UNIVERSITAS INDONESIA DISTRIBUSI BANYAK SINGGAH DARI SUATU RANDOM WALK DAN UJI KERANDOMAN SKRIPSI RANTI NUGRAHENI

UNIVERSITAS INDONESIA DISTRIBUSI BANYAK SINGGAH DARI SUATU RANDOM WALK DAN UJI KERANDOMAN SKRIPSI RANTI NUGRAHENI 35475 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

UNIVERSITAS INDONESIA DISTRIBUSI BANYAK SINGGAH DARI SUATU RANDOM WALK DAN UJI KERANDOMAN SKRIPSI Diajua sebagai salah satu syarat utu memeroleh gelar sarjaa sais RANTI NUGRAHENI 35475 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Srisi ii adalah hasil arya sediri, da semua sumber bai yag diuti mauu diruju telah saya yataa dega bear. iii Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

HALAMAN PENGESAHAN Srisi ii diajua oleh Nama : Rati Nugrahei NPM : 35475 Program Studi : Sarjaa Matematia Judul Srisi : Distribusi Baya Siggah dari Suatu Radom Wal da Uji Keradoma Telah berhasil diertahaa di hadaa Dewa Peguji da diterima sebagai bagia ersyarata yag dierlua utu memeroleh gelar Sarjaa Sais ada Program Studi Sarjaa Matematia, Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam DEWAN PENGUJI Ditetaa di : Deo Taggal : 4 Jui iv Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

KATA PENGANTAR Puji syuur eada Allah S.W.T yag Maha egasih da Maha eyayag, atas segala berah da aruia-nya sehigga eulisa srisi ii daat selesai. Selai itu, Peulis meyadari bahwa srisi ii selesai atas batua da duuga dari berbagai iha. Peulis megucaa terima asih eada: () Ibu Dra. Netty Suadi, M.Si. sebagai embimbig eulis dalam roses egerjaa srisi ii, atas batua egerjaa, esabara, watu luag, egorbaa, asihat, da ertologa yag besar dalam megerjaa srisi da membimbig eulis. Terima asih atas semua elajara yag telah Ibu Netty beria. Semoga eulis mamu megamalaya da mejadi ribadi yag lebih bai lagi. Maaf atas semua esalaha yag erah terjadi. () Ibu Mila Novita, M.Si. sebagai embimbig edua eulis dalam eulisa tugas ahir ii. Terima asih atas esabara, watu luag da masua yag diberia selama roses egerjaa srisi ii. (3) Ibu Siti Nurrohmah sebagai embimbig aademi selama eulis melasaaa uliah. Terima asih atas esediaa watu, etulusa, da esabara dalam membimbig eulis, da atas segala asihat yag diberia eada eulis. (4) Baa Yudi Satria selau Keala Dearteme Matematia da Ibu Rahmi Rusi selau Seretaris Dearteme Matematia yag telah baya memberia batua eada eulis. (5) Ibu Dra. Riati Setiadi, M.Si, Ibu Dra. Sasya Mary, M.Si, Ibu Dr. Dia Lestari, Ibu Fevi Novaiza, M.Si, da Ibu Sarii Abdullah, M.Si. Terima asih atas duuga semagat da iformasi yag bergua bagi eulis dalam roses egerjaa tugas ahir ii. (6) Seluruh dose yag telah megajar eulis da memberia semagat serta batua yag diberia. (7) Seluruh aryawa Dearteme Matematia FMIPA UI, terima asih atas segala batua yag diberia. v Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

(8) Ibu u yag au sayagi, terima asih atas asih sayagya eada eulis, semoga au cuu membuat ibu bagga. (9) Tema-tema Matematia UI, hususya agata 5, atas egalama yag telah alia beria selama masa uliah. () Tema-tema seerjuaga dalam megerjaa srisi, atas batua iformasi da doroga semagat yag telah diberia. Keada seluruh iha yag telah berjasa eada eulis yag tida eulis sebuta di atas, Allah megetahui semua ebaia alia, terima asih. Utu seluruh iha yag telah eulis sebuta di atas, da iha yag tida disebuta, semoga Allah selalu membimbig da memberia hidayahya eada alia, da mejadia segala amal bai alia sebagai eyelamat bagi alia di duia da ahirat. Peulis moho maaf aabila diemudia hari ditemua esalaha atau euraga yag tida disegaja dalam srisi ii. Peulis vi Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas aademi, saya yag bertada taga di bawah ii: Nama : Rati Nugrahei NPM : 35475 Program Studi : Sarjaa Matematia Dearteme : Matematia Faultas : Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Jeis arya : Srisi demi egembaga ilmu egetahua, meyetujui utu memberia eada Ha Bebas Royalti Noeslusif (No-eclusive Royalty Free Right) atas arya ilmiah saya yag berjudul : Distribusi Baya Siggah dari Suatu Radom Wal da Uji Keradoma beserta eragat yag ada (jia dierlua). Dega Ha Bebas Royalti Noeslusif ii berha meyima, megalihmedia/format-a, megelola dalam betu agala data (database), merawat, da memubliasia tugas ahir saya selama teta mecatuma ama saya sebagai eulis/ecita da sebagai emili Ha Cita. Demiia eryataa ii saya buat dega sebearya. Dibuat di : Deo Pada taggal : 3 Juli Yag meyataa (Rati Nugrahei) vii Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

ABSTRAK Nama : Rati Nugrahei Program Studi : Matematia Judul : Distribusi Baya Siggah dari Suatu Radom Wal da Uji Keradoma Radom wal sederhaa meruaa suatu roses stoasti yag memeuhi atura ratai Marov. Pada radom wal sederhaa daat dibetu suatu variabel baya siggah di suatu state ada satu utara berhigga. State disii meruaa ilai dari jumlah umulatif radom wal. Dalam srisi ii aa dibahas distribusi dari baya siggah di suatu state ada satu utara berhigga dari sebuah radom wal sederhaa. Distribusiya adalah distribusi geometri termodifiasi di ol. Distribusi baya siggah aa dialiasia utu melaua uji eradoma ada barisa bilaga bier berhigga. Kata Kuci : radom wal, baya siggah, distribusi geometri termodifiasi di ol, uji eradoma, uji chi-suare. iii +73 halama ; gambar ; 8 tabel Daftar Pustaa : 8 (993-) ABSTRACT Name : Rati Nugrahei Program Study : Mathematics Title : Distributio of The Number of Visits of A Radom Wal ad Radomess Test. Simle radom wal is a stochastic rocess that meets the Marov chai roerty. I a simle radom wal ca be established a umber of visits variable withi a ecursio to a give state. State here the value of the cumulative radom wal. I this aer will discuss the distributio of the umber of visits withi a ecursio of a simle radom wal to a give state. The distributio of the umber of visits is zero-modified geometric. The distributio of the umber of visits is alied for testig radomess o a fiite biary seuece. Keywords : radom wal, umber of visits, zero-modified geometric distributio, testig radomess, chi-suare test. iii+73 ages ; ictures ; 8 table Bibliograhy : 8 (993-) viii Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

DAFTAR ISI HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv KATA PENGANTAR... v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... vii ABSTRAK... viii DAFTAR ISI... i DAFTAR GAMBAR... i DAFTAR TABEL... ii DAFTAR LAMPIRAN... iii BAB PENDAHULUAN.... Latar Belaag.... Perumusa masalah... 3. 3 Tujua Peulisa... 3. 4 Pembatasa Masalah... 3. 5 Sistematia Peulisa... 4 BAB LANDASAN TEORI... 5. Proses Stoasti... 5. Proses Marov... 5. 3 Radom Wal Sederhaa... 8. 4 Teori Permaia.... 5 Putara (Cycle).... 6 Distribusi Geometri Termodifiasi di Nol... 5. 6. Distribusi Geometri Umum... 5. 6. Distribusi Geometri Termodifiasi di Nol (Zero-modified Geometric Distributio)... 8. 7 Chi-Suare Goodess of Fit... 3 BAB 3 BANYAK SINGGAH... 34 3. Fugsi Probabilitas Baya Siggah... 34 i Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

