MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI

Transkripsi

1 MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI

2 SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan Koordinat Ruang Rn Vektor di dalam Rn Persamaan garis lurus dan bidang rata Ruang Vektor Field Ruang Vektor di atas suatu Field Ruang Vektor Bagian Vektor Bebas Linier dan Bergantungan Linier Kombinasi Linier dan Arti Kombinasi Linier secara ilmu ukur. Teorema-teorema mengenai Kombinasi Linier. Dimensi dan Basis.

3 SAP (2) Matriks Definisi dan Notasi Matriks Operasi pada Matriks Transpose dari suatu matriks Beberapa Jenis Matriks khusus Transformasi Elementer pada Baris & Kolom Matriks Ekivalen Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu matriks Rank Matriks Determinan Pendahuluan (Permutasi) Sifat-sifat Determinan Minor dan Kofaktor Ekspansi secara Baris dan Kolom Menghitung nilai Determinan dgn sifat-sifat Determinan

4 SAP (3) Matriks Invers Definisi matriks invers Matriks Singular, Non-singular Matriks Adjoint dan Invers Mencari Matriks Invers dgn Transformasi Elementer dan Partisi Invers pada matriks yang tidak bujur sangkar Persamaan-persamaan Linier Persamaan Linier dan Susunan Persamaan Linier. Susunan Persamaan Linier Homogen dan Penyelesaiannya. Susunan Persamaan Linier Non-homogen dan Penyelesaiannya

5 SAP (4) Transformasi Linier Pengertian Transformasi Pergantian Basis Transformasi Vektor Linier Ruang Peta dan Ruang Nol Produk Transformasi Transformasi Invers Transformasi Similaritas Eigenvalue dan Eigenvector Diagonalisasi Transformasi ortogonal Rotasi Transformasi Simetris

6 VEKTOR Vektor adalah Besaran yang memiliki besar dan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan : (b) ( b) 0

7 Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada Komponen vektor Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat Komponen vektor : a x a cos dan a y a sin Besar vektor a a a 2 x 2 y ax dan tan ay

8 Vektor satuan: Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda : iˆ, ˆj d a n kˆ

9 Perkalian vektor : Perkaliana vektor dengan skalar : Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akan menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah a jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s. Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar Product Dikenal sebagai : Dot product

10 Dot Product a.b a b c o s

11 RUANG VEKTOR

12 RUANG VEKTOR

13 SUBRUANG

14 RUANG VEKTOR KOMBINASI LINIER

15 RUANG VEKTOR BEBAS LINIER

16 RUANG VEKTOR BASIS & DIMENSI

17 MATRIKS Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolomkolom. a a... a n a... a a n... a... a mn a m1 m2 Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

18 Operasi Matriks 1. Operasi Kesamaan Dua matriks A dan B disebut sama, jika: a) A dan B sejenis b) Setiap unsur yang seletak sama , B, C A A = B, A C, B C

19 2. Penjumlahan dua matriks Definisi: Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan unsur-unsur cij, dimana terdapat hubungan: c a b ij ij ij. A a ij, B b ij, C c ij , B, C A A A 0 B 2 0 C

20 Sifat-sifat penjumlahan: Komutatif : A + B = B + A Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C 3. Perkalian dengan skalar ( ) Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( ) maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar ( ). A a ij, maka A = a ij.

21 Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar 1. (A + B) = A + B 2. ( + β ) A = A + β A 3. (β A) = β A

22 4. Perkalian dua matriks Definisi: Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p, maka hasilkali adalah matriks C (m x q) dengan unsur-unsur: c a b a b a b... a b ij i1 1 j i2 2 j i3 3 j in nj n c a b ij k 1 ik kj

23 Catatan: Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B. Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. Pada umumnya AB BA Contoh: 2 A 1 2 3, B 3, C A x B x3 3x1 1x1

24 2 3, B A C A xb x tdk terdefinisi 5 9 3x3

25 Macam-macam matriks 1. Matriks bujursangkar Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom 2 A 5 2 3, B Matrik satuan/ matriks identitas Matriks bujur sangkar Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

26 Contoh : 1 I , I A.I = I.A I.I = I 3. Matriks segitiga Matriks bujursangkar Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

27 Contoh : 1 A , B Matriks Tranpose Tidak perlu bujursangkar Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

28 Contoh : 1 A B 5 0 ~ 2, A 1 2 ~ 4 7, B

29 Sifat-sifat matriks transfose 1.(A B) A B 2.(A ) A 3. λ (A ) λ A 4.(AB) B A T T T T T T T T T T

30 Contoh 2 A , B AB (AB) A 1 0, B 2 1 T B A T T T (AB) 1 T 2 B A T T T 4 3

31 5. Matriks simetris ~ Matriks A disebut simetris apabila A A Matriks Bujur sangkar Contoh 1 2 2,

32 6. Matriks skew simetris ~ Matriks A disebut matriks skew simetri jika A A Bujur sangkar Contoh ,

33 ~, maka a Matriks Skew simetris A A Untuk I = j maka a ii a ii ij 2a a ii Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0 0 ji

34 7. Matriks Diagonal Matriks bujursangkar Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

35 9. Matriks Nol Tidak perlu matriks bujur sangkar Semua unsurnya nol 0 0 A =0 A+0=A A.B = 0, apakah A = 0?atau B = 0? atau keduaduanya nol

36 Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis Hij (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis Kij (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar 0, ditulis ( ) H i (A) ( ) Memperkalikan kolom ke i dengan 0, ditulis K i (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H ( )(A) ij

37 Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis ( ) K ij (A) Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah 1 kali baris ke i dengan 2 ( ) ( ) kali baris ke j, ditulis H i (A) j 1 2 Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)

38 Contoh: A , carilah matrik B yang dihasilkan (-1) (2),H,H, sederetan transformasi elementer H K (1) (2),K. Carilah B tersebut H ( 1) ( 2 ) H2-2 K (1) K (2) H

39 Invers Suatu Transformasi Linier Jika suatu transformasi elementer adalah: A = H -1(B) = H ij (B) ij A = K ij -1(B) = K ij (B) ( )-1 1/ A=H (B) = H i (B) i ( ) -1 1/ A=K i (B) = K i (B) A =H ( )-1 ( ) ij ij (B) = H (B) ( )-1 A = K ij ( ) (B) = K ij (B)

40 Contoh B , diperoleh dari A dengan sederetan transformasi elementer berturut - turut : H,H,K,K.Carilah A. (1) (2) K (1/2) K H H ( 1) A

41 Penggunaan OBE Mencari Rank Matriks Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol) Mecari invers matriks OBE ( A:I ) -1 ( I:A )

42 Contoh Cari rank matriks dari A (2) (1) H ( 1) H21 2 ( 2) 3 H31 1 ( 1) (2) H Maka rank matriks A = 2 0

43 DETERMINAN MATRIKS Misalkan det A = A := ad-bc Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian minor dan kofaktor. Ilustrasi: Minor komponen Kofaktor komponen adalah adalah

44 Dengan cara yang sama diperoleh Menentukan tanda + atau pada kofaktor, diperhatikan skema berikut : Diperoleh Definisi determinan matriks 3 x 3: Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks A.

45 Secara umum untuk matriks n x n: Atau dalam bentuk Atau dalam bentuk Contoh : Cara cerdas: pilih kolom kedua Pilih lagi kolom kedua

46 Adjoint matriks Misalkan A matriks n x n dengan kofaktor aij adalah Cij maka matriks disebut matriks kofaktor dari A, dan transposenya disebut adjoint A, ditulis adj(a). Contoh: Kofaktor A :

47 Invers matriks Invers matiks A adalah Contoh: diperhatikan kembali matriks A sebelumnya, mudah diperoleh det(a) = 64, jadi

48 Metoda Cramer untuk SPL Misalkan SPL Ax = b maka dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke j matriks A dengan vektor b. Contoh: Diperoleh Penyelesaiannya

49 REFERENSI Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willey and Sons, Inc., New York. Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to Error Correcting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers, Massachusetts, USA.