LAPORAN PENELITIAN KAJIAN AWAL SIMLASI NMERIK STATIKA VORTEKS BERLANDASKAN PADA MODEL GINZBRG-LANDA Ole : Supard M.S Fuad Anwar M.S FAKLTAS MATEMATIKA DAN ILM PENGETAHAN ALAM NIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 004
KATA PENGANTAR Pu sukur keadrat Allo swt ang tela memberkan ramat dan daana sengga pada saat n kam dapat menelesakan dan melaporkan asl peneltan ang berudul KAJIAN AWAL SIMLASI NMERIK STATIKA VORTEKS BERLANDASKAN PADA MODEL GINZBRG-LANDA. Melalu peneltan n darapkan dapat menngkatkan kualtas peneltan d bdang komputas d Jurusan Fska nverstas Neger Yogakarta. Peneltan n dapat dlakukan dan dselesakan dengan bak atas bantuan beberapa pak ang secara keseluruan tdak dapat kam sebutkan satu persatu untuk tu pada kesempatan n penelt ngn menampakan pengargaan ang setngg-tnggna kepada :. Bapak Dekan FMIPA nverstas Neger Yogakarta ang tela memberkan kesempatan dan fasltas kepada penelt. Bapak Ketua Jurusan Penddkan Fska FMIPA NY ang tela memberkan dorongan untuk terus melakukan peneltan. 3. Bapak Dr.Mundllarto selaku Badan Pertmbangan Peneltan FMIPA NY ang tela memberka masukan untuk perencanaan pelaksanaan dan penusunan laporan n. 4. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Penddkan Fska ang tela memberkan masukan-masukan dem sempurnana laporan peneltan n. Penelt berarap semoga asl peneltan n bermanfaat bag pengembangan lmu Fska kususna pada bdang komputas. Yogakarta Januar 00 Supard M.S
DAFTAR ISI HALAMAN JDL KATA PENGANTAR DAFTAR ISI ABSTRAK v BAB I PENDAHLAN Latar Belakang Masala Tuuan Peneltan Manfaat Peneltan BAB II TINJAAN PSTAKA 3 BAB III METODE PENELITIAN 4 BAB IV PEMBAHASAN 7 BAB V KESIMPLAN DAFTAR PSTAKA 3
KAJIAN AWAL SIMLASI NMERIK STATIKA VORTEKS BERLANDASKAN PADA MODEL GINZBRG-LANDA PRE-ANALYSIS OF NMERICAL SIMLATION OF VORTEX STATICS BASED ON GINZBRG-LANDA MODEL Supard* Fuad Anwar** Pekk Nurwantoro*** Agung B.S.*** * : nverstas Neger Yogakarta ** : nverstas Neger Surakarta *** : nverstas Gada Mada ABSTRAK Tela dlakukan pengkaan awal teradap statka terbentukna vorteks d dalam superkonduktor mesoscopc berlandaskan pada model Gnzburg-Landau. Vorteks adala flamen-flamen berukuran kecl ang terbentuk akbat pengenaan medan magnet luar H pada baan superkonduktor ens ke-ii dalam rana H c < H < H c. Akbat munculna vorteks tersebut maka terad terobosan parsal fluks magnet pada baan. ntuk memperole konfguras vorte pada superkonduktor ens ke-ii akbat pengenaan medan magnet luar H langka ang dlakukan adala memnmsas ungkapan fungsonal Gnzburg-Landau ang dwakl ole beda rapat tenaga Gbbs antara keadaan superkonduktf baan dengan keadaan normalna. Hasl kaan memberkan bentuk deskrt fungsonal ang sap untuk dlakukan langka komputas untuk memperole dstrbus parameter benaan ( r ) dan potensal vektor magnet A ( r ). Kata kunc : vorteks keadaan superkonduktf mnmsas
