βeta -ISSN: 85-5893 e-issn: 54-458 Vol. 3 No. (Noember), Hal. 79-89 βeta DOI: htt://dx.doi.org/.44/betajtm.v9i.7 FUNCTIONALLY SMALL RIMANN SUMS (FSRS) DAN SSNTIALLY SMALL RIMANN SUMS (SRS) FUNGSI TRINTGRAL HNSTOCK KURZWIL DARI RUANG UCLID K RUANG BARISAN, ( <) Aiswita Abstract: I this aer we discuss Fuctioally Small Riema Sums (FSRS) roerties ed ssetially Small Riema Sums (SRS) roerties or Hestoc-Kurzweil itegrable uctios rom the uclidea saces ito the Sequeces sace,( ) Keywords: Hestoc itegrable uctios; uclidea saces; FSRS; SRS A. PNDAHULUAN Pada tahu 96, Hestoc da Kurzweil secara terisah megitlaa itegral Riema dega megubah ostata mejadi ugsi ositi da teryata itegral yag merea susu euivale. Oleh area itu itegral tersebut dieal dega itegral Hestoc-Kurzweil atau itegral Riema yag dierluas (Gordo, 994). Itegral ii medaat erhatia yag sagat besar dari ara eeliti, berbagai eelitia dilaua utu meggali siat-siat da aliasiya. Diatara siat tersebut adalah siat Fuctioally Small Riema Sums (FSRS) da ssetially Small Riema Sums (SRS). Pegertia FSRS utu ugsi berilai Real ada himua bilaga Real yag teritegral Hestoc diberia da dibuua oleh Lee (99). Kemudia tahu 995 Darmawijaya megembaga siat FSRS e SRS utu itegral Hestoc ada a, b. Idrati () megitlaaya utu ugsi berilai real ada ruag uclide berdimesi, emudia Suherma Seolah Tiggi Agama Islam Negeri Buittiggi Padag Sumatera Utara, Idoesia
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... (3) megembagaya utu ugsi berilai vetor ada ruag uclide berdimesi. Berdasara uraia di atas aa diselidii aaah siat FSRS da SRS masih berlau utu ugsi yag teritegral Hestoc dari ruag uclide e ruag barisa, ( < ). Himua semua bilaga real diotasia dega. Utu bilaga asli, meyataa himua semua asaga atas bilaga real, yaitu =.... ( actor) = x x,..., x : x da i i. Utu titi x, erseitara (eighborhood) titi x dega jari- jari r>, diotasia dega B ( x, r) da dideiisia B ( x, r) = y : y da x y r. Utu ( < ), sehigga meruaa olesi semua barisa x = x atau ditulis, x. (Kreyszig, 978). = x W, x Perlu dierhatia bahwa ugsi barisa ugsi (,,3,...) sehigga x W : meruaa dega :, utu setia x = (x) utu setia x. Beriut diberia deiisi, siat dasar da siat lajut dari itegral Hestoc dari ruag uclide e ruag barisa, ( < ). Deiisi. Diberia ugsi volume ada da sel. Fugsi : diataa teritegral Hestoc ada, ditulis dega R,, jia terdaat a dega siat utu setia bilaga terdaat ugsi ositi ada sehigga utu setia artisi Perro -ie D D, x Di, xi : i,,..., r ada berlau a 8 βeta Vol. 3 No. (Noember)
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... D ( x) ( a ( x i ) ( D ) a. a Selajutya ilai r i a yag dimasud di atas disebut ilai itegral- Hestoc ugsi ada di tulis dega a ( R) d. Deiisi. Diberia ugsi volume ada, i sel, da ugsi : utu setia, (=,,...). Barisa ugsi { } diataa teritegral- Hestoc sereta (Hestoc qui -itegrable) ada dega F sebagai rimitiya jia utu setia bilaga terdaat ugsi ositi ada sehigga utu setia artisi Perro - ie D D, x ada berlau D x D F,utu setia. Teorema 3. (Kriteria Cauchy) Diberia ugsi volume ada da sel. Fugsi R,, jia da haya jia utu setia bilaga terdaat ugsi ositi ada sehigga utu setia dua artisi D D, x da D D, x ada berlau D x) ( D ) D ( x) ( D ). ( Teorema 4. (Lemma Hestoc) Diberia ugsi volume ada da sel. Jia R,, dega F sebagai rimitiya, yaitu utu setia bilaga terdaat ugsi ositi ada sehigga D D, x ada berlau utu setia artisi Perro -ie D ( x) ( F( ), maa utu setia jumlah D. bagia dari D berlau ( x) ( F( ) Teorema 5. (Peluasa Harac) Diberia ugsi volume ada, sel, da ugsi :. Himua X meruaa himua tertutu di dalam da { i } meruaa barisa himua tertutu sederhaa yag tida salig tumag-tidih dega βeta Vol. 3 No. (Noember) 8
