Sifat-sifat Fugsi Karateristi dari Sebara Geometri Dodi Deviato Jurusa Matematia, Faultas MIPA, Uiversitas Adalas Kamus Limau Mais, Padag 563, Sumatera Barat, Idoesia Abstra Fugsi arateristi dari suatu sebara daat ditetua melalui defiisi ( E[ex( itx)] dimaa i adalah uit imajier, t adalah bilaga real da X eubah acaya. Fugsi arateristi dari sebara geometri daat dieroleh yaitu ( ( ) ( ex[ it]) dimaa 0. Sifat-sifat yag diformulasia utu fugsi arateristi dari sebara geometri dalam tulisa ii diaraterisasi melalui roosisi yag mejelasa esistesi, eotiua seragam da eterbagia ta higgaya. Kata uci: fugsi arateristi, sebara geometri, eotiua seragam, eterbagia ta higga Pedahulua Fugsi arateristi adalah salah satu jeis trasformasi yag alig serig diguaa sebagai rujua dalam teori eluag da statistia. Fugsi arateristi dari suatu eubah aca X didefiisa sebagai ( E[ex ( itx )] dimaa ex ( itx ) si tx isi tx, t adalah bilaga real da i adalah uit imajier. Peraa fugsi arateristi dalam memberia sifat-sifat suatu sebara memilii esamaa dega fugsi embagit mome, aa tetai fugsi embagit mome haya terbatas ada ruag riil saja da tida semua sebara daat ditetua fugsi embagit momeya. Perbedaa ii mejadia fugsi arateristi mejadi lebih istimewa dimaa fugsi arateristi yag bergera dalam ruag omles daat memberia araha baru yag lebih omrehesif dalam memberia sifat-sifat suatu sebara. Selai eistimewaaya yag bergera dalam bidag omles fugsi arateristi selalu ada utu setia sebara, hal ii daat diastia melalui ( ex ( it Prosidig Semiar Nasioal da Kogres IdoMS Wilayah Sumatera Bagia Tegah FMIPA Uiversitas Riau, 4-5 Noember 04
utu setia eubah aca X dega fugsi sebara F(. Esistesi fugsi arateristi ii meghasila ajia-ajia etig dalam memberia sifat-sifat sebara bai sebara otiu mauu sebara disret. Sebara geometri sebagai salah satu sebara disrit memaia eraa yag etig dalam teori eluag. Misala X adalah eubah aca geometri dega eetasi ( ) utu 0. Berdasara defiisi dari fugsi arateristi da esistesiya, maa fugsi arateristi dari sebara geometri ii daat ditetua. Pada ertas erja ii aa diberia secara lebih jelas eurua fugsi arateristi dari sebara geometri da sealigus dibetu sifat-sifatya yag disajia dalam beberaa teorema da roosisi. Termiologi Dasar Fugsi Karateristi Pada bagia ii diberia secara rici defiisi da esistesi fugsi arateristi. Defiisi da roosisi yag disajia beriut diruju melalui Luacs [] da Chug [3]. Sedaga termiologi teori eluag yag diguaa utu meetua fugsi arateristi yag ditetua berdasara eubah aca da sebaraya diruju berdasara Bai da Marx [] mauu Laha da Rohatgi [4]. Defiisi. Jia X suatu eubah aca dega fugsi sebara F(, maa fugsi arateristi ( dari eubah aca X didefiisia sebagai ( E[ex ( itx )] ex ( it dimaa t R da i. Proosisi. Fugsi arateristi ada utu setia sebarag sebara. Buti: Misala X adalah sebarag eubah aca dega fugsi sebara F(. Perhatia bahwa dega megguaa defiisi fugsi arateristi daat dieroleh ( ex ( it ex ( it. Hal ii membutia bahwa fugsi arateristi selalu ada utu setia sebarag sebara. Defiisi beriut ii memberia termiologi eterbagia ta higga suatu sebara da eterbagia ta higga fugsi arateristi yag meruju ada Luacs [] da Chug [3]. Prosidig Semiar Nasioal da Kogres IdoMS Wilayah Sumatera Bagia Tegah FMIPA Uiversitas Riau, 4-5 Noember 04
