PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT INDAH ROSLIYANA G

PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT INDAH ROSLIYANA G54335 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 7

ABSTRACT INDAH ROSLIYANA Optimal Premium Pla for Reisurace wit Reistatemets Supervised by I G PUTU PURNABA ad I WAYAN MANGKU Reisurace is a compay wic agrees to idemify a isurace compay agaist all or a portio of te primary isurace ris uderwritte by te cedig compay uder oe or more isurace cotracts Essetially, te reisurace mecaism is equal to a isurace mecaism All pricipals ad procedures tat old i isurace process also old for reisurace Oe of tem is premium pla Tis study discuss premium pla i a reisurace cotract usig reistatemet premium Reisurace cotract wit reistatemet ca be formulated i may ways I tis cotract, te reistatemet premium is defied as a radom variable Te reistatemet premium used is a costat tat is ot iflueced by loss Tis premium is ot paid i te begiig of te cotract, but it is paid we te loss of te reisurace compay is greater ta a maximum boud paid to isured It is expected tat te compay will ot obtai a loss i taig ris Reisurace cotract miimizig expected squared differece betwee te loss ad te total premium icome of te reisurace, terefore it is said to be optimal Te problem of miimizig te expected squared over all premium plas ca be viewed as a credibility problem Covariace matrix of te explaatory radom variables of premium pla wit reistatemet as iverse, so tat te premium pla as a uique solutio Te premiums of te optimal premium pla are ubiased ad oegative

3 ABSTRAK INDAH ROSLIYANA Perecaaa Premi Optimal utu Perusaaa Reasurasi dega Reistatemet Dibimbig ole I G PUTU PURNABA da I WAYAN MANGKU Perusaaa reasurasi adala suatu perusaaa yag di dalamya terdapat peraia atara beberapa perusaaa asurasi megeai pegalia sebagia risio, utu megidara risio yag terlalu besar Secara prisip, meaisme reasurasi sama dega meaisme asurasi Semua prisip da prosedur yag berlau pada proses asurasi uga berlau utu reasurasi Sala satuya adala megeai perecaaa premi Tulisa ii membaas tetag perecaaa premi dalam suatu otra resurasi yag megguaa premi reistatemet Kotra reasurasi dega reistatemet dapat diformulasia dalam baya cara Dalam otra ii, premi reistatemet didefiisia sebagai peuba aca da premi reistatemet yag diguaa adala ostata seigga besarya tida dipegarui ole umla erugia Premi ii tida dibayara pada awal otra, melaia etia erugia perusaaa reasurasi lebi besar daripada batas masimum yag aa dibayara epada tertaggug Seigga diarapa perusaaa tida aa megalami erugia dalam meaggug risio Kotra reasurasi dega reistatemet memiimuma ilai arapa dari uadrat selisi atara erugia da total pemasua premi Seigga perecaaa premi yag diguaa optimal Miimisasi dari ilai arapa uadrat tersebut teradap semua perecaaa premi dapat diliat sebagai masala redibilitas Matris oragam dari peuba aca peelas pada perecaaa premi dega reistatemet memilii ivers seigga perecaaa premi optimal tersebut memilii solusi da ui Premi pada perecaaa premi optimal bersifat ta bias da ta egatif

4 PERENCANAAN PREMI OPTIMAL UNTUK PERUSAHAAN REASURANSI DENGAN REINSTATEMENT Sripsi Sebagai sala satu syarat utu memperole gelar Saraa Sais pada Faultas Matematia da Ilmu Pegetaua Alam Istitut Pertaia Bogor Ole : INDAH ROSLIYANA G54335 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 7

