Linier Programming (LP): Metode Simpleks

Transkripsi

1 Linier Programming (LP): Metode Simpleks Riset Operasional 1 2 SKS S1 Manajemen Outline Bahasan 1. Model LP & Simpleks 2. Tahapan dalam Metode Simpleks 3. Contoh dan Latihan 1

2 Kompetensi Mahasiswa dapat menjelaskan tentang penggunaan metode simpleks dalam pemrograman linier Mahasiswa dapat menyelesaikan program linier menggunakan metode simpleks Definisi Metode Simpleks merupakan metode yang umum untuk mencari nilai optimal seluruh problem program linier, baik yang melibatkan dua atau lebih variabel keputusan. Metode ini digunakan karena metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan program linear yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua. Metode penyelesaian dari metode simpleks ini melalui perhitungan ulang (iteration) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang-ulang hingga solusi optimal diperoleh 2

3 Syarat Metode Simpleks Model program linier (canonical form) harus diubah dulu ke dalam suatu bentuk umum yang dinamakan bentuk baku (standard form). Metode simpleks hanya bisa diaplikasikan pada bentuk baku simpleks Syarat Metode Simpleks Fungsi Batasan (Constraint): Suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda diubah menjadi suatu bentuk persamaan (standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variable. Banyaknya slack variabel bergantung pada fungsi pembatas. Fungsi Tujuan: Dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini. Karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta slack variable tersebut dituliskan nol. 3

4 Bentuk Standar Metode Simpleks Fungsi Tujuan: Maksimumkan Z C 1 X 1 - C 2 X C n X n - 0S 1-0S S n = NK Fungsi Pembatas: a 11 X 11 + a 12 X a 1n X n + 1S 1 + 0S S n = b 1 a 21 X 21 + a 22 X a 2n X n + 0S 1 + 1S S n = b = a m1 X m1 + a m2 X m a mn X n + S 1 + 0S S n = b m Var. Kegiatan Slack/Surplus/Artifisial Bentuk Standar Metode Simpleks Setelah fungsi batasan dirubah ke dalam bentuk persamaan (bentuk standar), maka untuk menyelesaikan masalah program linier dengan metode simpleks menggunakan suatu kerangka tabel yang disebut dengan tabel simpleks. Tabel simpleks mengatur model ke dalam suatu bentuk yang memungkinkan untuk penerapan penghitungan matematis menjadi lebih mudah 4

5 Tabel Simpleks : Var. Z X 1 X X n S 1 S S n NK Z 1 -C 1 -C C n S 1 0 a 11 a a 1n b 1 S 2 0 a 21 a a 2n b S n 0 a m1 a m2... a mn b m Terminologi dalam Metode Simpleks a) Iterasi: tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya. b) non basis/dasar: variable yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. c) basis/dasar : variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis = variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan atau =). Secara umum, jumlah variabel basis =jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif). d) Solusi atau Nilai Kanan (NK) : nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, NK = jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan e) Slack : variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala untuk mengkonversi pertidaksamaan menjadi = f) Surplus : variabel yang dikurangkan dari model matematika untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan = 5

6 Terminologi dalam Metode Simpleks g) buatan: variabel yang ditambahkan ke dalam model matematika kendala dengan bentuk atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. h) Kolom Pivot/Kunci/Kerja : kolom yang memuat variabel masuk. i) Baris Pivot/Kunci/Kerja : salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar. j) Elemen atau Nilai Pivot/Kunci/Kerja : elemen yang terletak pada perpotongan/pertemuan kolom dan baris kunci/pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks iterasi berikutnya. k) masuk : variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. l) keluar : variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan dengan variabel masuk Langkah-Langkah Metode Simpleks 1. Rumuskan persoalan PL ke dalam model umum PL (fungsi tujuan dan fungsi pembatas). 2. Merubah model umum PL menjadi model simpleks : a. Fungsi Pembatas : tambahkan slack variabel dan/atau surplus variabel, dan/atau variabel buatan (artifisial var). b. Fungsi Tujuan : o o Ubahlah bentuk fungsi tujuan eksplisit menjadi persamaan bentuk implisit Tambahkan/kurangi dengan slack var, surplus var dan/atau variabel buatan yg bernilai nol. 3. Formulasikan ke dalam Tabel Simpleks. 4. Lakukan langkah-langkah penyelesaian. 6

