INTERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH. Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik yang dibimbing oleh. Dr. Trisilowati, S.Si., M.

Transkripsi

1 ITERPOLASI CHEBYSHEV MAKALAH Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode umerik yang dibimbing oleh Dr. Trisilowati, S.Si., M.Sc Disusun Oleh: Danang Indrajaya ( ) M. Adib Jauhari Dwi Putra ( ) Zulfiana S. Akib( ) PROGRAM PASCASARJAA ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM UIVERSITAS BRAWIJAYA MALAG 015

2 BAB I PEDAHULUA 1.1.Latar Belakang Dalam bidang matematika analisis numerik, interpolasi adalah metode menghasilkan titik-titik data baru dalam suatu jangkauan dari suatu set diskret data-data yang diketahui. Atau dengan kata lain Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Di dunia nyata, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi, yang mana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil percobaan. Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial. Dalam makalah ini akan dibahas tentang interpolasi polinomial Chebyshev. Polinomial Chebyshev diambil dari nama Pafnuty Chebyshev, adalah sebua barisan polinomial ortogonal yang didefinisikan secara rekursif. Polinomial Chebyshev mengambil peran penting dalam analisis numerik dan perkembangan ilmu pengetahuan modern, diantaranya adalah tentang polinomial ortogonal, aproksimasi polinomial, integrasi numerik dan metode spektral untuk persamaan diferensial parsial. Dengan mempelajari polinomial Chebyshev akan mengarah pada semua bidang dalam analisis numerik. Hal ini berarti bahwa polinomial Chebyshev memberikan pelajar kesempatan untuk mengenal luas berbagai bidang analisis numerik dan matematika. 1..Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, pokok permasalahan yang dibahas dalam makalah ini adalah a. Bagaimana memperoleh polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev dan ketunggalan interpolasi Chebyshev.

3 b. Bagaimana perbandingan galat interpolasi dengan polinomial Lagrange dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev 1.. Tujuan Tujuan dari penulisan makalah ini adalah: 1. Mengetahui hasil polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev dan ketunggalan interpolasi Chebyshev.. Mengetahui perbandingan galat interpolasi dengan polinomial Lagrange dan interpolasi dengan polinomial Chebyshev

4 BAB II TIJAUA PUSTAKA 1.1. Galat Galat atau error adalah sumber variasi data yang tidak dapat dimasukkan ke dalam model. Ada tiga macam galat: 1. Galat bawaan, terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala, atau karena kurangnya pengertian mengenai hukumhukum fisik dari data yang diukur.. Galat pembulatan (round-off error), terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Sebagai contoh, dapat dibulatkan menjadi.14.. Galat pemotongan (truncation error), terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. 1.. Interpolasi Misalkan y=f(x) adalah suatu fungsi yang diketahui nilanya pada (+1) buah titik berbeda x0,x1,,xn dalam selang [a,b]. Polinomial P(x) disebut polinom penginterpolasi berderajat bagi f(x), jika untuk setiap,1,, berlaku P (xk)=f(xk)=yi. Selanjutnya, jika P(x) digunakan untuk mengaproksimasi fungsi f(x) pada selang (x0,x) maka proses tersebut disebut proses interpolasi dan nilai P(x) disebut nilai interpolasi. Interpolasi polinomial Lagrange merupakan salah satu bentuk interpolasi yang menggunakan polinomial Lagrange sebagai polinom penginterpolasinya. Polinomial Lagrange berderajat memiliki bentuk umum yaitu, P (x) = f(x k )L,k (x) 4

5 dengan L,k (x) adalah koefisien polinomial Lagrange yang dinyatakan persamaan L,k (x) = n j=1(x x j ) j k n j=1(x k x j ) j k 1.. Polinomial Monik Suatu polinomial dikatakan sebagai polinomial monik jika koefisien utamanya adalah satu. Misalkan(x) adalah polinomial monik berderajat maka koefisien dari x dalam polinomial tersebut adalah satu. Bentuk umum polinomial monik berderajat dinyatakansebagaiberikut P(x) = x + a 1 x a 1 x + a 0 5

