=====O0O===== F. KESETIMBANGAN, DINAMIKA ROTASI DAN TITIK BERAT. KESETIMBANGAN Teori Singkat :

Transkripsi

1 . KESETIMNGN, DINMIK OTSI DN TITIK ET KESETIMNGN Teri Singkt : Terdpt bermcm-mcm pembgin ke setimbngn menurut kelmpkny ykni :. erdsr psisi bend :. Dim (setimbng sttik) b. ergerk lurus berturn (GL) dengn keceptn knstn tu bergerk melingkr berturn (GM) dengn keceptn sudut knstn (setimbng dinmik) kibt pernytn pertm bend setimbng jug hrus memenuhi syrt :. = 0 (setimbng trnslsi) b. τ = 0 (setimbng rtsi). erdsr kedn bend :. Kesetimbngn prtikel dengn syrt : = 0 Ciri-ciri : Terdpt perptngn titik-titik gy. isny berkitn dengn gy tegng sutu tli Penyelesin :. Pd perptngn gris gy butlh krdint sumbu x dn Y (krdint krtesius), kemudin pryeksikn gy gy pd msing-msing sumbu, llu hitung gy-gy pd sumbu x dn y mellui x = 0 dn y = 0 (liht knsep metde mengurikn vektr). Menggunkn pengurin gy mellui dlil sinus sebgimn berikut : C α β γ b. Kesetimbngn bend tegr dengn syrt = 0 dn τ = 0 C = = sin α sin β sin γ jng bend. dpun bend tegr dlh bend yng pbil dikeni gy, bik bentuk dn vlumeny tidk menglmi perubhn seperti : kyu, besi, btu dn lin sebginy Penyelesin :. Pilihlh sellu pust mmen (titik) dimn bnyk bekerj gy-gy yng tidk dikethui, tetpi gy-gy tersebut tidk ditnykn dlm sl, sehingg mmen gyny sm dengn nl. Penyelesin kesetimbngn bend tegr terkdng cukup menggunkn stu syrt ykni τ = 0 3. erdsr titik bertny :. Kesetimbngn Stbil Kesetimbngn bend jik dikeni gy, mk psisi bend kn kembli ke psisi semul. Ciriny kedudukn titik bert bend kn nik bil dikeni gy cnth : () () b. Kesetimbngn Lbil Kesetimbngn bend jik dikeni gy, mk psisi bend tidk kn kembli ke psisi semul. Ciriny kedudukn titik bert bend kn turun bil dikeni gy cnth : () () c. Kesetimbngn Indeferen Kesetim bngn bend jik dikeni gy, mk psisi bend kn tetp pd psisi semul. Ciriny kedudukn titik bert bend kn tetp bil dikeni gy cnth : =====O0O===== () () Ciri-ciri : Terdpt ciri-ciri fisik bend tegr seperti dny bentuk bend dn pn

2 DINMIK OTSI Mmen Gy :. Mmen gy di sutu titik dlh besr gy tersebut diklikn dengn lengn gy terhdp titik tersebut ) rh gy memutr serh jrum jm bernili negtif ) rh gy memutr berlwnn rh jrum jm bernili psitif Cttn : Ketentun rh putr ini terdpt perbedn pd beberp buku referensi. d yng memberi kidh berkeblikn dri ketentun dits dn semuny bis dipilih.. Untuk dn yng berbentuk vektr, mk dpt diselesikn dengn menggunkn mtriks dengn turn sebgi berikut : Misl : = i + j + C k = D i + E j + k Mk τ =? τ = x i j k τ = C D E τ = i ( EC) j ( CD) + k (E D) 3. Mmen kpel dlh psngn du buh gy yng sejjr, sm besr dn berlwnn rh τ = x d M = d x ) rh gy memutr serh jrum jm bernili negtif ) rh gy memutr berlwnn rh jrum jm bernili psitif 4. Penyelesin resultn gy dn letkny di sutu titik pd sutu gris lurus dpt ditentukn dengn menghitung jumlh mmen gy di titik tersebut pd gris itu ( τ = 0), dengn turn penentun resultn gy tu resultn jrk tersebut dicukn ke slh stu gy tu jrk tertentu. Perhtikn cnth-cnth sl berikut :. Mencri esultn Gy : C b W Mencri resultn gy pd titik (mbil τ = 0) - W () + ( + b) = 0 = W + b Dengn cr yng sm τ = 0 = b W + b. Mencri Jrk esultn Gy : L x L - x Mencri jrk resultn gy pd pd titik sejuh x dri titik : ( τ = 0). (x) - (L- x) = 0 x ( - ) + L = 0 x = + L Cttn : Letk pust mss btng sellu terletk di tengh-tengh btng. Mmen Inersi : Mmen Inersi merupkn nlgi mss untuk gerk rtsi. Mmen Inersi dibgi menjdi :. Mmen Inersi Prtikel

