Interpolasi Cubic Spline
|
|
- Irwan Halim
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Interpolasi Cubic Spline Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia atau December 13, 2006 Figure 1: Fungsi f(x) dengan sejumlah titik data Diketahui suatu fungsi f(x) (Figure 1) yang dibatasi oleh interval a dan b, dan memiliki sejumlah titik data a = x 0 < x 1 <... < x n = b. Interpolasi cubic spline S(x) adalah sebuah potongan fungsi polinomial kecil-kecil (Figure 2) berderajat tiga (cubic) yang menghubungkan dua titik data yang bersebelahan dengan ketentuan sebagai berikut: 1. S j (x) adalah potongan fungsi yang berada pada sub-interval dari x j hingga x j+1 untuk nilai j = 0, 1,...,n 1; 2. S(x j ) = f(x j ), artinya pada setiap titik data (x j ), nilai f(x j ) bersesuaian dengan S(x j ) dimana j = 0, 1,...,n; 1
2 Figure 2: Pendekatan dengan polinomial cubic spline 3. S j+1 (x j+1 ) = S j (x j+1 ). Perhatikan titik x j+1 pada Figure 2. Ya.. tentu saja jika fungsi itu kontinyu, maka titik x j+1 menjadi titik sambungan antara S j dan S j S j+1(x j+1 ) = S j(x j+1 ), artinya kontinyuitas menuntut turunan pertama dari S j dan S j+1 pada titik x j+1 harus bersesuaian. 5. S j+1(x j+1 ) = S j (x j+1 ), artinya kontinyuitas menuntut turunan kedua dari S j dan S j+1 pada titik x j+1 harus bersesuaian juga. 6. Salah satu syarat batas diantara 2 syarat batas x 0 dan x n berikut ini mesti terpenuhi: S (x 0 ) = S (x n ) = 0 ini disebut natural boundary S (x 0 ) = f (x 0 ) dan S (x n ) = f (x n ) ini disebut clamped boundary Polinomial cubic spline S (polinomial pangkat 3) untuk suatu fungsi f berdasarkan ketentuan di atas adalah S j (x) = a j + b j (x x j ) + c j (x x j ) 2 + d j (x x j ) 3 (1) dimana j = 0, 1,...,n 1. Maka ketika x = x j S j (x j ) = a j + b j (x j x j ) + c j (x j x j ) 2 + d j (x j x j ) 3 S j (x j ) = a j = f(x j ) Itu artinya, a j selalu jadi pasangan titik data dari x j. Dengan pola ini maka pasangan titik data x j+1 adalah a j+1, konsekuensinya S(x j+1 ) = a j+1. Berdasarkan ketentuan (3), yaitu ketika 2
3 x = x j+1 dimasukan ke persamaan (1) a j+1 = S j+1 (x j+1 ) = S j (x j+1 ) = a j + b j (x j+1 x j ) + c j (x j+1 x j ) 2 + d j (x j+1 x j ) 3 dimana j = 0, 1,...,n 2. Sekarang, kita nyatakan h j = x j+1 x j, sehingga a j+1 = a j + b j h j + c j h 2 j + d j h 3 j (2) Kemudian, turunan pertama dari persamaan (1) adalah S j(x) = b j + 2c j (x x j ) + 3d j (x x j ) 2 ketika x = x j, S j(x j ) = b j + 2c j (x j x j ) + 3d j (x j x j ) 2 = b j dan ketika x = x j+1, b j+1 = S j(x j+1 ) = b j + 2c j (x j+1 x j ) + 3d j (x j+1 x j ) 2 Ini dapat dinyatakan sebagai b j+1 = b j + 2c j (x j+1 x j ) + 3d j (x j+1 x j ) 2 dan dinyatakan dalam h j b j+1 = b j + 2c j h j + 3d j h 2 j (3) Berikutnya, kita hitung turunan kedua dari persamaan (1) S j (x) = 2c j + 6d j (x x j ) (4) tapi dengan ketentuan tambahan yaitu S (x)/2, sehingga persamaan ini dimodifikasi menjadi S j (x) = c j + 3d j (x x j ) dengan cara yang sama, ketika x = x j S j (x j ) = c j + 3d j (x j x j ) = c j dan ketika x = x j+1 c j+1 = S j (x j+1 ) = c j + 3d j (x j+1 x j ) c j+1 = c j + 3d j h j (5) 3