6 BAB III PEMBAHASA.1. Interpolasi Polinomial Chebyshev Metode numerik selalu berhubungan dengan eror, yaitu bagaimana meminimalkan galat atau eror. Sebelumnya kita ingat bahwa ketika kita punya fungsi f(x) yang memiliki n turunan kontinu, interpolasi erornya adalah sebagai berikut 1 f x Q x f x x n ( n 1) ( ) n( ) ( n) ( j ). ( n 1)! j 0 Dimana Qn ( x) adalah polinomial interpolasi dan n adalah titik diantara interval. Dari persamaan di atas terlihat bahwa titik interpolasi sangat mempengaruhi eror. Memang bukan hanya titik interpolasi yang berpengaruh, namun paling tidak untuk meminimalkan eror atau mendapatkan hasil yang optimal dalam interpolasi pemilihan titik interpolasi juga sangat penting. Salah satu solusinya adalah dengan menggunakan titik Chebyshev Polinomial Chebyshev Polinomial Chebysev memiliki beberapa sifat berikut. a. Persamaan rekursif Polinomial Chebyshev dapat didefinisikan sebagai relasi rekursif berikut: T ( x) 1 0 T ( x) x 1 T ( x) xt ( x) T ( x), n n n 1 n Atau dapat ditulis Tn 1( x) xtn ( x) Tn 1( x), n 1 Sebagai contohnya, T x xt x T x x, dan ( ) 1( ) 0( ) 1 T x x x. ( ) 4 b. Koefisien Utama Persamaan rekursif polinomial Chebyshev menyatakan bahwa koefisien dari x yang merupakan koefisien utama pada polinomial T (x) adalah (koefisien x 1 dalam T 1 (x)). 6

7 Oleh karena itu, koefisien dari x dalam polinomial T (x) adalah 1 untuk 1 c. Representasi trigonometri dalam [ 1, 1] Untuk setiap x [ 1,1], T x n x n 1 n ( ) cos( cos ), 0. Atau bisa ditulis sebagai T (x) = cos( arccos(x)). Bukti: Dalam trigonometri berlaku cos( n 1) cos cos n sin sin n, cos( n 1) cos cos n sin sin n. Karena itu, cos( n 1) cos cos n cos( n 1). 1 Diberikan cos x, maka x cos, dan definisikan t x n x n. 1 n ( ) cos( cos ) cos( ) Sehingga t0( x) 1, t1( x) x, tn 1( x) xtn ( x) tn 1( x), n 1. Oleh karena itu tn( x) Tn( x). d. Akar Polinomial di [-1,1] Polinomial Chebyshev T (x) dengan orde 1 memiliki buah akar dalam interval [ 1,1], yaitu x k = cos ( k+1 π) untuk k = 0,1,, 1. ilai tersebut dikatakan sebagai titik Chebyshev. Bukti: 7

8 Diketahui bahwa T (x) = cos( arccos(x)), 1 x 1 Akar persamaan T (x) ditentukan menggunakan persamaan berikut. T (x) = 0 arccos(x) = arccos(0) arccos(x) = k + 1 π x k = cos ( k+1 π), k = 0,1,, 1. Oleh karena itu, diperoleh akar persamaan T (x) pada interval [ 1,1] adalah e. x k = cos ( k+1 π), k = 0,1,, 1 ilai ini disebut titik Chebyshev... Interpolasi Chebysev Dalam kasus yang lebih umum dimana interval interpolasi untuk fungsi f(x) adalah x [a,b] pertama harus mengubah interval interpolasi ke y [-1,1] dengan Dengan b a x k = ( ) t a + b k + t k = y = cos [( + 1 k) π + ], k = 0,1,, adalah titik Chebyshev dari polinomial T +1 (x) pada [ 1,1]. Hal ini mengubah masalah interpolasi untuk f(x) di [a,b] ke f(x)=g(x(y)) pada y [-1,1]. Teorema Misalkanf fungsi terdefinisi dan kontinu pada [a, b]dan sedemikian sehingga turunan orde ke- + 1 dari f kontinu di [a, b] JikaP (x) adalah polinomial interpolasi Lagrange dengan titik interpolasinya merupakan titik Chebyshev dari T +1 (x) maka: max f(x) P (b a)+1 (x) x [a,b] +1 ( + 1)! max ξ [a,b] f(+1) (ξ)..1. Polinomial Chebyshev Polinomial interpolasi Chebyshev dapat ditulis sebagai berikut: P (x) = c k. T k (x) = c 0. T 0 (x) + c 1. T 1 (x) + + c. T (x) 8