BAB I PENDAHLAN Latar Belakang Masala Perkembangan d bdang teknolog mkrofabrkas akr-akr n tela membuat superkonduktor mesoscopc menad sangat populer untuk baan kaan. Superkonduktor mesoscopc merupakan superkonduktor ang memlk ukuran ketebalan baan sebandng dengan panang koerensa ξ ( T ) dan kedalaman penetras medan magnet ( T ) λ. Banak ekspermen dan kaan teorts dlakukan untuk mengka tanggap magnetk dar berbagsa bentuk baan mesoscopk tersebut. Conto aplkas superkonduktor suu tngg antara lan sebaga prant pelndung magnetk sstem penctraan meds prant nterferens kuantum superkonduktf (SQIDS) sebaga pembangkt medan magnet super tngg dalam MRI (magnetc resonance magng) dan lan sebagna. Mengngat begtu besar prospek ang dankan baan n d waktu mendatang maka tdak mengerankan ka ada Nobel d bdang fska taun 003 n dberkan kepada dua dar tga fskawan ang tela memberkan sumbangan pentng dalam menelaskan fenomena fska tentang superkonduktvtas. Mereka adala Vtall L. Gnzburg dan Abrkosov ang tela memberkan kontrbus pentng dalam menelaskan fenomena superkonduktvtas pada baan superkonduktor ens ke-ii melalu dua persamaan Gnzburg-Landau terkopel. Ole karena begtu pentngna peranan dua persamaan Gnzburg-Landau n dalam mengungkap geala superkonduktvtas baan superkonduktor maka kaan awal peneltan n akan memberkan araan bag pengungkapan karakterstk baan
ddasarkan pada model Gnzburg-Landau. Dengan dlandas model nla selanutna akan dapat dgambarkan konfguras vorte pada baan superkonduktor d bawa pengaru medan magnet luar H dalam rana Hc H Hc. Tuuan Peneltan Tuuan umum dar peneltan n adala menentukan ungkapan ang tepat untuk menatakan potensal vektor A sengga tera teradap besaran n tdak memunculkan kerumtan pada pengungkapan bentuk fungsonal rapat tenaga Gbbs. Tuuan lanna adala menentukan bentuk deskrt teradap fungsonal rapat tenaga bebas Gbbs sengga secara komputas sap untuk dlakukan mnmsas. Manfaat Peneltan Manfaat ang dapat dsumbangkan dar kaan awal peneltan n adala setela pengungkapan teradap fungsonal rapat beda tenaga Gbbs dperole maka selanutna akan dapat dlakukan mnmsas teradap ungkapan tersebut untuk menentukan karakterstk superkonduktor ens ke-ii d bawa pengaru medan magnet luar H.
BAB II TINJAAN PSTAKA Sfat superkonduktvtas suatu baan superkonduktor dapat dtentukan ole bentuk fungsonal sstem. Bentuk fungsonal ang berpadanan dengan persamaan Gnzburg-Landau adala apa ang dsebut beda rapat tenaga bebas Gbbs antara keadaan superkonduktf dan keadaan normal. Analsa secara seksama teradap beda rapat tenaga tersebut memberkan gambaran lengkap teradap besar parameter benaan ang terdstrbus d seluru baan begtu pula rapat fluks magnet d seluru baan. ngkapan beda rapat tenaga Gbbs tersebut dberkan ole (Tnkam996; Crot dan Pavuna 99) G( A) ( g s f n ) α ( T ) ( r ) β ( T ) ( r ) Ω m Ω [ ea( r) ] ( r ) B( r ) µ H µ 0 4 0 (4) Dengan melakukan mnmsas teradap ungkapan fungsonal Gnzburg-Landau nla maka dstrbus kedua besaran d atas akan dapat dtentukan. Setela dstrbus kedua besaran tersebut dtemukan kemudan konfguras vorte d dalam baan ang dtnau akan dapat dperole. ntuk tuuan menemukan dstrbus kedua besaran tersebut maka langka pertama ang arus dlakukan adala menamplkan secara eksplst fungsonal tersebut sesua keadaan fss ang berlaku pada baan. Langka berkutna adala menakan bentuk fungsonal Gnzburg-Landau tersebut dalam bentuk dskretna ang selanutna sap untuk dlakukan mnmsas untuk menemukan arga mnmum global sstem. BAB III
