Jural LOG!K@, Jilid 7, No, 7, Hal 46-5 ISSN 978 8568 GRU ERURU ARSIAL ADA MARIKS SIMERI BERUKURAN Irmatul Hasaah Uiversitas Islam Negeri Sulta Maulaa Hasauddi Bate Email: irmatulhasaah@uibateacid Abstract: his paper deals with the partially ordered group of the symmetric matrix We show that there are two partially ordered group of the symmetric matrix We defie a matrix to be positive whe each etry of the matrix is positive With the characterizatio of the symmetric matrix, we costruct the coe positive thus symmetric matrix is partially ordered group Keywords: symmetric matrix, group-ordered, coe positive Abstrak: Artikel ii membahas grup terurut parsial pada matriks simetri berukura Aka ditujukka bahwa terdapat dua grup terurut parsial dari matriks simetri berukura Suatu matriks dikataka positif jika setiap etri pada matriks berilai positif Melalui karakteristik dari matriks simetri, aka dikostruksi sebuah positif coe sehigga matriks simetri berukura merupaka grup terurut parsial Kata kuci: matriks simetri, grup terurut, positif coe I ENDAHULUAN Himpua matriks atas berukura atas himpua bilaga real, a a M ( ) a, a, a3, a4 a3 a4 merupaka grup dega operasi pejumlaha matriks Melalui uruta A B yag didefiisika dega ai bi utuk setiap i,,3, himpua matriks M merupaka grup terurut parsial Grup terurut parsial dapat didefiisika melalui coe positif Dega medefiisika coe positif dari M ( ), himpua M ( ) membetuk grup terurut parsial dega coe positif Selajutya, himpua matriks simetri berukura atas yag didefiisika dega ( ) a b S,, a b d juga membetuk grup dega operasi pejumlaha matriks Sembarag dua matriks A da S, A B jika da haya jika x,( B A) x x ( B A) x utuk setiap B pada x [] Melalui uruta yag didefiisika tersebut, matriks simetri S bersama dega coe positif
Grup erurut arsial pada Matriks Simetri Berukura membetuk grup terurut parsial LANDASAN EORI a b A S x, Ax, x Suatu himpua tak kosog G bersama dega operasi membetuk grup jika memeuhi: () Sifat ketertutupa, yaitu utuk setiap a, b G berlaku ab G () Sifat asosiatif, yaitu utuk setiap a, b, c G berlaku ( ab) c a( b c) (3) Memiliki usur idetitas, yaitu terdapat e G yag memeuhi ae ea a utuk setiap a G (4) Utuk setiap a G terdapat a G yag memeuhi a a a a e [] Himpua bilaga real membetuk grup dega operasi pejumlaha Sedagka himpua bilaga real dega operasi perkalia tidak membetuk grup, sebab terdapat bilaga ol yag tidak memiliki ivers perkalia di Suatu relasi bier atara dua usur a da b pada sebuah himpua tak kosog A didefiisika dega a berelasi dega b jika ( ab, ) merupaka usur pada hasilkali kartesia A A Salah satu cotohya relasi lebih kecil dari atau sama dega pada himpua bilaga real Bilaga x dikataka lebih kecil dari atau sama dega y jika ( xy, ) usur pada Relasi bier pada himpua tak kosog dikataka uruta parsial jika utuk setiap xy,,z berlaku: () x x (sifat refleksif); () Jika x y da y x maka x y (sifat atisimetris); (3) Jika x y da y z maka x z (sifat trasitif) asaga (, ) disebut himpua terurut parsial da selajutya ditulis Lebih lajut, himpua terurut parsial dikataka terurut total jika utuk setiap x, y memeuhi x y atau y x [] Himpua bilaga real dega uruta lebih kecil dari atau sama dega merupaka himpua terurut parsial Lebih lajut merupaka himpua terurut total sebab setiap dua usur pada bilaga real x da y selalu dapat diurutka yaitu x y atau y x Hasilkali kartesia dari himpua, ( x, y) x, y merupaka uruta parsial dega uruta yag didefiisika dega ( x, y) ( x, y) jika da haya jika x x da y y 47
Irmatul Hasaah Himpua buka merupaka himpua terurut total, sebab terdapat (,4) da (,3) pada tetapi tidak berlaku baik (,4) (,3) maupu (,3) (,4) Hasilkali Dalam Misalka xy, Hasilkali dalam stadar dari xy,, yaitu, : x, y dega y merupaka traspos dari y Utuk setiap x, y, z da skalar memeuhi: () x, y y, x y x () xx, da xx, jika da haya jika x (3) x y,z x, z y, z (4) x, y x, y [4] Himpua matriks simetri berukura atas yag didefiisika dega ( ) a b S,, a b d Hasilkali dalam dari matriks A S, yaitu Ax, x x Ax Karea matriks simetri A memiliki sifat A A, maka diperoleh x, Ax Ax x x A x x Ax Ax, x Selajutya, berikut ii teorema yag memberika karakteristik dari suatu matriks simetri eorema Misalka A S ( ) matriks simetri, maka hasilkali dalam Ax, x x Ax bilaga real utuk setiap x [4] Grup erurut arsial Himpua terurut parsial G yag juga merupaka suatu grup dikataka grup terurut parsial jika x y maka a x a y da x a y a utuk setiap x, y G da a R [5] Meurut defiisi tersebut, dapat dikataka bahwa operasi uruta pada G mempertahaka operasi pejumlaha 48