9 Misalkan f(x) diinterpolasi oleh polinomial P (x) dengan + 1 titik interpolasi Chebyshev yaitu x k = cos ( k+1 π), k = 0,1,,, oleh karena itu pada titik tersebut berlaku f(x) = P (x). Akibatnya, f(x k )T j (x k ) = i=0 c i. T i (x k ). T j (x k ) = i=0 c i. i=0 T i (x k ). T j (x k ) = i=0 c i K i δ ij. Untuk i = j = 0 i=0 c i K i δ ij = i=0 c i ( + 1)δ ij = c 0 ( + 1) Sehingga c 0 = 1 +1 f(x k) Untuk i = j = 1,,, i=0 c i K i δ ij = i=0 c i Sehingga c j = f(x +1 k)t j (x k ) +1 δ +1 ij = c j Teorema: Polinomial pendekatan Chebyshev P (x) untuk fungsi f(x) pada [ 1,1] dinyatakan sebagai Dengan kosfisien c j adalah f(x) = P (x) = c j. T j (x) f(x k), j = 0 c j = { + 1 f(x k) T j (x k ), j = 1,,, Dimana T j (x k ) = cos ( jπ(k+1) ), j = 1,,, +... Sifat Ortogonal Misalkan x k = cos ( k+1 π) untuk k = 0,1,, maka polynomial Chebyshev +1 memenuhi sifat-sifat berikut: 1) T i (x k )T j (x k ) = 0 i j 9

10 T i (x k )T j (x k ) = + 1, i = j 0 ) T 0 (x k )T 0 (x k ) = + 1 Sifat ortogonal tersebut juga dapat dinyatakan dalam persamaan: Dengan: T i (x k ) T j (x k ) = K i δ ij δ ij = { 0, i = j 1, i = j K i = + 1, 1 t K 0 = + 1 Berdasarkan sifat otogonal polinomial Chebyshev diperoleh polinomial pendekatan untuk aproksimasi Chebyshev seperti yang dinyatakan dalam teorema: Teorema Polinomial pendekatan Chebyshev P (x) berderajat untuk f(x) pada selang [ 1,1] dinyatakan sebagai berikut: f(x) P (x) = j=0 Dengan koefisien {c j } dinyatakan pada persamaaan: C j T j (x) 1 n + 1 f(x k), j = 0 c j = { + 1 f(x k)t j (x k ), j = 1,,, Untuk x k = cos ( k+1 π) dan k = 0,1, Bukti: 10

11 Diketahui bahwa P (x) = j=0 c j T j (x). Karena P (x) menginterpolasi f(x) pada ( + 1) titik Chebyshev, yaitu x k = cos ( k+1 π), k = 0,1,, diperoleh pada titik tersebut berlaku f(x k ) = P (x k ). Oleh karena itu: f(x k )T j (x k ) = c i T i (x k )T j (x k ) = Untuk i = j = 0, maka: i=0 c i K i δ ij = c i ( + 1)δ ij = c 0 ( + 1) i=0 Oleh karena itu, diperoleh: i=0 f(x k ) T 0 (x k ) = c 0 ( + 1) c 0 = = f(x k) Sementara itu untuk i = j = 1,,, maka ( + 1) ( + 1) c i K i δ ij = c i δ ij = c j i=0 Oleh karena itu diperoleh: i=0 i=0 c i K i δ ij f(x k) T 0 (x k ) ( + 1) f(x k )T j (x k ) = c j c j = + 1 f(x k)t j (x k ) Berdasarkan hasil tersebut, diperoleh koefisien polinomial pendekatan seperti pada: 1 n + 1 f(x k), j = 0 c j = { + 1 f(x k)t j (x k ), j = 1,,, 11

