DISEKSI PERSEGI (yang) SEMPURNA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "DISEKSI PERSEGI (yang) SEMPURNA"

Hendri Darmadi
7 tahun lalu
Tontonan:

1 DISEKSI PERSEGI (yang) SEMPURNA Sumardyono, M.Pd. Diseksi atau dissection adalah istilah matematis untuk operasi atau kegiatan memotong-motong suatu bangun datar menurut syarat-syarat tertentu. Masalah diseksi yang terkenal dan menjadi cikal bakal berkembangnya topik ini adalah puzzle atau teka-teki memotong-motong suatu bangun datar sedemikian hingga seluruh potongan yang ada dapat disusun kembali membentuk bangun datar yang lain. Puzzle Diseksi dari Dudeney ( ) Sumber: Salah satu masalah diseksi yang berguna adalah diseksi suatu persegi pada sisi miring suatu segitiga siku-siku menjadi dua persegi pada sisi-sisi penyiku segitiga. Tentu masalah ini terkait erat dengan pembuktian Teorema Pythagoras. Contoh pembuktian Teorema Pythagoras lewat diseksi Sumber: Pythagorean_proof_(1).svg.png

2 Dalam artikel kali ini, penulis ingin membahas suatu masalah diseksi yang khusus pula, yaitu diseksi persegi yang sempurna. Diberikan suatu persegi, maka tujuannya adalah memotong-motong persegi tersebut menjadi sejumlah berhingga persegi lain yang semuanya berbeda ukuran. Tampaknya masalah geometri di atas ekuivalen dengan masalah aritmetika: menyatakan sebuah bilangan kuadrat ke dalam penjumlahan beberapa bilangan kuadrat. Namun jika pun masalah aritmetika tersebut dapat kita selesaikan tidak berarti masalah diseksi persegi yang sempurna itu terpecahkan. Contoh. Jelas bahwa 13 2 = Tetapi jelas pula bahwa persegi 5 2 dan persegi 12 2 tidak dapat disusun membentuk persegi 13 2 tanpa memotong-memotong kembali kedua persegi tersebut. Masalah diseksi persegi mungkin pertama kali muncul sekitar tahun Henry Dudeney tahun 1902 dalam teka-teki yang diberi nama Lady Isabel`s Castel terkait diseksi sebuah persegi menjadi beberapa persegi berbeda ukuran dan sebuah persegipanjang. Teka-teki ini muncul dalam Strand Magazine Januari 1902, halaman 584. Juga muncul dalam buku Canterbury Puzzles tahun Masalah diseksi persegi yang sempurna termasuk masalah yang cukup sulit, bahkan matematikawan, Lusin, pernah beranggapan bahwa masalah tersebut tidak mungkin dipecahkan. Beberapa matematikawan berhasil mengkonstruksi persegipanjang yang sempurna, sebagai masalah diseksi sejenis yang lebih mudah. Berikut beberapa hasil untuk persegipanjang. Sumber: Persegipanjang sempurna ukuran yang terdiri dari 9 persegi di atas ditemukan oleh Moron tahun Reichert dan Toepkin tahun 1940 membuktikan bahwa sebuah persegipanjang tidak dapat dipotong menjadi kurang dari 9 buah persegi berbeda. Berikut ini salah satu contoh diseksi persegi yang sempurna, dengan orde 24 (artinya terdiri dari 24 persegi) yang ditemukan oleh Willcocks tahun 1948.

3 Namun persegi sempurna di atas termasuk apa yang disebut compound (campuran) karena terdapat subset persegi yang membentuk suatu persegipanjang. Perhatikan bahwa persegi 55, 39, 16, 9, 14, 4, 5, 3, 1, 56, 18, 20, dan 38 membentuk suatu persegipanjang. Suatu persegi sempurna disebut sederhana bila tidak ada subset dari persegi-persegi yang dapat membentuk sebuah persegipanjang. Di bawah ini persegi sempurna orde 21 yang merupakan orde terkecil untuk persegi sempurna sederhana, yang ditemukan oleh Duijvestijn tahun Persegi sempurna orde-21 ini bersisi 112. Hanya ada satu buah persegi sempurna sederhana orde 21.