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... i \ X. Jia R X,, i setia i dega da R,, ( R ) maa d i i R,, da ( R ) d ( R ) ( ) x d R X i i i, utu d. Aibat 6. (Siat Cauchy) Diberia ugsi volume ada, sel, da ugsi :. Barisa { i } meruaa barisa himua sederhaa yag tida salig tumag-tidih dega i i, dega oit) sel.. Jia R,, meyataa himua titi-dalam (iterior i, utu setia i dega R ( ) maa R,, da d i i ( R ) d i ( R ) i d B. PMBAHASAN Beriut dibahas deiisi ugsi dari ruag uclide e ruag barisa, ( < ) yag memilii siat FSRS da SRS serta beberaa teorema yag terait dega siat FSRS da SRS.. Fuctioally Small Riema Sums (FSRS) Pembahasa siat Fuctioally Small Riema Sums ada itegral Hestoc dihubuga dega ugsi o egati yag teritegral Lebesgue ada sel. Utu memudaha embahasa selajutya terlebih dahulu diberia Teorema 7 di bawah ii. Teorema 7. Diberia ugsi volume ada da sel. Jia ugsi teritegral Hestoc ada sel maa terdaat barisa 8 βeta Vol. 3 No. (Noember)
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... himua tertutu, dega, da teritegral Lebesgue ada utu setia, (=,, ) Buti Fugsi F meyataa rimiti itegral Hestoc ugsi ada sel, maa F C da F ACG tertutu, dega, da F AC Hal ii beraibat F AC utu setia ' F BV utu setia. Lebih lajut dieroleh F x x. Berarti terdaat barisa himua utu setia., sehigga dieroleh hamir dimaa-maa ada utu setia. Jadi teritegral Lebesgue ada utu setia. Sebelum membahas lebih lajut, erlu dierhatia bahwa, ugsi sel,,... : teritegral Hestoc mutla ada sel jia ugsi da (mutlaya) teritegral Hestoc ada.,,... : Perlu juga diigat bahwa ugsi teritegral Lebesgue ada sel jia da haya jia ugsi teritegral Hestoc mutla ada sel. Selajutya diberia deiisi ugsi yag memuyai siat Fuctioally Small Riema Sums (FSRS) ada sel. Deiisi 8. Diberia ugsi volume ada, sel da ugsi : teruur-. Fugsi diataa memuyai siat Futioally Small Riema Sums (FSRS) terhada ada sel ditulis FSRS,, jia utu setia bilaga terdaat dega ugsi ta egati g teritegral Lebesgue ada da ugsi ositi ada dega siat utu setia artisi Perro -ie D D, x ada sel berlau x D D. x g x Teorema 9 dibawah ii memberia arateristi itegral Hestoc di dalam siat FSRS. βeta Vol. 3 No. (Noember) 83
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... Teorema 9. Fugsi teritegral Hestoc ada sel haya jia ugsi bersiat FSRS ada sel. Buti: jia da (Syarat cuu) Fugsi bersiat FSRS ada sel maa utu setia bilaga terdaat ugsi ta egati g yag teritegral Lebesgue da ugsi ositi ada dega siat utu setia artisi Perro - D D, x ada sel berlau ie x D D. x g x 4 Kemudia dideiisia ugsi h x h x dega x, utu x gx, utu yag laiya Fugsi h teruur da terdomiasi oleh ugsi g ada sel. Dietahui g teritegral Lebesgue ada sel maa h juga teritegral Lebesgue ada sel. Aibatya, ugsi h teritegral Hestoc mutla ada sel, sehigga terdaat ugsi ositi ada sel dega siat utu setia artisi Perro -ie D dad ada berlau D h( x) ( D ) D h( x) ( D ). 4 Diambil ugsi ositi dega rumus x mi x, x sehigga utu sebarag dua artisi Perro - ie D da D ada sel berlau D h ( x) ( D ) D h( x) ( D ) x D D + x g x D + x g x x D 84 βeta Vol. 3 No. (Noember)
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... D Berdasara riteria Cauchy. + x D D x D x g x x g x 4 4 4 D h( x) ( D ) D h( x) ( D ). ugsi teritegral Hestoc ada sel (Syarat erlu) Dietahui ugsi teritegral Hestoc ada sel maa teruur ada sel. Meurut Teorema 7 terdaat barisa himua tertutu dega da ugsi teritegral Lebesgue ada utu setia. Selajutya dideiisia ugsi x x, utu setia x, utu yag laiya Utu setia, ugsi teritegral Hestoc ada sel sehigga utu setia bilaga terdaat bilaga ositi dega siat utu setia berlau R d R. d Di lai iha area utu setia, terdaat ugsi ositi ada sel dega siat utu setia artisi Perro -ie D ada berlau D ( x) ( R d. Fugsi teritegral Hestoc ada sel sehigga terdaat ugsi ositi ada sel dega siat utu setia artisi Perro -ie D ada berlau ( x) ( R d D. βeta Vol. 3 No. (Noember) 85
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... Dideiisia ugsi oegati g dega x x g. Karea g oegati da teruur ada sel maa g teritegral Lebesgue ada sel. Selajutya diambil mi x x maa utu setia x, Partisi Perro -ie D ada berlau D x D D x D D x D x g x R d R x g x D d + ( x) ( R d + x D R D x g d gx D R 3. Dega demiia meurut Teorema 9 di atas terdaat adaya euivalesi atara ugsi yag teritegral Hestoc dega ugsi yag memuyai siat FSRS.. ssetially Small Riema Sums (SRS) Siat SRS meyataa bahwa ugsi teritegral Hestoc ada sel daat dideati dega ugsi teritegral Lebesgue ada sel. Siat ii memerlemah syarat ugsi teritegral Lebesgue di dalam siat FSRS yag meruaa ugsi ta egati. Deiisi. Diberia ugsi volume ada, sel da ugsi siat ssetially Small Riema Sums (SRS) terhada ada sel ditulis SRS,, jia utu setia bilaga terdaat : teruur- ada sel. Fugsi diataa memuyai dega ugsi teritegral Lebesgue g da ugsi ositi ada dega siat D D, x ada sel berlau utu setia artisi Perro -ie 86 βeta Vol. 3 No. (Noember)
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... x D D. x g x Teorema dibawah ii memberia arateristi itegral Hestoc di dalam siat SRS. Teorema. Fugsi teritegral Hestoc ada sel jia da haya jia ugsi bersiat SRS ada sel. Buti: (Syarat Perlu) Dietahui teritegral Hestoc ada sel maa berdasara Teorema 9 bersiat FSRS ada sel dega ata lai utu setia bilaga terdaat ugsi ta egati g yag teritegral Lebesgue da ugsi ositi ada dega siat utu setia artisi D D, x ada sel berlau Perro -ie x D D. x g x Deiisia ugsi h dega rumus x, utu x g x hx, utu yag laiya Fugsi h teritegral Lebesgue ada sel, aibatya utu setia artisi D D, x ada sel berlau Perro -ie D x D D x D x h x x D D. x g x x h x Dega ata lai terbuti bersiat SRS ada sel. (Syarat cuu) Fugsi bersiat SRS ada sel berarti utu setia bilaga terdaat ugsi teritegral Lebesgue g da ugsi ositi ada dega siat utu setia artisi Perro ada sel berlau -ie D D, x βeta Vol. 3 No. (Noember) 87
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... x x D D. g x Fugsi g teritegral Lebesgue ada sel maa terdaat ugsi ositi ada dega siat utu setia dua artisi Perro ada sel berlau D x D x. -ie D da D D Diambil ugsi ositi dega rumus x mi x x,, aibatya utu setia dua artisi Perro -ie D da D ada sel berlau D x D x D D D D x D + D x D x g x + x g x x D D x D D x g x x g x D gx D gx D D 3. Berdasara riteria Cauchy teritegral Hestoc ada sel. Dega demiia meurut Teorema di atas terdaat adaya euivalesi atara ugsi yag teritegral Hestoc dega ugsi yag memuyai siat SRS. C. SIMPULAN Berdasara embahasa di atas daat disimula bahwa siat FSRS da SRS masih berlau utu ugsi yag teritegral Hestoc dari ruag uclide e ruag barisa, ( <). Permasalaha-ermasalaha lai yag erlu diembaga atara lai ajia megeai teorema eovergea Small Riema Sums ugsi 88 βeta Vol. 3 No. (Noember)
Aiswita, FSRS da SRS Fugsi Teritegral Hestoc-Kurzweil... yag teritegral Hestoc dari ruag uclide e ruag Barisa,( < ) serta aliasiya ada disili ilmu lai. DAFTAR PUSTAKA Gordo, R. A. (994). The itegral o lebesque, dejoy, erro ad hestoc. USA : America Mathematical Society. Idrati, Ch. R. (). Itegral Hestoc-Kurzweil di dalam ruag euclide berdimesi-. Disertasi. Uiversitas Gadjah Mada, Idoesia Kreyszig,. (978). Itroductio uctioal aalysis with alicatio. Joh Wiley ad Sos Lee, P. Y. (989). Lazhou lectures o hestoc itegratio. Sigaore: Word Scietiic. Peer, W. F. (993). The Riema aroach to itegratio. New Yor: Cambridge Uiversity Press. Royde, H. L. (989). Real Aalysis, third editio. New Yor: Macmilla Publishig Comay. βeta Vol. 3 No. (Noember) 89