4 dan d j bisa dinyatakan dari sini, persamaan (2) dapat ditulis kembali d j = 1 3h j (c j+1 c j ) a j+1 = a j + b j h j + c j h 2 j + d j h 3 j sementara persamaan (3) menjadi = a j + b j h j + c j h 2 j + h2 j 3 (c j+1 c j ) = a j + b j h j + h2 j 3 (2c j + c j+1 ) (6) b j+1 = b j + 2c j h j + 3d j h 2 j = b j + 2c j h j + h j (c j+1 c j ) = b j + h j (c j + c j+1 ) (7) Sampai sini masih bisa diikuti, bukan? Selanjutnya, kita coba mendapatkan b j dari persamaan (6) b j = 1 h j (a j+1 a j ) h j 3 (2c j + c j+1 ) (8) dan untuk b j 1 b j 1 = 1 h j 1 (a j a j 1 ) h j 1 3 (2c j 1 + c j ) (9) Langkah berikutnya adalah mensubtitusikan persamaan (8) dan persamaan (9) kedalam persamaan (7), h j 1 c j 1 + 2(h j 1 + h j )c j + h j c j+1 = 3 h j (a j+1 a j ) 3 h j 1 (a j a j 1 ) (10) dimana j = 1, 2,...,n 1. Dalam sistem persamaan ini, nilai {h j } n 1 j=0 dan nilai {a j} n j=0 sudah diketahui, sementara nilai {c j } n j=0 belum diketahui dan memang nilai inilah yang akan dihitung dari persamaan ini. Sekarang coba perhatikan ketentuan nomor (6), ketika S (x 0 ) = S (x n ) = 0, berapakah nilai c 0 dan c n? Nah, kita bisa evaluasi persamaan (4) S (x 0 ) = 2c 0 + 6d 0 (x 0 x 0 ) = 0 jelas sekali c 0 harus berharga nol. Demikian halnya dengan c n harganya harus nol. Jadi untuk natural boundary, nilai c 0 = c n = 0. 4
5 Persamaan (10) dapat dihitung dengan operasi matrik Ax = b dimana h 0 2(h 0 + h 1 ) h A = 0 h 1 2(h 1 + h 2 ) h h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n c 0 c 1 x =. 0 3 h 1 (a 2 a 1 ) 3 h 0 (a 1 a 0 ) b =. 3 h n 1 (a n a n 1 ) 3 h n 2 (a n 1 a n 2 ) 0 Sekarang kita beralih ke clamped boundary dimana S (a) = f (a) dan S (b) = f (b). Nah, kita bisa evaluasi persamaan (8) dengan j = 0, dimana f (a) = S (a) = S (x 0 ) = b 0, sehingga c n konsekuensinya, f (a) = 1 h 0 (a 1 a 0 ) h 0 3 (2c 0 + c 1 ) 2h 0 c 0 + h 0 c 1 = 3 h 0 (a 1 a 0 ) 3f (a) (11) Sementara pada x n = b n dengan persamaan (7) f (b) = b n = b n 1 + h n 1 (c n 1 + c n ) sedangkan b n 1 bisa didapat dari persamaan (9) dengan j = n 1 Jadi f (b) = = b n 1 = 1 h n 1 (a n a n 1 ) h n 1 3 (2c n 1j + c n ) 1 (a n a n 1 ) h n 1 h n 1 3 (2c n 1j + c n ) + h n 1 (c n 1 + c n ) 1 (a n a n 1 + h n 1 h n 1 3 (c n 1j + 2c n ) 5
6 dan akhirnya kita peroleh h n 1 c n 1 + 2h n 1 C n = 3f (b) 3 h n 1 (a n a n 1 ) (12) Persamaan (11) dan persamaan (12) ditambah persamaan (10 membentuk operasi matrik Ax = b dimana 2h 0 h h 0 2(h 0 + h 1 ) h A = 0 h 1 2(h 1 + h 2 ) h h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n h n 1 2h n 1 c 0 c 1 x =. 3 h 0 (a 1 a 0 ) 3f (a) 3 h 1 (a 2 a 1 ) 3 h 0 (a 1 a 0 ) b =. 3 h n 1 (a n a n 1 ) 3 h n 2 (a n 1 a n 2 ) 3f (b) 3 h n 1 (a n a n 1 ) c n 6
7 Figure 3: Profil suatu object Figure 4: Sampling titik data 7
8 Figure 5: Hasil interpolasi cubic spline 8
9 Figure 6: Hasil interpolasi lagrange 9
