Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-

Transkripsi

1 Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: ) ( supriyanto@sci.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi IV Revisi terakhir tgl: 1 Maret 201 Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia Dipublikasikan pertama kali pada September 2007

2

3 Untuk Muflih Syamil Hasan Azmi Farah Raihanah Nina Marliyani

4 Usia bukan ukuran kedewasaan Ketekunan adalah jalan terpercaya menuju kesuksesan

5 Kata Pengantar Perubahan adalah suatu keniscayaan. Aksioma itu berlaku juga pada buku ini yang mulai ditulis pada tahun Mulai 24 juli 2010, edisi ke-4 ini diluncurkan dalam rangka mengubah sasaran tujuan dari buku edisi ke-. Penekanan penulisan edisi ke- adalah ingin memperkenalkan sebanyak mungkin metode numerik kepada mahasiswa tingkat sarjana di Departemen Fisika, Universitas Indonesia. Hasil evaluasi proses perkuliahan menunjukkan bahwa diskusi matematis terlalu dominan dibandingkan diskusi aplikasi metode numerik pada masalah fisika. Oleh karena itu saya memutuskan untuk memperbesar porsi pembahasan aplikasi metode numerik sehingga beberapa metode numerik yang diulas pada edisi ke- dengan sengaja dihilangkan dalam edisi ke-4 ini. Rujukan utama buku edisi-4 ini tetap bersumber pada buku teks standar yang sangat populer di dunia komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Academic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan sejumlah contoh aplikasi komputasi pada upaya penyelesaian problem-problem fisika. Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat menyumbangkan kontribusi yang berarti untuk kebangkitan ilmu pengetahuan pada diri anak bangsa Indonesia yang saat ini sedang terpuruk. Saya wariskan buku ini untuk siswa dan mahasiswa Indonesia dimanapun mereka berada. Anda berhak memanfaatkan buku ini. Saya izinkan anda untuk meng-copy dan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tujuan komersial. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Djuhana yang telah berkenan memberikan format L A TEX-nya sehingga tampilan tulisan pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berterima kasih kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika dan Anaisis Numerik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang berlangsung selama kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut memperkaya isi buku ini. Depok, 24 Juli 2010 Supriyanto Suparno iii

6 iv

7 Daftar Isi Lembar Persembahan Kata Pengantar Daftar Isi Daftar Gambar Daftar Tabel i iii iii ix xiii 1 Pendahuluan Inisialisasi variabel Perhitungan yang berulang Mengenal cara membuat grafik Baris-baris pembuka Membuat 2 grafik dalam satu gambar Latihan Matrik dan Komputasi Mengenal matrik Vektor-baris dan vektor-kolom Inisialisasi matrik dalam memori komputer Macam-macam matrik Matrik transpose Matrik bujursangkar Matrik simetrik Matrik diagonal Matrik identitas Matrik upper-triangular Matrik lower-triangular Matrik tridiagonal Matrik diagonal dominan Matrik positive-definite Operasi matematika Penjumlahan matrik Komputasi penjumlahan matrik Perkalian matrik Komputasi perkalian matrik v

8 vi Perkalian matrik dan vektor-kolom Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom Penutup Latihan Fungsi 41.1 Fungsi internal Fungsi eksternal Fungsi eksternal pada operasi matrik Fungsi eksternal penjumlahan matrik Fungsi eksternal perkalian matrik Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom Penutup Latihan Aplikasi dalam Sains Fungsi internal Integral Numerik Metode Trapezoida Metode Simpson Peran faktor pembagi, n Source code metode integrasi Metode Composite-Simpson Adaptive Quardrature Gaussian Quadrature Contoh Latihan Diferensial Numerik Metode Euler Metode Runge Kutta Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor Latihan I Metode Finite Difference Aplikasi Latihan II Persamaan Diferensial Parsial PDP eliptik Contoh pertama Script Matlab untuk PDP Elliptik Contoh kedua PDP parabolik

9 vii Metode Forward-difference Contoh ketiga: One dimensional heat equation Metode Backward-difference Metode Crank-Nicolson PDP Hiperbolik Contoh Latihan Metode Iterasi Kelebihan Vektor-kolom Pengertian Norm Script perhitungan norm dua Script perhitungan norm tak hingga Perhitungan norm-selisih Iterasi Jacobi Script metode iterasi Jacobi Stopping criteria Fungsi eksternal iterasi Jacobi Iterasi Gauss-Seidel Script iterasi Gauss-Seidel Algoritma Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran Iterasi dengan Relaksasi Algoritma Iterasi Relaksasi Metode Eliminasi Gauss Sistem persamaan linear Teknik penyederhanaan Cara menghilangkan sebuah variabel Permainan indeks Triangularisasi dan Substitusi Mundur Contoh pertama Contoh kedua Matrik dan Eliminasi Gauss Matrik Augmentasi Penerapan pada contoh pertama Source-code dasar Optimasi source code Pentingnya nilai n Jangan puas dulu Pivoting Function Eliminasi Gauss

