Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso Pemlha Threshol Optmal... Pemlha Threshol Optmal paa Estmator Regres Wavelet thresholg ega Proseur U Hpotess Multpel Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso 3 3 Sta urusa Matemata FMIPA UNDIP Alum urusa Matemata FMIPA UNDIP ABSTRAK-- Msala X Y ata pegamata epee yag megut moel Y = (X )+є =.. ega ugs regres yag belum etahu a varabel raom epee ega mea 0 a vara. Fugs apat estmas ega peeata parametr a o parametr. Paa maalah laua estmas ega peeata o parametr. Peeata o parametr yag guaa aalah ega metoe wavelet shrage atau metoe wavelet thresholg. Paa estmas ugs ega metoe wavelet thersholg yag palg oma meetua tgat emulusa estmator aalah la threshol. Nla threshol yag ecl membera estmas ugs yag sagat ta mulus seaga la threshol yag besar membera estmas ugs yag sagat mulus. Oleh area tu perlu plh la threshol optmal utu meetua estmas ugs yag optmal. Salah satu cara utu meetua la threshol optmal ega u hpotess multpel. Paa u hpotess multpel besarya la threshol pegaruh oleh la sgas alpha. Nla alpha yag ecl meghasla la threshol optmal yag besar sehgga hasla ugs yag ceerug lebh mulus a sebalya. Kata uc: estmator wavelet thresholg u hpotess multpel PENDAHULUAN Betu moel regres o parametr staar ar ata observas X Y aalah : Y X () ega X varabel pretor Y varabel respo ugs regres yag ta etahu a varabel raom epee ega mea 0 a vara. Karea ugs regres yag ta etahu maa perlu estmas. Fugs apat estmas salah satuya ega peeata o parametr. Peeata o parametr yag suah populer aalah metoe erel a metoe Fourer. Paa peeata megasumsa bahwa ugs termuat alam elas ugs mulus artya mempuya turua yag otu. Sehgga a ugsya ta mulus metoe urag ba utu guaa. Peeata o parametr yag apat megatas euraga metoe erel a eret Fourer alah metoe wavelet. Dalam metoe wavelet asumsa ugs yag aa estmas apat tegrala secara uarat. a ega metoe wavelet ugs yag aa estmas apat berupa ugs mulus maupu ta mulus. Estmator wavelet ar regres o parametr aalah pegembaga ar estmator regres eret Fourer a estmator erel. Estmator wavelet ser beaa mea ua macam yatu estmator wavelet ler a estmator wavelet o ler. Meurut Supart a Subaar [9] estmator wavelet oler meml la Error Kuarat Rata-rata Tertegras / Itegrate Mea Square Error (IMSE) yag merupaa salah satu uura ebaa ar estmator lebh cepat meuu ol arpaa IMSE wavelet ler. Sela tu bla baga ega metoe Fourer estmator wavelet o ler mampu megestmas ugs ba mulus maupu ta mulus. Estmator wavelet o ler sebut uga ega estmator wavelet shrage atau estmator wavelet thresholg. Prsp ar estmator wavelet thresholg mempertahaa oese wavelet yag laya lebh besar ar suatu la threshol tertetu a megabaa oese wavelet yag ecl. Selautya meurut Oge [8] oese yag besar guaam utu mereostrus estmator ugsyag car. Paa estmas ugs ega metoe wavelet thresholg tgat emulusa estmator tetua oleh pemlha ugs wavelet level resolus ugs thresholg a parameter threshol. Namu yag palg oma meetua tgat emulusa estmator aalah parameter threshol. Nla threshol yag ecl membera estmas ugs yag sagat ta mulus ( uer smooth ) seaga la threshol yag besar membera estmas yag sagat mulus ural Sas & Matemata Vol.5 No.4 007
Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso Pemlha Threshol Optmal... ( over smooth ). Oleh area tu perlu plh la threshol yag optmal. Tulsa membahas peetua la threshol optmal paa estmator wavelet thresholg utu ugs regres o parametr ega proseur u hpotess multpel berut sat-sat a cotoh smulasya ega megguaa program S+Wavelets or Wows. Estmator Deret Fourer. Dasumsa bahwa L (R) ega L (R) = : x. Desa sebuah hasl al alam paa ruag L (R) aalah ugs yag megasosasa blaga rl g ega masg-masg pasaga ugs (x) a g(x) paa L (R). Hasl al alam L (R) ar ua ugs a orma sebuah ugs esa g (x)g(x)x a ( ) x. Meurut Vetterl a Kovacevc [0] L (R) merupaa ruag Hlbert. sstem ortoormal Aaa... legap (CONS) ar L (R) maa sembarag L (R) apat yataa sebaga ega Parseval maa a memeuh ettas. Karea x sehgga 0 utu. Oleh area tu apat eat oleh utu blaga bulat cuup besar. Khususya a L [0] maa apat eat ega eret Fourer a0 a cos b s () ega oese Fourer a cos(.) cos x =0 a b s(.) s( x) x =. a X Y merupaa ata observas epee mempuya moel () ega X a X 0 maa estmator eret Fourer ar regres g aalah ˆ aˆ aˆ 0 cos bˆ s ega ~ aˆ ( X )cos(.) ega = 0 a ˆ ~ b ( X )s(.) ega =3. Dalam hal â a bˆ merupaa estmator ta bas ar a a b. Fugs Wavelet. Fugs wavelet aalah suatu ugs matemata yag mempuya sat- sat tertetu ataraya beroslas setar ol (sepert ugs sus a cosus) a terloalsas alam oma watu artya paa saat la oma relat besar ugs wavelet berharga ol. Fugs wavelet beaa atas ua es yatu wavelet ayah () a wavelet bu () yag mempuya sat: x a x 0. Dega latas a a traslas teger wavelet ayah a wavelet bu melahra eluarga wavelet yatu (x) (p ) (p x ) a (x) (p ) (p x ) utu suatu salar p>0 a tapa megurag eumuma apat ambl p= sehgga / (x) ( x ) a (x) / ( x ). Fugs (x) a (x) mempuya sat ega ural Sas & Matemata Vol.5 No.4 007 ' (x) x x) (x)x 0 ( ' ' '' (x) x a 0 a. ' ' Cotoh wavelet palg seerhaa aalah wavelet Haar yag mempuya rumus
Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso Pemlha Threshol Optmal... 0 x / ( x) / x 0 x yag la a 0 x 0 x yag la. (3) Beberapa cotoh wavelet sela wavelet haar ataraya aalah wavelet Daubeches (Daublet) symmetrs (Symmlet) a Coma (Colet). Vsualsas beberapa wavelet apat tuua paa gambar 3 berut: Gambar 3. Vsualsas beberapa Wavelet Aalss Multresolus. Aalss multresolus L (R) aalah ruag baga tertutup {V Z} yag memeuh ) V - V - V 0 V V ) Z V = {0} Z V = L (R) ) V (.) V v) V0 (. ) V0 Z v) Terapat sebuah ugs V0 sehgga (. ) Z membetu bass 0 ortoormal utu V 0 maa utu semua Z (x) x. a {V Z} aalss multresolus ar L (R) maa aa bass ortoormal ; Z utu L (R): / ( x ) sehgga utu semua paa L (R) P P. Z x c yatu yag turua ar x. ( ) Z Abat. Bla aalah ugs sala yag membagu aalss multresolus a ψ(x) ( ) c (x) Z maa eomposs e alam wavelet ortoormal utu sembarag L (R) apat laua mea c o o ψ Z o Z (4) ega c o o a. Estmator Wavelet Ler. a terapat seumpula ata epee (X Y) yag mempuya moel () a = m ega m blaga bulat postp. a X racaga tt reguler paa terval [0] ega X = / maa proyes paa ruag V apat tuls mea c (P )(x)= Z x c Z ega c x. 0 Berasara eomposs ugs e alam wavelet ortoormal (4) utu sembarag ugs L ( R) peroleh o o Z o Z c ψ ega c = x xx a o o ural Sas & Matemata Vol.5 No.4 007 0 o = x xx. 0 Karea ugs regres ta etahu maa estmator paa ruag V apat tuls sebaga ˆ x cˆ Z
Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso Pemlha Threshol Optmal... ega ˆ c Y ( X ) atau o o Z o Z ˆ cˆ ˆ ψ (5) ega ĉ a o Y o (X ) Y (X ) ˆ yag merupaa estmator ta bas ar c o a. Estmator wavelet (5) amaa estmator wavelet ler. Estmator Wavelet Shrage. a bera ata X Y ega moel () m a X maa Y ~ N g. Mea a vara ar ˆ a Varˆ ˆ aalah E σ. a ˆ ~ N( ). a oese wavelet emprs ˆ memuat seumlah ose a haya relat set yag memuat syal sga. Karea tu apat reostrus wavelet ega megguaa seumlah oese terbesar. Oleh area tu Hall&Patl [4] a Oge [8] membera metoe yag meeaa reostrus wavelet ega megguaa seumlah oese wavelet terbesar ya haya oese yag lebh besar ar suatu la tertetu yag ambl seaga oese selebhya abaa area aggap 0. Nla tertetu tersebut amaa la threshol ( la ambag) a estmatorya meghasla ˆ σ x cˆ x ˆ x (6) ega o o o o meyataa ugs thresholg atau ugs ambag ega la ambag atau threshol. Estmator (6) amaa estmator wavelet o ler estmator wavelet shrage atau estmator wavelet thresholg. Prsp ar estmator wavelet thresholg aalah mempertahaa oese wavelet yag laya lebh besar ar suatu la ambag atau la threshol tertetu a megabaa oese wavelet yag ecl. Selautya oese yag besar guaa utu mereostrus ugs ( estmator ) yag car. Karea thresholg racag utu membeaa atara oese wavelet emprs yag masu a yag eluar ar reostrus wavelet seaga utu membuat eputusa aa ator yag mempegaruh etepata estmator yatu uura sampel a tgat ose maa setap oese merupaa calo uat masu alam reostrus wavelet a uura sampel besar atau tgat ose ecl. Karea ˆ berstrbus ormal ega vara utu seluruh a σ maa estmator thresholg ar aalah ~ ˆ sehgga estmator wavelet thresholg aalah ˆ ˆ x cˆ o o x x o 0 (7) ega c ˆ o : peuga oese ugs sala c o ˆ : peuga oese wavelet : parameter la threshol : ugs threshol Lagah-lagah Thresholg Lagah-lagah thresholg terr ar :. Pemlha Fugs Thresholg Aa ua es ugs thresholg yatu: Har Thresholg H x x (x) 0 x yag la Sot Thresholg x x S (x) 0 x x x ega merupaa parameter thresholg. Fugs Har thresholg lebh eal area terapat sotyu alam ugs thresholg sehgga la x yag beraa atas threshol ta setuh. Sebalya ugs sot thresholg otyu yatu sea la x beraa atas threshol. Motvas pegguaa sot thresholg berasal ar prsp bahwa ose mempegaruh seluruh oese wavelet. uga eotyua ar ugs sot shrage membuat os yag lebh ba utu alasa statst.. Estmas σ ural Sas & Matemata Vol.5 No.4 007
Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso Pemlha Threshol Optmal... Dalam mereotrus ugs wavelet basaya la σ ta etahu. Oleh area tu σ harus estmas ar ata. Oge (997) membera estmas σ berasara oese wavelet emprs paa level resolus tertgg ega ugs Mea Devas Absolut (MAD) yatu: meaˆ meaˆ σˆ. 06745 3. Pemlha Parameter Thresholg Paa estmas ugs ega metoe wavelet thresholg tgat emulusa estmator tetua oleh level resolus ugs thresholg a parameter threshol. Namu pemlha a ta seoma. Nla yag terlalu ecl membera estmas ugs yag sagat ta mulus ( uer smooth ) seaga la yag terlalu besar membera estmas yag sagat mulus ( over smooth ). Oleh area tu perlu plh parameter threshol yag optmal utu meapata ugs yag optmal. Utu memlh la threshol optmal aa ua ategor pemlha yatu memlh satu harga threshol utu seluruh level resolus ( pemlha secara global ) a pemlha threshol yag tergatug paa level resolus. Utu pemlha global threshol Oge (997) membera pemlha threshol yag haya bergatug paa bayaya ata pegamata yatu threshol uversal ( log ) a threshol mmax yag telah tabela oleh Dooho a ohstoe (994). Nla-la threshol mmax selalu lebh ecl baga ega la threshol uversal utu uura sampel yag sama. Level-epeet thresholg berart memlh bergatug level resolu. Dega ema aa emuga perbeaa la threshol yag plh utu tap level wavelet. Aa beberapa cara level-epeet thresholg ataraya yatu threshol Aapt a threshol Top. Threshol aapt asara paa prsp utu memmala Ste Ubase Rs Estmator (SURE) paa suatu level resolus. Threshol aapt utu hmpua oese etal yag beraggotaa K oese esa sebaga arg m ega t0 SURE t SURE K K t K m t / ecl α maa harga Z / aa sema besar sehgga la threshol optmal uga sema ural Sas & Matemata Vol.5 No.4 007 Seaga la threshol Top tetua berasara besar prosetase oese yag aa guaa ar eseluruha oese wavelet alam mereostrus ugs. Pemlha parameter threshol optmal ega uversal mmax aapt a top merupaa pemlha parameter threshol optmal staar alam estmas ega wavelet thresholg. Pemlha ega cara tersebut telah tersea alam sotware S+Wavelet. Sela cara tersebut aa beberapa cara atau proseur la utu meapata threshol optmal alam estmas ugs wavelet thresholg yatu ega proseur u hpotess multple.. Peeata U Hpotess Tuggal Sepert halya paa regres ler u hpotess oese regres guaa utu megetahu apaah varabel-varabel pretor alam regres ler berpegaruh atau ta. Dega cara sepert Abramovch a Beam [] megu semua oese wavelet. Msala aa seumlah oese wavelet maa utu setap oese wavelet u ega u hpótess : H 0 : = 0 ( oese wavelet ta sga ) H : 0 ( oese wavelet ta sga) Karea ˆ ~ N( σ ) maa statst u yag guaa Z ˆ =. Dbawah H 0 bear maa statst u Z ~ N(0) sehgga H 0 tola a Z Z ega Z / / aalah quatl ormal staar.a H 0 tola maa ˆ masu alam reostrus estmator regres wavelet thresholg tetap a H 0 terma maa ˆ hlaga. Threshol optmal ega u hpotesa tuggal aalah ˆ terecl yag memeuh Z Z. Tgat emulusa / estmator wavelet yag peroleh ega proseur pegaruh oleh besar eclya tgat sgas α yag ambl. Sema t
Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso Pemlha Threshol Optmal... besat sehgga estmator yag peroleh sema mulus. Meurut Oge [0] alam peeata u hpotess tuggal oese yag masu alam reostrus terlalu baya sehgga estmas ugs yag hasla ceerug urag mulus sehgga u hpotesa tuggal perba ega u reurs.. U Reurs Msala X X...... X aalah oese wavelet emprs paa level = log ega X ~N( ). Masgmasg oese meml rata-rata μ μ... μ. Msala I aalah hmpua baga ta osog ar es... aa u hpotess sebaga berut : H 0 : μ... μ 0 H : μ 0 I ; μ 0 I a bayaya aggota ar I ta etahu maa utu megu hpotess asara paa statst u X yag meml strbus χ ega eraat bebas eta H 0 bear. Statst u uga bsa guaa a I =.... Tetap statst u bualah satatst u yag palg tepat utu stuas area ya bahwa bayaya μ yag ta ol alam estmas wavelet shrage sagat set. Hasl ar pegguaa statst u urag apat meetes eta I haya terr ar set oese area ose ar oese ol aa ceerug utu melput syal oese yag ta ol. Oleh area tu Oge a Parze (996) ct Oge a Parze (997) membera peeata alterat. a bayaya aggota ar I etahu ataa m maa guaa statst u umlah uarat ar m X terbesar. Paa prateya m ta etahu sehgga peeata ar Oge a Parze terr ar proseur u reurs utu I yag haya bersa satu eleme setap u. Statst u yag guaa utu u reurs aalah uarat ar X terbesar. Tt rts alam u aalah : / x (( ) ) Lagah-lagah alam metoe reurs utu memlh la threshol optmal aalah sebaga berut : ) Uruta X ar yag terbesar hgga terecl ega =3... ) Baga X terbesar ega tt rts x. 3) a X lebh besar ar x maa X aalah oese sga a masu alam reostrus ugs. Selautya eluara X a gat ega - a embal e lagah ) 4) a X < x maa X merupaa oese yag ta sga a la mutla X merupaa la threshol optmal a proses terhet. Setelah apata la threshol optmal oese yag lebh ecl ar la threshol aa threshol mea ol. Seaga oese yag lebh besar ( alam la mutla ) ar la threshol aa paa alam reostrus ugs. Tgat emulusa estmator wavelet yag peroleh ega proseur uga pegaruh oleh besar eclya tgat sgas α yag ambl. Sema ecl α maa estmator yag peroleh sema mulus. Cotoh peerapa paa Sebuah Fugs Utu meerapa u hpotess multpel guaa seumpula ata yag bagu ar sebuah ugs ya 3 s 3 X (...8) eg a X ata paa terval [0] ega X. Kemua ata tersebut aa ber error(ose) yag berstrbus ormal ega la espetas 0 a varas 0 0 sehgga mea Y 3 X 3 s ega megguaa program S+Wavelets perolehhasl sebaga berut. ural Sas & Matemata Vol.5 No.4 007
Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso Pemlha Threshol Optmal... Gambar 5.5 Kurva Estmas Wavelet Thresholg ega U reurs alpha= 0.05 threshol = 3.070008 a. Dega Peeata U Hpotess Tuggal Gambar 5.6 Kurva Estmas Wavelet Thresholg ega U reurs alpha= 0.0 threshol = 3.85558 Keteraga : : Fugs asl.......... : Fugs asl tambah ose : Estmas ega u reurs Peerapa paa Data Smulas Tubrua Data ambl ar buu Apple Noparametrc Regresso (W. Harle993) ya ata smulas tubrua sepea motor paa suatu PTMO (post mortem huma test obect/ obye u pemersaa mayat mausa). Dalam hal varabel-varabelya aalah sebaga berut: Sebaga varabel respo Y (percepata alam g) meyataa percepata setelah tubrua yag smulasa. Sebaga varabel pretor X (watu alam mlseo) meyataa watu setelah smulas tubrua. Dar ata tersebut car estmas urva yag optmal megguaa u hpotess multpel sebaga berut Gambar 6 Kurva Estmas Wavelet Thresholg ega Peeata U Hpotess Tuggal alpha= 0.0 threshol =.57589 Keteraga :.......... : Sebara ata : Estmas u hpotess tuggal b. Dega U Reurs Gambar 7 Kurva Estmas Wavelet Thresholg ega U Reurs alpha = 0.0 threshol = 3.8099 ural Sas & Matemata Vol.5 No.4 007
Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso Pemlha Threshol Optmal... Keteraga :.......... : Sebara ata : Estmas ega u reurs Dega pemlha la alpha 0.0 peeata u hpotess tuggal a u reurs meghasla estmas ugs yag berbea. Dar hasl vsualsas gambar terlhat bahwa u reurs lebh ba baga ega peeata u hpotess tuggal. Hal uga apat tuua ar bayaya oese wavelet yag masu reostrus. Paa u reurs oese yag masu reostrus ugs ( 0) lebh set baga ega peeata u hpotess tuggal. Abatya hasl vsualsas gambar ega u reurs lebh ba arpaa u hpotess tuggal. Dega peeata u hpotesa tuggal bayaya oese wavelet emprs 0) yag masu alam reostrus aa 43 buah seaga ega u Reurs oese wavelet emprs yag masu alam reostrus aa 3 buah. a alam smulas tgat esesya u reurs bag u hpotesa tuggal hampr setar 50%. KESIMPULAN. Wavelet mampu megestmas ugs ba tu ugs mulus maupu ugs yag ta mulus.. Tgat emulusa estmator wavelet thresholg pegaruh oleh besarya la threshol. Sema besar la threshol aa sema mulus hasl estmas ugsya. 3. Peetua la threshol optmal apat laua ega megguaa u hpotess multpel yag pegaruh oleh la sgas alpha ( ). Sema ecl alpha ( ) la threshol aa sema besar sehgga aa meghasla estmas ugs yag sema mulus. ural Sas & Matemata Vol.5 No.4 007
Supart Sharta Wahyu Putra a Ruu Satoso Pemlha Threshol Optmal... DAFTAR PUSTAKA. Abramovch a Beam. 995. Wavelets a Statstcs. Sprger-Verlag. New Yor.. Ato Howar. 995. Alabar Lear Elemeter. Es elma. Erlagga. aarta. 3. Bruce A. a Gao H Y. 996. Apple Wavelet Aalyss wth S-PLUS. Sprger-Verlag. New Yor.. 4. Hall P. a Patl P. 995. O Wavelet Methos or Estmatg Smooth Fuctos. Beroull (/). 04-058. 5. Harle W. 993. Apple Noparametrc Regresso. Cambrge Uversty Press. New Yor. 6. Martoo K. 999. Kalulus. Erlagga. Baug. 7. Musta. 003. Statsta Elemeter. urusa Matemata UNDIP. Semarag. 8. Oge R.T. 997. Essetal Wavelets or Statstcal Applcatos a Data Aalyss. Brhauser. Bosto. 9. Supart a Subaar H. 000. Estmas Regres ega Metoe Wavelet Shrage. ural Sas & Matemata. Volume 8. Nomor 3. 05-3. 0. Vetterl M. a Kovacevc. 995. Wavelets A Subba Cog. Pretce Hall PTR. New ersey. ural Sas & Matemata Vol.5 No.4 007