BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial merupakan salah satu bagian matematika yang dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang. Terdapat dua macam persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Kajian tentang persamaan diferensial khususnya persamaan diferensial parsial, terus berkembang baik secara teori maupun aplikasi. Persamaan diferensial parsial banyak digunakan dalam pemodelan fenomena-fenomena yang ada dalam bidang fisika, kimia, biologi maupun bidang-bidang lainnya. Salah satu matematikawan yang memberikan kontribusi dalam perkembangan matematika adalah matematikawan dari Prancis, Baro Jean Baptise Joseph Fourier ( ). Fourier memberikan kontribusi khususnya pada aplikasi persamaan diferensial. Salah satunya mengenai persamaan diferensial parsial yang dikaitkan dengan bidang fisika, yaitu persamaan konduksi panas atau persamaan panas. Selanjutnya, dalam matematika modern terdapat berbagai aplikasi persamaan diferensial parsial yang dilengkapi dengan syarat awal dan syarat batas atau lebih dikenal dengan masalah syarat awal dan syarat batas (MSAB). Persamaan panas dapat diterapkan pada berbagai macam bentuk benda, salah satunya benda berbentuk silinder, baik silinder padat maupun silinder berongga. Persamaan panas dalam pada silinder banyak diterapkan dalam kehidupan seharihari karena banyak benda yang berbentuk tabung/silinder yang berkaitan dengan panas, seperti kabel, pipa uap, pipa air dan sebagainya, yang biasa ditemukan dalam industri otomotif, industri perminyakan, reaktor nuklir, serta industri-industri 1

2 2 lain yang menggunakan mesin. Pada tugas akhir ini, penulis akan membahas mengenai persamaan diferensial Bessel dan fungsi Bessel, deret Fourier-Bessel, pembentukan persamaan panas pada silinder, syarat awal dan syarat batas pada masalah konduksi panas, metode penyelesaian serta beberapa contoh MSAB konduksi panas pada silinder, baik MSAB homogen maupun MSAB non homogen Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk 1. Membahas fungsi Bessel dan deret Fourier-Bessel,. 2. Menjelaskan pemodelan persamaan konduksi panas pada silinder. 3. Menjelaskan syarat awal dan jenis-jenis syarat batas yang ada pada masalah konduksi panas. 4. Menjelaskan metode penyelesaian MSAB konduksi panas homogen dan non homogen serta mengevaluasi penyelesaian MSAB Tinjauan Pustaka Dalam penulisan skripsi ini, penulis mengacu pada literatur-literatur yang ada dalam daftar pustaka. Definisi mengenai fungsi kontinu sepotong-sepotng dipaparkan dalam Humi dan Miller (1992). Definisi dan sifat-sifat fungsi Gamma diambil dari Weisstein. Untuk algoritma dan pemograman Matlab metode bagi dua dan metode pencaria inkremental penulis mengacu pada Kiusalaas (2005) serta Chapra dan Canale (2007). Definisi - definisi dan teorema - teorema mengenai persamaan diferensial dipaparkan dalam Ross (1984). Berikutnya penjelasan metode Frobenius untuk menyelesaikan persamaan diferensial mengacu pada penjelasan Asmar (2004) dan Nagle (2002). Selanjutnya penjelasan mengenai syarat awal dan syarat batas dipaparkan dalam Humi dan Miller (1992). Konsep mengenai masalah nilai

