PELABELAN AKAR RATA-RATA KUADRAT PADA GRAF LADDER DAN GRAF CORONA. Universitas Diponegoro Semarang Jl.Prof. H.Soedarto,SH, Tembalang, Semarang

Transkripsi

1 PELABELAN AKAR RATA-RATA KUADRAT PADA GRAF LADDER DAN GRAF CORONA Azhar Mubarok 1, Lucia Ratnasari, Djuwandi 3 1,,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Semarang Jl.Prof. H.Soedarto,SH, Tembalang, Semarang Abstract. A graph G with p vertices and q edges. A Root Square Mean Labeling of graph is an injective function from the set of vertices to the set {1,,, + 1} with edge is the number of side on the graph such that when each edges = 3AúǴ is labeled by a function that defines as ceilling function or floor function from root square mean 3A and úǵ, then the edge labels are distinct. For each of graphs that uses root square mean labeling is called as Root Square Mean graph. In this paper, the study is about root square mean labeling on Ladder graph, Corona graph. Then, we prove that ( ) and (, ) graph are included as the root square mean graph. Keywords : Graph labeing, root square mean labeling, Ladder graph, Corona graph. 1. PENDAHULUAN Pelabelan graf sudah banyak dikaji mulai tahun 1960-an. Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat). Jika domain dari pemetaan adalah himpunan titik, pelabelannya disebut pelabelan titik. Jika domainnya adalah sisi, pelabelannya disebut pelabelan sisi. Jika domainnya titik dan sisi, pelabelannya disebut pelabelan total [1]. Saat ini sudah mulai banyak jenis pelabelan graf yang dikembangkan. Salah satunya yaitu pelabelan rata-rata (mean labeling). Dalam artikel ini, penulis tertarik untuk membahas tentang pelabelan akar rata-rata kuadrat pada graf (Root Mean Square Labeling). Pelabelan akar rata-rata kuadrat diperkenalkan oleh []. Dalam artikel ini dibahas tentang pelabelan akar rata-rata kuadrat pada graf, yang terkait dengan graf path yaitu graf Ladder dan graf Corona. Pengertian dan definisi-definisi yang berkaitan dengan graf menggunakan referensi [3].. HASIL DAN PEMBAHASAN Definisi.1 [] Misalkan adalah suatu graf dengan p banyaknya titik (vertice) dan q banyaknya sisi (edge). Pelabelan akar rata-rata kuadrat pada adalah pemetaan injektif {1,,, + 1} sedemikian sehingga jika untuk setiap sisi = 3AúǴ diberi label dengan 3AúǴ= () () atau 3AúǴ= () (), menghasilkan label sisi yang semuanya berbeda. Definisi. [4] Cartesian product dari dua graf = (, ) dan = (, ) dinotasikan adalah graf dengan = dan dua titik 3A = ( ) dan úǵ = adjacent di jika ( = dan adjacent dengan ) atau ( = dan adjacent dengan ). Definisi.3 [5] Cartesian product dari dinan graf Ladder dan dinotasikan dengan. Teorema.4 [5] Graf Ladder merupakan graf akar rata-rata kuadrat. Didefinisikan fungsi {1,,, + 1} dengan 65

2 Azhar Mubarok, Lucia Ratnasari dan Djuwandi (Pelabelan Akar Rata-rata Kuadrat pada Graf ) úǵ = 3 1, 1, 3A = 3, 1 graf dengan Definisi.1 sebagai berikut: 3A úǵ = (3 ) + (3 1) = (3 ) < , 3A úǵ = (3 ) + (3 1) = 3 3A 3A = (3 ) + (3+ 1) = (3 1) < , 3A 3A = (3 ) + (3+ 1) = 3 1 úǵ úǵ = (3 1) + (3+ ) = Oleh (3) < , úǵ úǵ = (3 1) + (3+ ) = 3 sedemikian sehingga setiap sisi diberi label dengan cara sebagai berikut : 66 3A úǵ = 3 1 3A 3A = úǵ úǵ = graf yaitu = 1,,3,4,5,,3 4,3 3,3. Definisi.5 [5] Graf corona adalah graf yang dibentuk dengan mengambil dari satu graf dengan n titik dan sebanyak salinan dari dengan titik ke dari adjacent ke setiap titik dalam salinan ke i dari. Teorema.6 [5] Graf merupakan graf akar rata-rata kuadrat. Didefinisikan fungsi {1,,, + 1} dengan = 4 3, 1 = 4, 1 = 4 1, 1 graf dengan Definisi.1 sebagai berikut : = (4 3) + (4 ) = Oleh (4 3) < , = (4 4) + (4 ) = 4 3 = (4 3) + (4+ 1) = Oleh Karena (4 1) < 4, = (4 3) + (4+ 1) = 4

