Jural Sais Matematika da Statistika, Vol., No., Juli 07 ISSN 69-90 prit/issn 07-099 olie Modifikasi Metode Cauchy Tapa Turua Kedua dega Orde Kovergesi Empat Alamsyah, Wartoo, Jurusa Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, UIN Sulta Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebratas No. 55 Simpag Baru, Paam, Pekabaru, 89 Email: wartoo@ui-suska.ac.id ABSTRAK Metode Cauchy [] merupaka salah satu metode iterasi dega orde kovergesi tiga yag diguaka utuk meyelesaika persamaa oliear. Pada makalah ii, peulis memodifikasi metode Cauchy megguaka ekspasi deret Taylor orde dua da meghilagka turua kedua megguaka peyetaraa dari metode Potra-Ptak [] da metode Chu-Kim[] dega satu parameter. Berdasarka hasil peelitia diperoleh bahwa metode iterasi baru memiliki orde kovergesi empat utuk = da melibatka tiga evaluasi fugsi dega ideks efisiesi sebesar,5870. Simulasi umerik dilakuka terhadap beberapa fugsi utuk meujukka performa metode iterasi baru. Katakuci:Ideks efisiesi, metode Cauchy, metode Chu-Kim, metode Potra-Ptak, orde kovergesi ABSTRACT A Cauchy s method [] is oe of a iterative method with third order of covergece that used to solve a oliear equatio. I this paper, the author modifies Cauchy s method usig expasio of the secod order Taylor series ad reducesthe secod derivative usig equality of Potra-Ptak s []ad Chu-Kim s[] methods with oe parameter. Based o the result of studied showed that theew iterativemethod has fourth order of covergece for = ad ivolves three evaluatio of fuctios with the efficiecy idex.5870. Numerical simulatiowas preseted for several fuctios to demostrate the performace of the ew iterative method. Keywords: Efficiecy idex, Cauchy s method, Chu-Kim s method, Potra-Ptak s method, order of covergece Pedahulua Persamaa oliear yag rumit da kompleks serig mucul sebagai represetasi matematis pada bidag sais, tekik da rekayasa[6]. Persoala mucul ketika meetuka peyelesaia persamaa oliear dalam betuk f ( x 0. ( Metode klasik yag serig diguaka utuk meyelesaika persamaa oliear ( secara meluas adalah metode Newto yag ditulis f( x x x da f '( x 0, 0,,, f( x ( Persamaa ( merupaka metode iterasi satu lagkah berorde kovergesi dua yag melibatka dua evaluasi fugsi dega ideks efisiesi sebesar /, []. Bayak peeliti da ilmuwa telah megembagka metode Newto dega tujua meigkatka ideks efisiesi. Oleh karea ideks efisiesi berbadiglurus kepada orde kovergesi da berbadig terbalik dega jumlah evaluasi fugsi, maka usaha utuk meigkatka ideks efisiesi dilakuka dega meigkatka orde kovergesi atau mereduksi jumlah evaluasi fugsi yag diguaka. Peigkata orde kovergesi dapat dilakuka dega berbagai cara. Salah satu tekik yag palig umum diguaka adalah megguaka pemotoga deret Taylor orde dua, yag 59
Jural Sais Matematika da Statistika, Vol., No., Juli 07 ISSN 69-90 prit/issn 07-099 olie meghasilka metode iterasi klasik dega orde kovergesi tiga, yaitu metode Chebyshev, Halley da Euler (Halley irasioal. Selai megguaka pemotoga deret Taylor orde dua, beberapa pedekatageometri juga diguaka utuk meghasilka metode iterasi satu lagkah dega orde kovergesi tiga, misalya kelegkuga kurva [], fugsi parabolik [7, 9,,, 5], fugsi kuadratik [9] da hiperbola [, 5]. Metode iterasi yag dikotruksi dega megguaka