10 j x j a j b j c j d j 0 0,9 1,3 5,4 0,00-0,25 1 1,3 1,5 0,42-0,30 0,95 2 1,9 1,85 1,09 1,41-2,96 3 2,1 2,1 1,29-0,37-0,45 4 2,6 2,6 0,59-1,04 0,45 5 3,0 2,7-0,02-0,50 0,17 6 3,9 2,4-0,5-0,03 0,08 7 4,4 2,15-0,48 0,08 1,31 8 4,7 2,05-0,07 1,27-1,58 9 5,0 2,1 0,26-0,16 0, ,0 2,25 0,08-0,03 0, ,0 2,3 0,01-0,04-0, ,0 2,25-0,14-0,11 0, ,2 1,95-0,34-0,05-0, ,5 1,4-0,53-0,1-0, ,3 0,9-0,73-0,15 1, ,6 0,7-0,49 0,94-0, ,0 0,6-0,14-0,06 0, ,6 0,5-0,18 0-0, ,0 0,4-0,39-0,54 0, ,3 0,25 10
METODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR
METODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com November 12, 2006 Suatu
Lebih terperinciPertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi. Metode Newton Metode Spline
Pertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi Metode Newton Metode Spline Pertemuan 9 : Interpolasi 2 Interpolasi Newton Polinomial Maclaurin dan polinomial Taylor menggunakan satu titik pusat, x 0 untuk
Lebih terperinciREGRESI LINEAR DAN ELIMINASI GAUSS
REGRESI LINEAR DAN ELIMINASI GAUSS Penulis: Supriyanto, email: supri@fisika.ui.ac.id Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia Diketahui data eksperimen tersaji dalam tabel berikut ini
Lebih terperinciBAB 5 Interpolasi dan Aproksimasi
BAB 5 Interpolasi dan Aproksimasi Interpolasi merupakan proses penentuan dan pengevaluasian suatu fungsi yang grafiknya melalui sejumlah titik tertentu. Sebaliknya, pada aproksimasi grafik fungsi yang
Lebih terperinciRUNGE-KUTTA ORDE EMPAT
RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri9@gmail.com December 30, 00 Pada saat membahas metode Euler
Lebih terperinciBAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN 2.1 PENDAHULUAN Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk mencari akar-akar persamaan berbentuk : = 0 Fungsi f di sini adalah fungsi atau
Lebih terperinciLU DECOMPOSITION (FAKTORISASI MATRIK)
LU DECOMPOSITION (FAKTORISASI MATRIK) Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com 5 Februari 2005 Pada semua catatan
Lebih terperinciSUKU BANYAK. Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut:
SUKU BANYAK A. Pengertian Suku Banyak Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut: Dinamakan suku banyak (polinom) dalam yang berderajat dengan bilangan cacah
Lebih terperinciInterpolasi Spline Kubik pada Trajektori Manusia
Interpolasi Spline Kubik pada Trajektori Manusia Samsu Sempena (13788) 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 1 Bandung 4132,
Lebih terperinciBAB 2 DENGAN MENGGUNAKAN INTERPOLASI INTERPOLASI SPLINE LINIER DAN INTERPOLASI SPLINE
8 BAB 2 PENENTUAN SUDUT PANDANG BAB 2 WAJAH TIGA DIMENSI PENENTUAN DENGAN MENGGUNAKAN SUDUT PANDANG INTERPOLASI WAJAH TIGA LINIER DIMENSI DAN DENGAN MENGGUNAKAN INTERPOLASI INTERPOLASI SPLINE LINIER DAN
Lebih terperinciINVERS MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS
INVERS MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com 5 Februari 2005 Secara umum, sistem
Lebih terperinciINTERPOLASI: METODE LAGRANGE
1 INTERPOLASI: METODE LAGRANGE Pertemuan ke-1: 0 Desember 01 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Apa Interpolasi? Diberikan data (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ), (x n,y n ), nilai y diperoleh pada x yang tidak diketahui nilainya.
