6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu akan mempermudah dalam hal pembahasan pada bab berikutna.. Persamaan Diferensial Definisi Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah suatu persamaan ang dapat ditulis dalam bentuk ( n ( n F( x,,,..., (.. dimana ( n,,..., ditentukan nilaina oleh x. Peubah bebas x terletak dalam suatu selang I (I boleh berhingga atau tak terhingga, fungsi F diberikan dan fungsi (x tak diketahui. Pada umumna fungsi F dan akan bernilai real. Turunan fungsi (x menurut definisi adalah d. Dengan ketentuan ini, persamaan diferensial F( x, kadang kadang akan ditulis dalam bentuk diferensial d F( x, atau dalam bentuk padanan aljabar.
7 Sebagai contoh, persamaan diferensial Dapat ditulis dalam bentuk 3x ( + 3 x + (.. 3x d ( + 3 (..3 x + Ada beberapa tipe persaman diferensial biasa orde satu ang penelesaianna dapat dicari secara eksplisit atau implisit dengan pengintegralan. Dari semua tipe persamaan diferensial biasa orde satu ang mudah diselesaikan, dua hal perlu mendapat perhatian, persamaan diferensial peubah terpisah akni persamaan ang dapat ditulis dalam bentuk P( x atau Px ( Qd ( (..4 Qx ( dan persamaan linier, akni persamaan ang dapat ditulis dalam bentuk a x b x + ( ( (..5 Keduana sering muncul dalam penerapan dan banak tipe-tipe persamaan diferensial lain ang dapat direduksi menjadi salah satu dari kedua tipe itu dengan menggunakan pemetaan sederhana.. Persamaan Diferensial Linier Suatu persamaan diferensial linier orde n adalah persamaan ang berbentuk a ( x + a ( x +... + a ( x + a ( x f( x. (.. n ( n ( n n Misalkan koefisien koefisien an( x, an ( x,..., a( x dan fungsi f(x merupakan fungsi-fungsi ang kontinu pada suatu selang I dan bahwa koefisien pertama an ( x untuk setiap x I. Selang I disebut selang definisi (selang asal dari persamaan diferensial itu. Jika fungsi f identik dengan nol maka disebut persaman homogen. Jika f(x tak identik nol disebut tak homogen. Bila semua koefisien an( x, a ( x,..., a ( x adalah tetap maka disebut persamaan diferensial linear dengan n
8 koefisien konstanta, dilain pihak ada persamaan diferensial dengan koefisien-koefisien peubah. Istilah linear berkaitan dengan kenataan bahwa tiap suku dalam persamaan diferensial itu, peubah peubah ( n,,..., berderajat satu atau nol. Penelesaian persamaan diferensial linear orde dua atau lebih tinggi dengan koefisien peubah tidak begitu sederhana. Tidak ada cara untuk mencari penelesaian umum persamaan diferensial linear orde dua (atau lebih tinggi dengan koefisien peubah secara eksplisit, kecuali bila persamaan diferensial itu berbentuk sangat khusus (bentuk Euler atau jika kita tahu salah satu dari penelesaianna. Cara untuk menghindarina adalah dengan hampiran (approximation ke penelesaian persamaan diferensial dengan koefisien peubah. Cara lain adalah mencari suatu penelesaian deret kuasa dari persamaan diferensial dengan koefisien peubah..3 Persamaan Diferensial Sturm-Liouville Di matematika teknik, berbagai himpunan ortogonal penting dari fungsi merupakan solusi dari persamaan diferensial linier orde dua berbentuk [ r( x ] + [ q( x + λp( x] di interval a x bk (.3. memenuhi kondisi dari bentuk k ( a + k ( a dan l ( b + l ( b K (.3. dimana λ adalah parameter dan k, k, l, l adalah konstanta riel tidak nol. Persamaan (.3. adalah persamaan Sturm-liouville. Legendre, Bessel dan persamaan lainna dapat ditulis kedalam bentuk (.3..Kondisi (.3.adalah kondisi batas, jika mengenai titik batas interval x a dan x b. Persamaan diferensial dengan kondisi batas merupakan masalah nilai batas. Masalah nilai batas (.3., (.3. disebut masalah Sturm-Liouville. Permasalahan ini terdapat di berbagai macam aplikasi teknik, contohna berhubungan dengan getaran senar dan membran serta konduksi panas.
