Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika berdasarka defiisi-defiisi maupu rumus atau hukum lai yag sudah perah dibuktika kebearaya. Ada bayak cara utuk membuktika suatu teorema da kadag suatu teorema dapat dibuktika dega beberapa cara berbeda. Secara umum, terdapat jeis metode pembuktia yaitu Metode Pembuktia Lagsug da Metode Pembuktia Tidak Lagsug. Biasaya, saat aka membuktika teorema terdapat bayak kesulita. Bagi yag tidak terbiasa melakuka pembuktia maka kesulita biasaya mucul pada lagkah pertama yaitu pada saat meetuka darimaa pembuktia harus dimulai. LANGKAH-LANGKAH UNTUK MELAKUKAN PEMBUKTIAN. Tulislah teorema yag aka dibuktika. Tuliska hipotesa awal (maa yag pertama kali diketahui) da apa yag aka dibuktika. Biasaya yag terjadi adalah kita megguaka hal-hal yag justru seharusya dibuktika.. Tadailah permulaa pembuktia dega kata bukti, sebagai pemisah atara teorema da pembuktia yag dilakuka. Sehigga aka membatu utuk tidak megguaka hal-hal yag seharusya dibuktika. 4. Buktika secara legkap da meyeluruh.. Pembuktia dega dilegkapi keteraga-keteraga aka memudahka kita utuk membaca atau megguakaya kembali. GUIDANCE. Meuliska variabel da tipe yag aka diguaka Cotoh : Misalka x da y adalah bilaga bulat positif atau Misalka x adalah bilaga riil > 0 Peulisa ii mirip dega deklarasi variabel yag diguaka di source code.. Apabila ditegah pembuktia aka meyataka suatu sifat tertetu, maka tuliska sifat tersebut dega jelas.
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 Cotoh : Misalka igi diyataka bahwa y adalah bilaga geap. Hal ii berarti y sama dega dua kali suatu bilaga bulat. Maka dapat dituliska Karea y adalah bilaga bulat maka y = *x dimaa x adalah bilaga bulat. Apabila megguaka sifat-sifat tertetu (komutatif, distributif, dsb), tuliskalah sifat-sifat tersebut. 4. Tadailah akhir suatu pembuktia, agar diketahui dega jelas bahwa apa yag aka dibuktika jelas terbukti. Cotoh : TERBUKTI KESALAHAN YANG BIASA TERJADI DALAM PEMBUKTIAN. Megambil kesimpula berdasarka suatu atau beberapa cotoh kasus saja. Terkadag, suatu teorema terlalu abstrak sehigga sulit ditagkap logikaya. Utuk itu, ada kalaya dilakuka pemberia satu atau beberapa cotoh kasus utuk membatu memahami teorema tersebut. Tetapi adalah suatu kesalaha apabila megaggap bahwa peryataa tersebut bear da berlaku umum berdasarka satu atau beberapa kasus saja. Karea ada bayak peryataa yag bear dega haya megambil satu atau beberapa kasus, tetapi salah utuk kasus-kasus yag lai. Cotoh : Misalka aka dibuktika bahwa jumlah buah bilaga geap meghasilka bilaga geap juga. Suatu pembuktia yag salah adalah Ambil x = 4 da y =, maka m + = 4 + = 6. jadi jumlah bilaga geap adalah bilaga geap Dalam hal ii, pembuktia haya dega ilai x 4 da y belum cukup utuk membuktika bahwa dua bilaga geap bila dijumlahka aka meghasilka bilaga geap. Utuk itu dilakuka : Ambil sembarag x da y, dimaa x da y adalah bilaga geap da x + y aka meghasilka bilaga geap juga Jadi itiya adalah kita tidak meyebutka ilai agkaya, karea terdapat tak berhigga bayak bilaga geap.