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Nama Anggota Kelompok 4 : 1. Krisna Bani Putri Puspita Azah Elvana Eni Lestari
PERSAMAAN KUADRAT Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat dan Menyusun Persamaan Kuadrat Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kajian Matematika SMA Dosen Pengampu: Padrul Jana,
Lebih terperinciMETODE ITERASI DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEAR
METODE ITERASI DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEAR Penulis: Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc, email: supri@fisika.ui.ac.id Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia Penulisan vektor-kolom Sebelum
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN ELIMINASI GAUSS
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN ELIMINASI GAUSS Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com 5 Februari 2005 Abstract
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciTujuan. Interpolasi berguna untuk memperkirakan nilai-nilai tengah antara titik data yang sudah ditentukan dan tepat.
INTERPOLASI Tujuan Interpolasi berguna untuk memperkirakan nilai-nilai tengah antara titik data yang sudah ditentukan dan tepat. Interpolasi mempunyai orde atau derajat. Macam Interpolasi Interpolasi Linear
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciSUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a
SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada
Lebih terperinciTEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON. 1. Pengenalan
TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON TUTUR WIDODO. Pengenalan Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah
Lebih terperinciContoh Tentukanlah prakiraan nilai f pada titik x 8 dengan menggunakan metode polinomial interpolasi Lagrange dengan ketelitian hingga desimal, jika d
INTERPOLATION INTERPOLATION Numerical Methods Oleh : Interpolasi mrp cara utk mendapatkan kurva sesuai dgn data yang ada, tanpa menimbulkan kesalahan thp data tsb. Pembahasan interpolasi akan dititikberatkan
Lebih terperinciMATRIK DAN KOMPUTASI
MATRIK DAN KOMPUTASI Penulis: Supriyanto, email: supri@fisika.ui.ac.id Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia Fukuoka, 5 Feb 2005 Catatan ini bermaksud menjelaskan secara singkat
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-
Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi III Revisi terakhir tgl:
Lebih terperinci11/17/2015 P O L I N O M I A L. B. Operasi Aljabar pada Polinomial. Peta Konsep. B. Operasi Aljabar pada Polinomial
Peta Konsep Jurnal Materi MIPA Pengertian Polinomial Daftar Hadir PetaKonsep P O L I N O M I A L Nilai Polinomial Materi B(02) Kelas XI, Semester 3 SoalLatihan B. Operasi Aljabar pada Polinomial 2. Operasi
Lebih terperinciBAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Persamaan linear tingkat tinggi menarik untuk dibahas dengan 2 alasan :
BAB V PERSAMAAN LINEAR TINGKAT TINGGI (HIGHER ORDER LINEAR EQUATIONS) Bentuk Persamaan Linear Tingkat Tinggi : ( ) Diasumsikan adalah kontinu (menerus) pada interval I. Persamaan linear tingkat tinggi
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva
PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva Permasalahan dan
Lebih terperinciBAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial
BAB Konsep Dasar BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial. Norm Denisi.. (Norm vektor) Norm vektor adalah pemetaan dari suatu fungsi terhadap setiap x IR N yang
Lebih terperinciMETODE NUMERIK. Akar Persamaan (2) Pertemuan ke - 4. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
METODE NUMERIK Pertemuan ke - 4 Akar Persamaan (2) Metode Akar Persamaan Metode Grafik Metode Tabulasi Metode Setengah Interval Metode Regula Falsi Metode Newton Rephson Metode Iterasi bentuk = g() Metode
Lebih terperinciIII. FUNGSI POLINOMIAL
III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan
Lebih terperinciKomparasi Metode Interpolasi Natural Cubic Spline dengan Clamped Cubic Spline
Komparasi Metode Interpolasi Natural Cubic Spline dengan Clamped Cubic Spline Muhammad Indra N. S. - 23515019 Program Magister Informatika Institute Teknologi Bandung Bandung, Indonesia 23515019@std.stei.itb.ac.id
Lebih terperinciMOTIVASI. Secara umum permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Solusi persamaan : 1. analitis 2.