3 . Mmen Inersi end Tegr Silinder Pejl. Mmen Inersi Prtikel Mmen inersi prtikel didefinisikn sebgi hsil kli mss prtikel terhdp kudrt jrk dri titik prs (titik cun). L m I = m Jik terdpt bnyk prtikel dengn mss msing-msing m,m,m 3, dn mempunyi jrk,, 3, terhdp prs, mk mmen inersi ttlny dlh I = Σ m i i = m + m + m Prs mellui sumbu l Pejl I = M Prs mellui dimeter Prs mellui titik tengh sumbu silin der 4 I = M + ML Prs mellui ujung. Mmen Inersi end Tegr pbil sebuh bend pejl terdiri dri distribusi mss yng kntinyu, mk mmen inersi bend pejl tersebut dpt dituliskn sebgi berikut : I = dm erbgi mmen inersi bend tegr dpt diliht pd tbel berikut : I = M 5 l erngg I = M 3 7 I = M 5 tng Silinder Prs mellui dimeter Lempeng Tipis L L Prs mellui pust I = ML Silinder Tipis erngg Prs mellui ujung I = ML 3 b Prs mellui sumbu tegk lurus ( b ) I = M + I = M Prs mellui sumbu silinder b

4 Prs seperti pd gmbr Teri Sumbu Prlel Teri ini digunkn untuk menghitung mmen inersi bend terhdp sembrng sumbu dengn syrt mmen inersi bend terhdp pust mss telh dikethui Dengn d dlh jrk yng diukur dri pust mss bend. Sebgi cnth pd btng silinder telh dikethui I pm = ML, mk jik kini hendk dihitung mmen inersi btng silinder pd ujung, dpt diterpkn : I = I pm + M d dengn d = L, mk I = ML L + M = ML (terbukti) 4 3 Cttn : Secr umum mmen inersi dpt pul dituliskn Dengn k = knstnt yng niliny tergntung pd bendny, cnth untuk cincin k =, silinder pejl k =, bl pejl k = dn 5 sebginy I = M I = I pm + M d I = k M Hubungn Gerk Trnslsi dn tsi : Gerk trnslsi disebbkn leh gy (), sedngkn gerk rtsi leh mmen gy (τ). d kndisi kedn gerk sutu bend :. end Meluncur Σ 0 dn Σ τ = 0. end Menggelinding Σ 0 dn Σ τ 0 erikut ini tbel perbndingn gerk trnslsi dn rtsi Gerk Trnslsi Gerk tsi Hubungn Pergesern S Pergesern θ S = θ Liner Sudut Keceptn V Keceptn ω V = ω Liner Sudut Perceptn Perceptn α = α Liner Sudut Kelemb m Kelembmn I I = Σ m mn Trnslsi (mss) tsi (mmen inersi) Gy Mmen Gy τ τ = Energi EK = / Energi EK = Kinetik mv Kinetik / I ω Dy P = V Dy P = τ ω Mmentum Liner P = m V Mmentum Sudut L = I ω PLIKSI KESETIMNGN. tng bersndr pd dinding (ksr) (ksr) Gy gy yng bekerj pd bend dpt diurikn sebgi berikut : f α f W N N Jik dimbil = 0 dn pnjng btng = L mk di dpt : x = 0 N = f N = µ N...() y = 0 f + N = W µ N + N = W...() Msukkn () ke (), mk di dpt : µ (µ N ) + N = W...(3) mbil syrt τ = 0, mk diperleh : - f (L cs α) - N (Lsin α) + W (½Lcs α) = 0 µ N cs α + N sin α = W cs α...(4) Msukkn () dn (3) ke (4), di dpt : µ µ N cs α + µ N sin α =

