PERBANDINGAN MEKANISME DATA HILANG PADA MODEL NORMAL

Transkripsi

1 S-4 PERBANDINGAN MEKANISME DATA HILANG PADA MODEL NORMAL Zulhaif, 2 Yadi Supradi Departmet of of Statistics, FMIPA Uiversitas Padjadjara, Badug, Idoesia 2 Departmet of Statistics, FMIPA Uiversitas Padjadjara, Badug, Idoesia dzulhaif@ahoo.com, 2 adi@bdg.cetri.et.id Data hilag merupaka sutu feomea ag umum terjadi dalam peelitia survei atau experimetal, berdasarka fakta tersebut berbagai metode statista dembagka utuk megatasia. Pada makalah ii aka diteliti perbadiga ilai taksira EM (Expectatio ad Maximizatio algoritma utuk mekaisme data hilag Missig at Radom (MAR, Missig completel at radom (MCAR da Missig Not at Radom (MNAR. Kata kuci : Data hilag, EM Algoritma, Model ormal, Mekaisme data hilag I. Pedahulua Di dalam suatu peelitia survei atau eksperimetal, serigkali terdapat masalah atau persoala ag dapat meghambat suatu peelitia tersebut. Salah satua adalah ketidaklegkapa data atau terdapat missig value (data hilag. Ketidaklegkapa suatu data megakibatka berbagai metoda statista tidak dapat diperguaka hal ii dareaka metoda statista ag sudah ada berdasarka pada data ag legkap. Dalam prosedur statista moder utuk data hilag, ketidak legkapa suatu data di asumsa meguti suatu mekaisme tertetu, Rubi(976 mambagu tipologi mekaisme data hilag kedalam Missig at Radom (MAR ja mekaisme data hilag terdistribusi secara acak utuk sebagia uit observasi da Missig completel at radom (MCAR ja mekaisme data hilag ag terdistribusi secara acak utuk seluruh uit observasi serta Missig Not at Radom (MNAR mekaisme data hilag ag tidak terdistribusi secara radom. Gagasa utuk meagai data ag hilag pada peelitia ii berdasarka asumsi distribusi ormal multivariate (model ormal. Distribusi ormal multivariat merupaka asumsi ag secara luas diperguaka dalam Semiar Nasioal Matemata da Pedida Matemata Jurusa Pedida Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

2 berbagai metoda aalisis data diataraa aalisis faktor, pemodela struktural da aalisis diskrimia. Keta suatu data multivariat tidak legkap, hal ii aka meimbulka kesukara pada saat megestimasi parameter populasia seperti ratarata da matrs varias-covarias. Peaksira matrs varias-covarias pada data ag hilag, didasarka pada imputasi dari sekumpula data ag legkap, Imputasi ii didasarka pada ekspektasi distribusi bersarat dari data hilag terhadap data ag legkap (Little ad Rubi 2002,chapter 3.4. Metoda maksimum lelihood (ML merupaka metode peaksira parameter ag umum diperguaka dalam meaksir parameter populasi aka tetapi metode ii aka sagat sukar ja diterapka pada data ag tidak legkap. Algoritma expectatio maximizatio (EM (Dempster et al. 977 mejadi suatu metode alteratif utuk megatasi kesukara metode ML. Algoritma EM pada dasara merupaka metode pegoptimuma ag terdiri dari dua tahap aitu: E(expectatio -step da M(maximum-Step. Metode EM ag diperguaka dalam peelitia ii berdasarka metode EM ag demukaka oleh Schafer(2002. Metode ii merupaka betuk khusus dari metode EM ag megasumsa distribusi ormal multivariat (model ormal pada distribusi bersarat dari data hilag terhadap data ag legkap. Pada makalah semiar ii aka diteliti perbadiga ilai taksira algoritma EM (Expectatio ad Maximizatio utuk mekaisme data hilag Missig at Radom (MAR, Missig completel at radom (MCAR da Missig Not at Radom (MNAR pada model ormal. II. Metodologi Aalisis megeai missig value (data hilag membatu meelesaa permasalaha ag disebabka oleh data ag hilag/tidak legkap. Data ag hilag aka memperkecil presisi dari perhituga ag disebabka oleh jumlah iformasi ag lebih sedit dari ag sudah ditetapka di awal. Semiar Nasioal Matemata da Pedida Matemata Jurusa Pedida Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

3 Missig value dapat diarta sebagai data atau iformasi ag hilag atau tidak tersedia megeai subjek peelitia pada variabel tertetu akibat faktor o samplig error. Faktor o samplig error ag dimaksud adalah iterviewer recordig error, respodet iabilit error, da respodet uwilligess error. Iterviewer recordig error terjadi akibat kealpaa petugas pegumpul data (pewawacara, misala ada sejumlah pertaaa ag terlewatka. Respodet iabilit error terjadi akibat ketidakmampua respode dalam membera jawaba akurat, misala karea tidak memahami pertaaa, bosa atau kelelaha (respodet fatigue akhira respode megosogka sejumlah pertaaa atau berheti megisi kuesioer di tegah jala. Uwilligess respodet error tejadi karea respode tidak berkea membera jawaba ag akurat, misala pertaaa soal peghasila, usia, berat bada, pegalama melakuka pelaggara hukum, dll. Seperti hala pada respodet iabilit error, respode bisa megosogka jawaba atau megheta proses pegisia kuesioer. Pada makalah ii peeliti megasumsa K buah variabel ( Y, Y2, K, Y ag K berdistribusi ormal multivariate dega rata-rata µ = µ, K, µ da matrs ( K varias-covarias Σ. Ja suatu ilai pegamata Y = Y obs, Y, ag maa ( mis Y merupaka sampel acak berukura pada variabel ( Y, Y2, K, Y dega Yobs K adalah ilai pegamata dari data ag legkap da Y mis ilai pegamata utuk data ag tidak legkap. maka utuk keperlua membuat sebuah algoritma EM pada model ormal, dibera suatu statist cukup S sbb: S =, j =, K K ad j, k =, K, K ( i= i= Pada lagkah pertama E-step dari algoritma EM, meghitug ilai Semiar Nasioal Matemata da Pedida Matemata Jurusa Pedida Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