Defiisi 3. Suatu fugsi sebara F diataa terbagi ta higga jia utu setia bilaga bulat ositif terdaat suatu fugsi sebara F sedemiia sehigga F adalah ovolusi -ali dari F, yaitu F F *... * F ( ali). Berdasara defiisi eterbagia ta higga suatu sebara, maa daat ula diyataa erterbagia ta higga berdasara fugsi arateristi. Suatu fugsi sebara F dega fugsi arateristi adalah terbagi ta higga jia utu setia bilaga bulat ositif terdaat fugsi arateristi ( t ) ( ( ) utu setia t. sedemiia sehigga 3 Fugsi Karateristi dari Sebara Geometri Suatu eubah aca yag meyataa jumlah ercobaa utu medaata suses atauu gagal yag ertama ali disebut sebagai eubah aca utu sebara geometri. Berdasara referesi yag ditulisa oleh Bai da Marx [] mauu Laha da Rohatgi [4] sebara geometri daat didefiisia sebagai beriut. Defiisi 4. Misala X adalah eubah aca dari sebara geometri, maa fugsi eluagya didefiisia sebagai Pr( X ) ( ) dimaa adalah eluag gagal da suatu bilaga bulat ositif. Berdasara defiisi dari sebara geometri maa daat dieroleh esetasi da variaya sebagai beriut E[ X ] ( ) E( X ) ( ). Teorema 5. Fugsi arateristi dari eubah aca X yag memuyai sebara geometri adalah ( ex [ it] Buti: Perhatia bahwa dega megguaa defiisi fugsi arateristi daat dieroleh Prosidig Semiar Nasioal da Kogres IdoMS Wilayah Sumatera Bagia Tegah FMIPA Uiversitas Riau, 4-5 Noember 04 3
utu ex[ it]. ( 0 ( ) ex [ it]( ) 0 ex [ it] ( ex [ it] ) Proosisi 6. Fugsi arateristi dari sebara geometri ada saat t 0 adalah ( 0). Buti: Proosisi ii dega mudah daat ditujua dega memberia ilai t 0 ada fugsi arateristi dari sebara geometri. Proosisi 7. Fugsi arateristi dari sebara geometri adalah otiu seragam. Buti: Keotiua seragam fugsi arateristi dari sebara geometri daat ditujua dega cara bahwa utu setia 0 terdaat 0 sedemiia sehigga ( s) ( ex [ is] ex [ it] utu s t dimaa haya bergatug ada. Selajutya dega medefiisia suatu fugs yag bergatug eada eubah aca X yaitu maa daat dieroleh ( s) ( ( X 0 ( s ) ( ) ( is) ex ( is)( ) 0 ( X ( i 0 ) ex ( i( ) sehigga utu s t yag sagat ecil yaitu s t 0 maa daat diyataa bahwa ( s) ( 0. Hal ii meujua bahwa haya bergatug ada ε dimaa ( s ) ( utu s t. Hal ii meegasa bahwa fugsi arateristi dari sebara geometri adalah otiu seragam., Selajutya dega megguaa defiisi eterbagia ta higga aa diberia ula sifat eterbagia ta higga fugsi arateristi dari sebara geometri. Proosisi 8 Fugsi arateristi dari sebara geometri adalah terbagi ta higga. Prosidig Semiar Nasioal da Kogres IdoMS Wilayah Sumatera Bagia Tegah FMIPA Uiversitas Riau, 4-5 Noember 04 4
Buti: Perhatia embali sebara geometri yag didefiisia dalam betu Pr( X ) ( ) dimaa adalah eluag gagal utu suatu bilaga bulat ositif. Sebara geometri ii memuyai fugsi arateristi ( ex ex [ it] (ex [ ] ). it Fugsi arateristi ii berasal dari sebara terbagi ta higga area daat ditetua suatu fugsi arateristi ( ex ex [ it] (ex [ it] ) yag meruaa fugsi arateristi dari suatu geeralisasi sebara biomial egatif dega fugsi eluag r Pr( X r) v( v )... ( v r ) ( ) r! dimaa r 0,,,... da v utu setia bilaga bulat ositif serta 0. Sehigga daat diyataa bahwa ( t ) ( ( ) utu setia. Daftar Pustaa v [] Luacs, E. 987. Characteristic Fuctio. Secod editio. Oxford Uiversity Press, Oxford. [] Bai, L. J. ad Max. E. 99. Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics. Secod Editio. Duxbury Press, Califoria. [3] Chug, K. L. 00. A Course i Probability Theory. Third Editio. Academy Press, Sa Diego. [4] Laha, R. G. ad V. K. Rohatgi. 979. Probability Theory. Joh Wiley da Sos, New Yor. Prosidig Semiar Nasioal da Kogres IdoMS Wilayah Sumatera Bagia Tegah FMIPA Uiversitas Riau, 4-5 Noember 04 5