KOMPUTASI NUMERIS Teknik dan cara menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan Mencakup sejumlah besar perhitungan aritmatika yang sangat banyak dan menjemukan Diperlukan komputer MOTIVASI
Lebih terperinciInterpolasi. Metode Numerik POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Interpolasi Metode Numerik Zulhaydar Fairozal Akbar zfakbar@pens.ac.id 2017 TOPIK Pengenalan
Lebih terperinciInterpolasi dan Ekstrapolasi
Interpolasi dan Ekstrapolasi JURNAL 01 Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan upaya
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB Konsep Dasar BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier Suatu tekanan p dibutuhkan untuk menancapkan suatu plat sirkuler
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6 No. 02 (2017), hal 69 76. MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR Mahmul, Mariatul Kiftiah, Yudhi
Lebih terperinciInstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Keterkendalian (Controlability)
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Keterkendalian (Controlability) Contoh Soal Ringkasan Latihan Contoh Soal Ringkasan Latihan Vektor Bebas Linear Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari
Lebih terperinciPersamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh : a + b + c = 0 Solusi : 1 = b ± b 4 ac a Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari.
Lebih terperinciInterpolasi dan Ekstrapolasi
Metode Numerik Bab 1 Interpolasi dan Ekstrapolasi Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan
Lebih terperinciCourse Note Numerical Method : Interpolation
Course Note Numerical Method : Interpolation Pengantar Interpolasi. Kalimat y = f(x), xo x xn adalah kalimat yang mengkorespondensikan setiap nilai x di dalam interval x0 x xn dengan satu atau lebih nilai-nilai
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinci: 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
Latar belakang penyusunan: Lembar kerja siswa ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Deret Taylor Deret Taylor dinamai berdasarkan seorang matematikawan Inggris, Brook Taylor (1685-1731) dan deret Maclaurin dinamai berdasarkan matematikawan Skotlandia, Colin
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi II Revisi terakhir tgl: 28 April 2008 Departemen
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciMenurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden
Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan
Lebih terperincix 3 NAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA LIMIT FUNGSI Dengan menggunakan limit matematis dapat dituliskan sebagai berikut: lim
NAMA : KELAS : A. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI LEMBAR AKTIVITAS SISWA LIMIT FUNGSI Dengan menggunakan it matematis dapat dituliskan sebagai berikut: x 3 (2x -1) =.. Grafiknya dapat diperhatikan sebagai berikut:
Lebih terperinciPengantar Metode Numerik
Pengantar Metode Numerik Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika. Metode numerik menggunakan perhitungan
Lebih terperinciPERSAMAAN NON LINIER
PERSAMAAN NON LINIER Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan non linier 2. Mengerti metode biseksi dan regulafalsi 3. Mampu menggunakan metode biseksi dan regula falsi untuk mencari solusi PENGANTAR
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi II Revisi terakhir tgl: 12 Februari 2008 Departemen
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. dan XI IPA2 pada bulan April- Mei Pada bulan April 2014 peneliti
33 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN A. Deskripsi Pelaksanaan Penelitian Penelitian dilaksanakan di SMAN 1 Kasihan untuk kelas XI IPA1 dan XI IPA2 pada bulan April- Mei 2014. Pada bulan April 2014 peneliti melakukan
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik -Dalam Matlab-
Komputasi untuk Sains dan Teknik -Dalam Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi III Revisi terakhir tgl: 25
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini diuraikan beberapa tinjauan pustaka sebagai landasan teori pendukung penulisan penelitian ini. 2.1 Analisis Regresi Suatu pasangan peubah acak seperti (tinggi, berat)
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-
Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id ) ( Email: supriyanto@sci.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi IV Revisi terakhir