12 BAB IV APLIKASI ITERPOLASI POLIOMIAL CHEBYSHEV Bandingkan polinomial pendekatan berderajat (=) untuk f(x) = e x pada selang [ 1,1] yang dibentuk dari: 1. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam x k = 1 + k, k = 0,1,,.. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi Chebyshev x k = cos ( 7 k π), k = 0,1,,. 8. Polinomial Chebyshev dengan titik interpolasi Chebyshev x k = cos ( k+1 π), k = 0,1,,. 8 Penyelesaian 1. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi berjarak seragam x k = 1 + k, k = 0,1,,. x 0 = 1 f(x 0 ) = e 1 = 0, x 1 = 1 f(x 1) = e 1 = 0, x = 1 f(x ) = e 1 = 1,95614 x = 1 f(x ) = e 1 =, x x x x x x L ( x 1 0 x).. 0,065 0,065x 0,565x 0, 565 x0 x1 x0 x x0 x x x x x x x L ( x 0 1 x).. 0,565 1,6875x 0,565x 1, 6875 x1 x0 x1 x x1 x x x x x x x L ( x 0 1 x).. 0,565 1,6875x 0,565x 1, 6875 x x0 x x1 x x 1

13 x x x x x x L ( x 0 1 x).. 0,065 0,065x 0,565x 0, 565 x x0 x x1 x x Maka interpolasi polinomial Lagrange order sebagai berikut P ( x) L ( x). f ( x ) = i i i 0 L0 ( x). f ( x0) L1 ( x). f ( x1) L ( x). f ( x) L ( x). f ( x) = ( 0,065 0,065x 0,565x 0,565x ) 0, ( 0,565 1,6875x 0,565x 1,6875x ) 0, ( 0,565 1,6875x 0,565x 1,6875x ) 1, ( 0,065 0,065x 0,565x 0,565x ), Sehingga diperoleh P A (x) = 0, ,999049x + 0, x + 0, x. Polinomial Lagrange dengan titik interpolasi Chebyshev x k = cos ( 7 k π), k = 0,1,,. 8 x 0 = cos 7 8 π = cos 157,5o = 0,98795 f(x 0 ) = e 0,98795 = 0, x 1 = cos 5 8 π = cos 11,5o = 0,8684 f(x 1 ) = e 0,8684 = 0, x = cos 8 π = cos 67,5o = 0,8684 f(x ) = e 0,8684 = 1, x = cos 1 8 π = cos,5o = 0,98795 f(x ) = e 0,98795 =,

14 L x 1 0( ).. x0 x1 x0 x x0 x L ( x) 0, ,110858x 0, x 0, x 0 x x x x x x x x x x x x L1 ( x).. x x x x x x L ( x) 0, , x 0, x 1, x x x x x x x L ( x).. x x x x x x L ( x) 0, , x 0, x 1, x x x0 x x1 x x L ( x).. x x x x x x 0 1 L ( x) 0, ,110858x 0, x 0, x Maka interpolasi polinomial Lagrange orde dengan titik interpolasi Chebyshev sebagai berikut P ( x) L ( x). f ( x ) = i i i 0 L0 ( x). f ( x0) L1 ( x). f ( x1) L ( x). f ( x) L ( x). f ( x) = ( 0, ,110858x 0, x 0, x ) 0, ( 0, , x 0, x 1, x ) 0, ( 0, , x 0, x 1, x ) 1, ( 0, ,110858x 0, x 0, x ), Sehingga diperoleh P B (x) = 0, ,9989x + 0,549007x + 0, x 14

15 . Polinomial Chebyshev dengan titik interpolasi Chebyshev x k = cos ( k+1 π), k = 0,1,,. 8 x 0 = cos 1 8 π = cos,5o = 0,98795 f(x 0 ) = e 0,98795 =, x 1 = cos 8 π = cos 67,5o = 0,8684 f(x 1 ) = e 0,8684 = 1, x = cos 5 8 π = cos 11,5o = 0,8684 f(x ) = e 0,8684 = 0, x = cos 7 8 π = cos 157,5o = 0,98795 f(x ) = e 0,98795 = 0, Dengan memanfaatkan teorema aproksimasi Chebyshev, diperoleh c 0 = f(x k) = 1 e x 1 k = (5,064671) = 1, c 1 = + 1 f(x k) T 1 (x k ) = 1 ex k. cos (π k + 1 ) 8 = 1 (ex 0. cos ( 1 8 π) + ex 1. cos ( 8 π) + e x. cos ( 5 8 π) + ex. cos ( 7 8 π)) = 1, c = + 1 f(x k) T (x k ) = 1 ex k. cos (π k + 1 ) 8 15

