SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 S - 3 Gera Brow Frasioal da Sifat-sifatya Chataria Ey Murwaigtyas, Sri Haryatmi, Guardi 3, Herry P Suryawa 4,,3 Uiversitas Gadjah Mada,4 Uiversitas Saata Dharma ey@usd.ac.id Abstra Maalah ii aa membahas tetag gera Brow frasioal da sifatsifatya. Gera Brow frasioal merupaa teori pegembaga dari Gera Brow. Gera Brow stadar adalah proses stoasti yag memilii sifat salig bebas da icremets-ya berdistribusi ormal. Gera Brow frasioal merupaa betu umum dari gera Brow dega meambaha satu parameter Hurst (H). Perumuma dari gera Brow ii mempuyai baya sifat meari yag tida dimilii oleh gera Brow sehigga mejadi model yag lebih realistis utu baya apliasi di berbagai cabag ilmu misalya matematia euaga. Sifat gera Brow yag sudah tida dimilii dalam gera Brow frasioal adalah sifat salig bebas. Namu gera Brow frasioal masih mempertahaa sifat bahwa icremets-ya berdistribusi ormal. Beberapa sifat meari dalam gera Brow frasioal atara lai self-similarity da log-rage depedet. Kata uci: gera Brow frasioal, Hurst, sifat-sifat gera Brow frasioal I. PENDAHULUAN Gera Brow pertama ali dibutia da dicetusa oleh Robert Brow seorag ahli Botai yag berasal dari Sotladia pada tahu 87. Selajutya pada tahu 90, Norbert Weier memodela gera Brow dalam betu persamaa matematis. Gera Brow adalah proses stoasti sederhaa yag telah mejadi dasar utu pegembaga proses stoasti yag lebih rumit, seperti proses gera Brow frasioal. Pegertia tetag defiisi gera Brow diberia pada Defiisi. Defiisi Misala (, F, P ) adalah ruag probabilitas. Utu setiap, dimisala ada fugsi otiu Wt () dega t 0 sedemiia higga memeuhi W(0) 0 da merea bergatug pada. Proses W( t), t 0, adalah gera Brow jia utu setiap 0 t0 t t m, icremets W( t) W( t) W( t0), W( t) W( t),, W( tm) W( tm ) salig bebas da setiap icremets berdistribusi ormal dega E [ W( ti ) W( ti)] 0 () da Var[ W( t ) W( t )] t t () i i i i Pergeraa harga saham merupaa salah satu cotoh yag dapat dimodela dega gera Brow. Model pergeraa harga saham dapat ditulisa sebagai beriut : ds( t) S( t) dt S( t) dw( t) (3) Model (3) serig disebut dega ama gera Brow geometri. Gera Brow geometri memilii sifat bahwa icremets-ya salig bebas. Sehigga megaibata model ii memilii asumsi bahwa icremets harga saham juga salig bebas. Referesi [] meeliti beberapa harga saham yag diperdagaga di Brazil. Dalam peelitia itu meghasila bahwa ada data empiri harga saham di Brazil tida salig bebas dalam retag yag pajag (log memory). Referesi [] juga megugapa bahwa ada volatilitas harga saham di Chia juga memilii sifat tida salig bebas dalam retag yag pajag. Sedaga [3] meghasila hal yag seada saat meeliti harga saham di 5 egara yag ada. Karea hasil peelitia meyataa cuup baya MS 79
ISBN 978-60-73403-- harga saham yag diperdagaga memilii sifat tida salig bebas dalam retag yag pajag (log memory) atau redah (sort memory), maa perlu meggati model gera Brow geometri dega model gera Brow frasioal. Gera Brow frasioal tida lagi mesyarata bahwa data harus salig bebas. Pada maalah ii aa dibahas tetag defiisi gera Brow frasioal da sifat-sifat petigya. II. DEFINISI GERAK BROWN FRAKSIONAL Pada tahu 940, gera Brow frasioal dipereala oleh Kolmogorov utu yag pertama ali dalam eraga ruag Hilbert, yag diberi ama Wieer Helix. Selajutya pada tahu 968, Madelbrot da Va Ness mempereala proses tersebut dega ama gera Brow frasioal (Fractioal Browia Motio atau FBM). Dalam [4], 968 telah dibutia repersetasi itegral stoasti pada proses gera Brow stadar. Pegertia tetag defiisi gera Brow frasioal diberia pada Defiisi. Defiisi Misala H suatu ostata di dalam iterval (0,). Gera Brow frasioal ( B ( t)) t0 dari ides Hurst H adalah proses Gaussia terpusat dega fugsi ovaria ( ) ( ) E [ B H ( t) B H ( s)] ( t H s H t s H ) (4) Dalam defiisi di atas diataa bahwa gera Brow frasioal