3. Distribusi Baya Siggah... 5 3. 3 M.g.f, Mea, da Variasi Baya Siggah... 53 BAB 4 BANYAK SINGGAH PADA UJI KERANDOMAN... 55 BAB 5 KESIMPULAN... 64 DAFTAR PUSTAKA... 65 Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

DAFTAR GAMBAR Gambar. : Cotoh ergeraa suatu artiel secara aca ada garis Real aabila diaita dega watu.... Gambar 4. : Grafi S... 58 i Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

DAFTAR TABEL Tabel. Model tabulasi data yag diguaa ada uji Chi-Suare.... 3 Tabel 3. Pejelasa Notasi... 4 Tabel 3. Hubuga atara I dega syarat utu... 4 Tabel 4. Barisa bier ε, X, S, da S.... 57 Tabel 4. Freuesi masig-masig state dalam setia utara.... 59 Tabel 4. 3 Tabel v utu cotoh ilustrasi.... 6 Tabel 4. 4 Nilai-ilai Probabilitas,,,,, 5.... 6 Tabel 4. 5 Hasil erhituga statisti uji χ utu masig-masig state.... 6 ii Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

DAFTAR LAMPIRAN Lamira... 66 Lamira... 67 iii Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

BAB PENDAHULUAN. Latar Belaag Radom wal meruaa bagia dari roses stoasti yag memilii baya eguaa. Pada bidag fisia, radom wal diguaa utu memodela gera Brow (gera radom suatu artiel ada zat cair atau gas), selai itu ada bidag eoomi, radom wal serig diguaa utu memodela harga saham. Terdaat berbagai macam model radom wal salah satuya adalah model radom wal sederhaa (radom wal dimesi satu). Radom wal sederhaa adalah model gera aca artiel (gera Brow) ada suatu garis Real, dimaa: Partiel tersebut bergera mulai Partiel bergera satu uit e atas dega robabilitas da satu uit e bawah dega robabilitas (- ) utu satu satua watu. Partiel tersebut bergera satu uit e atas atau e bawah dega robabilitas yag sama utu lagah selajutya. Gambar. : Cotoh ergeraa suatu artiel secara aca ada garis Real aabila diaita dega watu. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

Aabila ada gera radom wal sederhaa S meruaa osisi artiel di garis Real ada saat da artiel bergera mulai ada garis Real, maa gera radom wal sederhaa tersebut daat diyataa dega jumlah umulatif, yaitu : S X + X + + X dimaa : X i adalah gera aca artiel ada saat e-i da meruaa variabel radom ideede (i,,, ) X i + dega robabilitas, X i dega robabilitas. Selajutya, ada model radom wal sederhaa daat dibetu suatu utara (cycle) yaitu, aabila diambil ilai sebagai osisi awal maa satu utara ada radom wal aa berisi barisa osisi artiel dari osisi awal samai embali lagi meuju osisi di garis real. Sehigga emudia daat dibuat suatu barisa utara (cycle), seerti beriut : S,..., S, S,..., S,... dimaa: diguaa asumsi S, mi,, mi,, S 3 mi,, S. 3... S, Pada utara yag berhigga, didefiisia suatu variabel baya siggah, ( ), yaitu : # :, S, Z, Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

3 Baya siggah, ( ), meyataa beraa serig suatu artiel medatagi (siggah) osisi di garis Real. Pada satu utara yag berhigga, ( ) dega, jia da haya jia radom wal {S } mecaai osisi (level), lalu ( ) ali lagi mecaai osisi sebelum ahirya embali e osisi. Baya siggah ( ) daat diguaa utu meguji eradoma dari suatu barisa bilaga bier berhigga,,...,. Meguji eradoma ada barisa bilaga bier memilii baya mafaat, terutama dalam bidag Kritografi.. Perumusa masalah. Bagaimaaah fugsi robabilitas dari variabel baya siggah ( )?. Bagaimaa egguaa baya siggah, ( ), terutama dalam melaua uji eradoma ada barisa bilaga bier berhigga,,...,?. 3 Tujua Peulisa. Mecari fugsi robabilitas dari variabel baya siggah ( ).. Megguaa baya siggah, ( ), utu melaua uji eradoma ada suatu barisa bilaga bier berhigga,,...,.. 4 Pembatasa Masalah. Radom wal yag diguaa adalah model radom wal sederhaa (radom wal dimesi satu).. Barisa bilaga yag diuji meruaa barisa bilaga bier berhigga. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

4. 5 Sistematia Peulisa Srisi ii ditulis mejadi 5 Bab, dimaa : BAB BAB BAB 3 BAB 4 BAB 5 : Bab ii berisi latar belaag, ermasalaha, tujua, da batasa masalah. : Pada Bab ii ditulis beberaa ladasa teori utu mecari baya siggah ( ), yaitu megeai radom wal sederhaa, teori ermaia, utara (cycle) da distribusi geometri termodifiasi di ol. Selai itu, dibahas juga megeai uji chi-suare sebagai dasar utu melaua uji eradoma dega megguaa baya siggah. : Pada Bab 3 dijelasa cara medaata fugsi robabilitas baya siggah ( ), emudia ditetua jeis distribusiya, fugsi embagit momet (m.g.f) utu baya siggah, higga mea da variasiya. : Pada Bab 4 diberia cotoh ilustrasi bagaimaa cara megguaa baya siggah utu melaua uji eradoma ada barisa bilaga bier berhigga. : Bab terahir adalah bab eutu yag berisi esimula yag dieroleh dari eelitia, serta sara utu eelitia selajutya. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

BAB LANDASAN TEORI Pada bab ii aa dibahas beberaa teori dasar yag aa diguaa utu mecari fugsi robabilitas baya siggah baya siggah aa dibahas lebih lajut ada Bab 3.. Mecari fugsi robabilitas. Proses Stoasti Proses stoasti meruaa eluarga dari variabel radom X t, dimaa t adalah suatu ides yag berada ada himua ides T yag sesuai.[taylor,karli.998. Hal.5] Suatu roses stoasti X biasa diotasia dega X { X(t), tt } atau X { X t, tt }, dimaa himua T meruaa ruag ides dari roses stoasti X da ides t ada roses stoasti serig diiterretasia sebagai watu. Selai itu ada roses stoasti, ilai dari variabel radom X t disebut eadaa (state) da himua semua ilai X t yag mugi disebut ruag eadaa (ruag state). Pada roses stoasti, jia himua ides T meruaa suatu himua terhitug maa X adalah roses stoasti dega watu disrit. Da aabila T meruaa himua yag otiu maa X adalah roses stoasti dega watu otiu. Selai itu, jia ilai dari X t daat dihitug maa disebut roses stoasti dega state disrit. Begitu juga sebaliya, jia X t berilai otiu maa disebut roses stoasti dega state otiu.. Proses Marov Suatu roses Marov {X t } meruaa suatu roses stoasti dega atura yaitu, jia diberia ilai dari X t, maa ilai dari X S utu s > t tida diegaruhi oleh ilai dari X u dimaa u < t. Atau dega arataa lai, 5 Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