Dari persamaan (.3., (.3. untuk setiap λ, permasalahan mempunai solusi trivial dimana ( x untuk semua x dalam interval. Bilangan λ ang masalahna mempunai solusi disebut nilai eigen dan solusina disebut fungsi eigen. 9 Contoh : Getaran senar elastis Tentukan nilai eigen dan fungsi eigen dari masalah Sturm-liouville + λ K (a (, ( π K (b Masalah ini muncul,contohna jika sebuah senar elastis (senar biola direntangkan sedikit kemudian posisi akhir di x dan x π dan diikuti getaran. Kemudian (x adalah space function dari penimpangan u( x, t senar, diasumsikan dalam bentuk u ( x, t ( x w( t, dimana t adalah waktu. Solusi: Untuk negatif λ v, solusi umum dari persamaan adalah ( x vx ce + c Dari (b diperoleh c c dan dimana bukan fungsi eigen. Untuk λ juga sama. Untuk positif λ v, solusi umum dari persamaan adalah ( x Acos vx + B sin vx. Dari kondisi batas pertama diperoleh ( A. Kondisi batas kedua ( π B sin vx atau v, ±, ±, K Untuk v diperoleh.untuk λ v,4,9,6k, diambil B, diperoleh ( x sin vx v,, K e vx Maka nilai eigen dari soal adalah λ v dimana v,, K, dan fungsi eigen adalah ( x sin vx dimana v,, K
.4 Metode Numerik Metode ini digunakan untuk memperoleh nilai pendekatan dari penelesaian ang berhubungan ke nilai x. Anggap merupakan penelesaian dari masalah d ( x f ( x,, (.4. Anggap h merupakan positif increment di x, dan,... merupakan nilai pendekatan dari di x x + h x x +,... Mulai dengan kondisi ang diketahui di (.4.,, h maka,... diperoleh. Sebuah metode ang hana memerlukan n agar diperoleh n+ disebut starting method. Diketahui,, 3,... Metode ini memerlukan n dan satu atau lebih nilai terdahulu n n,... untuk memperoleh nilai n+. Metode ini disebut continuing, method. Didalam metode numerik, keakuratan dan kesalahan dalam menelesaikan persoalan tidak terlalu dipertimbangkan..5 Metode Euler Anggap menatakan solusi eksak dari masalah nilai ang diberikan d ( x f ( x, (.5. Anggap h menatakan positif increment di x dan x x + h. Maka x x x d f ( x, ( x ( x x x x + f ( x, (.5. ( x
Asumsi bahwa f ( x, berada di interval x x x, f ( x, di persamaan (.5.dapat didekati oleh f ( x,. Maka ( x + f ( x x x + f ( x + hf ( x,,, ( x x Selanjutna nilai pendekatan dari di x x diberikan oleh formula + hf x, (.5.3 ( setelah diperoleh, nilai pendekatan,... dari untuk x x x,... diberikan oleh dan seterusna. 3 + hf ( x, + hf ( x Dalam bentuk umum, formulana adalah,, 3 (.5.4 + + hf ( x, (.5.5 n n n n Dengan mengambil h sekecil mungkin dan memproses dengan cara ini, integral dari (.5.dapat disusun sebagai himpunan ang berhubungan dengan nilai x dan., 3 Contoh : Selesaikan dengan metode Euler d x ( Solusi : Diberikan h. Diketahui f ( x, x Nilai diperoleh dari (.5.5untuk nilai ang berbeda dari x diberikan di tabel di bawah ini:
X d x Y d.. -..6.3777 -.554..8 -.5.7.36 -.44..65 -..8.3598.84.3.54 -.78.9.3678.644.4.46 -.54..384.36.5.496 -.39 Solusi eksak untuk masalah nilai inisial ang diketahui adalah x 4 5 + e 4 x Dengan menggunakan solusi eksak maka nilai diperoleh seperti tabel berikut ini: X x Y...6.465..834.7.48..6879.8.44.3.586.9.466.4.57..49.5.4598 Perbandingan kedua nilai dapat dilihat di tabel berikut: X cal Error x exact cal Error exact.....6.3777.465.488..8.834.34.7.36.48.46..65.6879.379.8.3598.44.46.3.54.586.46.9.3678.466.388.4.46.57.497..384.49.35.5.496.4598.5