10 viii 8.6 Contoh aplikasi Menghitung arus listrik Mencari invers matrik Penutup Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi Inversi Model Garis Script matlab inversi model garis Inversi Model Parabola Script matlab inversi model parabola Inversi Model Bidang Contoh aplikasi Menghitung gravitasi di planet X Metode LU Decomposition Faktorisasi matrik Algoritma Interpolasi Interpolasi Lagrange Interpolasi Cubic Spline Metode Newton Definisi akar Metode Newton Script metode Newton Fungsi ber-input vektor Fungsi ber-output vektor Fungsi ber-output matrik Metode Newton untuk sistem persamaan Aplikasi: Mencari sumber sinyal Aplikasi: Mencari pusat gempa Metode Monte Carlo Penyederhanaan Inversi Inversi Linear Inversi Non-Linear Lampiran Script Iterasi Jacobi, jcb.m Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m

11 Indeks 259 ix

12 x

13 Daftar Gambar 1.1 Data perubahan kecepatan terhadap waktu Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt Dua buah grafik dalam sebuah gambar Tiga buah grafik dalam sebuah gambar Kurva lintasan gerak parabola yang dihasilkan oleh fungsi eksternal parabol() Variasi nilai percepatan gravitasi terhadap perubahan jarak horizontal Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva f(x) dibagi 2 dalam batas interval a x 1 dan x 1 b dengan lebar masing-masing adalah h Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f(x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masingmasing adalah h Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar h. Pasangan t 1 adalah y(t 1 ), pasangan t 2 adalah y(t 2 ), begitu seterusnya. Kanan: Garis singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung tersebut, ditentukan pasangan t 1 sebagai w 1. Perhatikan gambar itu sekali lagi! w 1 dan y(t 1 ) beda tipis alias tidak sama persis Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (6.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu nilai w i xi

14 xii DAFTAR GAMBAR 6. Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (6.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta orde 4, yaitu nilai w i Rangkaian RC Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t Kurva suatu fungsi f(x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah x 0 = a hingga batas atas x 6 = b Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur pada lempeng logam sesuai contoh satu Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Jarak antar titik ditentukan sebesar h = 0, Interval mesh-points dengan jarak h = 0,1 dalam interval waktu k = 0, Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forwarddifference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman Grafik data pengukuran gerak batu Grafik hasil inversi parabola Sejumlah titik terdistribusi pada koordinat kartesian. Masing-masing titik memiliki pasangan koordinat (x,y) Kurva interpolasi cubic spline yang menghubungkan semua titik Sejumlah polinomial cubic yaitus 0,S 1,S 2... dan seterusnya yang saling sambungmenyambung sehingga mampu menghubungkan seluruh titik Profil suatu object Sampling titik data Hasil interpolasi cubic spline Hasil interpolasi lagrange Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu pada x = 2 dan x = Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu pada x = 1, Koordinat sumber sinyal berada pada x = 4 dan y = Lingkaran dan bujursangkar Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar

15 DAFTAR GAMBAR xiii 1. Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar

16 xiv DAFTAR GAMBAR

17 Daftar Tabel 5.1 Polinomial Legendre untuk n=2,,4 dan Solusi yang ditawarkan oleh metode euler w i dan solusi exact y(t i ) serta selisih antara keduanya Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (w i ) dan solusi exact y(t i ) serta selisih antara keduanya Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (6.16) Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah solusi analitik/exact, kolom ke- dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Kolom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backwarddifference dimana k = 0, Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan metode backward-difference dan Crank-Nicolson Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke Hasil Iterasi Gauss-Seidel Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman Data ketinggian terhadap waktu dari planet X Koordinat Sumber Sinyal dan Waktu Tempuh Sinyal Data Gempa xv