6 robabilitas dari ejadia masa yag aa datag, haya diegaruhi oleh ejadia saat searag yag telah dietahui, sehigga ejadia masa lalu tida daat memegaruhi ejadia masa dea. Oleh sebab itu, berdasara defiisi roses Marov diatas, aabila terdaat suatu roses Marov yag ruag state-ya himua higga atau himua yag terhitug (disrit), da himua ides watuya yaitu T (,,,...) aa diamaa ratai Marov dega watu disrit (discrete time Marov chai). Dalam betu formal, atura ratai Marov daat diyataa sebagai : P X j X i P X j X i,..., X i, X i utu setia ides watu da setia state i,..., i, i, j (..). Ruag state dari ratai Marov biasaya diyataa dega bilaga bulat o-egatif {,,, } da biasaya diataa bahwa X berada di state i ada saat jia X i. Probabilitas bahwa X + berada di state j dega diberia bahwa X berada di state i disebut robabilitas trasisi -lagah (oe-ste trasitio robability) da diotasia dega P. Dega ata lai :, ij P Pr { X + j X i },, i,j (..), ij Notasi, ij P ii meegasa bahwa secara umum robabilitasrobabilitas trasisi meruaa fugsi yag tida haya diegaruhi oleh state awal da state ahir, tetai fugsi ii juga diegaruhi oleh watu dari trasisi. Aa tetai jia robabilitas trasisi -lagah ii ideede terhada variabel watu, maa daat diataa bahwa ratai Marov memilii robabilitasrobabilitas trasisi yag stasioer (statioary trasitio robabilities). Berdasara ejelasa diatas maa, P ij ij P meyataa bahwa robabilitas trasisi -lagah ideede terhada. Sedaga P ij adalah robabilitas bersyarat bahwa ilai state megalami satu trasisi dari i e j dalam satu ercobaa. Nilai dari robabilitas bersyarat P ij biasa disusu dalam sebuah matris seerti beriut : Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

7 P P P P P 3 P P P P 3 P P P P 3 P P P P i i i i3 dimaa P P ij meruaa matris Marov atau matris robabilitas trasisi - lagah dari roses Marov. Pada matris Marov P, barisa e-i (i,,, ) adalah distribusi robabilitas ilai-ilai dari X + dega syarat bahwa X i. Jia ilai-ilai dari state adalah berhigga maa P meruaa suatu matris ersegi yag berhigga. Selai itu ada matris Marov P, area robabilitas bersifat o-egatif da roses harus bertrasisi e suatu lagah, maa jelas bahwa ilai-ilai P ij memeuhi odisi sebagai beriut :. Pij, utu i, j,,,. Pij, utu i,,, j Telah dietahui bahwa P ij meruaa robabilitas trasisi -lagah, maa selajutya aa didefiisia robabilitas trasisi -lagah yag diotasia dega P ij. Notasi Pij meyataa robabilitas bahwa roses berada ada eadaa (state) i meuju e eadaa j dalam -lagah. Jadi P ij Pr { X m+ j X m i }, m,. (..3) Probabilitas trasisi -lagah jia dihubuga dega robabilitas trasisi -lagah, maa aa didaat: Buti: P ij P ij PP Pr {X j X i} i ( ) j, dega diguaa (), jia i j Pij, jia i j Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

8 Pr X j, X i Pr X i, area robabilitas bersyarat Pr X j, X,, X, X i Pr X Pr X j, X, X i Pr X i Pr X j, X, X i Pr X i i, area.d.f marjial, area sifat otasi sigma Pr X j, X, X i Pr X, X i Pr X i Pr X, X i Pr X j, X, X i Pr X, X i Pr X, X i Pr X i, area.d.f marjial Pr X j X, X i Pr X X i bersyarat Pr X j X, X i Pr X X i dimaa,,,, area robabilitas, diguaa ermisala P P ( ) j i ( ) PP i j (..4) Setelah megetahui beberaa sifat da atura ratai Marov ii, selajutya aa dibahas model radom wal sederhaa yag megguaa sifat ratai Marov.. 3 Radom Wal Sederhaa Model radom wal sederhaa meruaa model gera aca artiel (gera Brow) ada suatu garis Real i, dimaa: Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

9 Partiel tersebut bergera mulai i Partiel bergera satu uit e atas dega robabilitas da satu uit e bawah dega robabilitas (- ) utu satu satua watu. Partiel tersebut bergera satu uit e atas atau e bawah secara bebas dari osisi sebelumya dega robabilitas yag sama utu lagah selajutya. Gambar. : Cotoh ergeraa suatu artiel secara aca ada garis real aabila diaita dega watu. Pada model radom wal sederhaa, arah gera artiel ada saat e-i daat diyataa dega variabel radom X i, dimaa: X i,dega robabilitas,dega robabilitas (i,, 3,...), X salig ideede i Selai arah gera artiel, osisi artiel ada saat e- ada radom wal daat diyataa dega S, dimaa S meruaa jumlah umulatif dari X i, yaitu S X + X + + X dega S Sebagai cotoh, daat dilihat osisi artiel saat watu e-5, yaitu berada di ( ) ada garis real meurut Gambar.3.. Posisi artiel ada saat e-5 ii bisa didaat sebab artiel melaua gera e atas ada watu e- da e-, Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

serta melaua gera e bawah ada watu e-3, e-4, da e-5. Kemudia aabila geraa ii diyataa dega variabel radom X i maa aa didaata X +, X +, X 3, X 4, da X 5. Sehigga osisi artiel ada saat e-5 aa diyataa dega S 5 X + X + X 3 + X 4 + X 5. Sesuai dega osisi artiel, maa robabilitas trasisi lagah artiel tersebut daat diyataa dega Pr{S + s + S s }. Aa dicari besarya robabilitas trasisi -lagah artiel sebagai beriut: Telah dietahui: S X + X + + X da S + X + X + + X + X +, (,, 3, ) Sehigga : Pr{S + s + S s } Pr{X +X + +X +X + s + X +X + +X s } Pr { s + X + s + } Pr {X + s + s } (.3.) Selajutya, dega melihat ada cara bergera da osisi dari artiel tersebut, maa osisi artiel daat diataa sebagai eadaa (state) dari ratai Marov. Beriut aa dibutia bahwa model radom wal sederhaa memeuhi atura ratai Marov. Buti: Aabila dietahui: S X + X + + X da S + X + X + + X + X + Sehigga : S + X + S + X + atau daat ditulis dega S + S Misala ilai dari variabel S adalah s (,,, ), sehigga S s, S + s + da X + s + s maa : Pr{S + s + S s, S - s -,, S s } Pr { S + X + s + S - + X s, S - + X - s -,, S + X s } Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

Pr {X + s + S X s S -, X - s - S -,, X s S } Pr {X + s + s X s s -, X - s - s -,, X s s } PrX s s, area sifat ideede X, X, X 3,, X Pr{S + s + S s }, area ersamaa (.3.). Pr{S + s + S s, S - s -,,S s,s s } Pr{S + s + S s } Dari uraia diatas, terbuti bahwa suatu suatu jumlah umulatif radom wal S X + X + + X meruaa ratai Marov, dimaa ilai dari jumlah umulatif S meruaa state utu ratai Marov ada model radom wal sederhaa. Sebelumya telah dietahui bahwa S meruaa model radom wal sederhaa yag memeuhi atura ratai Marov da telah didaat robabilitas trasisi -lagah utu erubaha osisi ada model radom wal sederhaa. Sehigga aabila robabilitas-robabilitas trasisi -lagah tersebut ditulisa dalam sebuah matris trasisi, maa aa didaat matris sebagai beriut: P state Setelah megetahui model radom wal sederhaa, selajutya aa dibahas teori ermaia ada elemara sebuah oi. Teori ermaia ii meruaa salah satu model ermaia yag daat didesrisia dega model radom wal sederhaa. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