METODE PENELITIAN Jka dtnau suatu baan superkonduktor dengan dmens tertentu atu L. Bentuk geometr baan ang berbentuk slnder dmodelkan sebaga komposs bentuk empat perseg panang dengan panang masng-masng ss-ssna adala L dan arana seaar sumbu dan. Model pendekatan sepert n tentuna ana berlaku untuk daera ang au dar permukaan slnder. Ole karena tu penggunaan sarat batas d permukaan perlu dka secara mendalam dalam peneltan n. Danggap bawa baan berada d bawa pengaru medan magnet luar ang seragam dan ara seaar sumbu z postp atu H e z dengan H adala tetapan dan z Hˆ ê adala vektor satuan seara sumbu z. Dengan sstem sepert n maka masala komputas dapat dbawa ke dalam bentuk dua dmens karena semua besaran ruang ang dtung tereduks ke sumbu dan saa. paa dskretsas dapat dlakukan dengan membag bdang - ke dalam sel-sel kecl dengan luas sepert dsakan pada gambar. : peuba verte L : peuba sel : peuba pautan ara- L : peuba pautan ara- Gambar. Skema sel-sel ang menakan peuba-peuba dskret
Dalam al n dan masng-masng dsebut ukuran ks ke dan sedemkan ngga setap poss d dan memenu katan 0 ; 0 ; 0... 0... (5) Meruuk kepada metode dalam ruang dmens dua varabel fundamental terdr atas parameter benaan dan dua medan bantu (aular felds) atu dan ang terkat dengan potensal vektor A melalu ubungan (Gunter dkk. 00 ; Crabtree dkk 000) ( ξ ) 0 ( η η ξ ) ( ) ep ( ξ ) t A t d ( ) ep ( ) t A t d 0 (6) Metode numerk untuk masala n selanutna dapat dbawa ke dalam tga lark kompleks atu dengan N N berada pada setap sudut sel.. ( ) Harga dar adala pendekatan pada parameter benaan pada poss ( ). dsebut peuba pautan (lnk varable) pada ara sumbu- dengan N N. Peuba pautan n menempat tap ttk tenga setap ss sel. Harga dan... N mendekat nla ep ( ξ ) A dξ dengan N
3. dsebut peuba pautan pada ara sumbu- dengan N N berpadanan dengan pautan vertkal (sumbu-) sel. Harga mendekat arga ep A ( η ) dη dengan... N... N Penaan dalam bentuk deskret peuba pautan pada butr dan 3 d atas memungknkan untuk dperole bentuk dskret dar persamaan Gnzburg-Landau fungsonal tenaga bebas Gbbs dan sarat batas ang sesua atu k k k (7) ; (8) dengan merupakan konugat kompleks dar. Dengan menggunakan pendekatan nla tenga dan dengan pengamblan nla potensal vektor magnet d tenga sala satu ss atu A ; A ( / ) ( / ) dan A ; A maka dperole bentuk dskret peuba pautan atu ( A ); ( A ) ; ep ; ; ep ; (9) Dan sebalkna bentuk dskret potensal vektor magnet adala ( ) ln ; ; A; ( ) ; A ; ln (0)
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Peneltan n baru merupakan peneltan awal ang belum dapat memberkan gambaran lengkap tentang karakterstk superkonduktor. Seau n ang tela dlakukan ole penelt barula pada taap pembuatan ungkapan-ungkapan matemats ang selanutna sap untuk dkomputaskan. Tetap mengngat rumtna ungkapan matemats ang dperole maka mas dperlukan waktu panang untuk dapat memecakanna. Pada kaan awal n peneltan dfokuskan ana pada penelesaan teradap ungkapan fungsonal Gnzburg-Landau ang dwakl ole rapat beda tenaga Gbbs antara keadaan superkonduktf dan keadaan normalna sepert dnatakan pada persamaan (4). Sedangkan untuk penelesaan persamaan Gnzburg-Landau terkopel tdak dka mengngat kaan ang akan dlakukan ana terfokus pada penlesaan statk al-al penelesaan dnamkna. ngkapan terpentng dalam menentukan karakterstk superkonduktor adala ungkapan beda rapat tenaga Gbbs sepert dnatakan ole persamaan (4). Berdasarkan pada ungkapan n maka untuk mensmulaskan konfguras vorteks superkonduktor ens ke-ii dperlukan bentuk ungkapan tak berdmens. Dalam bentuk tak berdmens fungsonal tenaga bebas Gbbs E [ A] mengambl bentuk E [ A] ( A) τ κ ( A H A) dω Ω () dengan merupakan parameter benaan dan A adala potensal vektor.