adalah proses Gaussia terpusat, hal ii berarti B ) (0) 0 da ilai harapaya berilai ol atau dapat ditulis E [ B ( t)] 0 utu semua t 0 Sedaga dega megguaa Defiisi maa aa ditetua variasi dari gera Brow frasioal yaitu sebagai beriut H H H t s t s sehigga var[ B ( t)] E ( B ( t)) E B ( t) E B ( t) B ( t) (0) E t B t B t H H t t t t H (t 0) H ( t ) H ( ) ( ) Jia H maa megaibata H. Karea H maa pastilah H H H H 0. Atau dega ata lai gera Brow frasioal dega parameter Hurst t s t s H memilii orelasi positif. Sama halya Jia H maa megaibata H. Karea H H H H H H H maa pastilah t s t s sehigga t s t s 0. Atau dega ata lai gera Brow frasioal dega parameter Hurst H memilii orelasi egatif. Gera Brow frasioal dega parameter Hurst H merupaa gera Brow frasioal yag sama dega gera Brow. Misala t s maa diperoleh ( ) ( ) E[ B ( t) B ( s)] t s t s ( t s ( t s)) s da pejabara di atas sama dega sifat gera Brow dalam [5]. Berdasara Defiisi da pembahasa di atas dapat disimpula bahwa gera Brow frasioal mempuyai sifat-sifat sebagai beriut : ) ( ) B (0) 0 da E [ B H ( t)] 0 utu semua t 0 MS 80
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 B mempuyai icremets yag homoge, yaitu sama dega B ) () t utu st, 0 B adalah proses Gaussia da B adalah litasa otiu. B t s B s E ) H B ( t) t, dega 0 ( ) ( ) mempuyai huum yag t utu semua H (0,) Selajuya disusu program simulasi gera Brow frasioal dega beberapa variasi H dega program Matlab da megahasila output Gambar. Dari Gambar terlihat saat H semai medeati ol maa flutuasi dari gera Brow frasioal semai serig da utu H merupaa gera Brow yag memilii memori yag pede atau disebut short memory. Utu H terlihat dalam gambar bahwa flutuasi gera Brow frasioal semai jarag atau proses ii serig disebut sebagai proses dega memori yag pajag atau disebut log memory atau log-rage depedece. GAMBAR. GERAK BROWN FRAKSIONAL III. SIFAT SIFAT GERAK BROWN FRAKSOLNAL Pada bagia ii aa dipapara beberapa sifat gera Brow frasioal. Pertama ali aa dibahas tetag orelasi atara dua icreme dari gera Brow frasioal. Utu H, B adalah gera Brow stadar, oleh sebab itu icremet dari proses ii salig bebas, hal ii ditujua dega pejabara beriut E( B ( t h) B ( t))( B ( s h) B ( s)) E B ( t h) B ( s h) B ( t) B ( s h) B ( t h) B ( s) B ( t) B ( s) EB ( t h) B ( s h) B ( t) B ( s h) E EB ( t h) B ( s) B ( t) B ( s) E ( s h) ( s h) s s 0 dega s s h t t h. MS 8
ISBN 978-60-73403-- Hal ii otradisi dega gera Brow fractioal dega H, yaitu icremet-ya tida salig bebas. Hal ii ditujua sebagai beriut : E ( B ( t h) B ( t))( B ( s h) B ( s)) E B ( t h) B ( s h) B ( t) B ( s h) B ( t h) B ( s) B ( t) B ( s) E B ( t h) B ( s h) E B ( t) B ( s h) E B ( t h) B ( s) E ( ) ( ) B t B s H H H H H H ( t h) ( s h) ( t h) ( s h) t ( s h) t ( s h) H H H H H H ( t h) s ( t h) s t s t s ( t h) ( s h) t s t ( s h) t s h H H H H H H H H H H H H ( t h) s t s h t s t s t s h t s h t s H H H h h h h h H H H h ( ) h ( ) h H H H H H H h ( ) ( ) H H H H H H H H h ( ) ( ) (5) dega s s h t t h da t s h. Sebuah asus husus dari proses rutu watu adalah proses log memory (atau serig disebut lograge depedece). Terdapat berbagai defiisi dari log memory, amu pada itiya berdasara [6], alasa semula osep log memory ii erat hubugaya dega estasioera pada rata-rata. Referesi [7] megataa bahwa data yag diategoria sebagai data log memory ditadai dega plot fugsi autoorelasi yag tida turu secara espoesial melaia meuru secara sagat lambat. Feomea log memory di dalam rutu watu pertama ali dieala dalam [8]. Sedaga [9] da [0] megembaga model Autoregressive Fractioally Itegrated Movig Average (ARFIMA) utu memodela log memory pada data rutu watu. Defiisi 3 Suatu barisa stasioer ( X ) meujua proses log memory (atau serig disebut log-rage depedece), jia fugsi autocovaria ( ) : cov( X, X ) memeuhi ( ) lim (6) c utu suatu ostata c da (0,). Dalam asus ii, etergatuga X da X aa berurag secara lambat utu medeati ta higga da Jia dipilih : ( ) ( ) X B B dari ( ) B da X B B dari : ( ) ( ) B, megguaa (5), dega t, s da h diperoleh ( ) [( ) H ( ) H H ] (7) Selajutya megguaa beda tegah orde edua (secod order cetral differece) dalam metode beda higga, (7) mejadi MS 8