18 xvi DAFTAR TABEL

19 Bab 1 Pendahuluan Objektif : Mengenal cara inisialisasi variabel. Mengenal operasi matematika. Mengenal fungsi-fungsi dasar. Mengenal cara membuat grafik. 1.1 Inisialisasi variabel Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel dalam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses perhitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variable dalam proses perhitungan. Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan. Dengan kalkulator, langkah pertama yang akan kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol, lalu menekan tombol angka, dan diakhiri dengan menekan tombol =; maka keluarlah hasilnya berupa angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan memanfaatkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi 1 dengan angka 2, misalnya A = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi dengan angka, misalnya B =. Setelah itu kita ketikkan A B; maka pada layar monitor akan tampil angka 6. Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi, misalnya kita ketiikan C = A B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan disimpan dalam variable C. Script 2 matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu adalah sebagai berikut A = 2; B = ; C = A * B 1 inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel 2 Script adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan (di-eksekusi) oleh komputer 1

20 2 BAB 1. PENDAHULUAN Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata. Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaitu F = ma, dimana m adalah massa, a adalah percepatan dan F adalah gaya. Maka, script matlab dapat ditulis seperti berikut ini massa = 2; percepatan = ; gaya = massa * percepatan Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua kata tadi mesti dihubungkan dengan tanda underscore. Misalnya begini besar_arus = 2; beda_potensial = ; nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan komputer dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan. Saya akan tunjukkan perbedaan yang lebih tegas lagi pada bagian berikut ini. 1.2 Perhitungan yang berulang Di dalam matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel t hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya sangat mudah, cukup dengan mengetikkan t = 0:10; Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir. Contoh lainnya, jika anda hanya menginginkan bilangan genap-nya saja, cukup ketikkan t = 0:2:10; Disini, angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yg muncul hanyalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Andaikata anda menginginkan urutan angka yang terbalik, maka yang perlu anda lakukan adalah t = 10:-2:0; sehinggan angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya t = -10::4; maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2. Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini, maka memudahkan kita melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita ingin mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2 m/dt 2. Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut v = v o +at (1.1)

21 1.. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama disaat sedang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik, yaitu pada t = 1 v 1 = (0)+(2)(1) 2m/dt pada t = 2 v 2 = (0)+(2)(2) 4m/dt pada t = v = (0)+(2)() 6m/dt pada t = 4 v 4 = (0)+(2)(4) 8m/dt pada t = 5 v 5 = (0)+(2)(5) 10m/dt Script matlab untuk tujuan di atas adalah a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut s = v o t+ 1 2 at2 (1.2) Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, script sebelumnya mesti ditambah satu baris lagi 1 a = 2; 2 t = 1:5; vo = 0; 4 s = vo * t + 1/2 * a * t.^2 Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda titik pada t.ˆ2. Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel t harus dikuadratkan. Jika anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis tˆ2, maka script tersebut tidak akan bekerja. 1. Mengenal cara membuat grafik Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam bentuk grafik. Pada contoh mobil balap tadi, kita bisa menggambar data perubahan kecepatan mobil terhadap waktu dengan menambahkan satu baris lagi seperti ditunjukkan oleh script dibawah ini 1 a = 2; 2 t = 1:5; vo = 0; 4 v = vo + a * t 5 plot(t,v, o ) Jika script tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar, beberapa baris perlu ditambahkan

22 4 BAB 1. PENDAHULUAN Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu 1 a = 2; 2 t = 1:5; vo = 0; 4 v = vo + a * t; 5 plot(t,v, o ); 6 xlabel( Waktu (dt) ); 7 ylabel( Kecepatan (m/dt) ) 8 title( Data Kecepatan vs Waktu ) 10 Data Kecepatan vs Waktu 9 8 Kecepatan (m/dt) Waktu (dt) Gambar 1.2: Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar

23 1.4. BARIS-BARIS PEMBUKA Baris-baris pembuka Ketika anda membuat script di komputer, anda mesti menyadari bahwa script yang sedang anda buat akan memodifikasi isi memory komputer. Oleh karena itu saya menyarankan agar sebelum kalkulasi anda bekerja, maka anda harus pastikan bahwa memory komputer dalam keadaan bersih. Cara membersihkannya, di dalam matlab, adalah dengan menuliskan perintah clear. Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud ini, cukup dengan menuliskan perintah close. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulisan di layar monitor, tambahkan saja perintah clc. Saya biasa meletakkan ketiga perintah tersebut pada baris-baris awal sebagai pembukaan bagi suatu script matlab. Inilah contohnya, 1 clear 2 close clc 4 5 a = 2; 6 t = 1:5; 7 vo = 0; 8 v = vo + a * t; 9 plot(t,v, o ); 10 xlabel( Waktu (dt) ); 11 ylabel( Kecepatan (m/dt) ) 12 title( Data Kecepatan vs Waktu ) 1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan y = Asin(2πft+θ) dimana A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu; θ = sudut fase gelombang. Jika suatu gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka script untuk membuat grafik gelombang tersebut adalah 1 clc 2 clear close 4 5 A = 1; % amplitudo 6 f = 5; % frekuensi 7 theta = 0; % sudut fase gelombang 8 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang Grafik di atas muncul karena ada fungsi plot(t,y) yang diletakkan dibaris paling akhir pada script. Modifikasi script perlu dilakukan untuk memberi penjelasan makna dari sumbu-x dan sumbu-y serta memberikan judul grafik