5 Judul : Perecaaa Premi Optimal utu Perusaaa Reasurasi dega Reistatemet Nama : Ida Rosliyaa NRP : G54335 Meyetuui : Pembimbig I, Pembimbig II, Dr Ir I G Putu Puraba, DEA NIP 3878945 Dr Ir I Waya Magu, MSc NIP 3663 Megetaui : Dea Faultas Matematia da Ilmu Pegetaua Alam Istitut Pertaia Bogor Prof Dr Ir Yoy Koesmaryoo, MS NIP 3473999 Taggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Pui da syuur peulis atura eadirat Alla SWT atas segala imat da aruia yag sagat besar seigga peulis dapat meyelesaia arya ilmia yag berudul Perecaaa Premi Optimal utu Perusaaa Reasurasi dega Reistatemet Tapa batua da duuga dari berbagai pia mugi peulis tida dapat meyelesaia tugas air ii Ole area itu, dalam esempata ii peulis igi megucapa terima asi epada : Bp Dr Ir I G Putu Puraba, DEA selau Pembimbig I atas watu, bimbiga, sara serta masua yag tela diberia igga peulisa arya ilmia ii selesai Bp Dr Ir I Waya Magu, MSc selau pembimbig II atas bimbiga da masua yag tela diberia dalam peyelesaia arya ilmia ii 3 Bp Drs Effedi Syaril Grad Dipl Sc selau dose pegui atas sara da masua yag tela Bapa beria 4 Kedua oragtuau da adiu tersayag 5 Keluarga eduau Bp H Amroi da Ibu H Amroi atas semua bimbiga da asiat yag tela diberia epada peulis Utu eeu tercita da utu semua aa-aau 6 Dose-dose di Departeme Matematia, terima asi atas ilmu yag tela Bapa da Ibu beria, serta staff Departeme Matematia : Pa Dey, Pa Yoo, Pa Boo, Bu Ade, Bu Susi, Bu Marisi, terima asi atas batua selama di Departeme Matematia 7 Tema-tema Matematia agata 4 : Marisa (utu 4 tau persaabata ita), Mia (tema seperuagau dalam sua da dua), Via (saabat yag selalu membuatu ceria), Amie (tetap semagat), Acie, Ifi da Tiwi (utu batuaya dalam persiapa semiar), Septi, Meta, Bedu, Rama, Mufti, Azis, Yudi, Dimas, Sawa, Elis, Ncie, Ulfa, Sriti, Marli, Yuda, Uli, Walida, Dwi, Demi, Gata (atas semagatya), Mita (utu segala batua yag tela diberia), Heri, Nisa, Prima, Aam, Lili, Mato, Muafi, Ari, Jayu, Rusli, Berri, Ato, Ali, Abay, Fe, Yusuf, Putra (tetap semagat) Kalia tela membuat ari-ariu peu wara 8 Kaa-aa elasu Mat 39, Mat 38, Mat 37, Mat 36 da seterusya Serta adi-adi elasu Mat 4 da Mat 4 9 Seluru eluarga besar Wisma Blobo, terima asi atas semua batua yag tela diberia Semua pia yag tida dapat disebuta satu-persatu Terima asi atas segalaya Harapa peulis adala semoga arya ilmia ii aa memberia mafaat bagi para pembacaya Bogor, Mei 7 Ida Rosliyaa

7 RIWAYAT HIDUP Peulis dilaira di Jaarta pada taggal 7 April 985 sebagai aa pertama dari dua bersaudara dari pasaga Bapa Tarim da Ibu Maryaa Tau 3 peulis lulus dari SMUN 38 Jaarta da pada tau yag sama diterima sebagai maasiswa Departeme Matematia Faultas Matematia da Ilmu Pegetaua Alam Istitut Pertaia Bogor melalui alur USMI Selama megiuti egiata peruliaa, peulis atif di dalam egiata Bada Eseutif Maasiswa FMIPA da epegurusa Gugus Maasiswa Matematia IPB selama periode 3-4 sebagai Staff Departeme Sosial Masyaraat da Wira Usaa, emudia periode 4-5 sebagai Kepala Departeme Kewirausaaa da periode 5-6 sebagai Aggota Departeme PSDM

DAFTAR ISI Halama PENDAHULUAN Latar Belaag Tuua LANDASAN TEORI Ruag Coto, Keadia da Peluag Peuba Aca da Fugsi Sebara Fugsi Kerapata Peluag Nilai Harapa Ragam da Kovaria Matris 3 Asurasi da Reasurasi 3 PEMBAHASAN Kotra Reasurasi dega Reistatemet 4 Esistesi da Keuia dari Perecaaa Premi Optimal 5 Sifat dari Perecaaa Premi Optimal 8 Coto SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA 3 LAMPIRAN 4 vii