pedekata parabolik meghasilka metode iterasi yag lebih dikeal dega ama metode Euler [9,, ], amu sebagia peeliti meyebutya dega ama metode iterasi Cauchy [6]. Metode Cauchy yag dikotruksi baik dari deret Taylor orde dua, fugsi kuadratik maupu parabolik ditulis dalam betuk, f ( x x x, ( Lf f '( x dega f "( x f ( x Lf. ( f '( x Persamaa ( memiliki orde kovergesi tiga da evaluasi fugsi tiga [], sehigga ideks efisiesi,. Makalah ii membahas modifikasi metode Cauchy yag diberika pada pesamaa ( da mereduksi turua keduaya megguaa kesamaa metode iterasi Potra-Ptak [] da Chu-Kim [].Selajutya, aka ditujukka orde kovergesi metode yag dikemukaka da dilajutka dega melakuka komputasi umerik utuk beberapa fugsi yag ditetuka. Metode Iterasi yag Dikembagka Pada bagia ii, peulis megguaka beberapa defiisi petig yag aka dilibatka pada proses megkotruksi metode iterasi, meetuka orde kovergesi, baik megguaka ekspasi deret Taylor maupu komputasi (COC da simulasi umerik. Adapu defiisi yag diguaka adalah sebagai berikut: Defiisi. Misalka f (x merupaka sebuah fugsi dega akar persamaa da {x } adalah sebuah barisa bilaga real utuk 0 yag koverge ke. Jika terdapat c 0 da p sedemikia higga, x e lim lim c (5 p p x e maka p adalah orde kovergesi dari deret {x }, da c adalah kostatagalat asimtotik(asymptotic error costat.utuk p,,, maka deret koverge liear, kuadratik, kubik da seterusya. Defiisi. Misalka e = x adalah galat pada iterasi ke, maka dapat didefiisika: p p e ce ( e (6 sebagai persamaa kesalaha dari suatu metode iterasi, dega p adalah orde kovergesi da c adalah kostata asimtotik. Defiisi. Misalka r adalah jumlah dari evaluasi pada fugsi atau salah satu dari derivatifya, maka efisiesi dari suatu metode diukur dega ideks efisiesi yag didefiisika oleh: IE p r (7 60
Jural Sais Matematika da Statistika, Vol., No., Juli 07 ISSN 69-90 prit/issn 07-099 olie Defiisi. Misalka adalah akar persamaa fugsi f (x da x, x da x + adalah akar-akar pedekata pada iterasi ke, da+ yag dekat dega, maka orde kovergesi komputasi dihitug megguaka formulasi l ( x / ( x (8 l ( x / ( x Utuk meguraika metode baru, peulis mulai dega medefiisika kembali metode Cauchyyag diberika pada Persamaa ( dalam betuk: f( x x x, (9 f ''( x ( '( f x f x f '( x Betuk akar pada ruas kaa Persamaa (9 diekspasi megguaka deret Taylor orde dua, sehigga persamaa (9 dapat ditulis kembali dalam betuk f "( x f ( x f "( x f ( x f ( x x x (0 f '( x f '( x f '( x Persamaa (0 merupaka modifikasi metode Cauchy dega orde kovergesi tiga da evaluasi fugsi tiga yag masih memuat turua kedua. Oleh karea itu, utuk meghidari pegguaa turua kedua, maka f(x ditaksir megguaka peyetaraa dua metode iterasi berorde kovergesi tiga, yaitu metode Chu-Kim [] da Potra-Ptak [5]. Selajutya, padag kembali metode Chu-Kim [] dega peambaha sebuah parameter riil da Potra-Ptak [5] masig-masig ditulis sebagai berikut f ( x f "( x f ( x f '( x x x, ( f '( x da f ( x f ( y x x, ( f '( x dega f( x y x f ( x. ( Berdasarka Persamaa ( da (, betuk eksplisit f( x dapat ditetuka dega megguaka peyetaraa kedua persamaa tersebut da diperoleh f '( x f ( y f "( x, 0. ( f ( x Selajutya subtitusika Persamaa ( ke Persamaa (5, da dega meyederhaaka hasil substitusi, maka persamaa (0 dapat ditulis kembali mejadi f ( x ( ( (, ( '( f y f x f y x x 0, f x f x (5 dega y didefiisika pada Persamaa (. Persamaa (5 merupaka hasil modifikasi dari metode Cauchy tapa turua kedua megguaka ekspasi deret Taylor orde dua yag melibatka tiga evaluasi fugsi yaituf(x, f (y daf(x. Selajutya dicari orde kovergesi dari hasil modifikasi. 6