5 (µ µ N + N ) cs α µ µ csα + µ sin α = cs α Klikn dn bgi dengn cs α, di perleh : µ (µ + tn α) =. Ktrl bergerk Tinju kembli ksus hukum II Newtn, nmun sekrng ktrl ikut bergerk. ndi ktrl dinggp berbentuk silinder pejl (I = / M ) mss ktrl M dn jri-jri ) µ = tnα + µ M, m m m > m =? Penyelesin Cr is : Ketentun : * Serh perceptn () : + * erlwnn perceptn () : - * Tegngn tli T T Tinju sl ) ) M, T T m > m m m W W Tinju m : Σ = m W - T = m T = W - m () Tinju m : Σ = m T W = m T = W + m -----() Tinju gerk ktrl : M, ) M, fges m =? T T I = k M m 3) M, m m =? f f Σ τ = I α (T -T ) = k M T -T = k M (3) Msukkn (), () ke (3), mk di dpt : W - m (W + m ) = k M ( m + m + km) = W W m 3 = m m g m m km + + 4) M, =? m fges m Tinju sl ) ) fges m T α 5) m M, f m f =? m T α W Tinju m : Σ = m T - fges = m T = fges + m -----() Tinju m : Σ = m

6 W T = m T = W - m -----() Tinju gerk ktrl : M, T I = k M T Σ τ = I α (T -T ) = k M T -T = k M (3) Msukkn (), () ke (3), mk di dpt : W - m (fges + m ) = k M ( m + m + km) = W fges Cr Prktis : Jik diperhtikn hsil penyelesin sl ) dn ) tmpk bhw hsilny mirip dengn penyelesin hukum II Newtn pd ktrl tidk bergerk, nmun pd penyebut persmn khir ditmbh km. Sehingg dpt disimpulkn sebgi berikut : Perceptn ktrl bergerk dlh = perceptn pd ktrl tidk bergerk dengn penyebut ditmbh km 3. end Menggelinding Pd idng Miring Tinju bend yng bergerk pd bidng miring sebgi berikut : h = m µ m g m m km + + Pertnyn : ) erp nili keljun smpi di dsr? α b) erp perceptn bend? Jwb : ) h α Tinju kedn dn : Em = Em Ep + Ek = Ep + Ek Dri gmbr dikethui Ek = 0 dn Ep = 0 Sehingg Ep = Ek, kren bend menggelinding, mk Ek = Ek trnslsi + Ek rtsi Jdi mgh = m V + I ω mgh = m V + km V gh = V ( + k) b) fges mg sin α Σ = m mg sin α - fges = m () Σ τ = I α fges. = km α fges = km () Msukkn () ke (), di dpt : mg sin α - km = m gh V = k + g sin α = k + =====O0O=====

7 Teri Singkt : TITIK ET Titik bert merupkn resultn titik tngkp gy bert Titik bert bend dibgi menjdi 3 ykni :. Titik bert bend bentuk sembrng. Titik bert bend bentuk berturn C. Titik bert bend berturn mjemuk. Titik bert bidng hmgen berdimensi du. Segitig. Jjr genjng elh ketupt Y = /3 t Y = / t. Titik bert bend bentuk sembrng Untuk mengethui titik bert bend tidk berturn lkukn lngkh-lngkh sebgi berikut :. end digntung pd ujung llu ditrik gris vertikl (liht gmbr). Lkukn untuk ujung yng lin misl ujung 3. Perptngn kedu gris itu merupkn titik bert bend tersebut 3. Juring lingkrn 4. Setengh lingkrn Y = /3 x tli busur busur 4 Y = 3π 3. Titik bert bend pejl berdimensi tig. Titik bert bend bentuk berturn Secr umum titik bert bend berturn terletk pd perptngn dignlny, misl : ) Persegi pnjng ) Lingkrn Nm end Gmbr end Titik bert. Prism Pejl Y = / l. Silinder Pejl Y = / t kn tetpi terdpt persmn titik bert ben d-bend yng lebih lengkp sebgi berikut :. Titik bert bend hmgen berbentuk gris 3. Lims Pejl erturn Y = /4 t. Gris lurus Y = / l 4. Kerucut Pejl Y = /4 t. usur Lingkrn Y = x tli busur busur 5. Setengh l Pejl Y = 3/8 3. usur Setengh Lingkrn Y = π

