TEORI HIMPUNAN (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan)

Transkripsi

1 Outline (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan) Drs., M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009

2 Outline Outline 1 Karakteristik Ekspresi Himpunan 2 3 Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan

5 Karakteristik Ekspresi Himpunan Well-defined Sebuah himpunan dikatakan well-defined, jika secara definitif dapat dinyatakan apakah suatu obyek merupakan elemen atau bukan elemen dari himpunan tersebut. Misalkan, S = {beberapa bilangan asli}, maka S bukan merupakan himpunan yang well-defined sebab tidak dapat dinyatakan apakah 5 S ataukah 5 S. Berbeda jika dinyatakan, S = {empat bilangan asli pertama }, maka elemen-elemen S dapat disebutkan secara definitif, yakni 1, 2, 3, 4.

6 Ekspresi Himpunan Karakteristik Ekspresi Himpunan Ekspresi Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau {x x bilangan prima 5}. Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a S. Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai φ.

9 Ekspresi Himpunan Karakteristik Ekspresi Himpunan Mana yang merupakan himpunan? 1 kumpulan bunga putih 2 kumpulan orang tinggi 3 kumpulan warga negara RI 4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ 5 kumpulan bilangan 6 kumpulan orang miskin 7 kumpulan anak pandai 8 kumpulan gedung tinggi di Jember 9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di bulan

19 Ekspresi Himpunan Karakteristik Ekspresi Himpunan Himpunan kosongkah? 1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku 2 himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul 3 apakah {0} merupakan himpunan kosong 4 apakah {φ} merupakan himpunan kosong

24 Ekspresi Himpunan Karakteristik Ekspresi Himpunan Think about it! Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benar merupakan suatu himpunan? Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hari ternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atau salahnya. Misalkan ada makhluk hidup di planet Mars atau besok akan hujan. Pikirkan!

25 Ekspresi Himpunan Karakteristik Ekspresi Himpunan Think about it! Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benar merupakan suatu himpunan? Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hari ternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atau salahnya. Misalkan ada makhluk hidup di planet Mars atau besok akan hujan. Pikirkan!

26 Himpunan Bagian Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan A dan dinotasikan B A atau A B, jika setiap elemen B merupakan elemen A. Sejati dan Tak Sejati Untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakan himpunan bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagian tak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagian lainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset) Contoh Misalkan S = {a, b, c}, maka S memiliki 8 macam himpunan bagian yakni φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

29 Himpunan Sama Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A = B) jika dan hanya jika A B dan B A Contoh 1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 2, 4, 1} adalah himpunan yang sama. 2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {b, a, c, b, c} adalah himpunan yang sama. 3 Himpunan N = {x x 2 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} adalah himpunan yang sama.

34 Himpunan Berpotongan Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada elemen A yang menjadi elemen B Contoh 1 A = {x x 2 8x + 12 = 0} dan B = {x x 2 4 = 0} berpotongan, 2 P = {x x 2 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} tidak berpotongan.

38 Himpunan Saling Lepas Himpunan A dan B dikatakan lepas (dinotasikan A B) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama. Contoh 1 A = {x x 2 8x + 12 = 0} dan B = {x x 2 4 = 0} tidak lepas, 2 P = {x x 2 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} lepas.

42 Himpunan Ekivalen Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama. Contoh 1 Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d} adalah himpunan yang ekuivalen. 2 Himpunan P = {a, b, c} dan Q = {p, q, r, s} adalah himpunan yang tidak ekuivalen. 3 Himpunan N = {x x 2 8x + 12 = 0} dan M = {5, 10} adalah himpunan yang ekuivalen.

47 Exercise 1 Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2 Buktikan bahwa: 1 Jika M φ, maka M = φ. 2 Jika K L, L M dan M K, maka K = M. 3 Jika P = {jajargenjang}, Q = {belahketupat}, R = {persegi} dan T = {persegipanjang} pada bidang datar. 1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut! 2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar himpunan P, Q, R dan T

55 Exercise Diketahui P Q dan Q R. Misalkan p P, q Q, r R dan juga t P, u Q, v R. Mana diantara pernyataan berikut yang benar? 1 p R 2 q P 3 u R 4 v Q 5 {p, q} R 6 {t, u} R 7 P R 8 t R

64 Gabungan Gabungan himpunan A dan B (dinotasikan A B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis A B = {x x A x B} 1 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P Q = {a, b, c, d, e, f } 2 A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama. Buktikan! 3 Kedua himpunan A dan B masing-masing merupakan himpunan bagian pada A B. Buktikan!