Error tabel diatas dapat dikurangi dengan mengambil nilai h sekecil mungkin Masalah utama persamaan diferensial adalah menentukan suatu fungsi bila diturunkan dan disubstitusikan memenuhi persamaan diferensial ang diberikan. Misalkan diberikan sebarang fungsi, F( x dikatakan sebagai penelesaian dari suatu persamaan diferensial, jika F( x terdefinisikan dan diferensiabel. Sedemikian rupa, sehingga fungsi itu dan turunanturunanna disubstitusikan pada persamaan memenuhi persaman diferensial secara identik. Secara garis besar konsep penelesaian persamaan diferensial dapat digolongkan menjadi, 3 (a Penelesaian umum, bilamana penelesaian persamaan diferensial memuat sebarang konstanta. (b Penelesaian khusus, bilamana konstanta dari penelesaian umum persamaan diferensial diberikan oleh nilai tertentu. Penelesaian khusus demikian ini dikenal pula dengan masalah sarat batas persamaan diferensial. Ditinjau dari jenis fungsina, penelesaian persamaan diferensial dapat berupa fungsi ang eksplisit, atau fungsi dengan persamaan implisit. Persamaan diferensial ang paling sederhana dari berbagai macam jenis persamaan dferensial adalah persaman diferensial orde satu. Persamaan diferensial jenis ini banak sekali aplikasina dalam bidang ilmu ekonomi, fisika, kimia, teknik elektro, teknik mesin, maupun ilmu rekaasa secara umum. Untuk memudahkan menentukan penelesaian persamaan diferensial linear orde satu, persamaanna digolongkan menjadi: (a Persamaan diferensial variabel terpisah (b Persamaan diferensial homogen (c Persamaan diferensial eksak dan non eksak dengan faktor integrasi (d Persamaan diferensial linear orde satu.
4.6 Penelesaian Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Metode Deret Talor. Suatu pernataan deret Talor untuk suatu fungsi f berbentuk f ( x f ( x 3 f( x f( x + f ( x( x x + ( x x + ( x x +...! 3! atau dengan singkat f ( x f x x x ( n n ( (. n n! Contoh: 3 Perhatikan masalah nilai awal + x (, (. Akan dicari suatu uraian deret Talor untuk fungsi ang didefinisikan oleh masalah nilai awal tersebut. Solusi: Uraian deret Talor(Maclaurin berbentuk Diketahui, ( ( 3 x ( ( + ( x+ x + x +...! 3! (, ( dan ( diperoleh: Turunan kedua: x ( (( Turunan ketiga: x ( (( Turunan keempat: iv iv x ( Turunan kelima:
5 v v 3 x ( Turunan keenam: x vi 4 iv vi ( 4 Cara ini terus dilakukan untuk mendapatkan suku-suku uraian Talor sebanak ang diperlukan. Pada umumna, cara ini tidak dapat mencari semua suku karena ada tak berhingga banakna suku. Oleh karena itu, banakna suku harus ditentukan pada permulaan. Dengan mensubstitusikan hasil ini kedalam persamaan (, diperoleh 4 x + x + 3! 6! 3 6....7 Reduksi Orde Reduksi orde adalah suatu cara untuk mencari penelesaian suatu persamaan diferensial linier tertentu dengan menurunkan orde persamaan diferensial itu kemudian mencari penelesaianna. Cara reduksi ini agak sistematis dan tergantung pada paling sedikit satu penelesaian ang diketahui secara khusus. Penerapan ang paling menarik dari reduksi orde adalah mendapatkan suatu penelesaian kedua ang bebas linear dari suatu persamaan diferensial orde dua dengan koefisien berbeda, asalkan diketahui satu penelesaian tak trivial (tidak identik nol dari persamaan diferensial itu. Metode ini diwujudkan dalam teorema berikut: Teorema Jika suatu penelesaian ang diketahui dari persamaan diferensial a( x + a ( x +... + a( x + a( x (.7. n ( n ( n n ang bersifat bahwa tidak pernah nol dalam selang definisi dari persamaan diferensial tersebut, maka perubahan dari peubah tak bebas u (.7. menghasilkan suatu persamaan diferensial linear orde n untuk u.
6 Bukti : Perhatikan kasus n. Sekarang u u u u u u + + + Dengan mensubstitusikan hasil hasil ini kedalam persamaan a( x + a ( x +... + a( x + a( x (bila n dihasilkan n ( n ( n n a ( x[ u + u + u] + a( x[ u + u] + a ( x[ u] [ a( x ] u+ [ a( x + a( x ] u+ [ a( x + a( x + a( x ] u Karena suatu penelesaian persamaan diferensial tersebut, maka a ( x + a ( x + a ( x Jadi, [ a ( x ] u + [ a ( x + a ( x ] u. Dengan mengambil u v, persamaan menjadi persamaan diferensial linear orde satu. [ a ( x ] u + [ a ( x + a ( x ] u.