8 4. Titik bert bend lusn selimut rung 3. Sistem tig dimensi (berup vlume). Kulit Prism. Kulit Silinder (tnp tutup) 3. Kulit Lims Y = / l Y = / t Y = /3 T'T x V + x V + x3 V3 Zx = V + V + V3 y V + y V + y3 V3 Zy = V + V + V3 Titik bert Z = (Zx, Zy) Cnth Sl dn Pembhsn :. il gy-gy pd sutu bend dlh setimbng, mk bend tdi psti dlm kedn dim sebb Gy-gy yng dlm kedn setimbng mempunyi resultn sm dengn nl 4. Kulit Kerucut 5. Kulit Setengh l Y = /3 T'T Y = / Jwbn (slh - benr) D. Krdint titik bert bidng yng dirsir di bwh ini dlh. y x 8. (,6) D. (6,3). (,4) E. (8,) C. (5,) C. Titik bert bend berturn mjemuk Titik bert bend berturn mjemuk mksudny titik bert sutu sistem bend berturn. d 3 kmpnen sistem ini ykni :. Sistem stu dimensi (berup gris) Zx = x l + x l + x. Sistem du dimensi (berup lusn) + l l + l y l + y l + y 3 l3 Zy = l + l + l3 Titik bert Z = (Zx, Zy) x + x + x3 3 Zx = y + y + y3 3 Zy = Titik bert Z = (Zx, Zy) 3 3 l 3 Jwbn : C pbil dimbil perptngn dignlny diperleh : y Z = (5,) 8 x 3. Sumbu kedu rd muk dn sumbu kedu rd belkng sebuh truk yng bermss 3000 kg, berjrk 3 m. Pust mss truk terletk m di belkng rd muk. Dindikn g = 0 m/s, bebn yng dipikul leh kedu rd muk truk itu sm dengn : N D N N E N C N Jwbn :

9 N N. 0 cm D. 8 cm. 30 cm E. cm C. 3 cm m m W Gunkn syrt kesetimbngn bend tegr, ykni = 0 dn τ = 0. = 0 N + N = W N + N = N...() τ = 0 - W () + N (3) = () = 3 N N = N. () () ke (), didpt N = N 4. Sebuh gy = -4i + j 3k berd pd psisi r = 3i + j -5k dri sumbu krdint, dengn i,j dn k menytkn vektr stun dlm rh sumbu x,y dn z. Vektr mmen gyny dlh.... 4i + 9j + 4k. 6i + j - k C. 4i + 9j + 8k D. 4i - 9j - 4k E. -6i - j + k Jwbn : i j k τ = τ = i (-6 + 0) j (-9 0) + k (6 + 8) τ = 4i + 9j + 4k 5. Pd gmbr terlukis sutu segitig sikusiku yng sngt ringn tetpi kut. di titik sudutny d mss m, m dn m 3, msingmsing 00 grm, 00 grm dn 300 grm. Jrk m m dn m m 3 msing-msing 40 cm dn 30 cm. Gy mengeni tegk lurus pd kerngk m m dengn jrk x dri m. Gy sebidng dengn bidng kerngk. gr titik bergerk trnslsi murni (tnp rtsi), besr x dlh : m 3 m m Jwbn : C L = 40 cm C x (00) ( ) τ C = 0 (x) (L x ) = 0 x = + x = 3 cm L = 6. Sebuh ppn yng bertuliskn Student Centre terpsng seperti pd gmbr di bwh ini : / m 30 0 Student Centre m Jik dikethui bert ppn 50 N dn bert kwt k dn bert btng b dpt dibikn dengn mengnggp bhn ppn itu mssny mert di seluruh ppn, mk tegngn kwt k dpt dihitung yng besrny dlh :. lebih kecil dri 00 N. ntr 00 N dn 50 N C. ntr 50 N dn 00 N D. ntr 00 N dn 300 N E. lebih besr dri 300 N Jwbn : C k sin ½ m Student Centre m W τ = 0 - W (3/) + k sin 30 0 (5/) = 0 k sin 30 0 = 3/ 5 / 50 N k = 6/5 (50 N) = 80 N cm 7. Tegngn tli T dn T jik titik berd dlm kesetimbngn dlh