4 i = ( t E( Y, θ = j = K,, K (2 i= obs i = ( t ( t ( + c jki E( Y, θ = j, k =, K, K (3 obs i= ( t ( t utuk setiap ilai parameter θ = ( µ, pada setiap iterasi ke-t. ag maa = E( obs, i ( t, θ ja ja taramati tidak teramati (4 da C jki 0 = Cov(, obs, i ( t, θ ja ja atau da teramati tidak teramati (5 Selajuta pada tahapa M-step, secara lagsug ilai taksira statist cukup utuk data ag legkap sbb: ( t + θ ditaksir dari ( t + i= µ j = j =, KK (6 E ( obs ( t + i σ = jk = µ j Y µ k j =, KK (7 Proses iterasi pada algoritma EM ii berlagsug sampai ilai taksira ( t + θ koverge pada ilai tertetu. Utuk mempermudah perhituga Algoritma EM pada data ormal, pada peelitia ii aka diperguaka makro program software R Semiar Nasioal Matemata da Pedida Matemata Jurusa Pedida Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

5 III. Desai Simulasi Utuk megetahui performasi ilai taksira dega megguaka algoritma EM dega mekaisme data hilag hilag Missig at Radom (MAR, Missig completel at radom (MCAR da Missig Not at Radom (MNAR dilakuka prosedur simulasi sbb:. Bagkitka 50 data berdistribusi ormal dega rata-rata µ = (25,25 σ σ = 25 da ρ = X = Y 2. Tetapka jumlah data ag hilag 3. Buatlah mekaisme data hilag utuk : a MCAR dega meghapus ilai data ag dibagkitka pada lagkah utuk variabel X da Y dega peluag p b MAR dega meghapus ilai data ag dibagkitka pada lagkah pada variabel Y dega peluag p ( Y missig =, + exp( ( X 25 da variabel X p ( X missig = + exp( ( Y 25 c MNAR dega meghapus ilai data ag dibagkitka pada lagkah pada variabel Y dega peluag p ( Y missig =, da + exp( ( Y 25 variabel X dega peluag p ( X missig =, + exp( ( X Dari data hilag ag dibagkitka utuk setiap mekaisme data hilag lakuka peaksiraa parameter ag berkeaa. 5. Ulagi proses ii sampai dega 000 kali Semiar Nasioal Matemata da Pedida Matemata Jurusa Pedida Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

6 IV. Hasil Simulasi Dega memperguaka R software, hasil simulasi utuk ilai taksira algoritma EM (Expectatio ad Maximizatio utuk mekaisme data hilag Missig at Radom (MAR, Missig completel at radom (MCAR da Missig Not at Radom (MNAR disaja dalam tabel sbb:tabel Nilai taksira Algoritma EM dega jumlah data ag hilag m=0 utuk replasi sebaak 000 dega ukura sampel N=50 Parameter MCAR MAR MNAR µ Y= (6.53 σ = Y (5.93 ρ = Y X (0.9 β = X Y (0.27 β = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (0.56 Dari tabel dapat disimpulka bahwa hasil taksira ag ba didapat utuk mekaisme data hilag (MCAR da Missig Not at Radom, ii ditujukka dari ila taksira ag medekati ilai parametera da lebar taksira ag palig kecil Semiar Nasioal Matemata da Pedida Matemata Jurusa Pedida Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

7 V. Kesimpula da Sara Algoritma EM pada model ormal merupaka salah satu metoda utuk megatasi permasalaha data ag hilag utuk data multivariat. Metoda ii pada dasara merupaka metoda pegoptimuma dua tahap dari fugsi lelihood dega cara meghitug ekspektasi bersarat pada tahapa E-Step da mecari Taksira maksimum lelohooda pada thap M-step. Hasil simulasi meujukka mekaisme data hilag (MCAR Missig Not at Radom memili tigkat performasi ilai taksira ag palig ba ja dibadigka dega mekaisme data hilag Missig at Radom (MAR, da Missig Not at Radom (MNAR Ucapa Terima Kasih Terima kasih peulis sampaa kepada Jurusa Statista FMIPA Uiversitas Padjadjara badug ag telah medaai peelitia ii melalui Program Riset Madiri (PRM tahu aggara Daftar Pustaka. Dempster, A.P.,Laird, N.M. ad Rubi, D.B. (977 Maximum lelihood estimatio from icomplete data via the EM algorithm (with discussio. Joural of the Roal Statistical Societ Series B, 39, Little, R.J.A ad Rubi, D.B.(2002 Statistical Aalsis with Missig Data. J. Wil & Sos, New York. 3. Rubi, D. B. (976. Iferece ad missig data. Biometra, 63, Schafer, J.L. (992 Aalsis of Icomplete Multivariate Data. Moographs o Statistics ad Applied Probabilit, 72. Semiar Nasioal Matemata da Pedida Matemata Jurusa Pedida Matemata FMIPA UNY, 5 Desember