAH TEOREMA PYTHAGORAS MakALAH TEOREMA PYTHAGORAS Makalah ini di susun untuk memenuhi tugas mata pelajaran Matematika Disusun oleh: SITI ZENAB KELAS : VIII-C MTS AL-ROHMAH TAHUN AJARAN 2016-2017 KATA PENGANTAR Alhamdulillah,

Lebih terperinci

KUMPULAN SOAL OSP MATEMATIKA SMP PEMBINAAN GURU OLIMPIADE DISUSUN: DODDY FERYANTO

KUMPULAN SOAL OSP MATEMATIKA SMP PEMBINAAN GURU OLIMPIADE DISUSUN: DODDY FERYANTO KUMPULAN SOAL OSP MATEMATIKA SMP PEMBINAAN GURU OLIMPIADE DISUSUN: DODDY FERYANTO DIURUTKAN BERDASARKAN TAHUN DAN DIKUMPULKAN BERDASARKAN TOPIK MATERI BILANGAN 2011 1. Jika x adalah jumlah 99 bilangan

Lebih terperinci