Jural Sais Matematika da Statistika, Vol., No., Juli 07 ISSN 69-90 prit/issn 07-099 olie a. Metode Iterasi Hasil da Pembahasa Sebuah metode dikataka baik bila metode tersebut efektif. Keefektifa metode dilihat dari ideks effisiesiya da semaki tiggi orde kovergesi, maka semaki baik pula metode tersebut dalam meghampiri akar-akar suatu persamaa. Suatu metode iterasi bayak lagkah dikataka efektif apabila memeuhi rumus [6] dega adalah bayakya evaluasi fugsi. Utuk meetuka orde kovergesi dari Persamaa (5 dijelaska oleh teorema sebagai berikut. Teorema : Misalka f:d R R adalah fugsi berilai real yag memiliki turua pada iterval terbuka Dda mempuyai akar peyelesaiad. Jika diberika ilai awalx 0 cukup dekat dega, metode iterasi pada Persamaa (5 utuk = memiliki orde kovergesi empat yag memeuhi persamaa galat: e 5 (c cc 5 c e O( e Bukti : Asumsika adalah akar darif(x sehiggaf ( = 0. Kemudia asumsikaf( 0 dae = x serta utukj =,,, dega megguaka ekspasi deret Taylor di sekitar diperoleh f ''( f '''( f ( x f ( f '( ( x ( x ( x.!! Jika x x, diperoleh f ''( f '''( f ( x f ( f '( ( x ( x ( x.!! Oleh karea f ( 0 da x e, diperoleh f ( x f '( e f "( e f ( e O( e. (6!! Dega melakuka maipulasi aljabar pada Persamaa (6, maka diperoleh f "( f ( O( e f ( x '( f e e e,! '(! '( '( f f f atau f ( x f '( ( e ce ce O( e. (7 dega ( j f ( (8 c j j! f '( Selajutya, dega melakuka lagkah yag sama, ekspasi deret Taylor utuk fugsi f ( x di sekitar utuk x = x diberika oleh f '( x f '( ( c e c e O( e. (9 Jika Persamaa (7 dibagi dega Persamaa (8 da dega megguaka deret geometri, maka diperoleh f ( x e ce (c c e O( e. (0 f '( x Selajutya, Persamaa (0 disubtitusika ke Persamaa ( y Oleh karea y x x ( e e c e (c c e O( e, Persamaa ( mejadi. c e (c c e O( e, ( ( 6
Jural Sais Matematika da Statistika, Vol., No., Juli 07 ISSN 69-90 prit/issn 07-099 olie Ekspasi f(y dega megguaka deret Taylor di sekitar, diberika oleh ( y ( y f ( y f ( ( y f ( f ( f (!!. ( Oleh karea f( = 0 da dega megguaka (8, maka Persamaa ( dapat ditulis kembali dalam betuk f ( y f ( [( y c ( y c ( y ]. ( Substitusika Persamaa ( ke Persamaa ( diperoleh 5 f ( y f ( ( ce (c c e (5c 7cc c e O( e. (5 Selajutya dega megguaka Persamaa (7, (9 da (5, masig-masig diperoleh f ( x f '( x f '( ( e c e ( c c e O( e. da f ( x f ( x f ( y f ( y f '( ( e ( c c e O( e Dega megguaka Persamaa (6 da (7, pembagia (7 oleh (6 memberika f ( x f ( x f ( y f ( y ce c c e f ( x f '( x (6. (7 7 8 ( 5 c c c c c e O e. (8 Selajutya, subtitusika Persamaa (8 ke Persamaa (5, da oleh karea x e, diperoleh e ce c ( c e 5 ( c ( c (7 8 cc c e O ( e. (9 Persamaa (9 memberika iformasi bahwa orde kovergesi persamaa (5 adalah empat utuk = da 0. Oleh karea itu, dega mesubsitusika =, maka Persamaa (9 dapat ditulis kembali mejadi e 5 (c cc 5 c e O( e. (0 Berdasarka Persamaa (0, metode iterasi pada Persamaa ( memiliki orde kovergesi empat utuk. Oleh karea itu, dapat disimpulka bahwa Teorema terbukti. b. Simulasi