3 Jurnal Matematika Vol. 19, No., Agustus 016 : = (4 3) + (4 1) = Oleh 4 < , = (4 3) + (4 1) = 4 = (4 ) + (4 1) = Oleh (4 ) < 4 1, = (4 ) + (4 1) = 4 1 Sedemikian sehingga setiap sisi diberi label dengan cara sebagai berikut : = = 4 1 = = graf yaitu = 1,,3,,4 4,4 3,4,4 1. Definisi.7 [] Union (gabungan) dari dua graf dan adalah =, dimana himpunan titiknya = dan himpunan sisinya = Definisi.8 Diberikan graf dan graf Ladder. Union dari kedua graf tersebut menghasilkan graf tidak terhubung. Hasil graf tersebut dinan graf ( ). Contoh.9 Dibeikan graf ( ) dengan himpunan titik (( ) ) = {,, 05,,,, 05,,,, 05,, 3A, 3A, 3A 05, 3A, úǵ, úǵ, úǵ 05, úǵ }dan himpunan sisi (( ) ) = {, 05, 05,,, 05 05,,,, 05 05,,,, 05 05,, 3A 3A, 3A 3A 05, 3A 05 3A, 3A úǵ, 3A úǵ, 3A 05 úǵ 05, 3A úǵ, úǵ úǵ, úǵ úǵ 05, úǵ 05 úǵ } yang ditunjukkan pada Gambar.1. Gambar.1 Graf ( ) Teorema.10 Graf ( ) merupakan graf akar rata-rata kuadrat. Didefinisikan fungsi {1,,, + 1} dengan = 4 3, 1 = 4, 1 = 4 1, 1 3A = , 1 úǵ = 4+ 3, 1 graf ( ) dengan Definisi.1 sebagai berikut : = (4 3) + (4 ) = Oleh (4 3) < , = (4 4) + (4 ) = 4 3 = (4 3) + (4+ 1) =

4 Azhar Mubarok, Lucia Ratnasari dan Djuwandi (Pelabelan Akar Rata-rata Kuadrat pada Graf ) Oleh (4 1) < 4, 68 = (4 3) + (4+ 1) = 4 = (4 3) + (4 1) = < , = (4 3) + (4 1) = 4 = (4 ) + (4 1) = (4 ) < 4 1, = (4 ) + (4 1) 3A 3A = 4 1 = (4+ 3 3) + (4+ 3) Misalkan 4 = 0, : = (3 3) + (3) = (3 ) < , 3A 3A = (3 3) + (3) 3A 3A = 3 = (4+ 3 3) + (4+ 3) = A úǵ = (4+ 3 3) + (4+ 3 ) Misalkan 4 = 0, : 3A úǵ = (3 3) + (3 ) = (3 3) < , 3A úǵ = (3 3) + (3 ) 3A úǵ = 3 3 = (4+ 3 3) + (4+ 3 ) = úǵ úǵ = (4+ 3 ) + ( ) Misalkan 4 = 0, : úǵ úǵ = (3 ) + (3+ 1) = (3 1) < ,