Lebih terperinciFUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
Lebih terperinciUJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I
PETUNJUK UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I DR. IR. ISTIARTO, M.ENG. KAMIS, 8 JUNI 017 OPEN BOOK 150 MENIT 1. Saudara tidak boleh menggunakan komputer untuk mengerjakan soal ujian ini.. Tuliskan urutan/cara/formula
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH ANALISA NUMERIK (S1/TEKNIK SIPIL) KODE / SKS : KK /2
ATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH ANALISA NUMERIK (S1/TEKNIK SIPIL) KODE / SKS : KK-031248 /2 Ming gu Pokok Bahasan & TIU Sub-pokok Bahasan dan Sasaran Belajar Cara Pengajara n Media Tugas Referensi
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi III Revisi terakhir tgl: 9 Desember 2008 Departemen
Lebih terperinciBAB III METODOLOGI PENELITIAN
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Pendahuluan Bab ini menjelaskan tahapan metodologi penelitian. Pengujian beban pada generator dilakukan dengan mengukur daya output generator pada saat diberi beban yang
Lebih terperinciPengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam
Lebih terperinciTUGAS KOMPUTASI SISTEM FISIS 2015/2016. Pendahuluan. Identitas Tugas. Disusun oleh : Latar Belakang. Tujuan
TUGAS KOMPUTASI SISTEM FISIS 2015/2016 Identitas Tugas Program Mencari Titik Nol/Titik Potong Dari Suatu Sistem 27 Oktober 2015 Disusun oleh : Zulfikar Lazuardi Maulana (10212034) Ridho Muhammad Akbar
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi III Revisi terakhir tgl: 13 Oktober 2008 Departemen
Lebih terperinci4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi
4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret trigonometri tersebut
Lebih terperinciINTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH. Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh. Dr. Trisilowati, S.Si., M.
ITERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode umerik yang dibimbing oleh Dr. Trisilowati, S.Si., M.Sc Disusun Oleh: Danang Indrajaya (146090400111008) M. Adib Jauhari Dwi
Lebih terperinci9. Teori Aproksimasi
44 Hendra Gunawan 9 Teori Aproksimasi Mulai bab ini tema kita adalah aproksimasi fungsi dan interpolasi Diberikan sebuah fungsi f, baik secara utuh ataupun hanya beberapilai di titik-titik tertentu saja,
Lebih terperinciuntuk i = 0, 1, 2,..., n
RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear a. Interpolasi Polinomial Lagrange Suatu fungsi f dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi
Lebih terperinciMETODE INTERPOLASI DAN IMPLEMENTASINYA DALAM CITRA DIGITAL
METODE INTERPOLASI DAN IMPLEMENTASINYA DALAM CITRA DIGITAL Setiawan Hadi 1 1 Jurusan Matematika UNPAD, Email: setiawan.hadi@computer.org ABSTRACT Interpolasi citra dijital memegang peranan penting dalam
Lebih terperinciPersamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II
BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c
Lebih terperinciMetode Numerik & Lab. Muhtadin, ST. MT. Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Metode Numerik & Lab Muhtadin, ST. MT. Agenda Intro Rencana Pembelajaran Ketentuan Penilaian Deret Taylor & McLaurin Analisis Galat Metode Numerik & Lab - Intro 3 Tujuan Pembelajaran Mahasiswa memiliki
Lebih terperinci1.1 Definisi dan Teorema Dalam Kalkulus Representasi bilangan dalam komputer Algoritma Software Komputer...
Daftar Isi Contents ii Daftar Tabel iii Daftar Gambar iv 1 Konsep Dasar 1 1.1 Definisi dan Teorema Dalam Kalkulus................ 1 1.2 Representasi bilangan dalam komputer................ 4 1.3 Algoritma................................
Lebih terperinciINTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE MENGGUNAKAN PENDEKATAN INTERPOLASI HERMITE DAN POLINOMIAL LEGENDRE
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 148 153 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND INTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE MENGGUNAKAN PENDEKATAN INTERPOLASI HERMITE DAN
Lebih terperinciatau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=
Lebih terperinci5. INTERPOLASI. orde 1 orde 2 orde 3 menghubungkan 2 titik menghubungkan 3 titik menghubungkan 4 titik. Gambar 5.1
5. INTERPOLASI PENDAHULUAN Bentuk umum persamaan polinomial orde n adalah: f() = a + a. + a. +.. + a n. n Untuk n+ titik data, hanya terdapat satu polinomial orde n atau kurang yang melalui semua titik.