Numerik Utuk meguji performas metode iterasi baru, maka dilakuka simulasi umerik terhadap beberapa fugsi real dega megguaka bahasa pemrograma Maple da 850 floatig aritmethics. Pada Simulasi umerik, aka dihitug jumlah iterasi, orde kovergesi secara komputasi da ilai galat mutlak dari metode baru (MMC yag diberika pada Persamaa (5, da kemudia dibadigka dega beberapa metode iterasi laiya, seperti: metode Newto dega orde kovergesi dua (MN [], metode Potra-Ptak dega orde kovergesi tiga (MPP [], metode Chu-Kim dega orde kovergesi tiga (MCK[], da metode Chebyshev dega orde kovergesi tiga (MC[, 5]. Perhituga komputasi dilakuka dega megambil ilai tebaka awal (x 0 sedekat mugki dega akar-akar persamaa oliear ( da megguaka delapa fugsi real. Akar-akar persamaa oliear ditampilka dega megguaka 5 desimal. Adapu fugsi-fugsi yag diguaka adalah sebagai berikut: x f ( x xe 0, 0,85595896 6
Jural Sais Matematika da Statistika, Vol., No., Juli 07 ISSN 69-90 prit/issn 07-099 olie f ( x e x,065878069 f ( x cos( x x 0,79085560 f ( x ( x =,000000000000000 f ( x x x 0,65000968 5 f ( x e 6 x x cos( x x =,000000000000000 f ( x si ( x x,09685 7 f8 ( x x x =,000000000000000 Perhituga akar-akar pedekata dari metode iterasi aka berheti jika memeuhi kriteria berikut: x x ( dega = 0 95, sedagka orde kovergesi secara komputasi (COC dihitug megguaka rumusa l ( x / ( x, = 0,,,. ( l ( x / ( x Berikut ii diberika tabel perbadiga jumlah iterasi da COC degaketelitia = 0 95. Iterasi dihetika jika memeuhi kriteria berheti yaitu. Tabel Perbadiga Jumlah Iterasi da COC dega ε = 0 95 f (x x 0 MN MPP MCK MC MMC f (x f (x f (x f (x f 5 (x f 6 (x f 7 (x f 8 (x -0,0 0,0,00,50-0,0,50,80.00,00,00 -,50 0,00,0,00 0,50,50 8 (,0000 8 (,0000 8 (,0000 7 (,0000 8 (,0000 7 (,0000 8 (,0000 9 (,0000 8 (,0000 8 (,0000 7 (,0000 7 (,0000 8 (,0000 8 (,0000 8 (,0000 7 (,0000 6 (,0000 6 (,0000 6 (,0000 6 (,0000 6 (,0000 5 (,9999 6 (,0000 5 (,9999 6 (,0000 5 (,9999 6 (,0000 5 (,9999 6 (,0000 5 (,9999 6 (,0000 5 (,9999 6 (,0000 5 (,9999 5 (,9999 5 (,9999 (,9999 5 (,0000 5 (,0000 (,0000 5 (,0000 (,0000 5 (,0000 5 (,0000 (,9999 (,9999 (,0000 (,0000 (,9999 5 (,0000 5 (,0000 (,0000 Berdasarka Tabel dapat disimpulka bahwa metode modifikasi Cauchy lebih baik dari empat metode laiya, karea memiliki jumlah iterasi yag lebih sedikit. Selai itu, berdasarka ilai COC dapat disimpulka bahwa metode modifikasi Cauchy memiliki orde kovergesi empat. Selajutya ditujukka perbadiga ilai x dari metode yag diteliti megguaka total evaluasi fugsi (TNFE sebesar pada Tabel dega ε = 0-95 6
Jural Sais Matematika da Statistika, Vol., No., Juli 07 ISSN 69-90 prit/issn 07-099 olie Tabel Perbadiga galat mutlak dari beberapa metode iterasidega TNFE = f (x x 0 MN PP MCK MC MMC ( f (x f (x f (x f (x f 5 (x f 6 (x f 7 (x f 8 (x -0,0 0,0,00,50-0,0,50,80.00,00,00 -,50 0,00,0,00 0,50,50,885e-6,58e-,67e- 8,0e-5,59e-7,70e-6 9,55e-,58e-6,5e- 7,858e-9 9,569e-67,0e-66 8,06e-8 9,e-,0985e-,99e-66 5,868e-7,878e-7,087e- 7,7e-58,850e-,907e-7,5e-5,900e-5,87e-9,66e-0,79e-7,875e-68,809e-,9e-,0e-,686e-7,9e-0,598e-,67e- 9,7577e-6 8,5e-8 5,678e-50,65e-0 7,990e-7,8e-,75e-,e-5,8779e-0 8,59e-7,576e-,577e-,070e-6,09e-5 8,656e-7,9705e-6,78e-76 8,960e-76 8,0e-55 5,66e-76,97e-9,88e-8,0905e-6 9,5e-6 