Dengan bentuk fungsonal tenaga bebas Gbbs demkan dapat dmungknkan untuk melakukan transformas tera (gauge transformaton) sedemkan ngga besaran dan A tetap tdak beruba teradap transformas koordnat apapun (nvaran) atu A A χ dan χ e () dengan χ adala sebarang medan skalar. ntuk keperluan komputas dperkenalkan dua medan bantu atu ang berkatan dengan besaran potensal vektor pada ara sumbu- serta ang berubungan dengan verabel ke ara-. Masng-masng varabel bantu tersebut tela ddefnskan pada ungkapan (6). Penggunaan teradap ungkapan dan dlakukan untuk mengndar munculna gauge pada besaran potensal vektor ketka dlakukan pembongkaran teradap suku-suku ang terkandung pada persamanaan Gnzburg-Landau tergandengn maupun pada fungsonalna. Dengan memanfaatkan ungkapan varabel bantu n maka ungkapan ang berubungan dengan besaran potensal vektor akan terlat leb sederana. Dskrtsas Fungsonal Gnzburg-Landau Dengan menggunakan ungkapan varabel pautan sepert dnatakan ole persamaan (9) dan (0) dan dalam keteltan sampa orde kedua maka setap suku pada fungsonal Gnzburg-Landau dapat dnatakan kembal dalam bentuk-bentuk deskrt sebaga berkut Suku ke- Dar kesamaan ( ) ( ) ( ) A dprole ungkapan
( ) ( ) O A (3) Suku ke- Dar pernataan ( ) τ dperole ( ) ( ) τ τ (4) Dengan memperkenalkan varabel bantu pada pusat sel L dan dengan menggunakan denttas Stokes maka dapat dnatakan nduks magnet pada pusat sel atu ( ) / / z B B dapat dkatkan dengan varbel L melalu ubungan ( ) ( ) ( ) ep O B L (5) Dengan memanfaatkan katan pada butr ke-3 dan mengngat B A maka suku ke-3 dapat dnatakan kembal menad bentuk ( ) ( ) ( ) [ ] H L L ln ln H A A A H A (6) Dengan menggunakan ungkapan-ungkapan pada butr kesatu ngga butr keempat maka fungsonal rapat beda tenaga Gbbs dapat dnatakan ole E
4 4 4 τ τ 4 τ τ ln L κ ln L H (7) Sarat Batas Eksternal 4. Sarat batas ang dberkan kepada parameter benaan pada permukaan baan atu pada node dan N adala (8) N N N Sedangkan pada node dan N sarat batas ang arus dpenu adala (9) N N N Sarat batas n dberkan ole kendala bawa tdak ada arus super ang lepas pada ara tegak lurus.. Sarat batas ang arus dpenu ole varabel pautan permukaan baan adala L ep ( H ) dan pada sarat batas n dberkan ole kendala bawa besarna medan magnet d permukaan baan arus sama dengan medan magnet luar ang dkenakan pada baan. Setela ddefnskan fungsonal Gnzburg-Landau (7) maka langka berkutna adala melakukan mnmsas teradap fungsonal tersebut. Konfguras vorte ang ang muncul pada superkonduktor ens ke-ii akbat pengenaan medan magnet luar H dapat
terad akbat dtemukanna mnmum global dar sstem. Secara teor pencaran teradap mnmum global sstem dapat dlakukan dengan berbaga teknk mnmsas antara lan smulated annealng genetc annealng quas Newton dan teknk-teknk lan. Seau n penelt belum mengmplementaskan sala satu teknk mnmsas ang dsebut d atas. Hal n mengngat penelt mas mencar teknk mnmsas mana ang memlk kemampuan andal untuk menemukan mnmum global sstem. BAB V KESIMPLAN
Berdasarkan kepada kaan awal pada penelesaan masala statka pada superkonduktor maka dapat dtark beberapa kesmpulan antara lan Perlu dkenalkan varabel pautan teradap besaran potensal vektor A atu ang terkat dengan potensal keara sumbu- dan ang berubungan dengan sumbu- untuk mengndar kerumtan pada pengungkapan fungsonal rapat tenaga Gbbs. Perlu dlakukan mnmsas teradap fungsonal rapat tenaga bebas Gbbs untuk memperole dstrbus parameter benaan dan nduks magnet d dalam baan akbat pengenaan medan magnet luar. DAFTAR PSTAKA
Crabtree G.w. Gunter D.O. Kaper H.G. Koselev A.E. Leaf G.K. dan Vnokur V.M. 000. Numercal Smulaton of Drven Vorte Sstem Ps. Rev. B 6 446 Crot M dan Pavuna M. 99. Introducton to Superconductvt and Hg Tc Materal Sngapore: World Scentfc Publcaton co. Ptc. Ltd. Gunter D.O. Kaper H.G. dan Leaf G.K. 00 SIAM J.Sc. Comput. 3 943. Tnkam M. 996 Introducton to Superconductvt Sngapore: McGraw-Hll Inc.