69 Irisan Irisan himpunan A dan B (dinotasikan A B) adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secara notasi operasi irisan dapat ditulis A B = {x x A x B} 1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P Q = φ 2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P Q = {c, d} 3 A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama. Buktikan! 4 Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A B. Buktikan!

75 Komplemen Komplemen suatu himpunan A (dinotasikan A 1 atau A c ) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A. Secara notasi operasi komplemen dapat ditulis A c = {x x S x A} Contoh 1 Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d, e, f, g, h} maka P c = {d, e, f, g, h} 2 A A c = S dan A A c = φ 3 S c = φ dan φ c = S 4 (A c ) c = A.

81 Selisih Selisih himpunan A dan B (dinotasikan A B) adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secara notasi operasi selisih dapat ditulis Contoh A B = {x x A x B} 1 Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P Q = P 2 Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P Q = {a, b} 3 A B dan A B c merupakan dua himpunan yang sama. Buktikan!

86 Jumlah Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukan elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis A + B = {x (x A x B) (x A B)} 1 Jika A = {x x 2 8x + 12 = 0} dan B = {x x 2 4 = 0} maka A + B = { 2, 6} 2 P = {x x 2 8x + 12 = 0} dan Q = {1, 3, 5} maka P + Q = {1, 2, 3, 5, 6}. 3 Himpunan N = {x x 2 8x + 12 = 0} dan M = {2, 6} maka M + N = φ.

91 Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar beberapa himpunan adalah dengan menggunakan diagram Venn Misalnya himpunan semestanya adalah S = {1, 2, 3,..., 10}. Misalkan pula A = {2, 4, 7, 9}, B = {1, 4, 6, 7, 10}, dan C = {3, 5, 7, 9}. Tentukan: 1 A B 2 A C 3 B C 4 (A B) C 5 B C C

98 Hukum-hukum operasi himpunan A A = A A A = A A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A B = A B A B = A B A S = A A φ = A A φ = φ A S = S A A = φ A A = S A (A B) = A A (A B) = A

99 Misalkan A dan B dua himpunan yang berpotongan, n(a) = a, n(b) = b, dan n(a B) = x, maka n(a B) = n(a B) + n(b A) + n(a B) = (a x) + (b x) + x = a + b x = n(a) + n(b) n(a B)

100 Persoalan Di sebuah warung makan datang 100 tamu. 65 tamu memesan pecel, 58 tamu memesan soto, dan semua tamu memesan paling sedikit satu soto atau pecel. a. Berapa tamu yang memesan pecel atau soto? b. Berapa tamu yang memesan pecel dan soto? c. Berapa tamu yang memesan pecel saja? d. Berapa tamu yang memesan soto saja?

101 Pengembangan Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yang melibatkan tiga himpunan A, B, C. Jika n(a) = a, n(b) = b, n(c) = c, n(a B) = x, n(b C) = y, n(a C) = z, dan n(a B C) = p, coba anda hitung n(a B C)! Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10 orang memiliki radio dan tv, 12 orang memiliki tv dan tape, 30 orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya. a. Berapa yang hanya memiliki tape? b. Berapa yang tidak memiliki satupun? c. Berapa yang memiliki radio dan tv tapi tidak memiliki tape? d. Berapa yang hanya memiliki satu macam saja?

102 Pengembangan Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yang melibatkan tiga himpunan A, B, C. Jika n(a) = a, n(b) = b, n(c) = c, n(a B) = x, n(b C) = y, n(a C) = z, dan n(a B C) = p, coba anda hitung n(a B C)! Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10 orang memiliki radio dan tv, 12 orang memiliki tv dan tape, 30 orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya. a. Berapa yang hanya memiliki tape? b. Berapa yang tidak memiliki satupun? c. Berapa yang memiliki radio dan tv tapi tidak memiliki tape? d. Berapa yang hanya memiliki satu macam saja?

103 Buktikan 1 A (A B) 2 Jika A B = φ maka A = φ dan B = φ. 3 (A B) A 4 A B jika hanya jika (A B) = B 5 (A B) A 6 (A B) B = φ 7 M N jika hanya jika M N = φ 8 M = N jika hanya jika M N = φ dan N M = φ

112 Kardinalitas Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Definisi Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan A Contoh Jika A = {e, f, g, h} maka A = 4 Jika N = {x x 2 8x + 12 = 0} maka N = 2

116 Kardinalitas Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Power Set Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari A, dan dinotasikan P(A) Contoh Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.