7 Contoh 1 Model Program Linear Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z= 8X 1 + 6X 2 (Dlm Rp1000) Fungsi Pembatas : Bahan A : 4X 1 + 2X 2 60 Bahan B : 2X 1 + 4X 2 48 X 1, X 2 Model Simpleks : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z 8X 1 6X 2 0S 1-0S 2 = 0 Fungsi Pembatas : 4X 1 +2X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 60 2X 1 +4X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 48 X 1, X 2, S 1, S 2 0 Tabel Simpleks : Model Simpleks : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z 8X 1 6X 2 0S 1-0S 2 = 0 7

8 Tabel Simpleks : Z S 1 S 2 Model Simpleks : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z 8X 1 6X 2 0S 1-0S 2 = 0 Fungsi Pembatas : 4X 1 +2X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 60 2X 1 +4X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 48 X 1, X 2, S 1, S 2 0 Tabel Simpleks : Z S 1 S 2 Model Simpleks : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z 8X 1 6X 2 0S 1-0S 2 = 0 Fungsi Pembatas : 4X 1 +2X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 60 2X 1 +4X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 48 X 1, X 2, S 1, S 2 0 8

9 Tabel Simpleks : Z S S 2 Model Simpleks : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z 8X 1 6X 2 0S 1-0S 2 = 0 Fungsi Pembatas : 4X 1 +2X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 60 2X 1 +4X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 48 X 1, X 2, S 1, S 2 0 Tabel Simpleks : Z S S Model Simpleks : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z 8X 1 6X 2 0S 1-0S 2 = 0 Fungsi Pembatas : 4X 1 +2X 2 + 1S 1 + 0S 2 = 60 2X 1 +4X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 48 X 1, X 2, S 1, S 2 0 9

10 Langkah-langkah penyelesaian: 2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci : Kolom kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Z S S Indeks Z S S

11 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : angka kunci - Nilai baris lain = Baris lama (Angka kolom kunci baris ybs * Nilai baris kunci baru) Z X 1 1 ½ ¼ 0 15 S 2 4/4 2/4 1/4 0/4 60/4 Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Rumus : Baris baru = baris lama (koefisien kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris ke-1 (Z) Nilai lama (-8) 1 1/2 1/ ( - ) Nilai baru = Baris ke-3 (batasan 2) Nilai lama (2) 1 1/2 1/ ( - ) Nilai baru = 0 3-1/

12 Tabel Simpleks Hasil Iterasi-1 Z X 1 1 ½ ¼ 0 15 S ½ 1 18 Tabel Simpleks Hasil Iterasi-1 Indeks Z X 1 1 ½ ¼ S ½

13 Variabe l Indeks Z X 1 X /6 1/3 6 - Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Rumus : Baris baru = baris lama (koefisien kolom kunci) x nilai baru baris kunci Baris ke-1 (Z) Nilai lama (-2) 0 1-1/6 1/3 6 ( - ) Nilai baru = 0 0 5/3 2/3 132 Baris ke-2 (batasan 1) Nilai lama 1 1/2 1/ (1/2) 0 1-1/6 1/3 6 ( - ) Nilai baru = 1 0 1/3-1/

14 Tabel Simpleks Hasil Iterasi-2 Indeks Z 0 0 5/3 2/ X /3-1/ X /6 1/3 6 - Kesimpulan Contoh 1 Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb : X 1 = 12 dan X 2 = 6 dengan Z maksimum = Rp

15 Contoh 2 Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z =15X X 2 2. Fungsi Kendala: Bahan A : X 1 + X Bahan B : 2X 1 + X X 1, X 2 0 (Dlm Rp10.000) Carilah solusi model LP tersebut dengan menggunakan metode simpleks. Contoh 2 Model Simpleks 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z 15X 1 10 X 2 0S 1 0S 2 = 0 2. Fungsi Pembatas : X 1 +X 2 + S 1 + 0S 2 = 600 2X 1 +X 2 +0S 1 + 1S 2 = 1000 X 1, X 2, S 1, S 2 15

16 Tabel Simpleks : Tabel Simpleks : Z S 1 S 2 16

17 Tabel Simpleks : Z S 1 S 2 Tabel Simpleks : Z S S 2 17

18 Tabel Simpleks : Z S S Langkah-langkah penyelesaian : 1. Iterasi Awal (Iterasi-0) Z S S

19 2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci : Kolom kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Z S S Indeks Z S S