24 6 BAB 1. PENDAHULUAN Gambar 1.: Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz 1 clc 2 clear close 4 5 A = 1; % amplitudo 6 f = 5; % frekuensi 7 theta = 0; % sudut fase gelombang 8 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang 12 xlabel( Waktu, t (detik) ); % melabel sumbu-x 1 ylabel( Amplitudo ); % melabel sumbu-y 14 title( Gelombang berfrekuensi 5 Hz ); % judul grafik Untuk memperbesar font judul grafik, tambahkan kata fontsize(14) pada title(), contohnya title( \fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz ); % judul grafik Bila kita perlu menggambar dua buah grafik, contoh script berikut ini bisa digunakan 1 clc 2 clear close 4 5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = A1 = 1; % amplitudo gelombang 1 8 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1 9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1 10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang A2 = 1; % amplitudo gelombang 2 1 f2 = ; % frekuensi gelombang 2

25 1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 7 1 Gelombang berfrekuensi 5 Hz Amplitudo Waktu, t (detik) Gambar 1.4: Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul 1 Gelombang berfrekuensi 5 Hz Amplitudo Waktu, t (detik) Gambar 1.5: Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt

26 8 BAB 1. PENDAHULUAN 14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2 15 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang figure subplot(2,1,1) 20 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1 21 xlabel( Waktu, t (detik) ); 22 ylabel( Amplitudo ); 2 title( \fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz ); subplot(2,1,2) 26 plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2 27 xlabel( Waktu, t (detik) ); 28 ylabel( Amplitudo ); 29 title( \fontsize{14} Gelombang berfrekuensi Hz, fase pi/4 ); 1 Gelombang berfrekuensi 5 Hz Amplitudo Amplitudo Waktu, t (detik) Gelombang berfrekuensi Hz, fase pi/ Waktu, t (detik) Gambar 1.6: Dua buah grafik dalam sebuah gambar Sekarang, jika kita ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka script berikut ini bisa digunakan 1 clc 2 clear close 4 5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = A1 = 1; % amplitudo gelombang 1 8 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1 9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1 10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang A2 = 1; % amplitudo gelombang 2 1 f2 = ; % frekuensi gelombang 2 14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2 15 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 2

27 1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR y = y1 + y2; % superposisi gelombang figure subplot(,1,1) 22 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1 2 xlabel( Waktu, t (detik) ); 24 ylabel( Amplitudo ); 25 title( \fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz ); subplot(,1,2) 28 plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2 29 xlabel( Waktu, t (detik) ); 0 ylabel( Amplitudo ); 1 title( \fontsize{14} Gelombang berfrekuensi Hz, fase pi/4 ); 2 subplot(,1,) 4 plot(t,y) % menggambar grafik superposisi gelombang 5 xlabel( Waktu, t (detik) ); 6 ylabel( Amplitudo ); 7 title( \fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan Hz ); Amplitudo Amplitudo Amplitudo 1 0 Gelombang berfrekuensi 5 Hz Waktu, t (detik) 1 0 Gelombang berfrekuensi Hz, fase pi/ Waktu, t (detik) 2 0 Superposisi gelombang 5 Hz dan Hz Waktu, t (detik) Gambar 1.7: Tiga buah grafik dalam sebuah gambar

28 10 BAB 1. PENDAHULUAN 1.6 Latihan 1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/dt 2 dari posisi diam ditentukan oleh rumus berikut s = v o t+ 1 2 at2 Buatlah script untuk menggambarkan grafik jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari t = 0 hingga t = 20 dt. 2. Sebuah elektron memasuki area yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti gambar berikut dimana diketahui besar muatan elektron = 1, C, massa elektron = 9, kg, kecepatan v = 10 6 m/dt, kuat medan listrik E = 200 N/C, dan panjang plat l = 0,1 meter. Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan x = vt y = 1 ee 2 m t2 dimana percepatan a = ee m Buatlah script untuk menentukan variasi posisi elektron (x, y) terhadap waktu (t), mulai dari t = 0 detik hingga t =, 10 8 detik dengan interval waktu, detik.. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu bergerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/dt 2. (a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 0 o hingga 60 o dengan interval 5 o. Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum adalah h maks = v2 o sin2 α 2g (1.) (b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 0 o hingga 60 o dengan interval 5 o. Persamaan untuk menghitung jangkauan maksimum adalah x maks = v2 o sin2α g (c) Buatlah fungsi eksternal untuk masing-masing persamaan di atas. (1.4)