10 W dlh bert bebn yng tergntung T T W = 0 N. 0 3 N dn 0 N. 0 N dn 0 3 N C. 5 3 N dn 5 N D. 5 N dn 0 3 N E. 5 N dn 0 N Jwbn : Gunkn dlil sinus mbil T T T W =, mk di dpt sin 0 sin 90 sin 0 T = (0 N) T = 0 3 N sin 90 sin 50 T = (0 N) T = 0 N sin Pd btng (pnjng L) hmgen sebert 00 N digntung bebn 440 N (liht gmbr). esr gy yng dilkukn penyngg pd btng dlh : ¼ L. = 0 N ; = 330 N. = 430 N ; = 0 N C. = 0 N ; = 440 N D. = 0 N ; = 430 N E. = 440 N ; = 00 N Jwbn : D ½ L C ¼ L D ¼ L T sin 0 W T sin 50 = = W sin 90 W W W dlh pust bert btng = 0 + = W + W τ = 0 + = 640 N...() - W (½ L) W (¾ L) + (L) = 0 L 3 L 4 = W + W L L = ½ (00 N) + ¾ (440 N) = 430 N...() () ke (), didpt = 0 N 9. Gmbr dibwh sebuh silinder pejl, mssny 4 kg dn berjri-jri 4 cm, didrng dengn gy sebesr 0 N, mk besrny perceptn yng dilmi pbil d gesekn, sehingg silinder mengge linding sempurn. N. 0 m/dt D. 30 m/dt. 5 m/dt E. 40 m/dt C. 0 m/dt W Jwbn : C Σ = m - fges = m () Σ τ = I α fges. = km fges = km () Msukkn () ke (), di dpt : - km = m = m ( k +) Dt dri sl m = 4 kg, k = / (silinder pejl) dn = 0 N, mk : 0 = m / dt 4 + = 0 m/dt 0. Tig buh bend terletk pd sumbu krdint xy seperti tmpk pd gmbr. Mss msing-msing bend m = kg, m = kg, dn m C = 3 kg. Mmen inersi sistem jik sumbu putrny dlh sumbu y dlh. 6 kg m D. 4 kg m. kg m E. 30 kg m C. 8 kg m

11 Y C 3 m Y = 8 N = N X 3m Jwbn : C Dri gmbr pbil sumbu y dijdikn sumbu putr (prs), diperleh jrk = 0, = 3 m dn C = 0. Mmen inersi sistem dlh I = m + m + m C C I = [(0) + (3) + 3(0)] kg m = 8 kg m =====O0O===== Sl-sl :. Keseimbngn sebuh bend ditentukn leh :. esultn gy yng berksi pd bend. Mmen kelembmn bend 3. esultn mmen yng berksi pd bend 4. Sift-sift dinmik bend Pernytn yng benr...., dn 3 D. 4 sj. dn 3 E. Semuny C. dn 4. T T C D Sebuh blk mempunyi pnjng 4 meter dn bertny 00 N digntung seperti gmbr dits. Jik = ½ m, C = m dn CD = 3/ m. Perbndingn tegngn tli T dn T dlh :. : 3 D. 3 :. : E. 4 : C. : 3. Sebuh bend diktkn berd dlm kedn setimbng, pbil bend itu tidk memiliki. keceptn D. mmentum. energi ptensil E. perceptn C. energi kinetik 4. esultn kedu gy sejjr yng terliht pd digrm di bwh ini terletk pd x =. 0,6 m D., m.,8 m E., m C.,4 m X 5. Sebuh tngg hmgen yng pnjngny 5 m dn bertny w. Ujung disndrkn pd dinding licin dn ujung bertumpu pd lnti ksr (liht gmbr). Jik tngg dlm kedn seimbng, mk kefisien gesek ntr lnti dn tngg besrny 5 m O 4m. : 3 D. 3 :. 3 : E. 4 : C. : 3 6. Sebuh gy = i 4j + 3k berd pd psisi r = i 3j + 5k dri sumbu krdint dengn i,j dn k menytkn vektr stun dlm rh sumbu x, y dn z, Vektr mmen gyny.. 4i j + k D. -i 4j + k. -i + 4j - k E. 4i 4j + 3k C. i + 4j - k 7. = 80 N m m = 0 N 3 = 60 N Perhtikn gmbr dits! resultn gy btng dits dlh. 00 N (ke ts). 00 N (ke bwh) C. 80 N (ke ts) D. 60 N (ke bwh) E. 80 N (ke bwh) 8. Pengertin dibwh ini benr, keculi.. kpel dlh psngn du buh gy yng sejjr, sm besr dn berlwnn. pengruh kpel terhdp sebuh bend memungkinkn bend tersebut bertsi C. mmen kpel dlh perklin ntr gy dengn jrk ntr kedu gy tersebut D. mmen kpel merupkn besrn sklr, kn bernili psitif bil rh putrnny serh dengn jrum jm