. 4 Teori Permaia Adaia terdaat orag emai, emai A da emai B yag sedag bertaruh ada eluara dari elemara sebuah oi. Pada setia elemara, aabila mucul aga maa A memeroleh uit uag dari B, sebaliya aabila mucul gambar maa A membayar uit uag eada B. Kedua emai melaua ermaia ii samai salah satu dari merea ehabisa uag sehigga ermaia dihetia. Diasumsia bahwa eluara dari elemara oi bersifat ideede da setia hasil yag eluar utu aga memilii robabilitas sebesar serta utu gambar memilii robabilitas sebesar. Aabila total uag yag dimilii oleh emai A da emai B sebesar N serta salah satu emai memulai ermaia dega uag sebaya, maa aa ditetua robabilitas bahwa salah satu emai, yag bermai dega uag mula-mula sebesar, aa ehilaga semua uagya. Utu meyelesaia ermasalaha tersebut, aa diguaa teori ermaia. Pada teori ermaia, bayaya uag emai diyataa dega state. Aabila salah satu emai memulai ermaia dega baya uag sebesar maa saat mulai state-ya adalah. Kemudia jia emai tersebut meag dega robabilitas sebesar, maa emai ii medaata uit uag da state searag adalah +. Begitu ula sebaliya, jia emai tersebut alah dega robabilitas maa emai ii ehilaga uit uag da state searag adalah. Permasalaha tersebut aabila digambara dega matris robabilitas trasisi aa memilii matris sebagai beriut: Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

3 state 3 N N P N N Aa ditetua robabilitas salah satu emai aa ehilaga seluruh uagya dega megguaa teori ermaia. Pada teori ermaia, ealaha emai meruaa ejadia bahwa salah satu emai telah mecaai osisi (uag habis) sebelum mecaai osisi N. Utu meetua ealaha emai, aa diguaa T, yag meruaa watu miimum ermaia ertama ali mecaai osisi atau N. Atau dega ata lai T daat ditulisa sebagai beriut: T mi{ ; S atau S N} dimaa S meruaa bayaya uag dari salah satu emai ada saat. Aabila ejadia S T meruaa ejadia salah satu emai bagrut (uagya habis), maa robabilitas dari ejadia ii dega syarat baya uag mula-mula salah satu emai sebaya adalah u Pr{S T S } dega,,, N. Kemudia aabila emai yag mula-mula memilii uag sebaya melaua ali ermaia da megalami emeaga sehigga baya uagya saat ii adalah +, maa robabilitas meag emai ii sebesar Pr{S + S } da robabilitas emai ii aa ehilaga seluruh uagya sebesar Pr{S T S +} u +. Aabila emai tersebut megalami ealaha sehigga baya uagya saat ii adalah maa robabilitas alah emai ii adalah Pr{S Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

4 S } serta robabilitas emai ii aa ehilaga seluruh uagya sebesar Pr{S T S } u. Agar lebih mudah utu meghitug robabilitas seorag emai ehilaga seluruh uagya dega syarat uag mula-mula yag dimilii sebaya, maa aa dicari eulisa lai dari u sebagai beriut: u Pr{S T S } T, area.d.f marjial. j PS, S j S T, area robabilitas bersyarat j PS j S. PS S j, S T, area atura Marov j PS j S. PS S j PS S. PS S + T. P S S P S S T. u +. u + Berdasara uraia diatas, telah didaat ersamaa u. u +. u +,,,, N, (.4. ) dega batasa : u Pr{S T S } da u N Pr{S T S N} Karea ersamaa (.4.) masih dalam ersamaa reursif, maa ersamaa (.4.) aa ditulis embali dalam betu yag lebih sederhaa. Sehigga dari hubuga reursif ersamaa (.4.) da batasa u, u N aa dieroleh: u Buti : N Berdasara ersamaa (.4.) didaat : (.4.) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

5 u. u +. u + utu,,, N ( + ) u. u +. u +, area ( + ). u +. u. u +. u +. (u + u ). (u u ) (.4.3) Dega megguaa batua u u Maa dari ersamaa (.4.3) aa dieroleh : Utu :. ( u u ). ( u u ).. Utu :. ( u 3 u ). ( u u ). 3. 3 Utu 3 :. ( u 4 u 3 ). ( u 3 u ). 4. 3 4 3 Utu N : 3.(u N u N ).(u N u N ). N. N utu,, 3,, N N N N Kemudia aabila ditulisa embali u, u, u,, u N dega memasua syarat u, u N serta ejumlaha dari, maa aa didaat : u u u u + u u u ( + ) u + + 3 u 3 u u 3 ( + + ) u 3 + + + 3 Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

6 u u u ( + + + + ) u + + + + + N u N u N u N ( + + + + N ) u N + + + + N + N Sehigga berdasara ersamaa diatas daat dieroleh ersamaa umum dalam : u + + + 3 + + + + + + + +... Karea telah terdaat syarat u N maa aa didaat : (.4.4) u N +... N... N Dega mesubstitusia ersamaa (.4.5) e (.4.4) maa dieroleh : u...... N Karea jumlah dari barisa geometri : (.4.5) (.4.6)..., jia, jia Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

7 Maa ersamaa (.4.6) daat ditulis embali mejadi :, jia N u, jia N Persamaa (.4.) terbuti. (.4.7) Pada embahasa diatas, telah dicari robabilitas seorag emai alah dega syarat bayaya uag mula-mula salah satu emai sebaya. Selajutya aa dicari robabilitas seorag emai meag dega syarat baya uag mula-mula salah satu emai sebaya. Kejadia meag seorag emai ada teori ermaia, meruaa ejadia bahwa salah satu emai telah mecaai osisi N sebelum mecaai osisi (uag habis). Utu meetua emeaga seorag emai, aa diguaa T, yag meruaa watu miimum etia ermaia ertama ali mecaai osisi atau N. Atau dega ata lai T daat ditulisa sebagai beriut: T mi{ ; S atau S N} dimaa S meruaa bayaya uag dari salah satu emai ada saat. Aabila ejadia S T N meruaa ejadia salah satu emai meag, maa robabilitas dari ejadia ii dega syarat baya uag mula-mula salah satu emai sebaya adalah v Pr{S T N S } dega,,, N. Kemudia aabila emai yag mula-mula memilii uag sebaya melaua ali ermaia da megalami emeaga sehigga baya uagya saat ii adalah +, maa robabilitas meag emai ii sebesar Pr{S + S } da robabilitas emai ii aa medaata seluruh uag yag ada dalam ermaia yaitu Pr{S T N S +} v +. Aabila emai tersebut megalami ealaha sehigga baya uagya saat ii adalah maa robabilitas alah emai ii adalah Pr{S Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

8 S } serta robabilitas emai ii aa medaata seluruh uag yag ada dalam ermaia sebesar Pr{S T N S } v. Agar lebih mudah utu meghitug robabilitas seorag emai medaata seluruh uag yag ada dalam ermaia dega syarat uag mulamula yag dimilii sebaya, maa aa dicari eulisa lai dari v sebagai beriut: v Pr{S T N S } T, area.d.f marjial. j PS N, S j S T, area robabilitas bersyarat j PS j S. PS N S j, S T, area atura Marov j PS j S. PS N S j PS S. PS N S + T. P S S P S N S T. v +. v + Berdasara uraia diatas, telah didaat ersamaa v. v +. v +,,,, N, (.4.8 ) dega batasa : v Pr{S T N S } da v N Pr{S T N S N} Karea ersamaa (.4.8) masih dalam ersamaa reursif, maa ersamaa (.4.8) aa ditulis embali dalam betu yag lebih sederhaa. Berdasara (.4.8 ) telah dieroleh : v. v +. v +, utu,,, N. ( + ) v. v +. v +, area ( + ). v +. v. v +. v +. (v + v ). (v v ) (.4.9) Dega megguaa batua z v v utu,, 3,, N Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

9 Maa dari ersamaa (.4.9) aa dieroleh : Utu :. ( v v ). ( v v ). z. z z z Utu :. ( v 3 v ). ( v v ). z 3. z z 3 z Utu 3 : z. ( v 4 v 3 ). ( v 3 v ). z 4. z 3 z 4 z 3 Utu N : 3 z.(v N v N ).(v N v N ). z N. z N z N z N N z Kemudia aabila ditulisa embali v, v, v,, v N dega memasua syarat v, v N serta ejumlaha dari z, maa aa didaat : z v v v v z z v v v ( z ) v z + z z 3 v 3 v v 3 ( z + z ) v 3 z + z + z 3 z v v v ( z + z + + z ) v z + z + + z + z z N v N v N v N (z + z + + z N ) v N z + z + + z N + z N Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

Sehigga berdasara ersamaa diatas daat dieroleh ersamaa umum dalam : v z + z + + z + z z + z + z + + z... z (.4.) Karea telah terdaat syarat v N maa dari ersamaa (.4.) aa didaat : v N z... N... N z Dega mesubstitusia (.4.) e (.4.) maa dieroleh : v...... N Karea jumlah dari barisa geometri : (.4.) (.4.)..., jia, jia Maa ersamaa (.4.) daat ditulis embali mejadi : Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

v, jia N N, jia N Jadi dari ersamaa (.4. ) dieroleh robabilitas seorag emai meag dega syarat baya uag mula-mula salah satu emai sebaya : Pr{S T N S } v N (.4.3). 5 Putara (Cycle) Pada model radom wal sederhaa, telah dietahui cara bergera da osisi artiel ada saat e-. Selajutya, dega melihat ada osisi artiel, aa didefiisia suatu utara (cycle). Beriut aa diguaa defiisi cycle ada matematia disrit. Sebelum medefiisia cycle, aa terlebih dahulu didefiisia jalur. Pada matematia disrit, sebuah jalur dari a e b ada suatu graf G meruaa sebuah barisa dari ruas-ruas (, ), (, ), (, 3 ),, ( -, ) di G, dimaa,,,, -, meruaa titi-titi hubug atar ruas, bilaga bulat oegatif, a, da b. Selajutya sebuah jalur yag ditujua dega,,,, -, aa memuyai ajag sebesar. Suatu jalur dega ajag yag dimulai da diahiri ada titi yag sama disebut cycle. Sehigga dega megguaa defiisi cycle diatas, aabila diambil ilai sebagai osisi awal maa satu utara ada radom wal aa berisi barisa osisi artiel dari osisi awal samai embali lagi meuju osisi di garis real. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

Sebagai cotoh utara (cycle) dega megguaa Gambar.3., yaitu (S, S, S, S 3, S 4 ) adalah satu utara atau (S 4, S 5, S 6 ) juga meruaa satu utara. Aabila diguaa S sebagai titi awal artiel, S meruaa osisi (state) artiel dega ides meyataa watu, serta,, 3,. meyataa watu-watu etia artiel embali e osisi, maa daat dibuat suatu barisa utara (cycle) sebagai beriut: S,S,..., S, S,S,..., S,... dimaa :, mi,, mi,, S 3... S, da seterusya. Selajutya ada model radom wal sederhaa ii, aa dicari besarya robabilitas suatu artiel tida embali e osisi aabila dietahui Pr(X i +) ½, i,,3,. Jia robabilitas suatu artiel tida embali e osisi diyataa dega P, dimaa otasi meyataa bahwa artiel tida aa embali e osisi, maa ilai P yaitu : P P, + P, osisi. S S T S S T, T watu miimum artiel mecaai PS.P S S + PS.P S S T robabilitas bersyarat, area T. PS S +. PS S T T (. 5.) Aa dicari PS S da PS S T T dega megguaa ersamaa ada teori ermaia. Pada teori ermaia, P S S daat dijelasa dega robabilitas seorag emai bermai T dega uag mula-mula sebaya uit uag da etia bayaya uag emai tersebut telah mecaai, ermaia dihetia. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

3 Pada teori ermaia, robabilitas seorag emai bermai dega uag mula-mula sebaya uit uag da etia bayaya uag emai tersebut telah mecaai ermaia dihetia, sehigga dari ersamaa (.4.7) dieroleh : Pr{S T S } u dimaa, N meruaa total uag yag dimaia ada ermaia, da ermaia dimulai ada saat dega S. N (.5.) Pada teori ermaia ermaia dimulai ada saat dega S, amu ada radom wal, artiel memulai lagahya ada saat dega S, sehigga Pr{S T S } ada teori ermaia aa sama dega Pr{S T S } ada radom wal. Kemudia ada teori ermaia terdaat N, yag meruaa total uag ada ermaia. Aabila disesuaia dega teori ermaia, maa N seharusya meruaa state tertiggi ada model radom wal. Aa tetai, area state masimum ada ergeraa artiel tida ada, maa utu N daat dieroleh : utu > : Pr{S T S } lim N N (.5.3) utu < : Pr{S T S } lim N N (.5.4) Dieroleh dari ersamaa (.5.4) bahwa Pr{S T S }, ii berarti jia < da lagah ertama artiel dimulai utu state > maa artiel ada radom wal asti embali e state. Sehigga utu N ejadia tida mugi terjadi bila < da >. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

4 Sebelumya telah dieroleh PS S dicari PS S T T, maa selajutya aa dega megguaa ersamaa (.4.7) ada teori ermaia sebagai beriut : Pr{S T S -} u - N Kemudia area ada radom wal N maa dieroleh : utu > : N, dimaa. Pr{S T S -} u - utu < : lim N N (.5.5) Pr{S T S -} u - lim N N (.5.6) Dieroleh dari ersamaa (.5.5) bahwa Pr{S T S -}, ii berarti jia > da lagah ertama artiel dimulai utu state < maa artiel ada radom wal asti embali e state. Sehigga utu N ejadia tida mugi terjadi bila > da <. Telah didaat PS S da PS S (.5.) daat ditulis embali mejadi : utu > : T T maa ersamaa P. PS S +. PS S T T. +. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

5 utu < : P. PS S +. PS S. +. T Utu, didaat P. (.5.7) T. 6 Distribusi Geometri Termodifiasi di Nol. 6. Distribusi Geometri Umum Adaia terdaat ercobaa-ercobaa yag ideede dimaa setia ercobaaya memuyai robabilitas terjadiya suses sebesar, < <. Percobaa-ercobaa tersebut dilaua samai suses terjadi. Jia variabel X meruaa ejadia terjadiya suses ertama ada ercobaa, maa fugsi robabilitas utu X adalah Pr {X } ( ).,,, 3, (.6.) Persamaa (.6.) daat berlau sebab utu X berarti harus terjadi ejadia ertama meruaa ejadia-ejadia gagal, lalu ejadia suses baru terjadi ada ercobaa e-. Kemudia area hasil dari setia ercobaa telah diasumsia salig ideede maa ersamaa (.6.) daat berlau. Selai itu, dari ersamaa (.6.) juga daat dieroleh: PrX 3... (.6.) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

6 Dari ersamaa (.6.) diatas dieroleh hasil PrX, ii berarti bahwa aabila ercobaa dilaua terus meerus berulag ali, ejadia suses asti aa terjadi. Selajutya, setia variabel radom X yag.d.f ya seerti ersamaa (.6.) maa X aa diataa sebagai suatu variabel radom berdistribusi geometri dega arameter. Variabel radom X ii memilii m.g.f (momet geeratig fuctio) sebagai beriut: tx Mt Ee t e t e t t 3t 4t e e e e 3... t e t e t e e t (.6.3) Persamaa (.6.3) diatas meruaa m.g.f dari variabel radom X. Kemudia dari ersamaa (.6.3) diatas aa dicari turua ertama da turua edua terhada variabel t sebagai beriut: Dietahui maa Mt M ' t t e e dm t dt t t t t t e e e e t e Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

7 da M"t e e e t t t e t e t t e d M t dt d M ' dt t t t t t t e e e e e t e t t t t e e e e t e t e e t e 3 t 4 (.6.5) Kemudia dega megguaa ersamaa (.6.4) da (.6.5) diatas, daat dicari ilai utu mea da variasi dari variabel radom X sebagai beriut: E X M ' da Var(X) E X E X M" M' 3 3 (.6.4) (.6.6) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

8 (.6.7). 6. Distribusi Geometri Termodifiasi di Nol (Zero-modified Geometric Distributio) Telah dietahui sebelumya, aabila suatu variabel radom X berdistribusi geometri, maa aa memilii fugsi robabilitas seerti ada ersamaa (.6.). Dari fugsi robabilitas tersebut, daat dieroleh ilai robabilitas etia variabel radom berilai (ol) adalah (ol), Pr(X ). Namu, aabila dieroleh ada data hasil suatu eelitia bahwa variabel radom X berdistribusi geometri tetai dega ilai Pr(X ) >, maa harus dilaua modifiasi ada fugsi robabilitas dari ersamaa (.6.). Modifiasi dilaua sebab ilai Pr(X ), sehigga aa memegaruhi fugsi robabilitas dari variabel X. Karea modifiasi dilaua aibat terjadi erubaha robabilitas ada saat (X ), maa distribusi hasil modifiasi disebut distribusi geometri termodifiasi di ol (zero-modified geometric distributio). Fugsi robabilitas utu distribusi geometri termodifiasi di ol yaitu : M M dimaa : Pr M X M M.( )., (,, 3, ) (.6.8) termodifiasi. Pr, fugsi robabilitas utu X berdistribusi geometri M X >. robabilitas terjadiya suses, sama seerti ada distribusi geometri umum. Selajutya, variabel radom X yag berdistribusi geometri termodifiasi di ol aa memilii m.g.f sebagai beriut: tx Mt Ee t M e Pr X Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

9 e t Pr M X e t Pr M X M t M e M M t e M M t t 3t 4t e e e e 3... t e t e M M M M t e t e (.6.9) Dari ersamaa (.6.9) diatas, aa dicari mea da variasi dari variabel radom X yag berdistribusi geometri termodifiasi di ol. Utu mecari mea da variasiya, aa terlebih dahulu dicari turua ertama da turua edua dari ersamaa (.6.9) terhada variabel t sebagai beriut: Dietahui maa M 't da M "t Mt dm t dt M M e e t t M t t M t t e e e e t e M t t t e e e M t e t e t e (.6.) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

3 d M t dt d M ' dt t M t t M t t t e e e e e t e M t t M t t t e e e e e t e 4 M t t t t e e e e t e t e M t t e e 3 4 (.6.) Dari ersamaa (.6.) da (.6.) aa didaat mea da variasi dari variabel radom X yag berdistribusi geometri termodifiasi di ol sebagai beriut: E X M ' M M M da Var(X) E X E X (.6.) M" M' Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

3 M M 3 3 M M M M M M M M (.6.3). 7 Chi-Suare Goodess of Fit Uji Goodess of Fit adalah suatu egujia utu meetua aaah suatu variabel aca X coco dega distribusi teoriti tertetu. Uji ii didasara ada seberaa bai esesuaia/ecocoa atara freuesi yag teramati dalam data samel dega freuesi haraa yag didasara ada distribusi yag dihiotesisa. Pada uji Goodess of Fit, aabila diguaa distribusi Chi-Suare sebagai statisti ujiya maa disebut Chi-Suare Goodess of Fit. Sehigga Chi-Suare Goodees of Fit meruaa salah satu metode utu meetua seberaa bai samel yag diambil secara aca dari suatu oulasi yag tida dietahui distribusiya daat coco dega model distribusi tertetu. Pada egujia Chi-Suare Goodess of Fit, data samel dielomoa mejadi beberaa ategori. Misala terdaat N data samel yag didalamya terdaat O utu ategori, O utu ategori,, O r utu ategori r. Sehigga data samel diatas daat dielomoa dalam betu tabel seerti dibawah ii. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

3 Tabel. Model tabulasi data yag diguaa ada uji Chi-Suare. Kategori 3 r Total Freuesi Observasi O O O 3 O r N Pada tabel diatas, eelitia dielomoa e dalam r ategori yag tida salig tumag tidih (o-overlaig) sehigga mecau semua emugia lasifiasi. Kategori-ategori tersebut salig leas da mecau semua data samel. Kategori daat berbetu omial atau umeri. Setia ategori memuyai freuesi haraa tertetu, sesuai dega distribusi dibawah H bear. Sehigga setia ategori aa memilii robabilitas tertetu ula. Aabila robabilitas utu setia ategori diyataa dega π, π, π 3,., π r, maa ada saat hiotesis ol bear aa dieroleh freuesi haraa dari setia ategori yaitu Nπ, Nπ, Nπ 3,., Nπ r, dimaa N adalah total samel yag telah dieroleh. Utu melaua uji Chi-Suare Goodess of Fit diguaa beberaa lagah beriut: Asumsi :. Data samel adalah radom. Sala eguura miimal omial 3. Data utu melaua aalisis daat digambara dalam Tabel.. Hiotesis : H : Data samel coco dega model distribusi tertetu. H : Data samel tida coco dega model distribusi tertetu. Statisti Uji : r Statisti uji yag diguaa adalah i O i freuesi observasi ategori e i. E i freuesi haraa ategori e i Nπ i. O E i E i i, dimaa: Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

33 memilii distribusi edeata e distribusi Chi-Suare dega derajat bebas (r ), ( r ). Utu embutia bahwa memilii distribusi edeata e distribusi Chi-Suare dega derajat bebas (r ), lihat Lamira. Metode ii memuyai elemaha, salah satuya yaitu urag teat diguaa bila terdaat beberaa ategori yag memilii freuesi haraa yag relatif redah. Freuesi haraa miimum yag dierboleha adalah 5. Jadi jia ada ategori yag memilii freuesi haraa urag dari 5, maa ategori tersebut digabuga dega ategori yag berdeata samai memeuhi freuesi miimum. Atura Keutusa : Distribusi edeata dari χ utu samel besar adalah distribusi Chi- Suare dega derajat bebas r, dimaa r adalah jumlah ategori. Jia hasil statisti uji χ berilai sama atau lebih besar dari ilai dega tigat,( r ) sigifiasi α yag telah diilih, maa hiotesis ol ditola. Selai itu berarti hiotesis ol tida ditola. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

BAB 3 BANYAK SINGGAH Pada bab ii aa dibahas megeai baya siggah, mulai dari cara mecari fugsi robabilitas, jeis distribusiya, higga mea da variasiya. 3. Fugsi Probabilitas Baya Siggah Setelah megetahui defiisi utara (cycle) ada radom wal sederhaa, selajutya aa didefiisia baya siggah dalam satu utara. Aabila Z meyataa bilaga bulat, simbol #{a} meyataa bayaya aggota dari himua {a}, da variabel siggah artiel di state dalam satu utara, maa # :, S, Z, meyataa baya Aabila ditijau ada satu utara berhigga ( ), jia da haya jia radom wal {S } mecaai state, lalu ( ) ali lagi mecaai state sebelum mecaai state. Buti : Aa dibutia : a. Pada satu utara berhigga, jia ( ), maa radom wal {S } mecaai state, lalu ( ) ali lagi mecaai state sebelum mecaai state. b. Pada satu utara berhigga, jia radom wal {S } mecaai state, Buti a. Dietahui lalu ( ) ali lagi mecaai state sebelum mecaai state, maa ( )., maa # :, S, Z,. 34 Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

35 Karea # :, S, Z,, maa terdaat,,, sehigga berlau #,,..., da S, S,..., S. Dari S, S,..., S daat dilihat bahwa radom wal {S } mecaai level ada saat, lalu (-) ali lagi mecaai level ada saat, 3,,. Jadi eryataa a. terbuti. Buti b. Dietahui radom wal {S } mecaai state, lalu ( ) ali lagi mecaai state sebelum mecaai state. Ii berarti terdaat >, sehigga terjadi X X... X maa S mecaai state utu yag ertama ali. X X... X. Karea. Pada saat ii, berarti radom wal {S } Kemudia selajutya radom wal mecaai state sebaya (-) ali lagi, berarti aa ada, 3,, ( >. > > ) sehigga terjadi : X X... X X X... X S X X... X X X... X X X... X 3 S 3 X X... X S. Jadi ada radom wal {S } mecaai state, lalu ( ) ali lagi mecaai state sebelum mecaai state, terdaat ejadia S, S,..., S. Karea S, S,..., S, maa artiel ada radom wal siggah di state sebaya ali. Sehigga. Jadi eryataa b. terbuti. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

36 Selajutya aa dicari fugsi robabilitas dari variabel baya siggah sebagai beriut : TEOREMA :. Utu ½, P dimaa meyataa artiel tida siggah di state dalam utara.. Utu ½,,, 3, P a.,. b. P, atau,., utu >, > atau, utu dimaa meyataa artiel siggah di state sebaya ali dalam utara. 3. Utu ½, P 4. Utu ½,, P 4 Buti:. Buti Teorema Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

37 Telah dietahui bahwa variabel state, sehigga ilai dari itu, aa berlau: + P meyataa baya siggah artiel di yag mugi adalah (,,, ). Oleh area P P P (3.) Dari ersamaa (3.) diatas daat dilihat bahwa P meyataa robabillitas baya siggah artiel di state adalah,, berarti artiel tida siggah di state. Selajutya P meyataa robabilitas baya siggah artiel di state lebih besar dari,, berarti artiel erah siggah di state. Partiel erah siggah di state, berarti artiel miimum siggah ali di state. Aa dicari ilai dari P sebagai beriut : Adaia >. Telah dietahui S ada radom wal, sehigga utu lagah ertama, ilai S yag mugi adalah S atau S. Karea diguaa egadaia >, da berarti artiel miimum siggah ali di state maa : PS S P, T PS. P S S dimaa T adalah watu miimum artiel siggah di. Utu mecari P S S T T ( 3. ), aa diguaa ersamaa yag terdaat ada teori ermaia. Pada teori ermaia, P S S T daat dijelasa dega robabilitas seorag emai bermai dega uag mula-mula sebaya uit uag da etia bayaya uag emai tersebut telah mecaai, ermaia dihetia. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

38 Dari ersamaa (.4.3) ada teori ermaia dieroleh : v Pr{S T N S }, N dimaa : v meyataa robabilitas seorag emai aa bermai dega uag mula-mula sebaya uit uag da ermaia aa dihetia etia uag mecaai N. Karea ada ersamaa (3.) dierlua P S S dega teori ermaia: P ST S Sehigga ersamaa (3. ) daat ditulis embali mejadi : PS. P S S P T T, maa sesuai Kemudia utu < aa dieroleh: PS S P, T PS. P S S T (3. 3) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

39 Sehigga dari ersamaa (3. 3) da (3. 4) daat dieroleh : (3.4) P Dari ersamaa (3. ) da (3. 5) aa dieroleh :, berlau utu setia,. (3. 5) P (3.6) Teorema telah terbuti.. Buti Teorema Aa dicari P, yaitu robabilitas baya siggah artiel di state sebaya,. Baya siggah artiel di state sebaya, berarti artiel siggah di state sebaya ali. Probabilitas artiel siggah di state sebaya ali, daat dibagi mejadi odisi. Pertama, artiel siggah di state yag tida berilai ( ) sebaya ali, da utu selajutya artiel tida erah siggah di state. Probabilitas odisi ertama tersebut aa diotasia dega P,. Kemudia odisi edua yaitu, artiel siggah di state yag tida berilai ( ) sebaya ali da emudia siggah di state. Probabilitas dari odisi ii aa diotasia dega P,. Agar lebih jelas, lihat Tabel 3. dibawah. Sehigga dari ejelasa diatas, aa dieroleh: P, + P P, (3.7) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

4 Sebelumya ada Teorema telah dicari besar P, robabilitas baya siggah artiel di state sebaya,. Hal ii berarti artiel tida siggah di state. Selajutya robabilitas artiel tida siggah di state, juga daat dibagi mejadi odisi. Pertama, artiel tida siggah di state yag tida berilai ( ) da utu selajutya tida erah siggah di state. Probabilitas odisi ertama tersebut aa diotasia dega P,. Kemudia odisi edua yaitu, artiel tida siggah di state yag tida berilai ( ) da emudia artiel siggah di state. Probabilitas dari odisi ii aa diotasia dega Tabel 3. agar uraia diatas daat lebih jelas. P,. Lihat Sehigga dari ejelasa diatas aa dieroleh: P, + P P, (3.8) Tabel 3. Pejelasa Notasi Notasi State (ξ(), ρ ) Partiel tida siggah (ξ(), ρ < ) Partiel siggah (ξ(), ρ ) Partiel tida siggah (ξ(), ρ < ) Partiel siggah Partiel siggah ali Partiel siggah ali Partiel tida siggah Partiel tida siggah Pada ersamaa (3.8) dibutuha da P, P,, dimaa ilai-ilai dari robabilitas tersebut aa dicari dega cara seerti dibawah ii: dari ersamaa (3.) da (3.8) aa dieroleh : P P, P, (3.9) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

4 Aa dicari terlebih dahulu ilai dari batua variabel I beriut ii : P, dega megguaa, jia, atau, Adaia I, jia, atau, maa P, i P, I i, P, I, P, I, I I P, P P, P Utu mecari ilai dari I da P, dijelasa ada Tabel 3. dibawah ii. P, I Tabel 3. Hubuga atara I dega syarat utu. Syarat >, < I I >, > P, I sebab suaya syarat terjadi utu >, <, berarti artiel haruslah siggah di state > saja, sehigga ejadia tida mugi terjadi. Tetai berdasara ersamaa.5.4, ejadia tida mugi terjadi utu >, <. Jadi, area tida mugi terjadi utu >, < maa ejadia P, I sebab suaya syarat terjadi utu >, >, berarti artiel haruslah siggah di state > saja, sehigga ejadia tida mugi terjadi. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

4 asti terjadi. <, > P, I sebab suaya syarat terjadi utu <, >, berarti artiel haruslah siggah di state < saja, sehigga ejadia tida mugi terjadi. Tetai berdasara ersamaa.5.5, ejadia tida mugi terjadi utu <, >. <, < P, I sebab suaya syarat terjadi utu <, <, berarti artiel haruslah siggah di state < saja, sehigga ejadia tida mugi terjadi. Kesimula Jadi area tida mugi terjadi utu <, > maa ejadia asti terjadi. P, I I P, I Jadi dari Tabel 3. diatas aa didaat : P, I I P, P P, P ( I). P +. P ( I). P (3.) ( I)., dari ersamaa (.5.7) (3.) Jelas dari ersamaa (3.9), (3.5) da (3.) dieroleh : P P, P, Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

43 ( I). (3.) Aa dibutia Teorema, berarti aa dicari P, dega,,3,. Utu mecari P, maa berdasara ersamaa (3.7) aa dicari terlebih dahulu ilai dari P, da P,. P, P. P,. P. I.. I. I (3.3) P, P. P,. I P Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

44. I. I I.. I (3.4) Kemudia dari ersamaa (3.7), (3.3) da (3.4) aa dieroleh: P P, + P,. I + I.. I (3.5) Utu buti Teorema b ambil I, sehigga dari ersamaa (3.5) aa dieroleh: P. Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

45.. (3.6) Utu buti Teorema a ambil I, sehigga dari ersamaa (3.5) aa dieroleh: I.. I.., lihat lamira. Jadi P Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

46. +.. +....., lihat lamira. (3.7) Jadi dari ersamaa (3.6) da (3.7) terbuti Teorema. 3. Buti Teorema 3 Pada Teorema telah dieroleh P, utu ½. Sehigga utu mecari ilai P utu ½ yaitu : Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

47 P lim lim lim lim lim, megguaa atura l Hoital. 4 4 (3.8) Pada ersamaa (3.8) telah dieroleh Teorema 3 telah terbuti. P, sehigga Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

48 4. Buti Teorema 4 Pada Teorema telah dieroleh : P, utu, atau, a. b., utu, atau, dega ½,,, 3,. Utu mecari ilai yaitu sebagai beriut : P P utu ½ dega megguaa Teorema a. b. lim lim (3.9) (3.) Karea ada embutia Teorema 3 telah dieroleh ersamaa (3.9) mejadi lim, maa Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

49 P lim 4 (3.) Selajutya utu ersamaa (3.), aa dicari terlebih dahulu hasil dari lim sebagai beriut: lim lim lim lim Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

5 lim, megguaa atura l Hoital. 4 4 (3.) Karea dari ersamaa (3.) telah dieroleh maa ersamaa (3.) mejadi : lim, P lim 4 Karea dieroleh hasil yag sama dari ersamaa (3.) da (3.3) maa (3.3) P 4 Teorema 4 telah terbuti., dega ½,,, 3,. (3.4) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

5 3. Distribusi Baya Siggah Pada Teorema da Teorema telah dietahui bahwa P da P, utu I, utu I dega ½,,, 3,., utu I Jia, utu I da P (3.5) maa : Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

5 P Jadi Sehigga, utu I, utu I P,,, 3,. (3.6) P + P + P + + P + + P da utu ½, lim P (3.7) lim Kemudia, area dari ersamaa (3.5) da (3.6) telah dieroleh: (3.8) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

53 P da P, utu,, 3, maa dega megacu ada subbab.6., dieroleh.d.f variabel radom ideti dega.d.f distribusi Geometri Termodifiasi di Nol (Zero-Modified Geometric), maa daat diambil esimula bahwa termodifiasi di ol. berdistribusi geometri 3. 3 M.g.f, Mea, da Variasi Baya Siggah Telah dietahui bahwa baya siggah berdistribusi geometri termodifiasi di ol, maa dega megacu ada subbab.6. aa dieroleh m.g.f (momet geeratig fuctio) dari variabel radom beriut: Mt t E e e adalah sebagai t (3.9) t e Kemudia area telah dieroleh m.g.f dari baya siggah area baya siggah dega megacu ada subbab.6. sebagai beriut: E M ' Var( ) da berdistribusi geometri termodifiasi di ol, maa aa memilii mea da variasi E E, dari ersamaa (.6.) M" M', dari ersamaa (.6.3) Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

54 Selajutya utu ½, telah didaat dari Teorema 3, da didaat dari Teorema 4. Sehigga: da Var( ) 4 Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

BAB 4 BANYAK SINGGAH PADA UJI KERANDOMAN Distribusi dari variabel baya siggah yag telah dieroleh ada Bab 3 daat diguaa utu melaua uji eradoma ada barisa bilaga bier berhigga ε ε ε ε dimaa ε i,. Pada Bab 4 ii aa diberia cotoh ilustrasi egguaa distribusi baya siggah utu melaua uji eradoma ada barisa bilaga bier berhigga ε ε ε ε. Uji eradoma dilaua dega megguaa hiotesis beriut: H : Barisa bilaga bier adalah radom H : Tida demiia Utu melaua uji eradoma ada barisa bilaga bier berhigga ε ε ε ε, laua beberaa lagah beriut:. Laua trasformasi barisa bilaga bier berhigga ε ε ε ε dega megguaa trasformasi X i ε i. Setelah dilaua trasformasi, aa dieroleh barisa baru yaitu X X X X, dimaa X i -,. Selajutya disii aa dilaua uji eradoma, dimaa eradoma aa diuji dega megguaa baya utara (cycle) yag memeroleh teat siggah dalam suatu jumlah umulatif radom wal (cumulative sum radom wal). Tujua megguaa cara tersebut adalah meetua aaah baya siggah ada suatu state tertetu dalam suatu utara meyimag atau tida dari yag diharaa ada suatu barisa radom. Haraa ada suatu barisa radom yag dimasud adalah aabila suatu barisa bersifat radom, maa diharaa baya siggah yag ada memilii distribusi seerti yag telah dicari ada Bab 3. Suatu barisa bilaga bier diataa radom jia robabilitas mucul aga da aga adalah sama, yaitu masig-masig memilii 55 Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

56 robabilitas sebesar ½. Sehigga, area aa diguaa distribusi baya siggah ada suatu state dalam satu utara yag telah dibahas ada Bab 3, maa diguaa distribusi baya siggah utu melaua uji eradoma dega ½. Hal ii megaibata hiotesis yag diguaa searag adalah : H : P P 4 H : Tida demiia Utu mecari dierlua jumlah umulatif radom wal. Seerti yag telah dijelasa ada subbab.3 bahwa jumlah umulatif radom wal yaitu S X + X + + X, dimaa X i -,, da X i salig ideede dega Pr(X i ) serta Pr(X i -). Sehigga utu lagah selajutya, dega megiuti subbab.3, aa dicari jumlah umulatif radom wal terlebih dahulu.. Betu barisa S S, S,,S dimaa S X + X + + X,,,,. Pada lagah ii, aa dieroleh barisa S S, S,,S dimaa: S X S X + X S X + X + + X 3. Betu lagi suatu barisa baru S, dimaa S, S,. Beriut diberia cotoh ilustrasi utu barisa bilaga bier. Cotoh ilustrasi : Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,

57 Adaia barisa bier berhiga, maa da dieroleh barisa baru X,-,,,-,-,-,,-,,,,-,-,-,,-,-,,-. Kemudia betu barisa S da barisa S, dimaa S, S,. Agar lebih jelas, lihat Tabel 4. dibawah ii. Tabel 4. Barisa bier ε, X, S, da S. i ε i X i S S' - 3 4 5-6 - 7 - - - 8 9 - - - 3-4 - 5 - - - 6 7 - - - 8 - - - 9 - - - - - Distribusi baya..., Rati Nugrahei, FMIPA UI,