29 1.6. LATIHAN Sebuah bola konduktor pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur pada permukaan kulit bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah ke pusat bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan: (a) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik vs jarak, mulai dari 0 meter hingga 10 meter. (b) Plot gambar kurva-nya 5. Tuliskan sebuah script untuk menggambar superposisi gelombang yang terbentuk dari 9 gelombang berfrekuensi 9 Hz, 18 Hz, 27 Hz, 5 Hz, 47 Hz, 57 Hz, 65 Hz, 74 Hz dan 82 Hz. 6. Sebuah kapasitor 8 µf dan sebuah induktor sebesar 25 mh, masing-masing dihubungkan ke sumber tegangan bolak-balik 150 Volt dengan frekuensi 60 Hz. (a) Tentukan nilai reaktansi kapasitif pada rangkaian (a); dan reaktansi induktif pada rangkaian (b). (b) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangkaian (a); kemudian plot gambar kurva-nya. (c) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangkaian (b); kemudian plot gambar kurva-nya. 7. Muatan Q 1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q 2 = 4µC terletak pada x = 1. Buatlah script matlab untuk tujuan: (a) menghitung medan listrik pada x = -2 (b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya harus NOL) (c) menghitung medan listrik pada x = 2 (cek: besar medan harus sesuai dengan point pertanyaan (a)) (d) menghitung medan listrik pada -1 < x < 1 dengan interval 0.1 (e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan terkecil ada di x = 0; dan nilai medan meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1) (f) menghitung medan listrik pada -10 < x < -1 dengan interval 0.1

30 12 BAB 1. PENDAHULUAN (g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan harus meningkat ketika mendekati x = -1) (h) menghitung medan listrik pada 1 < x < 10 dengan interval 0.1 (i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai medan harus meningkat ketika mendekati x = 1) (j) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval Muatan Q 1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q 2 = 20µC terletak pada x = 1. Buatlah script matlab untuk tujuan: (a) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1 (b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya TIDAK NOL; dimanakah posisi yang medannya NOL?) (c) mencari titik x yang medan-nya nol pada -1 < x < 1 (d) mencari titik-titik x yang medannya bernilai Muatan Q 1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q 2 = 4µC terletak pada x = 1. Buatlah script matlab untuk tujuan: (a) menghitung potensial listrik pada x = -2 (b) menghitung potensial listrik pada x = 0 (c) menghitung potensial listrik pada x = 2 (cek: besar potensial harus sama dengan point pertanyaan (a)) (d) menghitung medan listrik pada -1 < x < 1 dengan interval 0.1 (e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik terkecil ada di x = 0; dan nilai potensial listrik meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1) (f) menghitung potensial listrik pada -10 < x < -1 dengan interval 0.1 (g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik harus meningkat ketika mendekati x = -1) (h) menghitung potensial listrik pada 1 < x < 10 dengan interval 0.1 (i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial harus meningkat ketika mendekati x = 1) (j) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval Muatan Q 1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q 2 = -20µC terletak pada x = 1. Buatlah script matlab untuk tujuan: (a) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1 (b) menghitung potensial listrik pada x = 0

31 1.6. LATIHAN Sebuah bola pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur pada permukaan bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah keluar bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan: (a) Total muatan yang terdapat pada kulit bola (b) Apakah muatan-nya positif atau negatif? (c) Kuat medan listrik pada jarak 1 meter dari pusat bola (d) Kuat medan listrik pada jarak 0,5 meter dari pusat bola (e) Buatlah script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik terhadap jarak mulai dari pusat bola sampai ke jarak meter

32 14 BAB 1. PENDAHULUAN

33 Bab 2 Matrik dan Komputasi Objektif : Mengenalkan matrik, vektor dan jenis-jenis matrik. Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer. Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik. Membuat script operasi matrik. 2.1 Mengenal matrik Notasi suatu matrik berukuran n x m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya A n m. Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matrik tersusun atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks, misalnya a ij. Indeks i menunjukkan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke-j. a 11 a a 1m a A = (a ij ) = 21 a a 2m (2.1)... a n1 a n2... a nm Pada matrik ini, a 11, a 12,..., a 1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama. Sementara a 12, a 22,..., a n2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua. Contoh 1: Matrik A 2 [ ] 8 5 A = dimana masing-masing elemennya adalah a 11 =, a 12 = 8, a 1 = 5, a 21 = 6, a 22 = 4, dan a 2 = 7. 15