4 Terdapat sebuah cara pelambangan sederhana yang kadang disebut kode Bouwkamp yang dapat mendeskripsikan sebuah persegi sempurna. Caranya kelompokkan persegi yang paling atas dan paling kanan dengan semua persegi yang sisi atasnya sama, kemudian kelompokkan kembali persegi yang ada mulai dari yang paling kanan dan paling atas beserta semua persegi yang sama sisi atasnya, demikian seterusnya. Untuk persegi sempurna sederhana orde-21 di atas maka notasinya adalah [50,35,27], [8,19], [15,17,11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33].

Bauwkmp (kiri) dan Duijvestijn (kanan) Sumber: http://www.squaring.net/history_theory/gfx/cjb_ajw.jpeg Untuk persegi sempurna sederhana orde 22 ada sebanyak 8 buah.

5 Bauwkmp (kiri) dan Duijvestijn (kanan) Sumber: Untuk persegi sempurna sederhana orde 22 ada sebanyak 8 buah. Salah satunya dengan kode [60, 50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 18], [26], [4, 21, 3], [18], [17] disajikan di bawah ini. Salah satu persegi sempurna orde 23 disajikan di bawah ini dengan kode [80, 59], [21, 38], [26, 19, 15, 14, 27], [1, 13], [16], [18, 20], [7, 12], [33], [32, 8], [28], [24, 2], [22]. Total ada sebanyak 12 persegi sempurna sederhana orde 23.

6 Total ada sebanyak 26 persegi sempurna sederhana orde 24. Salah satu persegi sempurna orde 24 disajikan di bawah ini dengan kode [47,32,41], [15,17], [8,33], [19,20,23], [25], [14,5], [4,13,3], [10,16], [9], [12,46], [40,6], [34]. Banyak persegi sempurna sederhana dengan orde-n, n 21 adalah 1, 8, 12, 26, 160, 441, 1152, 3001, 7901,... (barisan A006983, Sloane). Skinner tahun 1993 memberikan barisan panjang sisi terkecil persegi sempurna sederhana, yaitu 110, 112, 120, 139, 140,.... Juga barisan banyak persegi paling sedikit untuk tiap persegi sempurna sederhana di atas berturut-turut: 22, 21, 24, 22, 23,... Hanya ada 3 persegi sempurna sederhana dengan panjang sisi 110 yaitu:

7 [60, 50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 28], [26], [4, 21, 3], [18], [17] (orde 22; ditemukan oleh A. J. W. Duijvestijn); [60, 50], [27, 23], [24, 22, 14], [4, 19], [8, 6], [3, 12, 16], [9], [2, 28], [26], [21], [1, 18], [17] (orde 22; ditemukan oleh T. H. Willcocks); dan [44, 29, 37], [21, 8], [13, 32], [28, 16], [15, 19], [12,4], [3, 1], [2, 14], [5], [10, 41], [38, 7], [31] (orde 23; ditemukan oleh A. J. W. Duijvestijn). Penelaahan persegi sempurna baik yang sederhana maupun yang campuran, kini telah banyak menggunakan teknologi super komputer. Sebagai contoh pada Oktober hingga NOpember 2012, Stuart Anderson menggunakan super komputer the Amazon EC12 untuk mendapatkan sebanyak 412 buah persegi sempurna campuran dengan orde 29. Salah satu manfaat menelaah tema ini di sekolah adalah untuk membangkitkan minat dan kesenangan dengan matematika. Persegi-persegi sempurna dapat dibuat menjadi sebuah alat peraga atau alat permainan dengan tugas menyusun kembali semua persegi untuk membentuk persegi yang lebih besar. Daftar Pustaka dan Bacaan Weisstein, Eric W. Perfect Square Dissection. MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam Bouwkamp, C.J, & Duijvestijn, A.J.W Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of order 21 through 25. Eindhoven: Eindhoven University of Technology. Anderson, S. Perfect Rectangles, Perfect Squares. dalam Sloane, N. J. A. and Plouffe, S The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press, 1995.

dokumen-dokumen yang mirip

BILANGAN-BILANGAN YANG MENAKUTKAN

BILANGAN-BILANGAN YANG MENAKUTKAN Sumardyono, M.Pd. Teori bilangan merupakan salah satu cabang matematika yang paling mengasyikkan. Mengapa tidak? Kebanyakan teka-teki atau permainan banyak terkait dengan