viii PENDAHULUAN Latar Belaag Saat ii, suda meadi suatu fata bawa perusaaa asurasi mempuyai modal yag terbatas Dega modal yag terbatas itu, sebua perusaaa asurasi tida leluasa utu melaua aseptasi teradap risiorisio yag diterimaya Hal ii disebaba ole adaya peratura perudaga yag berisi bawa perusaaa asurasi aya dipereaa mempuyai retesi sediri sebesar % dari modal yag dimilii Meawab permasalaa di atas, reasurasi adir utu memberia solusi atas apasitas aseptasi terbatas yag dimilii perusaaa asurasi Reasurasi uga berpera sebagai protesi otomatis pada perusaaa asurasi Secara prisip, meaisme reasurasi adala sama dega meaisme asurasi Semua prisip da prosedur yag berlau pada asurasi uga berlau utu reasurasi Sala satuya adala megeai perecaaa premi Karya ilmia ii megai perecaaa premi optimal utu otra reasurasi dega reistatemet Di dalam otra ii, premi reistatemet, yaitu umla yag arus dibayara etia erugia perusaaa reasurasi melebii umla batas tertetu yag tela ditetua, adala ostata Karya ilmia ii merupaa reostrusi dari tulisa Hess ad Scmidt (4) yag berudul Optimal Premium Pla for Reisurace wit Reistatemets Tuua Tuua peulisa arya ilmia ii adala : Mempelaari esistesi sebua perecaaa premi yag memiimuma ilai arapa dari uadrat selisi atara erugia da total pemasua premi suatu perusaaa reasurasi Meuua bawa perecaaa premi optimal ada, ui da memeui prisip premi bersi serta dapat diitug dari mome pertama da edua fugsi erugia reisurer 3 Mempelaari sifat perecaaa premi optimal LANDASAN TEORI Ruag Coto, Keadia da Peluag Defiisi (Percobaa Aca) Dalam suatu percobaa serigali dilaua pegulaga yag dilaua dalam odisi yag sama Semua emugia asil yag aa mucul dapat dietaui, tetapi asil pada percobaa beriutya tida dapat diduga dega tepat Percobaa yag semacam ii disebut percobaa aca (Hogg da Craig, 995) Defiisi (Ruag Coto da Keadia) Himpua dari semua emugia asil dari suatu percobaa aca disebut ruag coto, diotasia dega Ω Suatu eadia A adala impua bagia dari Ω (Grimmet da Stirzaer, 99) Defiisi 3 (Meda-σ ) Meda-σ adala suatu impua F yag aggotaya terdiri atas impua bagia ruag coto Ω, yag memeui odisi beriut : F, Jia A, A, F maa i= A F, c 3 Jia A F maa A F (Grimmett da Stirzaer, 99) Defiisi 4 (Uura Peluag) Misala F adala meda-σ dari ruag coto Ω Uura peluag adala suatu fugsi P : F [,] pada ( Ω, F ) yag memeui : P( ) =, P( Ω ) =, Jia A, A, F adala impua yag salig lepas yaitu A i A = utu setiap pasaga i, maa P Ai = P( Ai) i= i= (Grimmet da Stirzaer, 99) i

Peuba Aca da Fugsi Sebara Defiisi 5 (Peuba Aca) Misala F adala meda-σ dari ruag coto Ω Suatu peuba aca X adala suatu fugsi X : Ω R dega sifat { ω : X ( ω) x} Ω F utu setiap x R (Grimmet da Stirzaer, 99) Defiisi 6 (Peuba Aca Disret) Peuba aca X diataa disret ia ilaiya aya pada impua bagia yag teritug dari R (Grimmet da Stirzaer, 99) Catata : Suatu impua bilaga C disebut teritug ia C terdiri atas bilaga terigga atau aggota C dapat diorespodesia - dega bilaga bulat positif Defiisi 7 (Fugsi Sebara) Misala X adala peuba aca dega ruag A Misala eadia A= (, x] A, maa peluag dari eadia A adala px( A) = P( X x) = Fx( x) Fugsi F x disebut fugsi sebara dari peuba aca X (Hogg ad Craig, 995) Defiisi 8 (Peuba Aca Kotiu) Peuba aca X diataa otiu ia ada fugsi f X ( x ) seigga fugsi sebara F x = P X x dapat diyataa sebagai X F x = f u du, X x R f : R, adala fugsi yag teritegrala Fugsi f disebut fugsi epeata peluag dari X (Grimmett da Stirzaer, 99), dega [ ] Fugsi Kerapata Peluag Defiisi 9 (Fugsi Kerapata Peluag) Misala ( Ω, F,P) adala ruag peluag Fugsi erapata peluag dari peuba aca disret X adala fugsi p: R [,] yag diberia ole : px ( x) = P( X = x) (Grimmet da Stirzaer, 99) X Nilai Harapa Defiisi (Nilai Harapa) Jia X adala peuba aca disret dega fugsi erapata peluag px ( x ), maa ilai arapa dari X, diotasia dega E[ X ], adala = xp x, E[ X ] x asala umla di atas overge mutla Misala X adala peuba aca otiu x f x dega fugsi epeata peluag x Nilai arapa dari X adala [ ] E X = xf x dx, asala itegral di atas overge mutla (Hogg da Craig, 995) Teorema Beberapa sifat dari ilai arapa Jia suatu ostata, maa E[ ] = Jia suatu ostata da V, V adala peuba aca, maa: E[ V + V ] = E[ V] + E[ V] Secara umum, ia,,, adala ostata da V, V,, V adala peuba aca, maa E V + V + + V [ ] EV [ ] EV [ ] EV [ ] = + + + Buti: liat Hogg da Craig (995) Defiisi (Nilai Harapa Bersyarat) Misala Φ ( x) = EY ( X= x) Maa Φ( x) disebut ilai arapa bersyarat dari Y ia dietaui X, da ditulisa E( Y X ) (Hogg da Craig, 995) Ragam da Kovaria Defiisi (Ragam) Ragam dari peuba aca X adala ilai arapa dari uadrat selisi atara X dega ilai arapaya Secara matematis dapat diyataa sebagai Var( X) = E ( X E[ X] ) = E X ( E[ X] ) (Hogg da Craig, 995)