5 Jurnal Matematika Vol. 19, No., Agustus 016 : úǵ úǵ = (3 ) + (3+ 1) úǵ úǵ = 1 = (4+ 3 ) + ( ) = sedemikian sehingga setiap sisi diberi label dengan cara sebagai berikut : = 4 3 1, = 4 1, = 4 1 1, = 4 1 1, 3A úǵ = , 3A 3A = , úǵ úǵ = graf ( ) yaitu = 1,,3,,4 4,4 3,4,4 1,4+ 3 5,4+ 3 4, Definisi.11 Suatu graf Ladder dihubungkan dengan graf ( ) dengan menambahkan satu garis di titik 3A pada graf Ladder dan titik pada graf akan menghasilkan graf terhubung. Hasil graf tersebut dinan graf (, ( )). Contoh.1 Diberikan graf ( 05, ( 05 )). dengan himpunan titik 05, ( 05 )= {3A, 3A, 3A 05, úǵ, úǵ, úǵ 05,,, 05,,, 05,,, 05 } Didefinisikan fungsi (, ( )) {1,,, + 1} dengan 3A = 3, 1, úǵ = 3 1, 1, = , 1, = , 1 = 3+ 4, 1, graf ( ) dengan Definisi.1 sebagai berikut : 3A úǵ = (3 ) + (3 1) = (3 ) < , 3A úǵ = (3 ) + (3 1) = 3 3A 3A = (3 ) + (3+ 1) = (3 1) < , dan himpunan sisi 05, ( 05 )= {3A 3A, 3A 3A 05, 3A úǵ, 3A úǵ, 3A 05 úǵ 05, úǵ úǵ, úǵ úǵ 05, 3A 05,, 05,,, 05 05,,, 05 05,,, 05 3A 05 } 3A = (3 ) + (3+ 1) yang ditunjukkan pada Gambar = 3 1 úǵ úǵ = (3 1) + (3+ ) Gambar. Graf ( 05, ( 05 )) Teorema.13 Graf, merupakan graf akar rata-rata kuadrat. = (3) < , 69

6 Azhar Mubarok, Lucia Ratnasari dan Djuwandi (Pelabelan Akar Rata-rata Kuadrat pada Graf ) úǵ úǵ = (3 1) + (3+ ) = 3 = (3+ 4 4) + (3+ 4 3) Misalkan 3 = 0, : = (4 4) + (4 3) = (4 ) < , = (4 4) + (4 3) = 4 4 = (3+ 4 4) + (3+ 4 3) = = (3+ 4 4) + (3+ 4) Misalkan 3 = 0, : = (4 4) + (4) = (4 ) < 4 1, = (4 4) + (4) = 4 1 = (3+ 4 4) + (3+ 4) = = (3+ 4 4) + (3+ 4 ) Misalkan 3 = 0, : = (4 4) + (4 ) = (4 3) < , = (4 4) + (4 ) = 4 3 = = = (3+ 4 3) + (3+ 4 ) Misalkan 3 = 0, : = (4 3) + (4 ) = (4 3) < 4, = (4 3) + (4 ) = 4 70

7 Jurnal Matematika Vol. 19, No., Agustus 016 : = (3+ 4 3) + (3+ 4 ) = A = (3 ) + ( ) Misalkan = 3, didapat : 3A = (3.3 ) + ( ) = = 8,06= = 3 1 sedemikian sehingga setiap sisi diberi label dengan cara sebagai berikut : 3A úǵ = 3 1 3A 3A = úǵ úǵ = A = 3 1 = = = = = graf (, ( ))yaitu = 1,,3,,3 4,3 3,3,3 1,3+ 4 5,3+ 4 4,3+ 4 3, PENUTUP Berdasarkan hasil pembahasan, pelabelan akar rata-rata kuadrat dapat disimpulkan bahwa Ladder. graf merupakan graf akar rata-rata kuadrat. Demikian juga graf ( ), graf (, ) merupakan graf akar rata-rata kuadrat. 4. DAFTAR PUSTAKA [1] Gallian, J.A., (01), A Dynamic Survey of Graph Labeling, The Electronic Journal of Combinatories, 17. [] Sandhya S., S., Somasundaram S., Anusa S., (014), Root Square Mean Labeling of Graphs, International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 9(14): [3] Wilson, J. Robin, John J. Watkins, (1990), Graphs An Introductory Approach, NewYork : University Course Graphs, Network, and Design [4] Sandhya S. S, Somasundaram. S, Anusa S, (014), Some New Results on Root Square Mean Labeling, International Journal of Mathematical Archive-5 (1) : [5] Sandhya S. S, Somasundaram S, Anusa S., (015), Root Square Mean Labeling of Some More Disconnected Graphs, International Mathematical Forum, 10(1) :