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4. Megguaka simbol yag sama utuk merepresetasika dua hal berbeda Cotoh : Misal x da y adalah bilaga gajil. Maka meurut defiisi, bilaga gajil m = k + da = k + utuk semua bilaga bulat k Hal yag mejadi salah adalah simbol k diguaka gada utuk keperlua ekspresi yag berbeda (walaupu didapatka kesimpula akhir bear). Jika k meyataka hal yag sama berarti m = k + =, padahal tidak meyataka bahwa m =. sehigga sebaikya ditulis : Misal x da y adalah bilaga gajil. Maka meurut defiisi, bilaga gajil m = k + da = k + utuk semua bilaga bulat k da k. Melompat lagsug kepada kesimpula Pembuktia harus dilakuka tahap demi tahap secara urut tapa melompat-lompat. Peguraga lagkah aka megakibatka bukti mejadi tidak kutat. Cotoh : Misalka x da y bilaga geap. Berdasarka defiisi bilaga geap, maka x = m da y = utuk suatu bilaga bulat m da. Maka x + y = m +. Sedemikia sehigga x + y adalah bilaga geap Dalam pembuktia diatas, ada satu yag terlewati yaitu berdasarka peryataa x + y = m + maka disimpulka x + y adalah bilaga geap hal ii tidak jelas, sehigga seharusya dituliska bahwa : x + y = m + = (m + ) distributif Sehigga meurut defiisi bilaga geap, maka x + y adalah bilaga geap. 4. Megguaka apa yag aka dibuktika Cotoh : Misal x da y adalah bilaga geap. Jika x + y adalah bilaga geap maka x + y = m utuk sembarag bilaga bulat m
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 Kesalaha terletak pada pegguaa asumsi bahwa x + y adalah bilaga geap,padahal itulah yag aka dibuktika. METODE PEMBUKTIAN LANGSUNG Dalam metode ii, hal-hal yag diketahui tetag suatu teorema dituruka secara lagsug dega tekik-tekik tertetu sampai tercapai kesimpula yag diigika. Cotoh :. Metode Pegeceka Satu per Satu Buktika bahwa utuk semua bilaga geap x atara 4 sampai 0, x dapat diyataka sebagai pejumlaha bilaga prima. Bukti Dega melakuka pegeceka satu per satu, maka didapatka 4 = + 6 = + 8 = + 0 = + = + 7 4 = + 6 = + 8 = 7 + 0 = 7 + Terlihat bahwa semua bilaga geap (4 x 0) dapat diyataka sebagai pejumlaha bilaga prima. Metode Pegeceka Secara Umum Buktika bahwa jumlah bilaga gep adalah geap. Bukti Ambil sembarag x da y, dimaa x da y adalah bilaga geap. Aka dibuktika bahwa x + y adalah bilaga geap. Karea x da y adalah bilaga-bilaga geap, maka x = m da y = utuk bilaga-bilaga geap m da, sehigga x + y = m + Misal, k = m + = (m + ) distributif
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 Karea m da adalah bilaga-bilaga geap juga, maka k adalah bilaga geap. Sehigga, (x + y) = k utuk semua bilaga geap k. Berdasarka defiisi bilaga geap, berarti bahwa (x + y) merupaka bilaga geap karea merupaka hasil kali bilaga geap. Terbukti bahwa jumlah bilaga geap adalah bilaga geap.. Pembuktia Dega Kasus-Kasus Utuk sembarag bilaga riil x, buktika bahwa jika x > 4, maka x > 6 Bukti Misal x adalah bilaga riil yag memeuhi x > 4 x > 4 berarti bahwa x > 4 atau x < -4 Jika x > 4 maka x > 4 > 6 Jika x < -4 berarti x > 4, sehigga (-x) > 4 atau x > 6 Jadi, baik x > 4 maupu x < -4, x > 6 Terbukti bahwa jika x > 4 maka x > 6 METODE PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG Dalam metode ii, hal-hal atau fakta-fakta yag diketahui tidak diguaka secara lagsug utuk meuju pada kesimpula. Biasaya, bukti dimulai dari hal-hal lai.. Pembuktia Dega Kotradiksi Dilakuka dega cara megasumsika bahwa egasi kalimat yag aka dibuktika berilai bear. Jadi, jika kebeara p igi dibuktika, lagkah yag dilakuka adalah dega megasumsika bahwa (ot p) adalah bear, kemudia berusaha meujuka bahwa asumsi tersebut aka meyebabka terjadiya kotradiksi. Dega demikia, disimpulka bahwa asumsi (ot p) berilai salah atau p berilai bear.. Pembuktia Dega Kotraposisi
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 Suatu peryataa aka selalu ekuivale (mempuyai ilai kebeara yag sama) dega kotraposisiya. Dega demikia, utuk membuktika kebeara suatu peryataa dapat pula diyataka dega membuktika kebeara kotraposisiya. MEMILIH METODE PEMBUKTIAN Utuk memilih metode pembuktia maa yag palig tepat dalam pembktia suatu peryataa sagatlah sulit karea masig-masig metode memiliki ciri, kemampua, keidaha, da kekhususa tersediri. Ada kalaya suatu peryataa dapat dibuktika dega suatu metode tertetu saja, atau ada kalaya juga suatu peryataa dapat dibuktika dega beberapa metode yag berbeda dega sama baikya. Utuk membuktika suatu peryataa diperluka suatu feelig. feelig yag tajam tersebut dapat dicapai dega melatih da membiasaka diri dalam membuktika peryataa-peryataa. Semaki serig dilakuka, maka semaki kuat feelig yag dapat dimiliki. INDUKSI MATEMATIKA Iduksi Matematika merupaka suatu tekik yag dikembagka utuk membuktika peryataa. Peryataa yag dimaksudka dibatasi haya pada peryataa yag meyagkut bilaga bulat. Iduksi Matematika diguaka utuk megecek hasil proses yag terjadi secara berulag sesuai dega pola tertetu. Iduksi Matematika diguaka utuk membuktika peryataa yag khusus meyagkut bilaga bulat positif. Dega megguaka Iduksi Matematika aka meguragi pembuktia bahwa semua bilaga bulat positif termasuk ke dalam suatu himpua kebeara dega jumlah lagkah terbatas. Cotoh : Misalka p() adalah peryataa yag meyataka : jumlah bilaga bulat dari sampai adalah (++ Misal utuk = 6, p(6) adalah jumlah bilaga bulat positif dari sampai 6 adalah 6(6+). terlihat bahwa +++4++6 = = 6(7).
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 Tetapi pembuktia haya dega megambil cotoh p(6) saja tidak berlaku sebagai bukti bahwa p() bear utuk seluruh. Walaupu pegambila cotoh = 6 meghasilka ilai dibawah himpua kebeara p(), tetapi = 6 buka satu-satuya bilaga bulat positif karea bilaga bulat positif tidak berhigga bayakya. PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA Misalka p() adalah peryataa bilaga bulat positif da aka membuktika bahwa p() adalah bear utuk semua bilaga bulat positif. Utuk membuktika peryataa ii, haya perlu meujukka bahwa : - p() adalah bear - Utuk semua bilaga bulat positif, jika p() bear maka p(+) adalah juga bear. Lagkah diamaka basis iduksi, sedagka Lagkah diamaka lagkah iduksi. Selai itu, asumsi yag diguaka pada lagkah yag meyataka bahwa peryataa adalah bear utuk p() disebut hipotesis iduksi. Cotoh : Tujukka bahwa, melalui iduksi matematika Peyelesaia : Lagkah Utuk =, maka = (+) adalah bear. = (+) = () = = Lagkah Misalka utuk
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 adalah bear (hipotesis iduksi) maka adalah bear juga Karea lagkah da lagkah keduaya telah dibuktika bear, maka utuk semua bilaga bulat positif TERBUKTI bahwa Cotoh : Buktika bahwa jumlah buah bilaga gajil positif pertama adalah Peyelesaia : Lagkah Utuk =, jumlah satu buah bilaga gajil positif pertama adalah =. Lagkah Misalka utuk adalah bear, maka adalah bear juga Cotoh : Utuk, tujukka bahwa adalah kelipata
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 Peyelesaia : Lagkah Lagkah Utuk =, didapat + () = adalah bear kelipata Misalka utuk, maka adalah bear kelipata Dega meujukka bahwa : adalah juga bear kelipata, maka adalah bear kelipata. Terlihat bahwa : adalah kelipata dari lagkah Sedagka bahwa : adalah kelipata terbukti bear. jelas merupaka kelipata juga, sehigga LATIHAN. Buktika bahwa a - habis dibagi utuk semua bilaga bulat.. Buktika bahwa () + () + + (+) = [ (+)(+ ] utuk semua.. Buktika bahwa + + + + (-) = [ (-)(+) ] utuk semua. 4. Buktika bahwa a a a a, utuk semua 0 da. a 4. Buktika bahwa 4 habis dibagi utuk bilaga bulat