3 Defiisi 3 (Kovaria) Misala X da Y adala dua peuba aca dega EX = µ da EY = µ, maa Cov( XY, ) = E ( X µ )( Y µ ) = EXY µ µ, disebut ovaria peuba aca X da Y (Hogg da Craig, 995) Matris Defiisi 4 (Ivers Matris) Suatu matris A beruura diataa tasigular (osigular) atau dapat dibali (ivertible) ia terdapat matris B seigga AB = BA= I Matris B disebut sebagai ivers peralia (multiplicative iverse) dari A (Leo, ) Defiisi 5 (Traspos dari Suatu Matris) Trapos dari suatu matris A beruura m adala matris B beruura m yag didefiisia ole : bi = ai utu =,, da i =,, m Traspos T dari A diotasia dega A (Leo, ) Defiisi 6 (Matris Simetris) Suatu matris A beruura disebut T simetris ia A = A (Leo, ) Asurasi da Reasurasi Defiisi 7 (Asurasi) Asurasi atau pertagguga adala peraia atara dua pia atau lebi dimaa pia tertaggug megiat diri epada peaggug, dega membayar premi-premi asurasi utu memberi peggatia epada tertaggug area erugia, erusaa atau eilaga eutuga yag diarapa atau taggug awab uum epada pia etiga yag mugi aa diderita tertaggug area suatu peristiwa yag tida pasti Pia-pia yag terlibat dalam suatu proses asurasi, yaitu: Tertaggug, yaitu pia yag mempuyai risio atas arta beda dipertagguga Peratara asurasi, yaitu pia yag memberia asa peratara dalam al peutupa asurasi Peratara ii bisa berupa age asurasi yag bertida utu da atas ama perusaaa asurasi, atau bisa berupa broer asurasi yag bertida utu da atas ama tertaggug 3 Peaggug, yaitu pia yag memberia amia atas obe yag dipertagguga Terdapat beberapa fugsi da pera asurasi, atara lai: Trasfer risio, yaitu dega membayar premi yag relatif ecil seseorag atau perusaaa dapat memidaa etidapastia atas idup da arta bedaya (risio) e perusaaa asurasi Memberia amia perliduga dari risio-risio erugia yag diderita suatu pia 3 Meigata efisiesi, area tida perlu secara usus megadaa pegamaa da pegawasa utu memberia perliduga yag memaa baya teaga, watu da biaya 4 Dasar bagi pia ba utu memberia redit, area ba memerlua amia perliduga atas agua yag diberia ole pemiam uag (Noema, 4) Defiisi 8 (Reasurasi) Peraia atara beberapa perusaaa asurasi megeai pegalia sebagia risio, utu megidara risio yag terlalu besar Pia-pia yag terlibat dalam suatu proses reasurasi, yaitu: Tertaggug ulag, yaitu bada uum/perusaaa yag memberia pertagguga atas risio yag dimilii ole seorag tertaggug, atas imbala asa Peratara reasurasi, yaitu pia-pia yag bertida utu da atas ama peaggug dalam al mecaria protesi asurasi Pia peratara reasurasi ii tida mempuyai taggug awab uum atas risio yag dilimpaa ole tertaggug epada peaggug, maupu atas risio yag dilimpaa ole peaggug epada peaggug ulag 3 Peaggug ulag, yaitu pia-pia yag memberia pertagguga ulag epada pia yag megalia risio epadaya, atas dasar pembayara asa Terdapat beberapa fugsi da pera reasurasi, atara lai: Memperbesar apasitas aseptasi Meciptaa stabilitas euaga

4 3 Meimbula rasa ama 4 Memberia perliduga atas risio atastropi (risio yag teradi di luar periraa da meimbula erugia yag sagat besar) 5 Melaua peyebara risio 6 Memeui peratura perudaga (Noema, 4) PEMBAHASAN Kotra reasurasi dega reistatemet Misala bilaga real H (, ) da peuba aca S : Ω R dega P { S H} = S adala peuba aca yag meyataa erugia total dari reisurer da H adala ostata yag meyataa batas atas liabilitas dari reisurer Kerugia Reasurasi Asumsia bawa erugia total X ' yag ditaggug ole sebua perusaaa asurasi dapat direpresetasia sebagai beriut : N ' X ' = Y' () = dimaa: X ' = total laim N ' = bayaya orag yag megaua laim Y ' = besarya laim dari tertaggug e-, dega =,, N' Diasumsia pula barisa { Y '} adala N ' bebas stoasti ideti da bebas teradap N ' Hal ii berarti pasaga ( ',{ '} N' ) adala model oletif utu erugia total X ' Kerugia total reisurer dalam otra reasurasi dega prioritas d (, ) da ilai (, ), dapat diitug dari: N ' + X = mi {( Y' d), } () = dimaa d adala batas masimum laim yag aa dibayara perusaaa asurasi teradap pia tertaggug da adala batas masimum yag dapat dibayara ole perusaaa reasurasi teradap laim yag diaua Peuba aca dari model bersama utu erugia tertaggug tida dapat diamati ole perusaaa reasurasi, tetapi tela dituua ole Hess [3] bawa model N', Y dapat ( ' N) oletif { } ditrasformasia e dalam model oletif ( N,{ Y } ) Ν yaitu seperti erugia reisurer yag dapat direpresetasia sebagai : N mi {, } (3) X = Y d = dega: X = erugia reisurer N =umla laim yag melebii prioritas Y =besarya laim e- yag melebii prioritas Jia otra reasurasi merupaa prioritas total D [, ) da batas masimum total H (, ), maa erugia reisurer meadi: S = mi {( X D) +, H} (4) dimaa: + X D, ia ( X D) ( X D) =, ia ( X D) < Peuba aca S memeui { } P S H = Kemudia diasumsia otra reasurasi pada S dega N reistatemet di dalam retag [, H ] dibagi e dalam + bagia [, ],(, ],,(, H ] dega H = (5) + Premi awal π R dibayara pada awal otra yaitu pada retag[, ], da premi reistatemet π R dibayara etia,, erugia S melebii dega { } Setiap barisa fiite π = { π } {,,, } R meadi perecaaa premi utu otra reasurasi dega -reistatemet Besarya peluag premi reistatemet dibayara sama dega:

5 { } P S, = = P { < S + }, {,, } (6),,,, da memeui [ ], { } = (7) = Kerugia Reasurasi saat D= Pada asus D =, erugia reisurer dapat ditulis sebagai: m S = χ{ } mi mi { Y d, }, H N= m (8) m= =, ia N = m dimaa: χ { N = m} =, ia N m Jia seurag-uragya terdapat m-laim yag melebii prioritas da ia laim e-m melebii prioritas seperti : m mi { Y d, } < mi { Y d, } (9) = = maa premi reistatemet π arus dibayar Misalya Π adala umpula dari semua perecaaa premi utu otra reasurasi dega -reistatemet Utu recaa premi π = { π } {,,, } Π, premi total reistatemet didefiisia sebagai peuba aca { δ π = π + π χ < () = Nilai arapa dari uadrat error peduga dari π didefiisia sebagai : E ( δ ( π) S) () Recaa premi π { π } {,,, } = Π diataa ta bias ia: E δ ( π ) = E[ S], () ta egatif ia π, {,,, }, da optimal ia π megaibata E ( δ ( π) S) miimum Pada pembaasa selautya, aa dituua bawa terdapat perecaaa premi ui π { π } {,,, } memiimuma E ( δ ( π) S) ta bias da ta egatif m = Π yag, bersifat Esistesi da Keuia dari Perecaaa Premi Optimal Utu semua perecaaa premi π = { π } {,,, }, premi total dapat direpresetasia sebagai beriut: δ ( π) π π χ { < = Terliat bawa δ ( π ) = + (3) merupaa peumlaa liear dari χ { },, χ < S { < S } di maa:, ia < S χ { < = (4), ia S Dega demiia memiimuma E ( δ ( π) S) teradap semua perecaaa premi π Π dapat diliat sebagai masala redibilitas Masala redibilitas sagat petig bagi suatu perusaaa reasurasi, area al ii aa mempegarui seberapa besar tigat epercayaa tertaggug teradap perusaaa tersebut Kredibilitas ii sagat erat aitaya dega emampua suatu perusaaa reasurasi dalam meaggug erugia-erugia yag dialami ole pia tertaggug Tela dietaui bawa masala redibilitas mempuyai solusi ui Jia matris oragam X dari vetor aca dibetu ole peuba aca peelas yag memilii ivers, maa solusiya memilii represetasi ui sebagai peumlaa fugsi liear dari peuba aca peelas, da ia ivers dari matris oragam X dietaui, maa formula esplisit dapat diberia utu oefisie pada solusi Didefiisia : χ{ < Χ = (5) χ { < µ = E[ Χ] dega µ = E[ S] da Σ = Var[X] ρ = Cov[ X, S ] σ = Var[ S] Selautya utu memperliata bawa perecaaa premi optimal memilii solusi yag ui, aa dituua Σ memilii ivers da aa ditetua ivers dari Σ

6 Utu {,, } x Β R sebagai beriut : dega : ( b i :, ), didefiisia matris B = R (6) b i :,, ia i, =, selaiya Dega demiia aa diperole matris sebagai beriut: B =, B =,, da didefiisia Α = B (7) = B = Dega demiia aa didapata matris A : + + 3+ + + 3+ 4+ + 3+ 4+ 5+ + 4+ 5+ 6+ + + + 3+ 4+ + + 3+ 4+ + 3+ 4+ 5+ + 4+ 5+ 6+ + + 3+ 4+ 5+ + 3+ 4+ 5+ + 3+ 4+ 5+ + 4+ 5+ 6+ + + A = 4+ 5+ 6+ + 4+ 5+ 6+ + 4+ 5+ 6+ + 4+ 5+ 6+ + + + + + + + Kemudia aa didefiisia matris G R ole g i,, ia = (8) = = i, selaiya Seigga didapata matris sebagai beriut: + + 3 + + + 3 + 4 + + 3 + 4 + 5 + + G = 4 + 5 + 6 + + + Selautya ubuga atara Σ, A da G aa dituua dalam Lema sebagai beriut: Utu {,,, } matris C R :, didefiisia ( i ) {( ) ( )} { }, ia,,, +, + ci :, =, ia i,, +, +,, selaiya () Kemudia didapata C = Β () C = = B Lema Matris Σ memeui : Σ = Α -GG' (9) Buti: liat Lampira

7 Lema Matris A adala ivertible da memeui : = - Α = C () Buti: Utu {,, }, matris didefiisia:, ia i = di :, =, ia i < + =, selaiya D R (3) D =, D =,, D = Kemudia persamaa: D, ia = l BC l = O, selaiya l, {,, } (4) Dega demiia, berdasara persamaa (7) aa diperole: - AA = Β C = = = ( )( BC ) = = D = = Ι Lema 3 Matris Σ adala ivertible da memeui: - Σ = C (5) = Buti: Ambil G=ΑΒ da Β adala simetris da idempotet Dari Lema didapata: Σ = Α -GG' = Α - ΑΒ ΑΒ ' =A-(AB )(Β 'Α') =A-ABΒΑ = Α - ΑΒΑ = Α -GΑ = ( Ι -G) Α Dega megguaa Lema da persamaa G = ( ) G, diperole: Σ C = ( Ι -G) Α Β + C = = ( + - ) = Ι -G Α Β A ( ) - ( ) = Ι -G AΒ +I = Ι -G G+I = G- G + Ι -G = G-G + Ι -G - - - - - ( ( ) ) = G- - G + Ι -G = ( G ) + ( Ι -G) =G+ ( Ι -G) = Ι Lema ii meuua bawa perecaaa premi optimal memilii solusi yag ui Teorema Terdapat perecaaa premi π = π Π yag memiimuma { } {,,, } ( δ ( π) S) E da premi total dari perecaaa premi π yag memeui: - δ ( π ) = µ + ρ'σ ( Χ- µ ) (6) da ( ) E δ π S - = σ + ρ'σ ρ (7) Secara usus, premi awal π memeui: π - = µ µ'σ ρ (8)

8 Da premi reistatemet,, π π memeui: π - = Σ ρ (9) π Perecaaa premi π adala ta bias Buti liat Hess ad Scmidt [] Sifat dari Perecaaa Premi Optimal Teorema memperliata esistesi da euia dari perecaaa premi optimal yag sama baiya dega formula esplisit utu premi awal da premi reistatemet dari recaa premi ii, aa dituua bawa perecaaa premi optimal adala ta egatif,,,, +, didefiisia: Utu { } cov S, χ, ia,, ρ =, ia, (3) ρ da ρ = (3) ρ Pada bagia ii aa diperole sebua formula pelegap utu perecaaa premi optimal Teorema 3 { < { } { + } Perecaaa premi optimal π = { π } {,,, } memeui: π ρ, ia µ = ρ ρ+ ρ ρ = Buti:,,,, ita memilii : { } ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) { }, ia,, + + + (3) C ρ = c c (33) dega e, ia {,, } c : =, ia {, + } dimaa e adala uit vetor e- dari R π * Didefiisia: π = (34) π Dega megguaa Teorema da Lema 3, diperole: * - π = Σ ρ = = = C ρ (( + ) c (( + ) c + ) ) = ρ ρ ρ ρ ρ ρ+ ρ ρ = e = Persamaa π terbuti utu {,, } * Selautya berdasara persamaa (4), ita mempuyai : µ = e (35) = = Dega megguaa Teorema embali, diperole: π = µ µ ' Σ - ρ * = µ µ ' π * ρ ρ+ ρ ρ = µ = = ρ ρ+ ρ ρ = µ = = ρ ρ+ ρ ρ = µ = ρ ρ ρ + = µ + = ρ = µ ρ ρ + + = ρ = µ ρ + = ρ = µ ρ + ( ) ρ = µ Persamaa π terbuti utu = Teorema ii memberia represetasi lai dari premi pada perecaaa premi optimal

9 da meuua bawa perecaaa premi optimal adala ta egatif Teorema 4 Perecaaa premi optimal π = π memeui: { } {,,, } { } { < ( + ) } { } { } ES S,ia = π ES S = ES < S, ia,, (36) Secara usus,perecaaa premi optimal adala ta egatif Buti: {,, } { < ( + ) }, ita mempuyai: E S S E Sχ { < S ( + ) } = P { < S ( + ) } = ( E Sχ { E Sχ < {( + ) < ) = ρ + µ ρ + + µ = = + = (( ρ ρ + ) + µ) ρ ρ+ = µ + da E S {( ) < S } E Sχ {( ) < S } = P { ( ) < S } = ( E Sχ {( ) E Sχ < { < ) = ρ + µ ρ + µ = = = (( ρ ρ ) + µ ) ρ ρ = µ + Seigga didapata : * π = E S { < S ( + ) } E S {( ) < S } ρ ρ ρ ρ = µ + µ + + ρ ρ+ ρ ρ =, utu {,, } Da dega argume serupa, diasila: E S { S } E Sχ{ S } = P { S } = ( E Sχ { E Sχ < { < ) µ ρ µ = = = + = ( µ ρ ) ρ = µ, utu = Selautya, utu premi dari perecaaa premi optimal megiuti Teorema 3 Sebagai tambaa, ita mempuyai : E S { < S ( + ) } E S < S utu semua { } {,, } { } Kita uga mempuyai E S S Seigga secara tida lagsug perecaaa premi optimal ii adala ta egatif Teorema 5 Nilai arapa dari uadrat error peduga dari premi total pada perecaaa premi optimal memeui persamaa : E ( δ ( π ) S) = σ + ( ρ ρ+ ) = (37) da variaya memeui persamaa: + Var δ π = ρ ρ (38) = Buti: Utu setiap {,,, }, didefiisia: C = C (39) da Cρ = ( ρ ρ+ ) c ( ρ ρ+ ) c + (seperti dituua dalam buti Teorema 3), ole area itu:

' ρ Cρ ' = ρ C ρ = ρ'ccρ = ( Cρ) '( Cρ ) = (( ρ ) ) ' ρ+ c ρ ρ+ c + (( ρ ρ+ ) c ( ρ ρ+ ) c + ) ' = ( ρ ρ+ )( c c+ ) ρ ρ+ c c+ ' = ( ρ ρ + ) ( c c + ) ( c c + ) ' = ( ρ ρ + ) ( e e + ) ( e e + ) ' ' ' ' = ρ ρ + ee ee + e + e + e + e + = ( ρ ρ + ) ( + ) ( ) = ρ ρ + Dari Teorema da Lema 3 ita perole : ( ) E δ π S ' - = σ + ρσ ρ ' = σ + ρ C ρ = = σ + ρ ρ = Kemudia aa dituua + + Var δ π = ρ ρ = Dega megguaa sala satu persamaa (5) da Teorema E ( δ ( π ) S) δ ( π ) δ ( π ) Var [ S] = E δ π + E S E E S = Var + = ρ ρ+ + σ = Maa terbuti bawa varia dari premi total pada perecaaa premi optimal memeui persamaa (38) Coto Utu ilustrasi secara umum, di asumsia erugia pegasurasi mempuyai distribusi espoesial trucated Coto (Trucated Expoetial Distributio) Aggap peuba aca X dega:, ia x x P { X x} = t e dt, ia x > utu beberapa parameter (, ), yag berarti bawa distribusi X adala sebara espoesial dega parameter Didefiisia: S = mi X, H { } Kemudia premi bersi utu S adala: E[ S ] H t = t e dt+ H e H t t H H = te e + H e H H H = He e + H e = e H + ( H = e ) Besarya peluag premi reistatemet dibayara adala : { } t t e P S = e dt = dt = = e t = e e = e P { < S ( + ) } ( + ) = e ( + ) = e = t t dt dt t ( ) e + e t

= = e e t ( ) e + ( + ) ( ) ( ) ( + ) = e e { < } P S H H t t e dt e dt H H t t e dt e dt H = + = + t H t = e + e H t H t = e + e ( H ) ( ) = e e e + e H H = e Kemudia aa dicari besarya premi yag arus dibayara : t E Sχ{ S } = te dt t t te e dt E Sχ < + ( + ) = = + t t = te e = e e = e e + ( e = ) e { S ( ) } te t dt ( + ) t t te e dt = + t t te e + = ( + ) ( + ) = ( + ) e e e e ( + ) = e ( + ) e ( + ) + e e ( + ) ( + ) = ( e e ) + ( e ( + ) e ) [ ] ESχ < S H H t te dt H t t = = te + e dt t t H = te e H H = He e e e H H = e He + e e H = e e + e Ole area itu: E Sχ{ S } E S { S } = P { S } ( e ) e = e e = e E S { < S ( + ) } E Sχ { < S ( + ) } = P { < S ( + ) } ( + ) ( + ) e e + e + e = ( ) ( + ) e e ( + ) ( e e ) ( + ) ( + ) ( e e ) e = + ( + ) ( + ) ( + ) e e e e e e e e = + e ( ) ( e ) e = + e E[ Sχ S H ] E S { S H} < < = P { < S H} H e e + e = e e = + Seigga premi dari perecaaa premi π = π memeui: optimal { } {,,, } Utu =