34 16 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI Contoh 2: Matrik B 2 1 B = dimana masing-masing elemennya adalah b 11 = 1, b 12 =, b 21 = 5, b 22 = 9, b 1 = 2, dan b 2 = Vektor-baris dan vektor-kolom Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matrik dinamakan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang dinyatakan sebagai berikut ] ] a = [a 11 a a 1m = [a 1 a 2... a m (2.2) Sedangkan suatu matrik dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut a 11 a 1 a a = 21. = a 2. (2.) a n1 a n 2. Inisialisasi matrik dalam memori komputer Sebelum dilanjutkan, saya sarankan agar anda mencari tahu sendiri bagaimana cara membuat m-file di Matlab dan bagaimana cara menjalankannya. Karena semua source code yang terdapat dalam buku ini ditulis dalam m-file. Walaupun sangat mudah untuk melakukan copy-paste, namun dalam upaya membiasakan diri menulis source code di m-file, saya anjurkan anda menulis ulang semuanya. Dalam Matlab terdapat cara inisialisasi matrik. Cara pertama 1, sesuai dengan Contoh 1, adalah 1 clear all 2 clc 4 A(1,1) = ; 5 A(1,2) = 8; 6 A(1,) = 5; 7 A(2,1) = 6; 8 A(2,2) = 4; 9 A(2,) = 7; 10 A Sedangkan untuk matrik B 2, sesuai Contoh 2 adalah 1 Cara ini bisa diterapkan pada bahasa C, Fortran, Pascal, Delphi, Java, Basic, dll. Sementara cara kedua dan cara ketiga hanya akan dimengerti oleh Matlab

35 2.4. MACAM-MACAM MATRIK 17 1 clear all 2 clc 4 B(1,1) = 1; 5 B(1,2) = ; 6 B(2,1) = 5; 7 B(2,2) = 9; 8 B(,1) = 2; 9 B(,2) = 4; 10 B Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriknya, dimana jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas. 1 clear all 2 clc 4 A=[ ]; 6 7 B=[ ]; Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matrik lantaran ditulis hanya dalam satu baris. 1 clear all 2 clc 4 A=[ 8 5 ; ]; 5 B=[ 1 ; 5 9 ; 2 4]; 2.4 Macam-macam matrik Matrik transpose Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemenelemen baris. Notasi matrik tranpose adalah A T atau A t. Contoh : Operasi transpose terhadap matrik A [ ] A = A T = Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tunggal di depan nama matriknya 1 clear all 2 clc

36 18 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 4 A=[ ]; 6 7 AT = A ; Matrik bujursangkar Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran x atau sering juga disebut matrik bujursangkar orde 1 8 A = Matrik simetrik Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik transpose-nya bernilai sama dengan matrik asli-nya. Contoh 5: Matrik simetrik A = A T = Matrik diagonal Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya. Contoh 6: Matrik diagonal orde A = Matrik identitas Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1. Contoh 7: Matrik identitas orde I =

37 2.4. MACAM-MACAM MATRIK Matrik upper-triangular Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen diagonal bernilai 0 (nol). Contoh 8: Matrik upper-triangular A = Matrik lower-triangular Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diagonal bernilai 0 (nol). Contoh 9: Matrik lower-triangular A = Matrik tridiagonal Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol). Contoh 10: Matrik tridiagonal A = Matrik diagonal dominan Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi a ii > n j=1,j i dimana i=1,2,,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini A = 5 1 B = a ij (2.4) 0 1