Lebih terperinciTEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciKONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dipergunakan untuk menaksir pola hubungan antara variabel prediktor atau
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis regresi merupakan salah satu analisis dalam statistika yang dipergunakan untuk menaksir pola hubungan antara variabel prediktor atau variabel bebas X dengan
Lebih terperinciPerbaikan Kualitas Rekonstruksi Motion Capture
Perbaikan Kualitas Rekonstruksi Motion Capture Dengan Metode Interpolasi Winaryo, Ahmad Zaini, Muhtadin Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Fakultas Teknologi Industri, Jurusan Teknik Elektro Kampus ITS
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam dunia perekonomian dibutuhkan investasi guna menghadapi masa depan yang semakin berkembang. Investasi pada hakikatnya merupakan kegiatan penanaman modal pada
Lebih terperinciMETODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1. Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 3 & 4
METODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1 Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 3 & 4 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER METODE NUMERIK TEKNIK INFORMATIKA S1 3 SKS Mohamad Sidiq MATERI PERKULIAHAN SEBELUM-UTS Pengantar
Lebih terperinciBAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN)
PENDAHULUAN BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12) Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode integrasi lainnya yaitu
Lebih terperinciTeorema Faktor. Misalkan P (x) suatu polynomial, (x k) merupakan faktor dari P (x) jika dan hanya jika P (k) = 0
Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Teorema ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soal - soal baik level sekolah maupun soal level olimpiade. Berikut
Lebih terperinciStudi Kasus Penyelesaian Pers.Non Linier. Studi Kasus Non Linier 1
Studi Kasus Penyelesaian Pers.Non Linier Studi Kasus Non Linier 1 Contoh Kasus Penyelesaian persamaan non linier terkadang muncul sebagai permasalahan yang terpisah, tetapi terkadang pula muncul sebagai
Lebih terperinciBAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER
BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER 3.. Permasalahan Persamaan Non Linier Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.dimana akar sebuah persamaan f(x =0 adalah
Lebih terperinciPertemuan 6: Metode Least Square. Achmad Basuki Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2014
Pertemuan 6: Metode Least Square Achmad Basuki Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2014 Bagaimana mendapatkan fungsi polinomial untuk mewakili sejumlah titik data Bentuk Permasalahan Permasalahan 1
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-
Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id ) ( Email: supriyanto@sci.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi Pertama Revisi terakhir
Lebih terperinci4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi
8 Hendra Gunawan 4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret
Lebih terperinciBAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial Denition (Metoda numeris) Metoda numeris adalah suatu model pendekatan dengan menggunakan teknik-teknik
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial Denition 2.0.1 (Metoda numeris) Metoda numeris adalah suatu model pendekatan dengan menggunakan teknik-teknik kalkulasi berulang (teknik iterasi)
Lebih terperinciIntisari + Latihan Hitung Kalkulus Dan Fungsi Transeden (Tingkat Lanjut) Tanggal: 28 Maret Oleh: Tjandra Satria Gunawan
Intisari + Latihan Hitung Kalkulus Dan Fungsi Transeden Tingkat Lanjut) Tanggal: 28 Maret 2010 Oleh: Tjandra Satria Gunawan Materi kalkulus tingkat lanjut: Kalkulus merupakan salah satu bagian materi matematika
Lebih terperinciPERKONGRUENAN POLINOMIAL MODULO m
PERKONGRUENAN POLINOMIAL MODULO m Nunung Fajar Kusuma Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sebelas Maret Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan Jebres Surakarta, e-mail: nfjar@yahoo.com
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Edisi I Laboratorium Jaringan Komputer Departemen Fisika-FMIPA Univeristas Indonesia 2006 Untuk Muflih Syamil dan Hasan Azmi... Mottoku : Tenang,
Lebih terperinciFUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK
FUNGSI, SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MENGGAMBAR GRAFIK TUGAS MATEMATIKA EKONOMI DISUSUN OLEH : DENY PRASETYA 01212074 IAN ANUGERAH 01212035 M. UMAR A 01212016 ARON GARDIKA 01212140 SAIFUL RAHMAN 01212020
Lebih terperinciMenentukan akar-akar persamaan polinomial
Menentukan akar-akar persamaan polinomial Bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan polinomial ini? x 4 4x 3 x 2 + 16x 12 = 0 Penyelesaian: Kalau kita tulis akar-akar polinomial itu adalah p, q, r,
Lebih terperinciMatematika
Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinci