MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 KODE SSRS (SUBSPACE SUBCODES OF REED-SOLOMON) Afifatus Sholihah Jurusan Mateatika Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala Universitas Negeri Surabaya e-ail: afif165@yail.co Agung Lukito Jurusan Mateatika Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala Universitas Negeri Surabaya e-ail: gung_lukito@yahoo.co.id Abstrak Salah satu kelas kode siklik nonlinier adalah Kode SSRS (Subspace Subcodes of Reed-Soloon). Kode SSRS erupakan subset kode RS (Reed-Soloon) atas GF yang seua koponen katakodenya berada di subruang GF( ) berdiensi v. Kode SSRS tidak linier atas GF( v ) tetapi linier atas GF(). Banyaknya katakode di kode SSRS adalah K CS dengan K C S adalah diensi kode SSRS atas GF(). Kata kunci: Kode SSRS kelas kode Reed-Soloon dan kode nonbiner. Abstract One of class of nonlinear cyclic codes is SSRS (Subspace Subcodes of Reed-Soloon) codes. SSRS codes are a subset of RS (Reed-Soloon) codes over GF whose coponents are all of the RS codewords that lie in vdiensional vector subspace of GF( ). They are not linear over GF( v ) but linear over GF(). The nuber of codewords in a SSRS code is K CS with K C S is the diension of SSRS codes over GF(). Keywords: SSRS codes class of Reed-Soloon codes and nonbinary codes. 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kode RS (Reed-Soloon) adalah salah satu kode yang apu engoreksi banyak kesalahan (ultiple error). Karena keunggulannya dala endeteksi dan engoreksi kesalahan aka kode RS ini banyak digunakan dala siste telekounikasi. Salah satu kelas kode RS adalah kode SSRS. Kode SSRS erupakan kode RS atas GF yang seua koponennya berada pada subruang GF. Misalkan S adalah subruang GF yang berdiensi v aka kode SSRS tidak linier atas GF v. Karena ketidaklinieran kode SSRS atas GF v aka kode SRS erupakan salah satu kelas kode nonlinier. Karena kode SSRS adalah kode nonlinier aka untuk enghitung banyak katakode di kode SSRS kita harus endaftar satu per satu katakode di kode SSRS. Jika nilai n (panjang katakode) besar aka kita akan kesulitan endaftar katakode di kode SSRS sehingga pada akalah ini dibahas bagaiana engetahui banyaknya katakode di kode SSRS tanpa endaftar katakode di kode SSRS satu per satu yaitu enggunakan teorea yang enyatakan diensi biner kode SSRS yang penulis abil dari jurnal Hattori Mayasuki Robbert J. McEliece dan Gustave Soloon yang berjudul Subspace Subcodes of Reed-Soloon Codes. 1. Ruusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas aka ruusan asalah dala akalah ini adalah berapa banyak katakode di kode SSRS. 1.3 Tujuan Penulisan Berdasarkan ruusan asalah di atas tujuan penulisan akalah adalah engetahui banyaknya katakode di kode SSRS. 1.4 Batasan Masalah Pada akalah ini tidak dibahas dekoding kode SSRS dan kode SSRS yang dibahas adalah kode SSRS atas GF. Larik yang diaksud pada akalah ini adalah array. 1.5 Manfaat Penulisan 9
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 Adapun anfaat dari penulisan akalah ini antara lain: a. Bagi penulis sebagai tabahan inforasi dan wawasan engenai kode SSRS. b. Bagi pengguna ateatika sebagai tabahan pengetahuan bidang ateatika khususnya bidang pengkodean. 1.6 Metode Penulisan Metode yang digunakan di sini adalah etode kajian pustaka. Adapun langkah-langkah dala penulisan akalah ini adalah : a. Mengupulkan inforasi yang berhubungan dengan ateri terkait serta ebaca eahai dan enelaah beberapa buku dan referensi lain seperti jurnal iliah hasil penelitian terdahulu dan lain-lain. b. Menuliskannya ke dala bentuk akalah.. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas definisi foral kode SSRS serta konjugat lapangan trace subruang trace-dual konjugat odulo n koset siklotoik odulo n larik sikltoik odulo n dan atriks siklotoik odulo n yang digunakan untuk enghitung diensi biner kode SSRS. Selain itu dibahas teorea yang enyatakan diensi biner kode SSRS yang digunakan untuk enghitung banyaknya katakode di kode SSRS dan beberapa lea dan teorea yang berhubungan dengan kode SSRS serta akan diberikan contoh bagaiana enggunakan teorea diensi biner kode SSRS untuk enghitung banyak katakode di kode SRSS jika diberikan kode RS atas GF dan subruang GF..1 KONJUGAT TRACE DAN SUBRUANG TRACE-DUAL Definisi.1.1 (Konjugat) Misalkan GF p perluasan lapangan GF(p) dan α GF p. α α p α p p 1 α disebut konjugat α. Definisi.1. (Trace) Misalkan α GF p. Trace α atas GF p d dinotasikan dengan Tr d α didefinisikan dengan: Tr d α = α + α pd + α p d + + α p f 1 d (.1.1) dengan d dan f = d. Contoh.1.1 Diberikan GF 4 sebagai berikut: Misalkan x 4 + x + 1 = I aka GF 4 = Z x / x 4 + x + 1 = {I I + 1 I + x I + (1 + x) I + x I + (1 + x ) I + (x + x ) I + 1 + x + x I + x 3 I + 1 + x 3 I + x + x 3 I + x + x 3 I + 1 + x + x 3 I + 1 + x + x 3 I + x + x + x 3 I + 1 + x + x + x 3 }. Eleen tak nol α = I + x adalah eleen priitif GF 4 sehingga diperoleh: α 0 = I + 1 α 8 = I + (1 + x ) α 1 = I + x α 9 = I + (x + x 3 ) α = I + x α 10 = I + (1 + x + x ) α 3 = I + x 3 α 11 = I + (x + x + x 3 ) α 4 = I + (1 + x) α 1 = I + (1 + x + x + x 3 ) α 5 = I + (x + x ) α 13 = I + (1 + x + x 3 ) α 6 = I + (x + x 3 ) α 14 = I + (1 + x 3 ) α 7 = I + (1 + x + x 3 ) Jika eleen lapangan a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 disajikan dala bentuk 4-tupel (a 0 a 1 a a 3 ) dengan engurutkan dari pangkat terkecil ke pangkat yang besar aka dengan penyajian tersebut eleen GF 4 adalah: α 0 = 1000 α 8 = 1010 α 1 = 0100 α 9 = 0101 α = 0010 α 10 = 1110 α 3 = 0001 α 11 = 0111 α 4 = 1100 α 1 = 1111 α 5 = 0110 α 13 = 1011 α 6 = 0011 α 14 = 1001 α 7 = 1101 Konjugat α 3 = 0001adalah α 3 = 0001 α 3 = α 6 = 0011 α 3 = α 1 = 1111 α 3 3 = α 9 = 0101 dan Tr 1 4 α 3 adalah 1000. Teorea.1.1 Jika d aka Tr 1 x = Tr 1 d Tr d x. Misalkan f = d. d d Tr 1 Tr d x = Tr 1 x + x pd p f 1 d + + x = x + x pd + + x p f 1 d + x + x pd + + x p f 1 d p + x + x pd + + x p f 1 d p + + x + x pd + + x p f 1 d p d 1 = x + x pd + + x p f 1 d + x p + x pd+1 + + x p f 1 d+1 + x p + x pd+ + + x p f 1 d+ + + x pd 1 + x p d 1 + + x pfd 1 = x + x p + x p + + x pd 1 + x pd + x pd+1 + x pd+ + + x p d 1 + + 10
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 x p f 1 d + x p f 1 d+1 + x p f 1 d+ + pfd 1 + x = x + x p + x p pfd 1 + + x = x + x p + x p p 1 + + x = Tr 1 x. Definisi.1.3 (Basis dual) Diberikan A = {α 0 α 1 α 1 } adalah basis untuk GF basis dual untuk A adalah B = {β 0 β 1 β 1 } GF dengan 1 i = j Tr 1 α i. β j = (.1.) 0 i j. Dala [13 hal. 110] dijelaskan bagaiana enentukan basis dual ini: 1. definisikan atriks persegi A atas GF dengan ordo 1 dengan A = a ij ij =0 dan aij = Tr 1 α i α j. isalkan B = A 1 aka jika entri k j atriks B dinotasikan dengan b kj aka basis dualnya adalah 1 β j = b kj α k j = 01 1. k=0 Jika x GF aka x dapat dinyatakan sebagai kobinasi linier basis yaitu: x = 1 j =0 z j α j z j GF z j disebut koponen biner ke-j dari x yang ditentukan dengan z j = Tr 1 xβ j j = 01 1. (.1.3) Dala [13 hal. 110] juga dijelaskan basis dual selalu ada dan tunggal. Contoh.1. Basis untuk GF 4 pada contoh.1.1 adalah 1 α α α 3 sehingga diperoleh atriks A dan B sebagai berikut: A = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 B = 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Basis dual untuk 1 α α α 3 adalah β 0 = 1 + α 3 = α 14 β 1 = α β = α dan β 3 = 1. Definisi.1.4 (Subruang Trace-Dual) Misalkan S subruang berdiensi v dari GF. Subruang trace-dual untuk S yang dinotasikan dengan S adalah subruang berdiensi μ dari GF dengan μ = v sedeikian hingga x S dan y S berlaku : x S Tr 1 xy = 0 y S (.1.4). Basis yang erentang subruang trace-dual disebut basis trace-dual. Contoh.1.3. Basis yang erentang GF 4 adalah A = 1 α α α 3. Keudian diberikan S 1 = 0 α 0 α α 4 S = GF 4 dan S 3 = 0 α 0 α α α 4 α 5 α 8 α 10 adalah subruang GF 4 yang asing-asing subruang secara berurutan direntang basis B 1 = 1 α B = 1 α α α 3 dan B 3 = 1 α α aka S 1 = S S = 0 dan S 3 = 0 α 0.. KONJUGAT MODULO n DAN KOSET SIKLOTOMIK MODULO n Definisi..1 (Konjugat Modulo n) Diberikan n adalah bilangan bulat positif ganjil dan adalah bilangan bulat positif terkecil sedeikian hingga n 1. Jika i dan j adalah bilangan bulat dengan 0 i n 1 dan 0 j n 1 aka i dan j disebut konjugat odulo n jika dan hanya jika s Z s i j(od n). Contoh..1 Diberikan n = 15. Bilangan bulat positif terkecil yang eenuhi 15 1 adalah = 4. Untuk i = j = 3 erupakan konjugat odulo 15 karena s = 0 0. 3 3(od 15). Sedangkan untuk i j dengan j = 3 ada 9 dan 3 1 dan 3 6 dan 3 juga erupakan konjugat odulo 15 karena ada s sedeikian hingga 1. 9 3(od 15). 1 3(od 15) 3. 6 3(od 15). Teorea..1 Konjugasi odulo n adalah relasi ekuivalensi pada hipunan bilangan bulat Akan ditunjukkan konjugasi odulo n eenuhi sifat refleksif sietris dan transitif. 1) (Refleksif) a a od n Abil sebarang a Z dengan 0 a n 1. a dan a adalah konjugat odulo n karena ada s = 0 sedeikian hingga 0 a = a a od n. ) (Sietris) s a b od n t b a(od n) Abil sebarang a b Z dengan 0 a n 1 0 b n 1 dan s a b od n. Kedua ruas dikalikan s dan diperoleh: s s a s b od n a s b od n. Karena adalah bilangan bulat terkecil yang eenuhi n 1 n 1 1 od n. Jadi 1a s b od n a s b od n s b a od n. Karena ada t = s sedeikian hingga t b a od n aka b dan a konjugat odulo n. 3) (Transitif) s a b od n dan t b c od n u a c(od n) Abil sebarang a b c Z dengan 0 a n 1 0 b n 1 0 c n 1 dan 11
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 s a b od n (..1) t b c od n. (..) Dari (..1) dan (..) diperoleh s a b = k 1 n k 1 Z dan t b c = k n k Z. Dengan enggantikan b = s a k 1 n ke (..) diperoleh t s a k 1 n c = k n t+s a t k 1 n c = k n t+s a c = k n + t k 1 n t+s a c = k + t k 1 n...3 Dari..3 diperoleh t+s a c od n. Karena ada u = t + s sedeikian hingga u a c(od n) aka a dan c konjugat odulo n. Dari 1) ) dan 3) terbukti bahwa konjugasi odulo n adalah relasi ekuivalensi. Karena konjugasi odulo n erupakan relasi ekuivalensi aka diperoleh kelas-kelas ekuivalensi. Definisi.. (Koset Siklotoik odulo n) Kelas-kelas ekuivalensi pada relasi konjugasi odulo n disebut koset siklotoik odulo n. Jika j Z n aka koset siklotoik yang euat j dapat dinyatakan sebagai hipunan {j j d 1 j} yang dinotasikan dengan Ω j dengan d adalah bilangan bulat positif terkecil yang eenuhi d j j(od n) dan d disebut dengan derajat j yang dinotasikan dengan d = deg (j). Untuk selanjutnya didefinisikan f j = dan I d n adalah j hipunan seua bilangan bulat terkecil pada setiap koset siklotoik odulo n. Contoh.. Koset siklotoik odulo 15 dapat dinyatakan sebagai hipunan {j j d 1 j} yang dinotasikan dengan Ω j dengan 0 j 14. Bilangan bulat positif yang eenuhi 15 1 adalah = 4. Keudian dicari bilangan bulat positif terkecil d yang eenuhi d j j(od n) dengan 0 j 14. Untuk j = 0 bilangan bulat positif d 0 yang eenuhi d 00 0(od 15) adalah d 0 = 1 sehingga Ω 0 = 0 dan f 0 = 1. Untuk j = 1 bilangan bulat positif d 1 yang eenuhi d 11 1(od 15) adalah d 1 = 4 sehingga Ω 1 = 148 dan f 1 = 1. Dengan cara yang saa diperoleh d j dan f j untuk j I 15 = {01357} adalah: Ω 0 = 0 d 0 = 1 f 0 = 4 Ω 1 = 148 d 1 = 4 f 1 = 1 Ω 3 = 3619 d 3 = 4 f 3 = 1 Ω 5 = 510 d 5 = f 5 = Ω 7 = 7141311 d 7 = 4 f 7 = 1 Definisi..3 (Larik Siklotoik odulo n) Larik siklotoik odulo n adalah larik bilangan bulat dengan I n baris dan kolo yang baris ke- j berkorespondensi dengan koset siklotoik ke-j. Karena itu larik siklotoik odulo n erupakan atriks bilangan bulat berordo I n yang entri-entrinya adalah bilangan bulat odulo n dan entri ke- j i = j i (od n) dengan j I n dan i {01 n 1}. Contoh..3 Dari contoh.. dapat dibentuk larik siklotoik odulo 15 sebagai berikut: Index i 0 1 3 j = 0 0 0 0 0 d 0 = 1 f 0 = 4 j = 1 1 4 8 d 1 = 4 f 1 = 1 j = 3 3 6 1 9 d 3 = 4 f 3 = 1 j = 5 5 10 5 10 d 5 = f 5 = j = 7 7 14 13 11 d 7 = 4 f 7 = 1.3 MATRIKS SIKLOTOMIK MODULO n Misalkan S adalah subruang dari GF atas GF yang berdiensi v dan basis trace-dual yang erentang subruang trace-dual S adalah {γ 0 γ 1 γ μ 1 }. Definisi.3.1 (Matriks Siklotoik) Diberikan hipunan J dan koset siklotoik odulo n. Hipunan J adalah hipunan bilangan bulat yang eleennya dipilih dari {01 n 1} yang ebentuk barisan aritatika odulo n yang bedanya pria relatif dengan n. Keudian didefinisikan J j = J Ω j untuk setiap j I n. Misalkan e j = J j adalah banyaknya eleen J j dan A j adalah hipunan bilangan bulat i yang eenuhi j i od n J j dengan 0 i 1 aka A j = a j = e j f j dengan A j = i 0 i 1 i aj 1 i 0 < i 1 < < i aj 1. (.3.1) Matriks siklotoik ke- j yang dinotasikan dengan Γ j yang terkait dengan Ω j didefinisikan sebagai atriks dengan ordo μ a j yang berbentuk: Γ j = γ 0 i 0 γ 1 i 0 γ 0 i 1 γ 1 i 1 γ 0 ia j 1 γ 0 i a j 1 γ i a j 1 μ 1 (.3.) γ i 0 μ 1 γ i 1 μ 1 dengan {γ 0 γ 1 γ μ 1 } adalah basis trace-dual. Contoh.3.1 Diberikan subruang GF 4 adalah S = 0 α 0 α α 4. Subruang trace-dual untuk S = S. Keudian diberikan J = {13456789} dan koset siklotoik odulo 15 pada contoh.. sehingga diperoleh I 15 = {01357} dan larik siklotoik odulo 15 adalah: Index i 0 1 3 j = 0 0 0 0 0 e 0 = 0 A 0 = a 0 = 0 1
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 j = 1 1 4 8 e 1 = 4 A 1 = {013} a 1 ν. = 4 Subspace subcode yang terkait dengan C dan S yang j = 3 3 6 1 9 e 3 = 3 A 3 = {013} a 3 dinotasikan = 3 dengan C S didefinisikan sebagai hipunan j = 5 5 10 5 10 e 5 = 1 A 5 = {0} a 5 katakode = C yang seua koponennya berada di S. j = 7 7 14 13 11 e 7 = 1 A 7 = {0} a 7 = 1 Contoh.4.1 Sehingga atriks siklotoik untuk S adalah: Diberikan C adalah kode RS atas GF 4 dengan Γ 1 = 1 1 1 1 α α 8 α 4 α. paraeter 533 dan S = 0 α 0 α α 4 α 6 α 11 α 13 Γ 3 = 1 1 1 adalah subruang GF 4 atas GF yang direntang basis α α 8 α α 0 α α 6. Kode C S adalah kode C yang seua Γ 5 = 1 1 koponennya berada di S. Salah satu katakode di C S α α 4 adalah α 4 α 13 α 6 α 13 α 11 yang erupakan kode RS atas Γ 7 = 1 α. GF 4 dengan: x = x α x α x α 3 = x 3 + α 11 x + α 13 x + α 6 g x = x α 0 x α 4 = x + αx + α 4..4 KODE SSRS Diberikan lapangan GF bilangan bulat positif ganjil n dengan n 1 akar ke- n kesatuan priitif di GF isalkan α dan hipunan J. Hipunan J adalah hipunan k 0 bilangan bulat yang eleennya dipilih dari {01 n 1} yang ebentuk barisan aritatika odulo n yang bedanya pria relatif dengan n. Keudian didefinisikan C(J) adalah kode RS dengan paraeter (n k 0 d 0 ) atas GF dengan polinoial cek paritas (x) dan polinoial pebangkit g(x) sebagai berikut: x = x α j (.4.1) j J g x = x α j (.4.) j J dengan j adalah hipunan n k 0 bilangan bulat yang ebentuk kopleen J sedeikian hingga x n 1 = g x x. Karena C(J) erupakan kode RS atas GF dengan paraeter (n k 0 d 0 ) aka C(J) terdiri atas seua vektor C = (C 0 C 1 C n 1 ) dengan C i GF. Jika C dinyatakan dala polinoial aka C i adalah koefisien koefisien pada polinoial tersebut. Dengan enggunakan polinoial Mattson-Soloon P x diperoleh: C i = P α i i = 01 n 1 (.4.3) dengan P x = j J c j x j c j GF..4.4 Untuk selanjutnya jika diberikan hipunan J aka hipunan J adalah hipunan k 0 bilangan bulat yang eleennya dipilih dari {01 n 1} yang ebentuk barisan aritatika odulo n yang bedanya pria relatif dengan n. Dan hipunan yang eleen-eleennya adalah c j untuk j J dinotasikan dengan C j. Kode C S kode nonlinier atas GF v sehingga banyaknya katakode di C S tidak selalu perpangkatan v. Akan tetapi C S adalah kode linier atas GF() sehingga untuk enentukan banyak katakode di C S bisa enggunakan sifat C S yang erupakan kode linier atas GF(). Karena C S kode linier atas GF() aka banyaknya katakode di C S adalah perpangkatan. Misalkan diensi C S atas GF() adalah K(C S) dan C S adalah banyaknya katakode di C S aka C S = K(CS) (.4.5) dan diensi untuk C S atas S adalah: k C S = 1 K C S = v log.5 DIMENSI KODE SSRS S C S..4.6 Diberikan P(x) adalah polinoial atas GF( ) yang berderajat n 1 dengan n 1 aka P x = n 1 j =0 P j x j P j GF. (.5.1) Keudian didefinisikan polinoial P x sebagai berikut: P x = Tr 1 P x od x n 1 (.5.) n 1 = P j x j (.5.3) j =0 Lea.5.1 Diberikan P x yang didefinisikan oleh (.5.1) dan P x oleh (.5.) dan (.5.3). Misalkan α adalah akar ke-n kesatuan priitif di GF( ) aka Tr 1 P x = 0 untuk x {1 α α α n 1 } jika dan hanya jika P j = 0 untuk j = 01 n 1. Definisi.4.1 (Definisi Foral Kode SSRS) Diberikan C (n k 0 d 0 ) adalah kode siklik RS atas GF( ) dan S adalah subruang dari GF( ) berdiensi Karena P j = 0 untuk j = 01 n 1 aka P x = 0 sehingga P x = 0 = Tr 1 P x od x n 1. 13
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 Dari diperoleh x n 1 Tr 1 P x. Karena α adalah akar ke-n kesatuan priitif di GF( ) aka x n = 1 untuk x {1 α α α n 1 } sehingga x n 1 Tr 1 P x = 0 Tr 1 P x. Karena 0 Tr 1 P x aka Tr 1 P x = 0 untuk x {1 α α α n 1 }. Karena Tr 1 P x = 0 untuk x {1 α α α n 1 } aka diketahui P x epunyai n akar yang berbeda. Karena P x berderajat n 1 aka P x epunyai paling banyak n 1 akar yang berbeda di sebarang lapangan perluasan GF sehingga P x adalah polinoial nol yang koefisien koefisiennya adalah nol untuk j = 01 n 1. Lea.5. Diberikan P x yang didefinisikan oleh (.5.1) dan P x oleh (.5.) dan (.5.3). Jika d = deg(j) untuk j 01 n 1 aka P j = 1 i P i j dengan adalah bilangan bulat positif terkecil yang eenuhi n 1 dan i j i dala odulo n. Karena P j adalah koefisien x j di P x aka untuk enentukan P j digunakan P x yang didefinisikan sebagai: P x = Tr 1 P x od x n 1..5.4 Karena P x = g=0 P g x g aka P x = Tr 1 P x od x n 1 n 1 = Tr 1 P g x g od x n 1 g=0 n 1 = P g x g + P g x g + g=0 n 1 + P g x g 1 od x n 1 = P g x g + P g x g + g=0 + P g 1 x 1 g od x n 1..5.5 Karena pangkat yang uncul pada ekspansi Tr 1 P g x g adalah konjugat g odulo n ; yaitu g g 1 g aka untuk k g g 1 g berlaku x k od x n 1 = x g sehingga untuk g Ω j P j di P x adalah koefisien x g di P x. Dari.5.5 diperoleh suku polinoial P x dengan pangkat g dan Ω j P j x sebagai berikut: P j x = P g + P g + P g + + P 1 g x g sehingga P j = P g + P g + P 1 g + + P g 1 = P l g.5.6 dengan l dan g dala odulo n. Karena n 1 aka j j od n.5.7 Sehingga ada d sedeikian hingga = d untuk j 01 n 1. Karena d = deg j aka untuk setiap g Ω j ada bilangan bulat i dengan i 01 d 1 sedeikian hingga i g od n = j sehingga i g j od n. Karena konjugasi odulo n bersifat sietris aka berdasarkan teorea 3..1 ada t = i sedeikian hingga t j g od n atau dapat ditulis t j od n = g. Berdasarkan.5.7 aka i 01 1 juga eenuhi i g od n = j. Dengan engganti g = t j = i j dan l dengan i 01 1 aka diperoleh: 1 P j = P i i j. Karena i i j od n = j i i j od n = j aka 1 i P j = P i j dengan i dan i j dala odulo n..5.8.5.9 Lea.5.3 Jika j 1 dan j adalah konjugat odulo n aka P j1 dan P j adalah konjugat di GF( ). Karena j 1 dan j adalah konjugat odulo n dan jika j 1 dan j berderajat d aka s j 1 j od n dengan s {01 d 1} sehingga s j 1 od n = j. Untuk ebuktikan P j1 dan P j adalah konjugat di GF( ) aka akan ditunjukkan P s j 1 od n = P s j. Dengan enggunakan lea 3.5. untuk enghitung P s j aka akan diperoleh: 1 P s i j = P i j 1 = P i s i j. s.5.10 Karena i i j od n = j aka i i j j od n. Karena kongruensi bersifat transitif dan S j 1 j 1 od n aka i i j j 1 od n sehingga dengan engalikan kedua ruas dengan s diperoleh: i s i j s j 1 od n..5.11 Dari.5.11 diperoleh: 1 P s j = 1 P s i = j i P s i = P j s j 1 dengan s j 1 dala odulo n. Teorea.5.1 (Diensi Kode SSRS) Diberikan hipunan J dan sebuah kode siklik RS C(n k 0 d 0 ) atas GF yang didefinisikan sebagai C J. Misalkan S adalah subruang berdiensi v dari 14
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 GF yang direntang oleh basis {β 0 β 1 β v 1 } dan S adalah subruang trace-dual dari S berdiensi μ yang direntang oleh basis γ 0 γ 1 γ μ 1 dengan μ = v. Misalkan r j adalah rank atriks siklotoik ke- j Γ j. Diensi biner kode C S yang dinotasikan dengan K(C S) adalah: K C S = d j a j r j (.6.) = e j r j d j (.6.3) dengan I n = hipunan seua bilangan bulat terkecil pada setiap koset siklotoik odulo n d j = banyaknya anggota koset siklotoik yang euat j e j = banyak bilangan bulat di J j = J Ω j dengan Ω j adalah koset siklotoik yang euat j a j = banyaknya bilangan bulat i sedeikian hingga j i od n J j = bilangan bulat positif terkecil sedeikian hingga n 1. Jika S adalah subruang GF( ) yang direntang basis B = {β 0 β v 1 } aka selalu dapat diteukan basis untuk GF( ) dari perluasan basis B dengan bentuk: B = β 0 β 1 β v 1 β v β 1. Karena C adalah kode RS (n k 0 ) atas GF aka C terdiri atas vektor-vektor C = (C 0 C 1 C n 1 ) dengan C i GF i = 01 n 1. Jika C i diekspansi enjadi -tupel barisan biner yang bergantung pada basis B aka berdasarkan definisi.4.1 kode SSRS adalah hipunan katakode C yang koponen binernya adalah nol jika berkorespondensi dengan {β v β 1 }. Jika basis trace-dual untuk S dinotasikan dengan G S = γ 0 γ 1 γ μ 1 aka dapat dibentuk basis untuk GF dari perluasan basis G S ; yaitu γ 0 γ 1 γ μ 1 γ μ γ 1. Dengan enggunakan (.1.5) aka kode SSRS dapat didefinisikan sebagai hipunan katakode C dengan bentuk C = (C 0 C 1 C n 1 ) yang eenuhi: = v v + 1 1 Tr 1 γ C i = 0 (.6.4 ) i = 01 n 1. Jika definisi kode SSRS dikobinasikan dengan polinoial MS yang didefinisikan di.4.4 aka didapatkan persaaan yang ekuivalen dengan (.6.4) sebagai berikut: Tr 1 j J γ c j x j = 0 = 01 μ 1 x 1 α 1 α α n 1. (.6.5) Keudian didefinisikan polinoial P x dan P x untuk = 01. μ 1 sebagai berikut: P x = γ c j x j.6.6 j J P x = Tr 1 P x od x n 1. (.6.7) Tr 1 P x = 0 jika dan hanya jika P x = 0 untuk x {1 α α n 1 }. Berdasarkan lea.5.1 P x = 0 jika dan hanya jika = 01 μ 1 P j = 0 (.6.8) j J dengan P j adalah koefisien x j pada polinoial P (x). Dengan enggunakan lea.5. didapatkan koefisien P j sebagai berikut: P j = 1 γ i c j i i dengan j i dan i dala odulo n. Karena kode SSRS adalah kode RS siklik C J aka bilangan bulat i pada P j adalah bilangan bulat i sedeikian hingga j i od n J j = J Ω j sehingga P j = γ i i c j. i (.6.9) i A j dengan A j adalah hipunan bilangan bulat i sedeikian hingga j i od n J j = J Ω j. Hipunan C j yang eleen-eleennya adalah c j dengan j J bersesuaian dengan sebuah katakode di C S jika dan hanya jika P j = 0 untuk setiap = 01 μ 1 dan j J. Dengan enggunakan lea.5.3 jika j 1 j adalah konjugat odulo n atau j 1 dan j berada di koset siklotoik yang saa dan P j1 P j juga konjugat di GF sehingga jika P j = 0 untuk satu eleen j dari koset siklotoik odulo n yang euat j yang diberikan aka koefisien seua eleen yang berada di koset siklotoik odulo n yang euat j adalah nol. Oleh karena itu ketika enghitung banyak koefisien hipunan C j sedeikian sehingga P j = 0 cukup dengan ebatasi j yang berada pada hipunan I n. Jadi untuk enghitung banyak hipunan C j yang berkorespondensi dengan kode SSRS C S saa dengan enghitung banyak solusi siste persaaan yang berbentuk: γ i i c j. i = 0 = 01 μ 1 j I n..7.1 i A j Misalkan N j enyatakan banyak solusi pada siste persaaan yang didefinisikan oleh (.7.1). Karena siste persaaan di (.7.1) hanya elibatkan variabelvaribel pada c l dengan l adalah koset siklotoik ke-j aka kita bisa enghitung banyak solusi siste persaaan yang berkorespondensi pada tiap-tiap koset siklotoik secara terpisah. Ini berarti bahwa total banyak katakode di kode C S yang dinotasikan dengan N S diberikan oleh: N S = N j. (.7.) Teorea.5.1 akan terbukti jika kita bisa enunjukkan bahwa N j = e j r j d j = d j (a j r j ). (.7.3) Jika (.7.3) terbukti aka diensi biner C S adalah K C S = K j K j = e j r j d j. (.7.4) 15
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 Persaaan (.7.1) dapat dinyatakan dala bentuk atriks dengan enggunakan atriks siklotoik ke-j yang didefinisikan di (.3.) sehingga didapatkan: Γ j c T = 0 T (.7.5) dengan c = c i0 j. i0 c i1 j. i1 c i a j 1 ia j. j 1. (.7.6) Matriks Γ j adalah atriks μ a j dengan entri ke-( l) i adalah γ l. Jika d aka ada e j variabel berbeda pada vektor c dengan tiap-tiap variabel uncul f j kali sebagai koponen c. Karena pebahasan selanjutnya hanya ebahas koset siklotoik ke-j aka indeks j dihilangkan pada a j d j e j f j sehingga a d e f enyatakan a j d j e j f j. Ada kasus; yaitu d = dan d. Kasus 1. d = Untuk d = seua koponen c i j. i pada persaaan (.7.6) dengan i A j adalah berbeda. Keudian didefinisikan variabel x l sebagai: x l = c il j. i l l = 01 e 1. (.7.7) Karena peetaan ξ ξ il adalah peetaan satu-satu aka c j. i l dapat diperoleh kebali dengan tunggal dari x l sehingga diensi C S atas GF() adalah diensi ruang solusi siste persaaan berikut: Γ j x T = 0 T.7.8 dengan x = x 0 x 1 x a 1 = x 0 x 1 x e 1. (.7.9) Karena siste persaaan pada (.7.8) berupa persaaan polinoial atas GF( ) yang ebentuk ruang vektor atas GF( ) dan juga erupakan persaaan linier hoogen aka hipunan solusi siste (.7.8) ebentuk ruang solusi. Sehingga hipunan solusi siste (.7.8) adalah ruang vektor atas GF( ) dan diensi C S atas GF( ) adalah diensi ruang solusi siste persaaan (.7.8) atau nolitas atriks Γ j. Nolitas atriks Γ j adalah e r dengan e adalah banyak variabel dan r adalah rank Γ j. Jadi banyak solusi siste (.7.8) adalah ( ) e r = e dr = d(a r). Kasus. d Untuk d ada e koponen berbeda di c dengan tiaptiap koponen uncul f kali. Karena indeks i l l = 01 a 1 di (.3.1) diasusikan berurutan naik aka e koponen pertaa c adalah berbeda dari yang lain dan pengulangan f kali di urutan yang saa sehingga c dapat ditulis sebagai berikut: c = [c i0 j. i0 c i1 j. i1 c i e 1 j. ie 1 e e c i 0 d j. i0 c i 1 d j. i1 c i e 1 d j. ie 1 c i 0 (f 1)d j. i0 c i 1 (f 1)d j. i1 c j. ie 1 Karena d adalah derajat j aka e i e 1 (f 1)d ]. (.8.1) d j j od n n d j j = n j d 1 nk 1 = j d 1 k 1 Z. Karena n 1 aka nk = 1 k Z sehingga nk = 1 j d 1 k k = 1 1 j d 1 k = k 1 1 d 1 jk = k 1 1..8. Dari.8. diperoleh d 1 1 sehingga d dan GF( d ) GF dan GF dapat dipandang sebagai ruang vektor atas GF( d ) yang berdiensi = f. Jika α adalah akar priitif d GF( ) aka {1 α α f 1 } adalah basis GF( ) atas GF( d ) sehingga untuk sebarang x GF( ) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai: x = f 1 x i α i x i GF d. Sehingga setiap koefisien c i j. i GF( ) bisa diuraikan sebagai: i g = xgl α l g = 01 e 1.8.3 c j. ig f 1 dengan x gl GF( d ) untuk seua l = 01 f 1. Keudian setiap koponen c akan diuraikan enjadi f variabel di sublapangan GF( d ). Karena kd j j od n dengan k Z + 0 aka i kd j i j od n dengan i yang eenuhi i j od n J j adalah eleen A j. Akibatnya jika indeks i pada A j aka i + d i + d i + f 1 d juga di A j sehingga jika c ig i g di c aka: c ig i g d cig i g d cig i g (f 1)d juga di c. Keudian tiap-tiap bentuk c ig i g c ig i g d cig i g d cig i g (f 1)d dapat ditulis c i g ud j. ig dengan u 01 f 1 diekspansi ke bentuk variabel x gl. Dengan enggunakan (.8.3) aka didapatkan: f 1 ud c i g ud j. ig = xgl α l.8.4 f 1 l ud = x gl α f 1 = x ud gl (.8.5) α l ud (.8.6) dengan seua superskrip dan subskrip pada (.8.4) (.8.6) dala odulo n. Karena x gl GF( d ) dan x ud gl adalah konjugat x gl di GF( d ) aka x ud gl = x gl sehingga f 1 c i g ud j. ig = l xgl α ud u = 01 f 1. (.8.7) 16
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 Jika didefinisikan dua vektor; yaitu c g dan x g dengan panjang f sebagai berikut: c g = c i g j. ig i g d cj. ig i g f 1 d cj. ig.8.8 x g = x g0 x g1 x gf 1 (.8.9) aka (.8.7) bisa dinyatakan sebagai: c T T g = Vx g (.9.1) dengan V adalah atriks Vanderonde f f yang didefinisikan sebagai berikut 1 α 1 α α (f 1) 1 α 1. d α. d α (f 1). d V = 1 α 1. d α. d α (f 1). d (.9.) 1 α 1. (f 1)d α. (f 1)d α (f 1). (f 1)d Karena = df dan α akar priitif GF( ) serta V atriks nonsingular aka hipunan eleen-eleen pada kolo kedua V; yaitu α α d α d α f 1 d seuanya berbeda. Keudian didefinisikan vektor c dan x sebagai berikut: c = c 0 c 1 c e 1 (.9.3) x = x 0 x 1 x e 1. (.9.4) Karena atriks V di (.9.) tidak bergantung pada g aka kita bisa enyatakan hubungan c dan x pada (.9.3) dan (.9.4) sebagai: c T = Wx T (.9.5) dengan W adalah atriks a a sebagai berikut: V 0 0 0 V 0 W =. (.9.6) 0 0 V Vektor c yang didefinisikan di (.7.6) dan vektor c didefinisikan di (.9.3) eiliki diensi saa isalkan a dan koponen-koponen yang saa eiliki urutan yang berbeda. Dengan kata lain kedua vektor dari c dan c adalah perutasi satu saa lain. Karena sebarang perutasi vektor bisa dinyatakan dengan perkalian sebelah kiri dengan atriks perutasi nonsingular isalkan Q aka diperoleh: c T = Qc T. (.9.7) Dengan ensubstitusikan (.9.5) dan (.9.7) ke.7.8 diperoleh: Γ j QWx T = 0 T.9.8 sehingga banyak solusi siste persaaan.7.5 saa dengan banyak solusi siste.9.8 karena transforasi linier atriks nonsingular tidak engubah diensi ruang solusi. Karena siste persaaan di.9.8 adalah hipunan μ persaaan linier pada a variabel yang berada di sublapangan GF( d ) aka banyaknya solusi adalah perpangkatan d dan diensi C S atas GF( d ) adalah ruang solusi siste.9.8 atau nolitas Γ j ; yaitu a r sehingga total banyak solusi.9.8 adalah d(a r). Jadi diensi biner untuk kode C S adalah K C S = 3.6.1 CONTOH d j a j r j = e j r j d j. Diberikan C 15 79 adalah kode siklik RS atas GF 4 subruang GF 4 adalah S yang direntang basis 1 α dan diberikan hipunan J = 135791113. Subruang trace-dual untuk S = S. Untuk enentukan diensi kode C S diberikan koset siklotoik odulo 15 pada contoh..3 larik siklotoik odulo 15 dan atriks siklotoik odulo 15. Koset siklotoik odulo 15 adalah sebagai berikut: Ω 0 = 0 d 0 = 1 f 0 = 4 Ω 1 = 148 d 1 = 4 f 1 = 1 Ω 3 = 3619 d 3 = 4 f 3 = 1 Ω 5 = 510 d 5 = f 5 = Ω 7 = 7141311 d 7 = 4 f 7 = 1 dengan I 15 = 01357. Larik siklotoik odulo 15 adalah: Index i 0 1 3 j = 0 0 0 0 0 e 0 = 0 A 0 = a 0 = 0 j = 1 1 4 8 e 1 = 1 A 1 = {0} a 1 = 1 j = 3 3 6 1 9 e 3 = A 3 = {03} a 3 = j = 5 5 10 5 10 e 5 = 1 A 5 = {0} a 5 = j = 7 7 14 13 11 e 7 = 3 A 7 = {03} a 7 = 3 Matriks siklotoik untuk S adalah: Γ 1 = 1 α Γ 3 = 1 1 α α Γ 5 = 1 1 α α 4 Γ 7 = 1 1 1 α α 4 α. Rank atriks Γ 1 Γ 3 Γ 5 dan Γ 7 adalah r 1 = 1 r 3 = r 5 = r 7 = Dengan enggunakan teorea.5.1 diensi biner C S adalah K C S 1 = d j (a j r j ) atau K C S 1 = j I 15 = 4 1 1 + 4 + + 4(3 ) = 4 e j r j d j j I 15 = 4.1 1.4 + 4..4 + 4.1. + 4.3.4 = 1 8 = 4 sehingga didapatkan kode SSRS dengan paraeter (1514) atas S dan banyaknya katakode di C S adalah 4 = 16. 3. KESIMPULAN Dari pebahasan diatas diperoleh sipulan sebagai berikut: 1. Kode SSRS (Subspace Subcode Reed-Soloon) adalah salah satu kelas dari kode nonbiner RS (Reed-Soloon) C 17
MATHunesa (Volue 3 No 3) 014 atas GF( ) dengan paraeter (n k 0 ) yang berisi hipunan katakode C yang seua koponennya berada di subruang GF( ) yang berdiensi ν isalkan S yang dinotasikan dengan C S.. Misalkan diensi C S atas GF() adalah K(C S) dan C S adalah banyaknya katakode di C S aka C S = K(CS) dan diensi untuk C S atas S adalah: k C S = 1 K C S = v log C S. Menggunakan teorea.5.1 diperoleh diensi biner kode C S yang dinotasikan dengan K(C S) adalah: K C S = S d j a j r j = e j r j d j dengan I n = hipunan seua bilangan bulat terkecil pada setiap koset siklotoik odulo n d j = banyaknya anggota koset siklotoik yang euat j e j = banyak bilangan bulat di J j = J Ω j dengan Ω j adalah koset siklotoik yang euat j a j = banyaknya bilangan bulat i sedeikian hingga j i od n J j = bilangan bulat positif terkecil sedeikian hingga n 1 sehingga banyaknya katakode di kode SSRS adalah d j In j a j r j e = j In j r j d j. DAFTAR PUSTAKA [1] Pretzel Oliver. 199. Error-Correcting Codes and Finite Fields. New York: Oxford University Press. [] Lint J.H. Van. 1998. Introduction to Coding Theory Third Edition. New York:Springer-Verlag Berlin Heidelberg. [7] Kholifah Lia. 01. Konstruksi Kode LDPC (Low Density Parity Check) dari Koset Siklotoik. Surabaya: UNESA(Tidak diterbitkan). [8] Robinson D.J.S. 003. An Introduction to Abstract Algebra. Berlin: Walter de Grusyter. [9] Lidl Rudolf and Harald Niederreiter. 1994. Introduction to Finite Fields and Their Applications. United Kingdo : Cabridge University Press. [10] Hersten I. N. 1996. Abstract Algebra 3 nd Edition. New Jersey : Prentice Hall Internasional Inc. [11] Fraleigh John B. 000. A First Course in Abstract Algebra 4 th Edition. New York : Addison-Wesley Publising Copany. [1] Gallian J.A. 1990. Conteporary Abstract Algebra nd Edition. New York : Spgelangganger Science and Business Media LLC. [13] R. J. McEliece. 1987. Finite Fields for Coputer Scientists and Engineers. Boston MA: Kluwer. [14] J. Gilbert Willia and W. Keith Nicholson. 004. Modern Algebra with application nd Edition. Canada: John Wileyand Son Inc. [15] Hattorio Masuksyuki dkk. 1998. Subspace Subcodes of Reed-Soloon Codes(Online)(http://authors.library.caltech.edu/6 79/1/HATieeetit98.pdf diakses pada 6 Septeber 013). [16] McEliece R.J. dan Soloon Gustave. 1994. Trace- Shortened Reed-Soloon Codes(Online) (http://to.jpl.nasa.gov/progress_report/4-117/117l.pdf diakses pada 16 Oktober 013) [3] Pless Vera. 1989. Introduction to The Theory of Error Correcting Codes Second Edition. New York: John Wiley and Sons. [4] Wicker Stephen B. 1995. Error Control Systes of Digital Counication and Storage. New Jersey: Prentice-Hall Inc. [5] Wibisono Gunawan dan Sari Lydia. 010. Teknik Pengodean Siste Kounikasi Dijital. Bandung: Rekayasa Sains. [6] Anton Howard dan Rorres Chris. 004. Aljabar Linear Eleenter Versi Aplikasi (Terjeahan). Jakarta : Penerbit Erlangga. 18