117 Kardinalitas Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Power Set Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari A, dan dinotasikan P(A) Contoh Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.

118 Kardinalitas Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Teorema Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka A memiliki 2 n subset. Bukti Misalkan A = {x 1, x 2,..., x n }. Untuk menyusun sebuah subset B pada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dari A secara berurutan dan memutuskan apakah element tersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2 kemungkinan untuk suatu elemen x i, apakah x i B ataukah x i B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subset yang terbentuk adalah = 2 n

119 Kardinalitas Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Teorema Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka A memiliki 2 n subset. Bukti Misalkan A = {x 1, x 2,..., x n }. Untuk menyusun sebuah subset B pada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dari A secara berurutan dan memutuskan apakah element tersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2 kemungkinan untuk suatu elemen x i, apakah x i B ataukah x i B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subset yang terbentuk adalah = 2 n

120 Produk Kartesius Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Definisi Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai A B = {(x, y) x A, y B} More generally Produk Kartesius dari n himpunan A 1, A 2,..., A n didefinisikan sebagai A 1 A 2... A n = {(x 1, x 2,..., x n ) i {1, 2,..., n}, x i A i }

121 Produk Kartesius Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Definisi Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai A B = {(x, y) x A, y B} More generally Produk Kartesius dari n himpunan A 1, A 2,..., A n didefinisikan sebagai A 1 A 2... A n = {(x 1, x 2,..., x n ) i {1, 2,..., n}, x i A i }

122 Produk Kartesius Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Produk Kartesius dan Komputasi Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu Misalnya Pada beberapa komputer, kode pengguna yang mengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harus berisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengan sebuah huruf. Misalnya XYZ 123A.

123 Produk Kartesius Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Produk Kartesius dan Komputasi Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu Misalnya Pada beberapa komputer, kode pengguna yang mengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harus berisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengan sebuah huruf. Misalnya XYZ 123A.

124 Produk Kartesius Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Jika L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunan semua digit angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah Kode pengguna L L L D D D L XYZ 123A berkorespondensi dengan elemen (X, Y, Z, 1, 2, 3, A) dalam himpunan L L L D D D L. Catatan Perbedaan penulisan XYZ 123A dengan (X, Y, Z, 1, 2, 3, A) hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip.

127 Produk Kartesius Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuah himpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan, maka produk Kartesius A A... A (sebanyak n kali) dinotasikan A n Contoh 1: Contoh 2 A n = {(x 1, x 2,..., x n ) i {1, 2,..., n}(x i A)} R 2 = {(x, y) x, y R} Terkait dengan produk Kartesius {0, 1} n. Elemen (1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) {0, 1} 8. Kita dapat memandang {0, 1} n sebagai himpunan semua string n bits.

130 Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan Pengantar Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal, memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan dalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters. Pertanyaannya: Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer?

131 Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan Pengantar Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal, memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan dalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters. Pertanyaannya: Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer?

132 Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan Sebuah himpunan selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini ada suatu perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu. Setiap himpunan A yang muncul dalam program dan didefinisikan dengan mengacu pada himpunan semesta S merupakan sub himpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan A secara internal?

133 Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan Sebuah himpunan selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini ada suatu perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu. Setiap himpunan A yang muncul dalam program dan didefinisikan dengan mengacu pada himpunan semesta S merupakan sub himpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan A secara internal?

134 Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan The answer: A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, b 1 b 2...b n, dimana n adalah bilangan kardinal dari S. Bit string b 1 b 2...b n dapat dipandang sebagai elemen (b 1, b 2,..., b n ) dalam {0, 1} n. Bit tersebut ditentukan berdasarkan aturan: b i = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam A b i = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A dengan i bergerak dalam {1, 2,..., n}

135 Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan Contoh Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit string! 2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string ! Jawab: 1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah himpunan yang direpresentasikan oleh adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10}

141 Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan Operasi irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalam bit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yang terlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama Proses kalkulasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise and. untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise or. untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not.

142 Kardinalitas Produk Kartesius Representasi Komputer untuk Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan Operasi irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalam bit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yang terlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama Proses kalkulasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise and. untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise or. untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not.

Menunjukkan lagi