3 3 eigen Sturm-Liouville juga mengacu pada penjelasan Humi dan Miller (1992). Penjelasan mengenai persamaan Bessel serta fungsi Bessel mengacu pada penjelasan yang dipaparkan dalam Asmar (2004) dan Nagle dkk (2002). Selanjutnya penjelasan deret Fourier-Bessel mengacu pada Tolstov (1976), dan ide solusi koefisien Fourier-Bessel mengacu pada Ozisik (2002) yang selanjutnya dikembangkan penulis. Pada bahasan utama, pembentukan persamaan panas pada silinder mangacu pada pembahasan oleh Cengel (2007). Dari Cengel (2007) pula dibahas syarat awal dan syarat batas yang terdapat pada masalah konduksi panas. Untuk solusi MSAB homogen, yaitu yang diselesaikan dengan metode separasi variabel penulis mengacu pada penjelasan Humi dan Miller (1992), sedangkan untuk solusi MSAB non homogen penulis mengacu pada penjelasan Ozisik (2002) Metodologi Penelitian Pada skripsi ini penulis membahas mengenai MSAB untuk konduksi panas dalam silinder padat dan silinder beronggs. Penelitian dimulai dari konsep dasar matematika yang akan digunakan, yaitu definisi-definisi dan teorema-teorema mengenai fungsi kontinu sepotong-sepotong, fungsi Gamma, metode bagi dua dan metode pencarian inkremental, persamaan diferensial, metode pencarian solusi persamaan diferensial khususnya metode Frobenius yang akan digunakan untuk mencari solusi persamaan Bessel, definisi-definisi dan teorema-teorema syarat awal dan syarat batas, dan definisi masalah nilai eigen Sturm-Liouville dan beberapa teorema yang akan digunakan untuk bahasan utama skripsi ini. Untuk pembahasan selanjutnya dipelajari mengenai persamaan Bessel dan solusi persamaan Bessel yaitu fungsi Bessel yang diperoleh dengan menggunakan metode Frobenius. Kemudian dipelajari mengenai deret Fourier-Bessel dan koefisien Fourier-Bessel yang diperoleh dengan memanfaatkan sifat orthogonalitas fungsi eigen dalam hal ini fungsi Bessel. Untuk pembahasan utama dipelajari mengenai pembentukan persamaan pa-

4 4 nas pada silinder, serta syarat awal dan syarat batas pada masalah konduksi panas. Kemudian dipelajari metode separasi variabel untuk menyelesaikan MSAB konduksi panas homogen, dan metode untuk menyelesaikan MSAB konduksi non homogen dengan sumber panas dan syarat batas tidak bergantung pada waktu. Beberapa pembahasan dalam skripsi ini menggunakan program Matlab untuk menyelesaikan masalah, yaitu pada bahasan mengenai metode bagi dua dan pencarian inkremental dibuat fungsi dalam program Matlab untuk mempermudah penyelesaian masalah menggunakan metode numerik tersebut. Pada bahasan fungsi Bessel digunakan fungsi tersebut untuk mencari pendekatan pembuat nol dari fungsi Bessel. Pada MSAB konduksi panas, program Matlab digunakan untuk membuat visualisasi dari solusi MSAB tersebut Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan skripsi. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai definisi dan teorema yang menjadi konsep dasar dalam pembahasan bab selanjutnya, yaitu : fungsi kontinu sepotong-sepotong, fungsi Gamma, metode bagi dua dan metode pencarian inkremental, persamaan diferensial, metode Frobenius, syarat awal dan syarat batas, serta masalah nilai eigen Sturm-Liouville. BAB III PERSAMAAN BESSEL, FUNGSI BESSEL DAN DERET FOURIER- BESSEL Pada bab ini dibahas mengenai persamaan Bessel yang akan muncul pada persamaan konduksi panas pada silinder, solusi persamaan Bessel yaitu fungsi Bessel,

5 5 serta deret Fourier-Bessel yang akan digunakan untuk menentukan solusi persamaan konduksi panas pada silinder. BAB IV PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU DALAM SISTEM KOO- RDINAT SILINDRIS Pada bab ini dibahas mengenai pembentukan persamaan panas, syarat awal dan syarat batas yang ada dalam masalah konduksi panas, solusi MSAB konduksi panas homogen dan beberapa contoh, dan solusi MSAB konduksi panas non homogen dan beberapa contoh. BAB V KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan dari apa yang telah dibahas dari bab-bab sebelumnya.