20 2. Iterasi-1 : C. Perubahan-perubahan nilai baris : Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci Nilai baris yang lain = Baris lama (angka kolom kunci baris ybs * Nilai baris kunci baru) Z S 1 X 1 1 ½ 0 ½ 500 Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Rumus : Baris baru = baris lama (koefisien kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris ke-2 (batasan 1) Nilai lama (1) 1 ½ 0 ½ 500 ( - ) Nilai baru = 0 ½ 1 - ½ 100 Baris ke-1 (Z) Nilai lama (-15) 1 ½ 0 ½ 500 ( - ) Nilai baru = 0-2½ 0 7½

21 2. Iterasi-1 : C. Perubahan-perubahan nilai baris : Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : nilai angka kunci Nilai baris yang lain = Baris lama (angka kolom kunci baris ybs * Nilai baris kunci baru) Z S 1 0 ½ 1 - ½ 100 X 1 1 ½ 0 ½ Iterasi-1 : C. Perubahan-perubahan nilai baris : Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : nilai angka kunci Nilai baris yang lain = Baris lama (angka kolom kunci baris ybs * Nilai baris kunci baru) Z 0-2½ 0 7½ 7500 S 1 0 ½ 1 - ½ 100 X 1 1 ½ 0 ½

22 3. Iterasi-2 : Perhatikan apakah koefisien fungsi tujuan pada Tabel simpleks masih ada yang bernilai negatif. Indeks Z 0-2½ 0 7½ S 1 0 ½ 1 - ½ X 1 1 ½ 0 ½ Angka Kunci 3. Iterasi-2 : C. Perubahan-perubahan nilai baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya : Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : nilai angka kunci Nilai baris yang lain = Baris lama (angka kolom kunci baris ybs * Nilai baris kunci baru) Indeks Z X X 1 22

23 Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Rumus : Baris baru = baris lama (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris ke-3 (batasan 3) Nilai lama 1 ½ 0 ½ 500 (1/2) ( - ) Nilai baru = Baris ke-1 (Z) Nilai lama 0-2½ 0 7½ 7500 (-2½) ( - ) Nilai baru = Iterasi-2 : C. Perubahan-perubahan nilai baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya : Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : nilai angka kunci Nilai baris yang lain = Baris lama (angka kolom kunci baris ybs * Nilai baris kunci baru) Indeks Z X X

24 3. Iterasi-2 : C. Perubahan-perubahan nilai baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya : Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : nilai angka kunci Nilai baris yang lain = Baris lama (angka kolom kunci baris ybs * Nilai baris kunci baru) Indeks Z X X Kesimpulan: Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb : X 1 = 400 dan X 2 = 200 Z maksimum = Rp 8.000,- (dlm Rp10.000) 24

25 Latihan 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 60x 1 +30x 2 +20x 3 Fungsi Pembatas : 8x 1 + 6x 2 + x x 1 + 2x x x x x 3 8 x 1, x 2, x Fungsi Tujuan : Maksimum Z = 8x 1 + 9x 2 + 4x 3 Fungsi Pembatas : x 1 + x 2 + 2x 3 2 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 3 7x 1 + 6x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 8x 1 + 7x 2 + 3x 3 Fungsi Pembatas : x 1 + x 2 + 2x 3 4 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 7 3x 1 + 6x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 Gunakan metode simpleks untuk menentukan solusi dari model LP tersebut! Penyimpangan Bentuk Standar Simpleks Penyimpangan bentuk standar dapat terjadi karena : 1. Fungsi tujuan (Z) bukan Maximisasi, tetapi Minimisasi 2. Fungsi batasan bertanda (=) atau ( ) 3. Syarat X 1 atau X 2 tidak terpenuhi, misalkan X 1-10 (negatif) 25

26 Penyimpangan Bentuk Standar Simpleks 1. Jika semua fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan maka variabel basis awal semuanya adalah slack variables. Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini dilakukan dengan cara yang sudah diperkenalkan sebelumnya. 2. Jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan dan/atau maka variabel basis awal adalah slack variables dan/atau variable buatan (artifisial). 3. Jika fungsi kendala ada yang menggunakan persamaan (=) maka variabel buatan akan ditemukan pada variabel basis awal. Poin 2 dan 3, metode Big M digunakan untuk penyelesaian model selanjutnya. Metode Big M vs Simpleks Perbedaan metode Big M dengan metode simpleks biasa, terletak pada pembentukan tabel awal. a. Untuk fungsi tujuan minimum agar menjadi maksimal dikalikan dengan (-1) b. Jika kendala bertanda = tambahkan ruas kiri satu variabel tambahan (artifisial). c. Jika kendala bertanda > kurangkan ruas kiri dgn variabel surplus dan tambahkan juga ruas kiri dgn variabel artifisial. d. Masukkan / tambahkan pula variabel-variabel surplus, slack dan artifisial ke dalam fungsi tujuan, dimana koefisien untuk var. surplus/slack = 0 dan koefisien var. artifisial = M (M adalah konstanta yang nilainya sangat besar, tapi berhingga, misalnya ribuan, puluhan ribu, dst) 26