Grup erurut arsial pada Matriks Simetri Berukura Himpua semua usur positif pada grup terurut parsial G disebut coe positif dari G, yaitu G {g G g } da G { g G g G} Melalui coe positif, sembarag grup dapat dikostruksi mejadi grup terurut parsial eorema Misalka G grup Jika himpua G memeuhi: () Utuk setiap a, b berlaku a b, () ( ) Maka G dapat dibagu sebagai grup terurut parsial dega uruta parsial pada G sebagai berikut: utuk setiap a, b G, a b jika da haya jika b a Lebih lajut, merupaka coe positif dari G Grup G mejadi grup terurut parsial dega coe positif selajutya diotasika dega ( G, ) [5] HASIL DAN EMBAHASAN Himpua matriks simetri berukura atas yag didefiisika dega a b S a, b, d b d Membetuk grup dega operasi pejumlaha matriks Lemma Misalka subhimpua dari S didefiisika dega a b A S a, b, d, x Himpua S bersama dega membetuk uruta parsial dega uruta Bukti: Aka ditujukka himpua Ambil sembarag a A b A B jika da haya jika B A S bersama dega membetuk uruta parsial b d da a B b b d a, b, d da a, b, d erhatika bahwa di, maka A, B S a b a b a a b b A B b d b d dega 49
Irmatul Hasaah Ambil sembarag a b a b A, artiya A a b a b a b A sehigga A Karea a, b, d da a, b, d maka a, b, d Jadi haruslah a b d Berdasarka uraia di atas, meurut eorema, himpua matriks simetri S dapat dibagu sebagai grup terurut parsial dega uruta parsial pada S sebagai berikut: utuk setiap A, B S, A B jika da haya jika B A Lebih lajut, merupaka coe positif dari S Grup parsial dega coe positif da ditulis S, Lemma Misalka subhimpua dari S didefiisika dega a b A S x, Ax, x da S mejadi grup terurut Himpua S bersama dega membetuk uruta parsial dega uruta Bukti: Aka ditujukka himpua Ambil sembarag a A b A B jika da haya jika B A S bersama dega membetuk uruta parsial b d da a B b x, Ax da x, Bx utuk setiap b d x di, maka A, B S dega a ejumlaha dua usur A da B merupaka usur di S, A B S S grup b Dega sifat hasilkali dalam, diperoleh, sebab Jadi, AB x,( A B) x ( A B) x, x Ax, x Bx, x x, Ax x, Bx 5
Grup erurut arsial pada Matriks Simetri Berukura Misalka A, maka A da A Sehigga x, Ax da x, Ax Karea x, Ax x Ax berupa bilaga real, maka x, Ax da x tak ol, maka A Berdasarka uraia di atas, meurut eorema, himpua matriks simetri S dapat dibagu sebagai grup terurut parsial dega uruta parsial pada S sebagai berikut: utuk setiap A, B S, Lebih lajut, A B jika da haya jika B A merupaka coe positif dari S Grup da ditulis S, parsial dega coe positif KESIMULAN DAN SARAN S mejadi grup terurut ada pembahasa di atas, telah ditujukka bahwa terdapat dua uruta grup yag S Dua uruta tersebut didefiisika melalui coe positif berbeda dari matriks simetri da Dalam artikel ii, peulis haya meeliti matriks simetri berukura Sehigga peulis megharapka kepada pembaca utuk meeliti matriks simetri berukura dega 3 eulis juga megharapak kepada pembaca utuk mecari coe positif yag lai sehigga dega coe positif tersebut, himpua matriks simetri berukura, S membetuk grup terurut parsial, REFERENSI [] Bhatia, R 997 Matrix Aalysis New York: Spriger [] Herstei, IN 975 opics i Algebra New York: Joh Willey & Sos, Ic [3] Hor, RA da Johso, CR 99 Matrix Aalysis New York: Cambridge Uiversity ress [4] Howard, A da Rorres, C 5 Elemetary Liear Algebra, Nith Editio New York: Joh Willey & Sos, Ic [5] Ma J, Lecture Notes O Algebraic Structure Of Lattice-Ordered Rigs, World Scietific, 4 [6] Ma J ad W Bradley, Lattice-ordered triagular matrix algebras, Liear Algebra Appl 44 (5), 6-74 [7] MacCluer, B D 9 Elemetary Fuctioal Aalysis New York: Spriger 5