π = E S { S } e = e,, Utu { } π { } { } = E S < S + ES S e e = + e e = 3 Utu = π { } { } = ES < S H E S < S + e e = + + e e e = e Seigga dapat disimpula bawa perecaaa premi optimal memeui : e, ia = e π =, ia {,, } e, ia = e da π < < π SIMPULAN Reasurasi merupaa proses pegalia risio dari beberapa perusaaa asurasi utu megidari ebagruta Perecaaa premi yag optimal sagat diperlua ole perusaaa reasurasi utu meagai risio yag diadapi perusaaa atas laim yag diaua Sala satu strategi yag dapat dilaua ole perusaaa reasurasi utu megoptimala premi adala membuat otra reasurasi dega reistatemet Pada tulisa ii, premi total didefiisia sebagai peumlaa atara π yaitu premi yag dibayara pada awal otra da π yaitu premi reistatemet Tela dituua esistesi dari suatu perecaaa premi da perecaaa premi yag diguaa optimal area memiimuma ilai arapa dari uadrat selisi atara erugia da total pemasua premi Miimisasi dari perecaaa premi optimal tersebut memilii solusi yag ui area matris oragam dari peuba aca peelas pada perecaaa premi dega reistatemet tersebut memilii ivers Sifat-sifat yag dimilii ole perecaaa premi optimal adala ta egatif da ta bias

3 DAFTAR PUSTAKA Grimmet, GR da DR Stirzaer 99 Probability ad Radom Processes EdKe- Claredo Press Oxford New Yor Hess, T da D Scmidt Credibility- Modelle i Tarifierug ud Reservierug Allg Statist Arciv 85, 5-46 Hess, T 3 Das Kolletive Modell der Risioteorie i der Scadeexzedete- Rucversicerug Allg Statist Arciv 87, 39-3 Hess, T da D Scmidt 4 Optimal Premium Pla For Reisurace Wit Reistatemets Asti Bulleti 34() 99-33 Hogg, RV da AT Craig 995 Itroductio to Matematical Statistics EdKe-5 Pretice-Hall Ic New Jersey Leo, SJ Alabar Liear da Apliasiya Edisi Ke-5 Erlagga Jaarta Noema, EH 4 Wada Berbagi Ilmu Pegetaua ttp:// reasurasi tripodcom/ [3 Jauari 7]

L A M P I R A N 4

5 Pembutia Lema : ' Aa dibutia Σ= E XX ' E[ X] E[ X ] ' = A-GG Berdasara persamaa (5), i {,, } da {,, i}, ita mempuyai : X i = χ{ i< X { } = χ < S Seigga: XX i = χ { i < { < = χ { i < = X i (4) Ole area itu: E XiX = E[ Xi] = P { i < = (4) = i E [ XX' ] = A (4) χ{ < χ{ < XX' = ( χ{ χ{ χ < < { < ) χ { < χ{ } { } χ{ } { } χ{ } { } χ < S < S < S < S < S 3< S { < { < χ{ } { } χ{ } { } χ { } { 3 } χ < S < S < S < S < S < S { < { < = χ{ 3 { χ{ 3 { χ{ 3 { 3 χ < < < < < < { 3< { < χ{ { χ{ { χ{ { χ < < < < < < { < { < χ{ } χ{ } χ{ } χ < S < S 3< S { < χ{ } χ{ } χ{ 3 } χ < S < S < S { < = χ{ 3 } χ{ 3 } χ{ 3 } χ{ } < S < S < S < S χ{ χ{ χ{ χ < < < { < Maa: = = = 3 = = = 3 E[ XX' ] = = 3 = 3 = 3

6 + + 3 + + + + 3+ + 3+ 4 + 5 + + + 3 + 4 + + + 3 + 4 + + 3+ 4 + 5 + + = 3 + 4 + 5 + + 3 + 4 + 5 + + 3 + 4 + 5+ + = A E X ( E X )' = GG' (43) [ ] [ ] χ{ < χ{ < X = χ { < E[ X ] =, i =,,, da = i + + + + 3 + + = 3 + 4 + + ' [ X ] = ( + + + + + + + + + ) E ' [ ] E[ ] 3 3 4 = = = = = = 3 = = = = = = = 3 = X X = E = 3 = = 3 = = 3 = 3 = 3 = = = Sedaga = = = = 3 = GG' = = 3

7 = = = = = = = 3 = = = = = = = 3 = = 3 = = 3 = = 3 = 3 = 3 = = = Maa terbuti E[ ] E [ ] ' = Jadi, Σ = E[ XX' ] E[ X] E[ X ] ' X X GG' = A-GG'