12 E. stun mmen kpel tidk dpt dituliskn jule meskipun dimensiny sm dengn energi 9. Sebuh cincin bermss 0 grm berjrijri 3 cm seperti gmbr, besrny mmen inersi dlh 0. tng bersndr pd dinding ksr (µ = /4) dn bertumpu pd lnti yng jug ksr seperti pd gmbr. il dikethui C = 5 m, C = 3m, mk kefisien gesek di titik dlh. C. esr tegngn tli P dlh.. 00 x 0-5 kg m D. 8 x 0-5 kg m. 80 x 0-5 kg m E.,8 x 0-5 kg m C. 60 x 0-5 kg m P 45 0 w = 300 N P. 4/7 D. 7/3. 7/4 E. /7 C. 3/7. 50 N D. 300 N. 00 N E. 350 N C. 50 N Q 3. Krdint titik bert bidng yng dirsir dlh... Y 8 6 X. (,68,,88) D. (,04, 4,0). (,88,,68) E. (5,78, 3,86) C. (3,83, 4,65) 4. Titik bert bend btng hmgen yng bentuk dn psisiny diperlihtkn pd gmbr di bwh dlh y 40 cm 40 cm 40 cm 40 cm x. (0,50) D. (0,60). (0,50) E. (0,60) C. (50,0) 5. Krdint titik bert bidng berikut ini dlh.. C. r π 3r π 4r π r D. E. r 5r π 6r π 6. Du bend, msing-msing bermss m = 4 kg dn m = 4 kg dihubungkn dengn ktrl yng mssny 4 kg seperti pd gmbr. Jik permukn bidng miring licin, perceptn bend m dn m dlh S m m end-bend yng menglmi keseimb ngn lbil ilh.... P dn S D. P, Q dn. Q dn S E. P,Q dn S C. Q dn 30 0.,0 m/dt D., m/dt.,5 m/dt E.,5 m/dt C.,0 m/dt C

13 7. Sebuh cincin dengn mss 0,3 kg dn jri-jri 0,5 m menggelinding di ts permukn bidng miring yng membentuk sudut 30 0 terhdp bidng hrisntl. Cincin tersebut dileps dri kedn dimny pd ketinggin 5 m secr tegk lurus dri bidng hrisntl. erp keceptn liner cincin tersebut sewktu mencpi hrisntl?.,5 m/s D. 5 3 m/s. 5 m/s E. 0 m/s C. 5 m/s 8.. C. D. E. ( m + m ) g I m + m + ( m + m) g I m + m + ( m m ) g I m + m + ( m m ) g I m + m + 9. end dlh silinder pejl bermss 8 kg, sedng bend bermss 3 kg, jik gesekn ktrl dibikn dn silinder menggelinding sempurn, mk tegngn tli dlh. 0 N D. 0 N. 4 N E. 4 N C. 8 N Sistem terdiri dri bl, dn C yng psisiny seperti pd gmbr menglmi gerk rtsi. Mss bl, dn C msing-msing 3 kg, 4 kg dn kg. Mmen inersi sistem tersebut jik C = 0,4 m dlh C. 0,04 kgm D. 0,8 kgm. 0,8 kgm E. 0,96 kgm C. 0,4 kgm 0. Du bend bermss m dn m dihubung kn leh seuts tli ringn mellui du buh ktrl identik, tip ktrl memiliki mmen inersi I. Jik m lebih besr dri dri m, tentukn perceptn yng dilmi tip bend. T =====O0O===== T T 3 m m. ( m + m ) m + m g I +