27 Contoh: Fungsi Tujuan : Minimalkan Z = 3X 1 + 5X 2 Dengan batasan : Mesin A 2X 1 = 8 Mesin B 3X 2 15 Mesin C 6X 1 + 5X 2 30 X 1, X 2 0 Contoh: Min Z = 3X 1 + 5X 2 menjadi Fungsi kendala: Maks (-Z) = -3X 1 5X 2 Maks (-Z) + 3X X 2 = 0 2X 1 = 8 2X 1 + A 1 = 8 3X X 2 + S 1 = 15 6X 1 + 5X X 1 + 5X 2 S 2 + A 2 = 30 F. Tujuan : Min Z = 3X 1 + 5X 2 Batasan : 2X 1 = 8 3X X 1 + 5X 2 30 X 1, X 2 0 Sehingga fungsi tujuan menjadi : Maks Z + 3X X 2 + MA 1 + 0S 1 + 0S 2 + MA 2 = 0 A 1, A 2 = var. artifisial; S 1 = var. slack; S 2 = var. surplus 27

28 Contoh: Fungsi tujuan menjadi : Maks Z + 3X X 2 + MA 1 + 0S 1 + 0S 2 + MA 2 = 0 Masalah berikutnya yang muncul adalah setiap variabel dasar (slack atau artificial variabel), harus bernilai nol, sehingga MA 1 dan MA 2 di atas harus di-nol-kan terlebih dahulu, sebelum dipindah ke tabel simplex. Cara yang digunakan adalah dengan mengurangi bilangan M tersebut dengan bilangan M itu sendiri, yang sebelumnya dikalikan dengan setiap nilai batasan yang menyebabkan munculnya bilangan M tersebut. F. Tujuan : Min Z = 3X 1 + 5X 2 Batasan : 2X 1 = 8 3X X 1 + 5X 2 30 X 1, X 2 0 Contoh: Fungsi tujuan menjadi : Maks Z + 3X X 2 + MA 1 + 0S 1 + 0S 2 + MA 2 = 0 F. Batasan : 2X 1 + A 1 = 8 3X 2 + S 1 = 15 6X 1 + 5X 2 S 2 + A 2 = 30 X 1, X 2 0 Nilai fungsi tujuan terakhir adalah : 3 5 M 0 0 M 0 Kita coba hilangkan M terlebih dahulu dengan cara menguranginya dengan M x baris batasan/kendala yang bersangkutan. X 1 X 2 A 1 S 1 S 2 A 2 NK 3 5 M 0 0 M 0 -M ( ) -M ( ) Baris A 1 Baris A 2-8M+3-5M M 0-38M 28

29 Contoh: Tabel Awal Simpleks, untuk kasus penyimpangan : Var. Z X 1 X 2 A 1 S 1 S 2 A 2 NK Z -1-8M+3-5M M 0-38M A S A Contoh: Tabel Awal Simpleks (Iterasi ke-0): Var. Z X 1 X 2 A 1 S 1 S 2 A 2 NK Z -1-8M+3-5M M 0-38M A S A Tabel Hasil Iterasi ke-1: Var. Z X 1 X 2 A 1 S 1 S 2 A 2 NK Z M+5 4M-3/2 0 M 0-6M-12 X / S A

30 Contoh: Tabel Hasil Iterasi ke-2: Var. Z X 1 X 2 A 1 S 1 S 2 A 2 NK Z M+3/2 0 1 M+1-18 X / S /5 1 3/5-3/5 5 7/5 X /5 0-1/5 1/5 6/5 Pada iterasi-2 koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian perhitungan persoalan program linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum (minimum Z) dengan rincian sbb : X 1 =4; X 2 =6/5, Z minimum = 18 (karena Z=-18) Latihan Buatlah formulasi model utk Metode Big M dan Tabel Simpleks (iterasi awal) dari model sbb: 1. Fungsi Tujuan : Min Z = 21X X X 3 Dengan batasan : 90X X X X X X X X X X 1, X 2, X Fungsi Tujuan : Min Z = 4X 1 + X 2 Dengan batasan : 3X 1 + X 2 = 3 4X 1 + 3X 2 6 X 1 + 2X 2 4 X 1, X

31 Diskusi...??? 31