16 = 1 (ex 0. cos ( 1 4 π) + ex 1. cos ( 4 π) + ex. cos ( 5 4 π) + ex. cos ( 7 4 π)) = 0, c = + 1 f(x k) T (x k ) = 1 ex k. cos (π k + 1 ) 8 = 1 (ex 0. cos ( 8 π) + ex 1. cos ( 9 8 π) + ex. cos ( 15 8 π) + ex. cos ( 1 8 π) ) = 0,04799 Sehingga interpolasi polinomial Chebyshev orde dengan titik interpolasi Chebyshev sebagai berikut P (x) = c k. T k (x) = c 0. T 0 (x) + c 1. T 1 (x) + c. T (x) + c. T (x) = (1, )(1) + (1,101500)(x) + (0,714506)(x 1) + (0,04799)(4x x) Jadi, P C (x) = 0, ,99894x + 0,549007x + 0, x 16

17 BAB V KESIMPULA 1. Berdasarkan hasil tersebut, polinomial pendekatan P B (x) = P C (x), maka polinomial pendekatan pada interpolasi Chebyshev adalah tunggal dan dapat diperoleh melalui polinomial Lagrange atau polinomial Chebyshev.. Perbandingan galat interpolasi dengan titik berjarak seragam (a) dan titik Chebyshev (b) (a). Galat interpolasi dengan titik berjarak seragam Dengan nilai error e x P(x) 0,01 f(x) P n (x) f(x) Titik Seragam E(X) galat interpolasi X X (b). Galat interpolasi dengan titik Chebyshev Dengan nilai error e x P(x) 0,

18 .5 P n (x) f(x) Titik Seragam 8 x 10-6 galat interpolasi f(x) 1.5 E(X) X X 18

19 DAFTAR PUSTAKA Levy, Doron Introduction to umerical Analysis. Maryland: University of Maryland. Mathews, John H. dan Kurtis D. Fink umerical Methods Using MATLAB (4th ed.). USA: Pearson Prentice Hall. 19

20 DAFTAR LAMPIRA a. Titik Interpolasi Seragam clc;clear;close; n=4;a=-1;b=1; for k=1:n x(k)=-1.+/*(k-1); y(k)=exp(x(k)) ; end for i=1:n pp=poly(x((1:n)~=i)); pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end Pn=y*pvals; xi=[a:0.01:b]; yi=polyval(pn,xi); 7 0

21 for i=1:length(xi) zi(i)=exp(xi(i)); end hi=abs(zi-yi); Hii=max(hi) subplot(1,,1); plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',); grid; legend('p_n(x)','f(x)','titik Seragam','Location','orthWest'); subplot(1,,); plot(xi,hi,'r','linewidth',); grid; legend('galat interpolasi'); b. Titik Interpolasi Chebyshev clc;clear;close; n=4;a=-1;b=1; for k=1:n A=cos((pi*(n+1-k-0.5))/n); x(k)=(b-a)*a/+(a+b)/; y(k)=exp(x(k)) ; end for i=1:n pp=poly(x((1:n)~=i)); pvals(i,:)=pp./polyval(pp,x(i)); end Pn=y*pvals; xi=[a:0.01:b]; yi=polyval(pn,xi); for i=1:length(xi) zi(i)=exp(xi(i)); end hi=abs(zi-yi); Hii=max(hi) subplot(1,,1); plot(xi,yi,'g',xi,zi,'r--',x,y,'o','linewidth',); grid; legend('p_n(x)','f(x)','titik Seragam','Location','orthWest'); subplot(1,,); plot(xi,hi,'r','linewidth',); grid; legend('galat interpolasi'); 1