38 20 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI Pada elemen diagonal a ii matrik A, 7 > 2 + 0, lalu 5 > + 1, dan 6 > Maka matrik A disebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrik B, 6 < 4 +, 2 < 4 + 0, dan 1 < + 0. Dengan demikian, matrik B bukan matrik diagonal dominan Matrik positive-definite Suatu matrik dikatakan positive-definite bila matrik tersebut simetrik dan memenuhi Contoh 11: Diketahui matrik simetrik berikut x T Ax > 0 (2.5) A = untuk menguji apakah matrik A bersifat positive-definite, maka x T Ax = = ] [x 1 x 2 x ] 2x 1 x 2 [x 1 x 2 x x 1 +2x 2 x x 2 +2x = 2x 2 1 2x 1x 2 +2x 2 2 2x 2x +2x 2 = x 2 1 +(x2 1 2x 1x 2 +x 2 2 )+(x2 2 2x 2x +x 2 )+x2 = x 2 1 +(x 1 x 2 ) 2 +(x 2 x ) 2 +x 2 Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat positive-definite, karena memenuhi kecuali jika x 1 =x 2 =x =0. x 1 x 2 x x 2 1 +(x 1 x 2 ) 2 +(x 2 x ) 2 +x 2 > Operasi matematika Penjumlahan matrik Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut berukuran sama. Misalnya matrik C 2 [ ] 9 5 C = 7 2 1

39 2.5. OPERASI MATEMATIKA 21 dijumlahkan dengan matrik A 2, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D 2 D = A+C D = = = [ ] [ ] [ ] [ ] Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi penjumlahan antara matrik A 2 dan C 2, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik tersebut, yaitu [ ] [ ] d 11 d 12 d 1 a 11 +c 11 a 12 +c 12 a 1 +c 1 = d 21 d 22 d 2 a 21 +c 21 a 22 +c 22 a 2 +c 2 Dijabarkan satu persatu sebagai berikut d 11 = a 11 +c 11 d 12 = a 12 +c 12 d 1 = a 1 +c 1 (2.6) d 21 = a 21 +c 21 d 22 = a 22 +c 22 d 2 = a 2 +c 2 Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik d ij = a ij +c ij (2.7) dimana i=1,2 dan j=1,2,. Perhatikan baik-baik! Batas i hanya sampai angka 2 sementara batas j sampai angka. Kemampuan anda dalam menentukan batas indeks sangat penting dalam dunia programming Komputasi penjumlahan matrik Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (2.7) lebih cepat berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada baris pertama dari Persamaan (2.6), d 11 = a 11 +c 11 d 12 = a 12 +c 12 d 1 = a 1 +c 1

40 22 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai. Hal ini membawa konsekuensi pada script pemrograman, dimana looping untuk indeks j harus diletakkan di dalam looping indeks i. Aturan mainnya adalah yang looping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Bila anda masih belum paham terhadap kalimat yang dicetak tebal, saya akan berikan contoh source code dasar yang nantinya akan kita optimasi selangkah demi selangkah. OK, kita mulai dari source code paling mentah berikut ini. 1 clear all 2 clc 4 A=[ 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 6 C=[9 5 ; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 7 8 % ---proses penjumlahan matrik D(1,1)=A(1,1)+C(1,1); 10 D(1,2)=A(1,2)+C(1,2); 11 D(1,)=A(1,)+C(1,); 12 D(2,1)=A(2,1)+C(2,1); 1 D(2,2)=A(2,2)+C(2,2); 14 D(2,)=A(2,)+C(2,); % ---menampilkan matrik A, C dan D A 18 C 19 D Tanda % berfungsi untuk memberikan komentar atau keterangan. Komentar atau keterangan tidak akan diproses oleh Matlab. Saya yakin anda paham dengan logika yang ada pada bagian % proses penjumlahan matrik - dalam source code di atas. Misalnya pada baris ke-9, elemen d 11 adalah hasil penjumlahan antara elemena 11 danc 11, sesuai dengan baris pertama Persamaan 2.6. Tahap pertama penyederhanaan source code dilakukan dengan menerapkan perintah for - end untuk proses looping. Source code tersebut berubah menjadi 1 clear all 2 clc 4 A=[ 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 6 C=[9 5 ; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 7 8 % ---proses penjumlahan matrik for j=1: 10 D(1,j)=A(1,j)+C(1,j); 11 end 12 1 for j=1: 14 D(2,j)=A(2,j)+C(2,j); 15 end