8,050e-,768e-9 8,907e-58 8,89e-9 6,877e-7 6,86e-0,0e-09,060e-055,6e-67 6,895e-05 5,800e-88,809e-087,097e-00,867e-099,88e-,06e-9,850e-57 6,900e-,78e-09,5060e-068,056e-0 Berdasarka Tabel, terlihat bahwa metode modifikasi Cauchy memiliki ilai galat yag lebih kecil dari empat metode laiya, sehigga dapat disimpulka bahwa metode modifikasi Cauchy lebih baik dibadigka empat metode laiya. Kesimpula Metode Cauchy merupaka metode yag berasal dari deret Taylor orde dua dega orde kovergesi tiga da evaluasi fugsi tiga. Metode Cauchy tersebut dimodifikasi megguaka ekspasi deret taylor orde dua da meghilagka atau mereduksi turua kedua megguaka peyetaraa dua metode yag berbeda sehigga meghasilka persamaa baru dega betuk: f( x y x, ( f ( x f ( x ( ( (, ( '( f y f x f y x x 0, ( f x f x dega orde kovergesi empat utuk yag diberika: 5 e ( c c 5 c e O( e. (5 Persamaa galat meujukka bahwa hasil modifikasi metode Cauchy dua lagkah memiliki orde kovergesi empat da evaluasi fugsi tiga, sehigga ideks efisiesiya sebesar,587. DaftarPustaka [] Chu, C., da Ham, Y., Some fourth-order modificatio of Newto s method,applied Mathematics ad Computatio, 97, 008: 65-658. [] Chu, C., da Kim, Y-II., Several ew third order iterative methods for solvig oliear equatios,.acta Appl Math., 09, 00, 05 06. 65
Jural Sais Matematika da Statistika, Vol., No., Juli 07 ISSN 69-90 prit/issn 07-099 olie [] Frotii, M., Some variat Newto s method with third-order covergece, Applied Mathematics ad Computatios. 0, 00, 9 6. [] Grau, M da M. Noguera, A variat of Cauchy's method with accelerated fifth-order covergece, Applied Mathematics Letters,7, 00: 509-57. [5] Kim, Y.,Chu, C da Kim, W., Some third-order curvature based method for solvig oliear equatio,studies i Noliear Scieces, (, 00: 7-76. [6] Kug, H. T da Traub, J. F., Optimal order of oe-poit ad multi-poit iteratio,joural of the ACM. (, 97: 6 65. [7] Jiag, D da Ha, D., Some oe-parameter families of third-order methods for solvig oliear equatios, Applied Mathematics ad Computatio, 95, 008: 9 96. [8] Kawar, V ad Tomar, S. K., Expoetially fitted variats of Newto s method with quadratic ad cubic covergece, Iteratioal Joural of Computer Mathematics, 86(9, 009: 60-6. [9] Melma, A., Geometry ad covergece of Euler s ad Halley s methods, SIAM Review, 9(, 997: 78 75. [0] Rostami. M da Esmaeili, A Modificatio of Chebyshev-Halley smethod free from secod derivatives for oliear equatios,caspia Joural of Mathematical Scieces, (, 0: 0. [] Wartoo, dkk., Chebyshev-Halley s method without secod derivative of eight-order covergece,global joural of pure ad Applied Mathematics, (, 06: 987 997. [] Sharma, J. R., A family of third-order methods to solve oliear equatios by quadratic curves approximatio, Applied Mathematics ad Computatio, 8, 007: 0 5. [] Potra, F.A da Ptak, V., Nodiscrete Itroductio ad iterative processes, I Research Notes i Mathematics: Pitma: Bosto, 98, 0. [] Traub, J.F., Iterative Methods for the Solutio of Equatios, Pretice Hall: Eglewood Cliffs, 96. [5] Amat, S.dkk., Geometric costructio of iterative fuctios to solve oliear equatios, Joural of Computatioal ad Applied Mathematics, 57, 00: 97 05. [6] Capra, S. C., da Caale, R.P., Numerical Methods for Egieers, McGraw-Hill : New York, 00. 66