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 H ( ) ~ H(H ) utu medeati ta higga. Sehigga bila dipilih c H(H ) da H maa megguaa (6) da (9) diperoleh H ( ) H(H ) lim lim H H H (H ) H(H ) Karea H(H ) merupaa ostata, sedaga dega p H, sehigga megguaa [] diperoleh : H (8) H merupaa deret harmoic tigat e p H. Jia p H atau dapat ditulis H maa deret aa overge. Sehigga dapat disimpula : Utu H, maa H.. Jia p H atau dapat ditulis H maa deret disimpula : Utu H, maa H. H aa diverge. Sehigga dapat Defiisi 4 Proses radom berilai jia utu setiap a 0, terdapat 0 d yaitu X ( X t ) t 0 diataa self-similar atau memeuhi sifat self-similarity b sedemiia higga law( X, t 0) law( bx, t 0) (0) at t Persamaa (0) memilii arti bahwa edua proses X at da bx t memilii fugsi distribusi dimesi berhigga yag sama yaitu utu t 0, t,, t yag dipilih di dalam, berlau P( X x, X x,, X x ) P( bx x, bx x,, bx x ) utu setiap x0, x,, x di dalam. at0 0 at at t0 0 t t Defiisi 5 Jia b a H dalam Defiisi 5, maa X ( X t ) t 0 dapat diataa sebagai proses self-similar dega ides Hurst H atau ia memeuhi sifat dari self-similarity dega ides Hurst H. Nilai D H diataa sebagai dimesi fratal statistia dari X. Karea fugsi ovaria dari gera Brow frasioal homoge dalam orde H, maa dapat ditetua B adalah proses self similar dega ides Hurst H, yaitu utu setiap ostata a 0 proses H B ( at ) da a B ) () t memilii huum distribusi yag sama. IV. SIMPULAN DAN SARAN Dalam pembahasa di atas dapat disimpula bahwa gera Brow frasioal adalah betu umum dari gera Brow dega meambah satu parameter yag disebut parameter Hurst H. Jia parameter H maa gera Brow frasioal aa sama dega gera Brow. Jia H maa gera brow ii dapat memodela data yag memilii sifat log memory. Sedaga Jia H maa gera brow yag dihasila dapat diguaa utu memodela data yag memilii sifat sort memory. Sifat gera Brow yag lai da serig diguaa dalam apliasi adalah sifat self similar. Sehigga gera Brow frasioal MS 83
ISBN 978-60-73403-- adalah satu model yag dapat diguaa utu memodela pergeraa harga saham, hususya saham yag icremets-ya tida salig bebas. DAFTAR PUSTAKA [] J. Cavalcate, ad A. Assaf, Log rage depedece i the returs ad volatility of the Brazilia stoc maret, Europea Review of Ecoomics ad Fiace, vol. 3, o. 5, pp., 004. [] S. H. Kag, C. Cheog, ad S.-M. Yoo, Log memory volatility i Chiese stoc marets, Physica A: Statistical Mechaics ad its Applicatios, vol. 389, o. 7, pp. 45-433, 4//, 00. [3] J. Goddard, ad E. Oali, Short ad log memory i stoc returs data, Ecoomics Letters, vol. 7, o., pp. 53-55, 0//, 0. [4] B. B. Madelbrot, ad J. W. Va Ness, Fractioal Browia motios, fractioal oises ad applicatios, SIAM review, vol. 0, o. 4, pp. 4-437, 968. [5] S. E. Shreve, Stochastic calculus for fiace II: Cotiuous-time models: Spriger Sciece & Busiess Media, 004. [6] W. Palma, Log-memory time series: theory ad methods: Joh Wiley & Sos, 007. [7] J. Haslett, ad A. E. Raftery, Space-time modellig with log-memory depedece: Assessig Irelad's wid power resource, Applied Statistics, pp. -50, 989. [8] H. E. Hurst, Log-term storage capacity of reservoirs, Trasactios of the America Society of Civil Egieers, vol. 6, pp. 770-808, 95. [9] C. W. Grager, ad R. Joyeux, A itroductio to log memory time series models ad fractioal differecig, Joural of time series aalysis, vol., o., pp. 5-9, 980. [0] J. R. Hosig, Fractioal differecig, Biometria, vol. 68, o., pp. 65-76, 98. [] R. G. Bartle, ad D. R. Sherbert, Itroductio to real aalysis: Wiley New Yor, 99. MS 84