41 2.5. OPERASI MATEMATIKA % ---menampilkan matrik A, C dan D A 19 C 20 D Pada baris ke-9 dan ke-1, saya mengambil huruf j sebagai nama indeks dimana j bergerak dari 1 sampai. Coba anda pikirkan, mengapa j hanya bergerak dari 1 sampai? Modifikasi tahap kedua adalah sebagai berikut 1 clear all 2 clc 4 A=[ 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 6 C=[9 5 ; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 7 8 % ---proses penjumlahan matrik i=1 10 for j=1: 11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 12 end 1 14 i=2 15 for j=1: 16 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 17 end % ---menampilkan matrik A, C dan D A 21 C 22 D Saya gunakan indeks i pada baris ke-9 dan ke-14 yang masing-masing berisi angka 1 dan 2. Dengan begitu indeks i bisa menggantikan angka 1 dan 2 yang semula ada di baris ke-11 dan ke-16. Nah sekarang coba anda perhatikan, statemen pada baris ke-10, ke-11 dan ke-12 sama persis dengan statemen pada baris ke-15, ke-16 dan ke-17, sehingga mereka bisa disatukan kedalam sebuah looping yang baru dimana i menjadi nama indeksnya. 1 clear all 2 clc 4 A=[ 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 6 C=[9 5 ; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 7 8 % ---proses penjumlahan matrik for i=1:2 10 for j=1: 11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 12 end 1 end % ---menampilkan matrik A, C dan D A

42 24 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 17 C 18 D Coba anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeks i hanya bergerak dari 1 sampai 2? Source code di atas memang sudah tidak perlu dimodifikasi lagi, namun ada sedikit saran untuk penulisan looping bertingkat dimana sebaiknya looping terdalam ditulis agak menjorok kedalam seperti berikut ini 1 clear all 2 clc 4 A=[ 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 6 C=[9 5 ; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B 7 8 % ---proses penjumlahan matrik for i=1:2 10 for j=1: 11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 12 end 1 end % ---menampilkan matrik A, C dan D A 17 C 18 D Sekarang anda lihat bahwa looping indeks j ditulis lebih masuk kedalam dibandingkan looping indeks i. Semoga contoh ini bisa memperjelas aturan umum pemrograman dimana yang looping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Dalam contoh ini looping indeks j bergerak lebih cepat dibanding looping indeks i Perkalian matrik Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrik A 2 dikalikan dengan matrik B 2, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik E 2 2 E 2 2 = A 2.B 2

43 2.5. OPERASI MATEMATIKA 25 E = = = [ ] [ ] [ ] Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara matrik A 2 dan B 2, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik tersebut, yaitu [ ] [ ] e 11 e 12 a 11.b 11 +a 12.b 21 +a 1.b 1 a 11.b 12 +a 12.b 22 +a 1.b 2 = e 21 e 22 a 21.b 11 +a 22.b 21 +a 2.b 1 a 21.b 12 +a 22.b 22 +a 2.b 2 Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrik E 2 2 adalah e 11 = a 11.b 11 +a 12.b 21 +a 1.b 1 (2.8) e 12 = a 11.b 12 +a 12.b 22 +a 1.b 2 (2.9) e 21 = a 21.b 11 +a 22.b 21 +a 2.b 1 (2.10) e 22 = a 21.b 12 +a 22.b 22 +a 2.b 2 (2.11) Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e, elemena dan elemenb mulai dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11). Perhatikan perubahan angka-indeks-pertama pada elemen e seperti berikut ini e 1.. =.. e 1.. =.. e 2.. =.. e 2.. =.. Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka-indeks-pertama dari elemen a e 1.. = a 1...b... +a 1...b... +a 1...b... e 1.. = a 1...b... +a 1...b... +a 1...b... e 2.. = a 2...b... +a 2...b... +a 2...b... e 2.. = a 2...b... +a 2...b... +a 2...b... Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks yang

44 26 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI polanya sama e i.. = a i...b... +a i...b... +a i...b... e i.. = a i...b... +a i...b... +a i...b... e i.. = a i...b... +a i...b... +a i...b... e i.. = a i...b... +a i...b... +a i...b... dimana i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjutnya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), marilah kita perhatikan perubahan angka-indeks-kedua pada elemen e dan elemen b, e i1 = a i...b..1 +a i...b..1 +a i...b..1 e i2 = a i...b..2 +a i...b..2 +a i...b..2 e i1 = a i...b..1 +a i...b..1 +a i...b..1 e i2 = a i...b..2 +a i...b..2 +a i...b..2 Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama e ij = a i...b..j +a i...b..j +a i...b..j e ij = a i...b..j +a i...b..j +a i...b..j e ij = a i...b..j +a i...b..j +a i...b..j e ij = a i...b..j +a i...b..j +a i...b..j dimana j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjutnya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), mari kita perhatikan perubahan angka-indeks-kedua elemen a dan angka-indeks-pertama elemen b, dimana kita akan dapati pola sebagai berikut e ij = a i1.b 1j +a i2.b 2j +a i.b j e ij = a i1.b 1j +a i2.b 2j +a i.b j e ij = a i1.b 1j +a i2.b 2j +a i.b j e ij = a i1.b 1j +a i2.b 2j +a i.b j Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama,