APLIKASI RESIDU UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL CAUCHY - EULER ORDE- SKRIPSI Olh: IKE NORMA YUNITA NIM. 65 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
APLIKASI RESIDU UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL CAUCHY - EULER ORDE- SKRIPSI Diajuka Kpada: Uivrsitas Islam Ngri Maulaa Malik Ibrahim Malag Utuk Mmuhi Salah Satu Prsarata dalam Mmprolh Glar Sarjaa Sais (S.Si) Olh: IKE NORMA YUNITA NIM. 65 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
!"# $ %%& ' ( ) * +
,-.-/& &.& (! ' $ ' ( $ " "#"" $ % / $ " - $ /-%% $ % & $.%(& % " ( &''( "
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Puji sukur Pulis pajatka khadirat Allah SWT ag tlah mmbrika rahmat da hidaah- Na, shigga Pulis dapat mlsaika skripsi ag brjudul Kajia Torma Rsidu pada Prsamaa Dirsial Cauch Eulr Ord utuk mmuhi salah satu prsarata mlsaika Program Sarjaa Sais da Tkologi Uivrsitas islam, gri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag. Dalam pusua skripsi ii baak pihak ag tlah mmbatu baik scara lagsug maupu tidak lagsug, utuk itu pulis mgucapka trimakasih kpada:. Pro. DR. H. Imam Supraogo, slaku Rktor Uivrsitas Islam Ngri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag bsrta sluruh sta Dharma Bakti Bapak da Ibu skalia trhadap Uivrsitas Islam Ngri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag turut mmbsarka da mcrdaska pulis.. Pro. Drs. Sutima Bambag Sumitro, SU., D.Sc, slaku Dka Fakultas Sais da Tkologi Uivrsitas Islam Ngri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag bsrta sta Bapak da Ibu skalia sagat brjasa mmupuk da mumbuhka smagat utuk maju kpada pulis.. Abdussakir, M.Pd, slaku Ktua Jurusa Matmatika Uivrsitas Islam Ngri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag ag tlah mmotivasi, mmbatu, da mgarahka pulis mlsaika pulisa skripsi ii. 4. Hairur Rahma, M.Si slaku dos pmbimbig skripsi di Jurusa Matmatika Uivrsitas Islam Ngri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag. i
5. Ach. Nashichuddi, M.A slaku dos pmbimbig Itgrasi Sais da Islam, bliau ag tlah mmbimbig da mgarahka pulis dalam musu skripsi ii shigga tiada dikotomi atara tkologi da agama. 6. Sluruh Dos Uivrsitas Islam Ngri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag, khususa Dos Matmatika da Sta ag tlah mmbrika ilmu kpada pulis slama mpat tahu, da dukuga utuk mlsaika pulisa skripsi ii. 7. Bapak da Ibuku trsaag, adik-adikku da sluruh kluarga bsar di Proboliggo ag tlah baak mmbrika do a, motivasi, da doroga dalam plsaia skripsi ii baik matriil maupu spiritual. 8. Tma- tma jurusa Matmatika khususa agkata 6. 9. Smua pihak ag tidak bisa pulis sbutka satu-prsatu, ag tlah mmbatu dalam mlsaika skripsi ii. Pulis madari bahwa skripsi ii masih jauh dari kata smpura. Olh kara itu, kritik da sara smua pihak ag brsiat mmbagu sagat Pulis harapka dalam pmpuraa. Smoga skripsi ii dapat brmaaat bagi Pmbaca. Wassalamu alaikum Warohmatullahi Wabarakatuh Malag, 9 Novmbr Pulis ii
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN LEMBAR PERSETUJUAN LEMBAR PENGESAHAN SURAT PERNYATAAN MOTTO PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... ABSTRAKS... i iii v BAB I PENDAHULUAN. Latar Blakag.... Rumusa Masalah.... Tujua....4 Batasa Masalah... 4.5 Maaat Plitia... 4.6 Mtod Plitia... 5.7 Sistmatika Plitia... 6 BAB II KAJIAN TEORI. Sistm Bilaga Komplks... 7. Fugsi Komplks... 8. Itgral Komplks... 5 iii
.4 Rsidu....5 Prsamaa Dirsial....6 Prsamaa Dirsial Liar homog dga Koisi Kostata... 7.7 Prsamaa Cauch-Eulr....8 Solusi umum dari prsamaa dirsial liar dga koisi Kostata... 6.9 Tasir Al-Qur a Surah Al-Isirah aat 5-6... 45 BAB III PEMBAHASAN. Solusi umum dari prsamaa dirsial Cauch-Eulr dga koisi kostata... 49. Pmcaha problma scara matmatis da murut agama islam... 67 BAB IV PENUTUP 4. Ksimpula... 7 4. Sara... 74 DAFTAR PUSTAKA BUKTI KONSULTASI BIODATA PENULIS iv
ABSTRAK Yuita, Ik Norma.. Aplikasi Rsidu Utuk Mlsaika Prsamaa Cauch-Eulr Ord-. Pmbimbig: Hairur Rahma, M.Si; Ach. Nasichuddi, M.A Kata kuci: Prsamaa Dirsial Cauch-Eulr, Torma Rsidu, Fugsi Komplks Prsamaa dirsial mrupaka sbuah prsamaa ag mmpuai drivativ dari satu variabl trikat da satu atau lbih variabl bbas. Utuk mlsaika prsamaa dirsial kita prlu mgtahui trlbih dahulu klasiikasia. Tidak smua prsoala prsamaa dirsial dapat dislsaika dga mudah, ada bbrapa ksulita dalam mcari plsaiaa. Utuk mlsaika prsamaa dirsial ag prlu kita prhatika adalah btuk umum dari prsamaa dirsial trsbut. Dalam skripsi ii pulis brtujua utuk mdskripsika cara mlsaika prsamaa dirsial Cauch-ulr ord- dga mgguaka torma rsidu. Plsaia prsamaa dirsial Cauch-ulr homog ord- dga mgguaka Torma Rsidu, prsamaa dirsial trsbut harus dapat ditulis dalam btuk: ( ) ( ) a + b + a a + b +... + a mmpuai plsaia brbtuk: ( + ) g ( ) A B R s dga ( )...( ) ( )...( )... disbut prsamaa polomial karaktristik da ( ) adalah ugsi rgular. g A + a A + + + a A + a v
ABSTRAC Yuita, Ik Norma.. Aplicatio Rsidus or Solvig Cauch-Eulr Dirtial Equatio o Ord-. Pmbimbig: Hairur Rahma, M.Si; Ach. Nasichuddi, M.A Kata kuci: Cauch-Eulr Dirtial Equatio, Torma o Rsidus, Compl Fuctio Dirtial Equatio o rprst a quatio havig drivativ th tha o variabl tid ad o or mor r variabl. To iish w d dirtial quatio shall hav kowldg borhad its classiicatio. Not all problm o dirtial quatio ca b iishd asil, thr ar som diicult i sarchig its solutio. To iish quatio o dirtial which d w pa atttio is public orm o quatio o dirtial. I this thsis th writr havig a purpos to dpictig o wa o iishig quatio o ordr- Cauch-ulr dirtial- b usig thorm o rsidus. Solvig o homogous Cauch-ulr dirtial quatio o ordr- b usig Thorm o Rsidus, th dirtial quatio hav to ar to b writt i orm: ( ) ( ) a + b + a a + b +... + a havig th solutio i orm o ( + ) g ( ) A B R s Rrrd ( )...( ) ( )...( )... is quatio o charactristic polomial ad ( ) is uctio o rgular. g A + a A + + + a A + a vi
BAB I PENDAHULUAN. Latar Blakag Matmatika adalah ilmu pasti ag kbaaka orag braggapa, bahwa matmatika mrupaka suatu kajia ag rumit dga agka-agka da simbola. Aggapa-aggapa trsbut sbara kurag tpat sbab ilmu matmatika sjatia tlah kita prguaka stiap hari tapa kita sadari, misalka saja dalam brblaja, mramalka pgluara da pmasuka pghasila tiap bula, ag sbara kita tlah mmiliki kmampua matmatika scara alamiah. Prsamaa Dirsial adalah sbuah prsamaa ag mmpuai drivativ dari satu variabl trikat da satu atau lbih variabl bbas. Jika haa satu variabl bbasa, maka disbut prsamaa dirsial liar. Sdagka jika variabl bbasa lbih dari satu, maka prsamaa trsbut adalah prsamaa dirsial parsial (Baiduri, : ). Diprsamaa dirsial dikal juga istilah ord (tigkat) da drajat (dgr). Ord (tigkat) dari suatu prsamaa dirsial mrupaka turua trtiggi ag trdapat pada prsamaa dirsial trsbut da drajat (dgr) mrupaka pagkat dari suatu prsamaa dirsial. Prsamaa dirsial biasa ord- dga variabl trikat da variabl bbas dapat diataka sbagai brikut : d d d d + +... + + + a a a a a b d d d d Dari prsamaa dirsial biasa ord- dikataka liar jika mmpuai ciri-ciri sbagai brikut :
. Variabl trikat da drivatia haa brdrajat satu.. Tidak ada prkalia atara da drivatia srta atara drivatia.. Variabl trikat buka ugsi trasd. Smaki brkmbag da tumbuha suatu tkologi, sbara tidak trlpas dari kajia ilmu matmatika, baik dalam hal biologi, iormatika, koomi da lai sbagaia. salah satu prsamaa dirsial ag harus dikmbagka da prlu ditliti lbih lajut adalah prsamaa dirsial Cauch-Eulr d d, a + b + c h Prsamaa trsbut tampaka sdrhaa, ttapi d d utuk mlsaika prsamaa dirsial bukalah ssuatu ag mudah, bahka dapat dikataka dga mgguaka cara aalitik, tidak dapat ditmuka plsaia. Shigga pmakaia mtod-mtod pdkata dalam bilaga komplks mjadi suatu altrati ag dapat diguaka. Bilaga komplks mrupaka bilaga ag brbtuk + i, dga da bilaga ral. Torma Rsidu mrupaka salah satu itm dalam bilaga komplks ag saat ii mdapat prhatia cukup baak dari para pliti. Torma Rsidu adalah salah satu mtod sagat ptig utuk mlsaika prsamaa dirsial Cauch-Eulr da prsamaa dirsial parsial. Brdasarka uraia diatas pliti briisiati mlakuka plitia trhadap prsamaa Cauch-Eulr. Slai itu pliti juga trmotiasi olh Plitia sbluma ag dilakuka olh Ik Fbri H.P, tahu 9 ag brjudul aplikasi torma rsidu pada prsamaa dirsial Liir Ord-, dalam plitia trsbut bagi pliti ag igi mlajutka disaraka
mgaplikasika Torma Rsidu pada prsamaa ag lai. Dari sara trsbut pliti mcoba mliti ttag pgaplikasia torama rsidu dalam mlsaika prsamaa dirsial Cauch Eulr. Olh kara itu prsamaa ag ada mrupaka suatu kajia ag marik utuk di slsaika dga bbrapa kosp dalam matmatika, ag kii mjadi alat aalisis ag ptig dalam mlsaika masalah, misalka pgguaa mtod rsidu ag aka kami tliti gua mlsaika suatu prsamaa Cauch-Eulr. Maka dari itu pliti trtarik utuk mlasaika prsamaa dirsial Cauch-Eulr dga mgguaka torma rsidu. Brdasarka kajia trsbut kami sbagai pulis juga aki bahwa dalam ksulita pasti ada kmudaha, da smua itu diprutuka bagi orag-orag ag brikir da smoga Allah SWT mmbrika kmudaha dalam mlsaika brbagai prsoala. Hal ii juga trsirat dalam Al-Qura, surah Alam Nasroh aat 5-6 ag brbui: (5. Kara Ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha, 6. Ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha.). Rumusa Masalah Pada plitia ii mmpuai prmasalaha ag aka kami kaji aitu, bagaimaa cara mgaplikasika rsidu utuk mlsaika prsamaa dirsial cauch - ulr ord-.. Tujua Brdasarka rumusa masalah di atas maka pulis brtujua utuk mdskripsika cara mgaplikasika rsidu utuk mlsaika prsamaa
4 dirsial cauch - ulr ord-.4 Batasa Masalah Utuk lbih mgarah pada pmbahasa da mmprolh pdalama matri ag lbih rlva dga kotks prmasalaha, maka dalam pusua tugas akhir ii pulis mmbatasi prmasalaha pada plsaia prsamaa dirsial Cauch-Eulr ord- dga koisi kostata homog..5 Maaat Plitia.5. Bagi Pmbaca. Sbagai rrsi bagi pmbaca utuk plitia lbih lajut, slai itu diharapka dapat mmbatu dalam plsai suatu prmasalaha. Sbagai motivasi kpada pmbaca agar dapat mmplajari da mgmbagka Matmatika. Sbagai sbuah iormasi kpada para pmbaca bahwa suatu prmasalaha bisa dislsaika dga mgguaka kosp Matmatika..5. Bagi Mahasiswa. Mlatih utuk mgola da mggabugka bbrapa sumbr tori da muagkaa k dalam btuk pmikira ag lbih matag utuk ditrapka.. Mmprolh kpuasa itlktual, kara dapat migkatka ktrampila dalam mgorgaisasika srta majika akta scara jlas da sistmatis.
5. Mampu mgkaji da mgaalisis ttag masalah ulr shigga dapat diaplikasika dalam khidupa shari-hari..6 Mtod Pltia Mtod plitia ag diguaka dalam pulisa ii adalah mtod plitia kajia kpustakaa atau litratur stud. Pmbahasa ag dilakuka dga mmplajari buku-buku ag brkaita dga masalah plitia ii. Dalam plitia ii, lagkah-lagkah umum ag dilakuka pulis adalah sbagai brikut:. Mgumpulka da mmplajari litratur ag brupa buku-buku, makalah, da dokumtasi ag brkaita dga masalah plitia ag aka diguaka dalam mlsaika prsamaa dirsial Cauch-ulr.. Mtuka pokok prmasalaha dari litratur utama brupa cara mcari solusi da karaktristik dari rsidu komplks pada prsamaa dirsial homog Cauch-ulr ord-.. Mtuka ilai g (). 4. Mtuka prsamaa karaktristik. 5. Mmbrika cotoh. 6. Mmbrika ksimpula akhir dari hasil pmbahasa..7 Sistmatika Plitia BAB I: Pdahulua, ag trdiri atas latar blakag, rumusa masalah, batasa masalah, tujua plitia, maaat plitia, mtod plitia da sistmatika plitia.
6 BAB II: Kajia Pustaka, ag trdiri atas brbagai ladasa tori ag mdasari pmbahasa ttag prmasalaha ag ditliti. Adapu tori ag diguaka adalah pgrtia prsamaa dirsial, prsamaa dirsial ulr da torma rsidu. BAB III: Mtod Plitia, brisi ttag prosdur atau lagkah-lagkah ag diguaka utuk mcari solusi prsamaa dirsial ulr ord- dga mgguaka torma rsidu. Pmbahasa, pada bagia ii aka dibahas bagaimaa hasil dari plitia ii. BAB IV: Putup, trdiri atas ksimpula da sara-sara ag brkaita dga prmasalaha ag dikaji.
7 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Sistm Bilaga Komplks Bilaga Komplks didisika olh a + bi, dga a da b adalah bilaga ral da i adalah satua imajir ag mmpuai ilai, di maa a diamaka bagia ral da b mrupaka bagia imajir. Diprkalkaa bilaga komplks kara tidak ada bilaga ral ag mmuhi prsamaa polomial + atau prsamaa ag srupa dga prsamaa trsbut. Dga adaa bilaga komplks, maka smua prsamaa kuadrat aka mmpuai plsaia. Dua bilaga komplks a + bi da c + di dikataka sama jika da haa jika a c da b d. Nilai absolut dari suatu bilaga komplks a + bi didiisika sbagai a + + bi a b. Komplks skawaa dari suatu bilaga komplks a+ bi adalah bilaga a bi diataka dga * atau. Dalam mgoprasika bilaga komplks dilakuka sprti oprasi dalam aljabar bilaga ral dga mggatika i dga. Sistm bilaga komplks diprkalka dga mgguaka kosp pasaga trurut bilaga ata ( a, b). Jadi sistm bilaga komplks didiisika sbagai himpua smua pasaga dga oprasi trttu ag ssuai (Murra R. Spigl, 965:6). Oprasi-oprasi dasar dalam bilaga komplks:. Pjumlaha ( a + bi) + ( c + di) a + bi + c + di ( a + c) + ( b + d )i. Pguraga ( a + bi) ( c + di) a + bi c + di ( a c) + ( b d )i
8. Prkalia ( a + bi )( c + di ) ac + adi + bci + bdi ( ac bd ) + ( ad + bc )i ( a + bi) ( ma mbi) m + a + bi a + bi c di ac adi + bci bdi 4. Pmbagia c + di c + di c di c d i ac + bd + c + d ( bc ad) i ac + bd bc ad + i c + d c + d Pgrtia bilaga komplks sudah dikalka, supaa dapat mmcahka bbrapa prsamaa scara aljabar. Skarag aka blajar mdiisika ugsi ( ) pada variabl komplks (Mitriovi, da Kki, 98).. Fugsi Komplks Jika ( ) ag brilaika bilaga komplks maka disbut ugsi komplks. Sbuah ugsi adalah suatu atura padaa ag mghubugka tiap objk dalam suatu himpua ag disbut darah asal atau darah domai dga sbuah ilai uik ( ) dari himpua kdua. Jika C D maka : D C jika utuk stiap D maka diprolh ( ) C. Jika stiap himpua bilaga komplks ag dapat mataka ilai sbuah variabl trdapat satu atau lbih variabl w, maka w diamaka ugsi dari variabl komplks ag ditulis sbagai ( ) w. Suatu ugsi brilai tuggal jika utuk stiap ilai trdapat haa satu ilai w da jika lbih dari satu ilai w utuk stiap ilai, maka diamaka suatu ugsi brilai baak. Jika w u + iv (di maa u da v ral) adalah suatu ugsi brilai tuggal dari + i (di maa da ral), maka dapat ditulis ( i) u + iv +. Dga mamaka bagia ral da imajir, maka ii dapat
9 dilihat stara dga u(, ), u v v(, ) Dga dmikia diprolh prataa brikut: Jika dibrika ugsi brilai komplks dari variabl komplks ( ) maka w ( ) u(, ) + iv(, ) dga u da v ugsi ral dari dua variabl ral da. Fugsi u (, ) da ( ) bagia imajir ugsi ( ). (R.Somatri,994: 4) Cotoh.. v, brturut-turut diamaka bagia ral da Jika + i maka w ( ) ( + i) + i w ( ) ( ) i u iv w dga u, (, ) v Dibrika ugsi komplks dga domai diisi darah D. Dalam hal ii dibahas pgrtia limit ugsi utuk variabl mdkati titik. Diisi... Dibrika ugsi dga domai D da titik limit D. Bilaga L disbut limit utuk mdkati, da ditulis lim ( ) L Jika utuk stiap ε > ag dibrika, trdapat δ > D da < δ brlaku ( ) L < ε <., shigga utuk smua
Cotoh.. Jika lim. Buktika bahwa Plsaia: Kita harus mujukka bahwa jika dibrika ε > kita dapat mtuka δ (ag scara umum brgatug pada ε ) shigga < ε bilamaa < <δ Jika δ maka < δ mgakibatka < { + } < δ ( ) + < δ + < δ + Ambil δ ag trkcil diatara da ε /( + ) < ε bilamaa < δ, maka kita mmpuai Stlah kita bahas pgrtia limit ugsi di atas, maka dalam hal ii aka kita bahas pgrtia kkotiua suatu ugsi. Diisi... Dibrika ugsi dga domai diisi suatu darah D da titik Fugsi dikataka kotiu di jika D. lim ( ) ( ) Dga kata lai, jika kotiu pada, maka harus mmiliki sbuah ilai limit pada da ilai limit trsbut sharusa Sbuah ugsi dikataka kotiu pada sbuah himpua S jika ugsi trsbut kotiu pada tiap-tiap titik S (Sa Sidr, 99: 47-48).
Cotoh.. Buktika bahwa kotiu di Murut cotoh.. lim ( ) ( ) shigga ( ) kotiu di. Cara lai Kita harus mujukka bahwa jika ε >, dibrika maka trdapat δ > (brgatug pada ε ) shigga ( ) ( ) < ε bilamaa < δ Kotiuitas tlah dibicaraka scara sigkat pada hal di atas, sbagia bsar sbagai bagia dari latar blakag ag diprluka utuk mmbicaraka turua (drivativ) ugsi komplks. Dibrika ugsi ag didiisika pada darah D da suatu titik di dalam D. Jika diktahui bahwa ilai limit: lim ( ) ( ) Jika limita ada, maka ilai limit ii diamaka turua atau drivativ ugsi di titik, da dibrika cara tulis. Jika ilai limit ugsi dikataka trdirsial di '. Krap kali ilai ( ) dga da dga shigga + da ' ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ). lim lim lim ' ii ada, diataka Jika trdirsial di smua titik di dalam D maka dikataka trdirsial pada D (R.Somatri,994: 6).
Cotoh..4 Ttuka turua dari w ( ) dititik Plsaia: ' lim ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) { } lim lim + + ( ) + ( ) + lim + + ( ) Disampig kkotiua, sarat ag diprluka agar ugsi trdirsial di + i adalah apa ag di amaka sarat Cauch-Rima. Jika ugsi ( ) u(, ) + iv(, ). Misal (, ) ' lim ( ) lim u lim u trdirsial di + i, maka: ( + ) ( ) [ u( +, ) + iv( +, )] [ u(, ) + iv(, )] ( +, ) u(, ) v( +, ) v(, ) v (, ) + i ( ),. Sdagka utuk (, ) i + i, maka ' ( ) lim ( + ) ( ) [ u(, + ) + iv(, + ) ] [ u(, ) + iv(, )] lim i
u lim v lim v (, + ) u(, ) v(, + ) v(, ) i + i i (, + ) v(, ) u(, + ) u(, ) u (, ) i ( ), i Dari dua hasil purua ugsi ( ) u(, ) + iv(, ) (, ) da (, ) i di + i utuk, maka didapatka prsamaa: u v u v, (...) Btuk prsamaa diatas diamaka Prsamaa Cauch Rima (Prsamaa C-R). Jadi dapat disimpulka, ugsi ( ) u(, ) + iv(, ) aka dirsial di + i bila da haa bila bagia ral da bagia imajir dari ( ), u da v brlaku Prsamaa C-R (Daag Mursita, 5: 5-5). Sarat agar ( ) aalitik disuatu darah, slai ( ) brhigga da dirsiabl, prsamaa Cauch-Rima harus brlaku di darah itu. Jika turua '( ) ada dismua titik dari suatu darah R, maka ( ) dikataka aalitik dalam R da ditaaka sbagai ugsi aalitik dalam R. Suatu ugsi ( ) dikataka aalitik disuatu titik jika trdapat suatu ligkuga < δ shigga '( ) ada distiap titik pada ligkuga trsbut. Cotoh..5 4 ( ) dga + i
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 4 4 6 4 6 4 4 6 4 v u i i i i i i i + + + + + + + + + 4 u 4 v 4 u + v 4 Kara 4 v u da u v 4 maka 4 adalah aalitik di i +, utuk stiap R, Cotoh..6 dimaa i + da i i i + i i + + v da u u u,, v v v u v u Jadi tidak aalitik di Jika aalitik dismua titik pada suatu darah R da C suatu kurva ag trltak dalam R, maka ttua dapat diitgralka spajag C.
5. Itgral Komplks Diisi itgral komplks adalah sama dga diisi itgral ugsi ata dga mggati itrval itgrasi dga suatu litasa. Itgral ugsi komplks ( ) spajag C didisika dga ( ) litasa itgrasi. Diisi... C d, dga C adalah Jika ( ) brharga tuggal da kotiu di dalam sbuah R maka itgral dari ( ) spajag litasa C dalam R dari titik k titik da + i adalah (, ) ( ) d ( u + iv)( d id) C (, ) + di maa + i (, ) (, ) (, ) (, ) ud + i vd + i vd + ud (, ) (, ) (, ) (, ) ud vd + i vd + ud (Murra R Spigl, 964:4) Cotoh.. + 4i Hituglah ( + i ) d spajag garis lurus + i da + 4 i Plsaia: ( + 4i ) ( + i ) (,4) d ( + i) ( d + id) (,4) (,) (,) ( + i)( d id) + (,4 ) (,4) ( ) d d + i d + ( ) (,) (,) Garis ag mghubugks (,) da (,4) mmpuai prsamaa 4 ( ) atau d
6 Maka kita mdapatka {[ ( ) ] d ( ) d} + { ( ) d + [ ( ) d] } 86 6 i 4i Jadi + + 86 d 6 i i Dalam sub bab. tlah disbutka bahwa plidika ttag ugsi komplks sagat trgatug pada turua komplks. Dibawah ii aka disajika ilai ugsi aalitik disuatu titik k dalam btuk itgral litasa trtutup tuggal. Rumus Itgral Cauch: Jika ugsi didiisika da aalitik di dalam da pada litasa trtutup tuggal C da smbarag titik di dalam C maka: ( ) ( ) d C πi Turua k dari ( ) di dibrika ( ) ( ) ( ) ( )! d C + πi atau ( ) ( ) d C + (Murra R Spigl, 965:4) Cotoh.. Hituglah d C i Plsaia ( ) i, ( ) d C i, πi [ ( )] πi πi ( )!
7 Titik dikataka titik sigular jika ( ) tidak brsiat aalitik di. Ksigularitasa dari suatu ugsi komplks dapat dilihat dari drt Laurta. Torma.. (Torma Laurt) Jika aalitik dalam domai D { : r < < r } dalam domai ii, maka: Dga a da titik smbarag di a ( ) + () ( ) ( ) ( ) a d,, C + i,... π ( ) ( ) a d, C + i,... π () () Da C smbarag litasa trtutup tuggal di dalam domai trsbut ag mgliligi da brarah positi. Pulisa drt Laurt dapat disdrhaaka mjadi: ( ) a (4) Dimaa ( ) πi ( ) a C d,, ±, ±, ±,... + (5) Drt ruas kaa () diamaka drt Laurt utuk ugsi ( ) da juga dikataka kspasi Laurt dari dalam pagkat ( ). Drt () diamaka drt Laurt dga a ( ) diamaka bagia utama da bagia a ( ) diamaka bagia aalitik.
8 Cotoh... Utuk ( ), ttuka drt Laurta utuk < <. Fugsi ( )( ) ( ) dapat dipisahka mjadi ( ) Plsaia: Utuk < < maka / < da / <, jadi ( / ) Dga dmikia: + da + / ( ) ( < ) < +. Ttuka drt Laurt dari ugsi Plsaia:, misalka ( ) u, maka + u ( ) u u u + u + ( u) ( u) ( u)! +! + 4! 4 +... 4 + + + + ( ) ( ) ( ) +... Dga drt Laurt ii, maka ksigulara dari suatu ugsi dapat dittuka dga jis-jisa. Suatu titik diamaka sigularitas atau titik sigular bagi ugsi jika da haa jika tidak aalitik pada da stiap ligkuga mmuat palig sdikit satu titik ag mmbuat trsbut aalitik. Jis-jis Sigularitas:
9. Sigularitas Kutub Jika bagia utama aitu a a + +... + dga a ( ) ( ) a da adalah bilaga bulat positi, maka diamaka suatu kutub brtigkat. Cotoh..4 ( ) mmiliki kutub brtigkat di. Titik Cabag Suatu titik diamaka titik cabag dari ugsi brilai baak ( ). Jika cabag ( ) brtukar bilamaa mggambarka suatu litasa trtutup diskitar. Jika adalah titik cabag, maka smbarag ligkara dga pusat da brjari-jari cukup kcil ag dapat kita lukis mulai dari suatu titik pada satu cabag ugsi brilai gada aka brakhir pada suatu titik pada cabag ag lai. Cotoh..5 w Titik ( ) ( + ) / {( i)( + i) } / mrupaka titik cabag dari ( ) ± i, bilamaa suatu titik brgrak mgliligi C Dari diisi sigularitas di atas, suatu titik mrupaka sigularitas ugsi ( ), bila gagal mjadi aalitik di smtara stiap ligkuga mmuat palig sdikit satu titik dimaa aalitik. Titik diamaka titik sigular trasig dari ugsi, jika titik sigular trasig dari ugsi, maka trdapat
r >, shigga ( ) dapat dituliska kdalam drt Laurt dga domai < r. < Cotoh..6 Ttuka titik sigularitas dari ( ) / Plsaia: Titik da ataka dalam drt Laurt adalah titik sigularitas trasig dari ugsi ( ) / utuk r r >, jika diuraika k dalam drt Laurt maka brbtuk ( ) ( ) + ( ) +... dalam domai < <., sbab.4 Rsidu Dga mlihat koisi dari drt Laurt utuk pada prsamaa (5) aitu a ag dibrika rumus: a πi ( ) d C Dga C smbarag jalur trtutup sdrhaa, ag mgliligi broritasi positi da sluruha trltak di dalam skitar trsbut. Slajuta ilai a ag mrupaka koisi pada drt Laurt dari diamaka rsidu di titik sigularitas trasig. Rsidu ugsi di titik sigularitas trasig dibrika dga otasi [ ] R s,, dari diisi trsbut diprolh: a [ ] R s, R s[, ] ( ) d C πi
Maka ( ) d πi R s[, ] C Cotoh.4. Hitug C d, dimaa C adalah ligkara satua, dga oritasi positi. Dari + + +... + + + +...!!! Didapatka bahwa Rs,. Maka, d πi Rs, πi C Utuk sigularitas ag baaka brhigga, maka rsidu dapat dicari dga mgguaka torma dibawah ii. Torma.4.. Jika ugsi aalitik di dalam da pada litasa trtutup tuggal ag broritasi positi C kcuali di titik-titik sigular ag brhigga baaka di dalam C maka: C ( ) d π i R s Dga R s mrupaka jumlah rsidu ugsi di titik sigular di dalam C. Jika sigular dari ugsi ( ) mrupaka kutub brord maka rsidu dapat dicari dga mgguaka torma dibawah ii: Torma.4.. Jika ugsi aalitik di smua titik dalam da pada kurva trtutup sdrhaa kcuali di ag mrupaka kutub brord, shigga
( ) a + a ( ) a a +... + + + ( ) ( ) k ak k Maka a R s[ ],... ( )! d lim d ( ) [ ] ( ) ( ) (J.D.Poliouras, 975: 59) Utuk brturut-turut,, dari rumus trsbut didapat: R s R s R s Cotoh.4. [, ] lim[ ( ) ( ) ] d d d d [ ] [, ] lim ( ) ( ) [ ] [, ] lim ( ) ( ) Hitug C ( )( + 4) d, dimaa C dibrika dga 5 Plsaia: Sigularitas kutub dari adalah da 4 utuk kutub di ord + 4 R s[,] lim lim ( ) + 4 ( + 4) 6 Utuk kutub di 4 ord d R s[, 4] lim + 4 d d lim 4 d ( ) 4 d + 4 ( ) d
lim 4 Jadi diprolh C ( )( + 4) Torma.4.. ( ) 7 ( ) 6 4 ( R s[,] + R s[, 4] ) d π i 7 π i + 6 6 Jika titik a adalah titik rgulr, maka R s ( ) 4 (D.S Mitiovi ad J.D Kki,98:7) a.5 Prsamaa Dirsial Diisi.5. Prsamaa dirsial adalah sbuah prsamaa ag mgadug drivativ atau drsial dari suatu atau lbih variabl trikat satu atau lbih variabl bbas. Jika haa satu variabl bbasa, maka prsamaaa disbut prsamaa dirsial biasa. Sdagka jika variabl bbasa lbih dari satu maka prsamaaa disbut prsamaa dirsial parsial (Baiduri, : ). Sdagka murut Viiio (998: ) prsamaa dirsial adalah prsamaa ag mmuat turua satu atau bbrapa ugsi ag tidak diktahui. Cotoh.5.. d d cos prsamaa dirsial ord- d. + d u u. + + u t prsamaa dirsial ord- prsamaa parsial ord-
4 Ord dari prsamaa dirsial adalah drivativ/turua trtiggi ag trdapat/trmuat dalam prsamaa dirsial trsbut. Sdagka drajat dari prsamaa dirsial dittuka olh pagkat trtiggi dari turua ag trtiggi ag ada dalam prsamaa dirsial trsbut (Baiduri, : 4). Cotoh.5. d. prsamaa dirsial ord- brdrajat d d d d. + + d d d prsamaa dirsial ord- brdrajat Prsamaa dirsial biasa dapat digologka sbagai prsamaa liar maupu tak liar, sbagai cotoh : d d. + 5 + 6 d d prsamaa dirsial liar. '' + 5 ' + 6 prsamaa dirsial tak liar. '' ' + prsamaa dirsial tak liar Suatu prsamaa dirsial biasa brord aka mmpuai btuk sbagai brikut : ( ) ( ) ( F,, ( ),..., ) ( ) (.5..) ( ) ( ) dga,,..., ilaia dittuka olh. Plsaia umum dari prsamaa (.5..) biasaa aka mgadug ttapa sbarag. Scara umum prsamaa dirsial mmpuai btuk sbagai brikut : a d d d d d... (.5..) d d d ( ) a ( ) + + a ( ) + a ( ) + a ( ) b( ) + Suatu prsamaa dirsial biasa ord liar mmpuai ciri-ciri sbagai
5 brikut :. variabl trikat da drivatia haa brdrajat satu.. tidak ada prkalia atara da drivatia srta atara drivatia.. variabl trikat buka ugsi trasd. Jika prsamaa dirsial ord buka dalam btuk (.5..), maka disbut prsamaa dirsial biasa ord tak liar. Jika ( ) b, maka (.5..) mrupaka prsamaa dirsial homog. Jika a ( ) a (,,,... ), maka (.5..) disbut prsamaa dirsial dga koisi kostata. Jika a ( ) brupa variabl, maka prsamaa (.5..) mrupaka prsamaa dirsial dga koisi variabl (Baiduri, :5). Diisi.5.. Misalka,...,, mrupaka plsaia-plsaia prsamaa dirsial, Wroski (W) didisika sbagai dtrmia matrik dga lm-lm matrik brupa,,..., ag dirsiabl sampai da kotiu pada slag [ a, b]. Wroski (W) ditulis sbagai brikut : W (, ),..., ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Prsamaa dirsial liar mmpuai siat ptiga aitu,...,, mrupaka plsaia dari (.5..), maka c +. + c. +... c juga mrupaka plsaia dga ttapa c sbarag. i Torma.5..
6 Jika,...,, mrupaka plsaia ag bbas liar satu sama lai dari prsamaa dirsial homog. a d d d d... d d ( ) a ( ) + + a ( ) + a ( ) + maka utuk stiap piliha-piliha kostata c,...,, c c kombiasi liar c + c +... + c suatu plsaia juga (Fiiio,98: 67-68). Cotoh.5. Ttuka solusi umum homog jika diktahui solusi basis dari ''' ' ' + 4' 4 adalah { }, cos, si Jawab: ''' '' + 4' 4 Solusi basis: Y, Y cos, Y si Maka Solusi umum homog: Y C + C cos + C si Torma.5.. Jika,...,, mrupaka prsamaa dirsial ord a d d d d... d d ( ) a ( ) + + a ( ) + a ( ) + ag didisika pada slag [ a, b], dikataka bbas liar jika W (,,..., ) utuk stiap dalam slag [ b] (Fiiio: 98: 69). a, dimaa W adalah Wroski Cotoh.5.4
7 Tujukka bahwa Y C + C adalah solusi umum homog dari '' ' Jawab: Y, Y W ( Y, Y ) ( ) ( ) Kara Y da Y bbas liar maka Y C + C solusi umum homog '' '.6 Prsamaa Dirsial Liar Homog dga Koisi Kostata Misalka prsamaa dirsial liar homog ord k adalah L ( ) ( ) [ ] a + a + + a ' + a (.6..)... Murut Kartoo (994) Dga a,...,, a a adalah kostata ral. Ii adalah wajar utuk mmprkiraka dari pgtahua ttag prsamaa dirsial liar ord dga koisi kostata da bahwa prsamaa (.6..) utuk ilai r ag brssuaia. Bukti: jika Maka r ' r r r adalah slsaia ' ' r r ' '' r r ( ) r r
8 Substitusi kprsamaa (.6..) r r r r r [ ] a r + a r + + a r a L... + Utuk smua r r [ a r + a r + + a r + a ] Z ( r) r... (.6..) Utuk ilai-ilai r shigga ( r) r Z, slajuta [ ] r L da adalah slsaia prsamaa (.6..). Polomial Z (r) disbut polomial karaktristik dari prsamaa dirsial (.6..). Brdasarka suatu polomial brdrajat mmpuai buah akar, misalka r,...,, r r dga dmikia polomial karaktristika dapat ditulis : Z ( r) a ( r r )( r r )...( r ) r (.6..) Murut Baiduri () Brdasarka jis akar-akar dari prsamaa karaktristik ada kasus ag prlu diprhatika didalam mtuka solusi umum:. Akar-akara ral da brbda r r r..., r r Maka solusi basis: ri i, i,,..., Da solusi umuma : c i i i, c kostata i Cotoh.6. Ttuka solusi umum ''' '' '
9 Jawab: Prsamaa karaktristika: r r r ( r 4)( r + ) r r, r Solusi basisa: 4, r 4,, Solusi umuma: c + c 4 + c. Akar-akara ral da sama r r r... r Solusi basisa: i i r i,,,..., Solusi umuma: c i i i Cotoh.6. Ttuka solusi umum ''' '' + ' Jawab: Prsamaa karaktristika; r r ( r ) r r + r r Solusi basisa:,, Solusi umuma: c + c + c
. Akar komplks Jika r i α ± βi (komplks), maka salah satu solusi basisa α cos β da α si β Jika r α ± βi sbaak m, maka solusi basisa α α cos β, si β, α α cos β, si β, cos β,..., α si β,..., α α α cos β si β Cotoh.6. Ttuka solusi umum ''' '' + 9' 9 Jawab: Prsamaa karaktristikaa: r r + 9r 9 ( r )( r 9) r, r r ± i Solusi basisa: Solusi umuma:, cos, c si + c cos c si +.7 Prsamaa Cauch-Eulr Diisi.7. Suatu prsamaa liir ord- bisa ditujukka dalam prsamaa brikut: d d, a + b + c h (.7..) d d Dimaa a,b, da c adalah kostata ag disbut prsamaa Cauch-Eulr. Cotoh pada prsamaa dirsial
" ' + 7 si Adalah prsamaa Cauch-Eulr, sdagka prsamaa " ' + buka prsamaa Cauch-Eulr, kara koisi dari " adalah, ag maa buka kostata dari. Utuk mlsaika prsamaa Cauch-Eulr homog, kita t substitusika, dga mstrasormasika prsamaa (.7..) k suatu prsamaa dga koisi kosta. Cotoh (.7.): Carilah solusi umum dari prsamaa d d +, >. d d Jawab : Kita subsitusika t utuk di trasormasika k prsamaa di atas dga variabl bbasa adalah t. d d d d t d ; dt d dt d d Maka d d d dt d d d d d d d + dt dt d dt d dt d d d d d d t + + dt d dt dt d d d +. dt d d d d d dt dt
Substitusika d d d + dt dt d d d + 8. dt dt Misal d/dt r + r 8r. ( r )( r ) + r r t t t t + + t c c c c c + c utuk > Utuk mcari solusi umum sprti pada prsamaa dga koisi kostata, maka harus mcari solusi prsamaa homog da solusi partikulir, p. Solusi p ii dapat dicari dga mtod koisi tak ttu atau mtod variasi paramtr. Sdagka solusi homog h, dapat dilakuka dga substitusi t a b + atau r atau ( a + b) r sbagai solusi a + b, disii kita aka mgguaka substitusi a + b + a a + b +... + a (.7..) Shigga diprolh: r r r ' r a + b, " r r a + b,..., r r r... r + a + b Slajuta, ',..., disubstitusika k (.7..) da diprolh
r a b r r r r ar r r a +... + +... + +... + kara a + b >, maka r r r... r + + a r r... r + +... + a (.7..) Prsamaa (.7..) disbut prsamaa karaktristik (.7..). sbagai ilustrasi (.7..) kita ambil bbrapa ilai. misal, maka (.7..) brbtuk: ( ) + + r r a r a Utuk, maka (.7..) brbtuk: r r r + a r r + ra + a da strusa. Sprti pada prsamaa ord- dbga koisi kostata, solusi umum (.7..) trgatug dari jis akar-akar prsamaa karaktristik (.7..) sbagai brikut:. Akar-akara ral da brbda; r, r,..., r Solusi barisa adalah r r r ' r a + b, " r r a + b,..., r r r... r + a + b Da solusi umuma c dga c R i i i i. Akar-akara ral da kmbar ag brklipata Solusi barisa
4 da solusi umuma r, r l, r a + b a + b a + b a + b l a + b, r a + b l a + b,. Akar-akara komplks, Solusi barisa ci i i α β a + b cos l a + b, α β a + b si l a + b, α β a + b l a + b cos l a + b, r β a + b l a + b si l a + b,... α β a + b l a + b cos l a + b, α l siβ l a + b a + b a + b Sdagka solusi umuma mrupaka kombiasi liar solusi barisa. Cotoh (.7.): Ttuka solusi masalah sarat awal '" ' + 4, > Dga sarat awal da, ' " 4 Jawab: Prsamaa karaktristik
5 R r r r + 4 atau + 4 r r atau ( r )( r ) + Akar-akara r, r r Shigga solusi barisa,, l Da solusi umuma c + c + c l ' c + c + c l + c c + c + c l + c c " c + ( c + c l ) + + c c + c l + c + c Slajuta sarat awal didistribusika k, ', ", da diprolh ( ) + (*) '( ) + + (**) "( ) + + 4 (***) c c c c c c c c Dga mlsaika (*), (**), (***), maka diprolh c, c, c Shigga solusi masalah sarat awal: + l
6.8 Solusi umum dari prsamaa dirsial liar dga koisi kostata Torma.8. Prsamaa dirsial dga koisi kostata ( ) + a +... + a (.8.) Misalka sbarag ugsi rgular dga variabl komplks, ag maa tidak sama dga pada polomial shigga brlaku ( ) + a +... a g + Maka solusi umum dari prsamaa (.8.) dibrika olh ( ) R s (.8.) g( ) Dimaa pjumlaha itu diambil atas smua ugsi sigularitas dari ( ) g( ) Yaitu atas smua ilai dari polomial g Bukti : Jika Maka R s '' R s ( ) g( ) ( ) g( ) ( ) g( ) ' R s ( k ) ( ) R s k ( k,..., ) g Olh kara itu
7 ( ) ( ) + a Rs +... + a ( ) g( ) ( + a +... + a ) Rs ( ) Kara ugsi ( ) diasumsika rgular, maka murut torma.4. s ( ) shigga R s ( ) R Jadi prsamaa (.8.) adalah solusi dari prsamaa (.8.). Aka dibrika bukti bahwa solusi ii adalah umum. Jika r adalah suatu akar sdrhaa dari prsamaa g ( ), aitu suatu kutub sdrhaa dari ugsi ( ) g( ) Maka r ( ) g( ) r ( r) ( ) g( ) r ( ) g' ( ) R s lim lim g ( r) r ' r Ktika suatu ugsi sbarag, shigga ( r) g ' ( r) adalah suatu kostata ag sbarag ag maa akar sdrhaa dari prsamaa karaktristik g ( ) ssuai dga suku kasus aitu: r C ( C adalah kostata ag sbarag). Shigga ada tiga. Jika r adalah akar ragkap, brordr s dari prsamaa g ( ) torma.4. maka diprolh prsamaa brikut:, murut s ( ) ( ) R s lim (.8.) r s g( ) ( s ) r! g( ) Dimaa ( r) s g( )
8 Utuk s R s r ( ) lim g( ) ( s! ) r ( ) lim r g( ) r ( r) g( r) C s s r ( ) g( ) Utuk s R s r s ( ) lim r s g s! d ( ) lim r d g( ) ( ) lim r g( ) r ( r) C g( r) r ( ) g( ) Utuk Rs r s s ( ) g( ) ( s! ) ( s! ) d lim r d lim lim r d lim r d s s r ( ) r g( ) r ( r) s g( r) s s s s ( ) g( ) s C s ( ) g( ) ( ) g( ) s r ( s Ktika ugsi ag sbarag, ( r ), '( r ),..., ) ( r ) kostata sbarag, jadi prsamaa (.8.) mjadi s C C + + C r + (.8.4)... Dimaa C,..., C s adalah kostata ag sbarag s
9. Jika r adalah akar brbda, maka s ( ) ( ) R s lim (.8.5) r s g( ) ( s ) r! g( ) Dimaa ( r )( r )...( rs ) g( ) Utuk r R s r ( ) lim g( ) ( s )! r ( ) lim r g( ) r ( r ) g( r ) s s C r ( ) g( ) Utuk r R s r ( ) lim g( ) ( s )! r ( ) lim r g( ) r ( r ) g( r ) s s C r ( ) g( ) Utuk rs ( ) lim g( ) ( s )! r s ( ) lim rs g( ) rs ( rs ) g( r ) s Rs s rs s C s rs ( ) g( ) Ktika ugsi ag sbarag, ( r C ) ( r C ),..., ( ) kostata sbarag, jadi prsamaa (.8.5) mjadi r r rs r C + C + C... + C, r s C s (.8.6) s
4 Dimaa C,..., C adalah kostata ag sbarag s. Jika r adalah akar komplks, maka s ( ) ( ) R s lim (.8.7) r s g( ) ( s ) r! g( ) Dimaa ( ri ) g( ) r i α + βi, i,,..., s Y i ( α ± βi ) α α α ± iβ iβ ( cos β ± i si β) Solusi umuma ag brkaita dga akar komplks ii adalah: Y C Y α α α α ( cos β + i si β) + C ( cos β i si β) (( C + C ) cos β + i( C C ) si β) ( Acos β + Bsi β) Dimaa A C + C B i( C ) Utuk α + iβ, C R s r s ( ) lim g( ) ( s ) r s! ( ) lim r g( ) ( i) ( α + βi ) α + β g( α + βi) ( ) g( ) C ( α + βi ) α C ( cos β + i si β) Utuk α iβ C α maka ( cos β i si β) α (( C + C ) cos β + ( C C ) i si β) α ( Acos β + B si β)
4 Utuk α + iβ R s r s ( ) lim g( ) ( s ) r s! d ( ) lim r d g( ) ( ) lim r g( ) ( i) ( α + βi ) α + β g( α + βi) ( ) g( ) C ( α + βi ) α C ( cos β + i si β) Utuk α iβ C maka α ( cos β i si β) α (( C + C ) cos β + ( C C ) i si β) α ( Acos β + B si β) Utuk α + iβ R s r s ( ) ( ) lim g( ) ( s ) r s! g( ) s d ( ) lim ( s ) r s! d g( ) s d ( ) lim r s d g( ) ( ) s lim r g( ) ( i) ( α + βi ) α + β s Cs g( α + βi) s α C ( cos β + isi β) s s ( α + βi ) Utuk α iβ C s s α maka ( cos β i si β) s α (( Cs + C s ) cos β + ( C s C s ) i si β) s α ( Acos β + B si β) Shigga solusi prsamaa (.8.7) mjadi: α α cos β, si β, α α cos β, si β, cos β,..., α s si β,..., α s α α cos β si β
4 Dga kata lai utuk akar r ag brordr s dari prsamaa karaktristik ( ) g ssuai dga suku pada prsamaa (.8.4) Olh kara itu prsamaa (.8.) adalah solusi dari prsamaa (.8.) mgadug kostata ag sbarag, ag mgakibatka prsamaa (.8.) adalah solusi umum dari prsamaa (.8.) Cotoh.8. Dibrika prsamaa '' ' + Mmpuai ' ' ' + r r + ( r )( r ) g ( ) ( ) R s ' R s '' R s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 ( ) R s g( ) ( ) ( ) ( ) R s R s + R s ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) d lim lim lim ( ) + d ( ) d d d ( ) lim + d ( ) ( ' ( ) + ( ) )( ) ( ) ( ) lim 4 ( ) ( '( ) + ( ) )( ) ( ) ( ) lim 4 4 ( ) ( ) ( '( ) + ( ) ) ( ) lim ( ) ( ) ' ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rs ( ) g( ) R lim lim lim ( ) s ( ) d ( ( ) ) d ( '( ) + ( ) ) ( '( ) + ( ) ) ( '( ) + ( ) ) ( C + C ) r C (C adalah kostata ag sbarag) Cotoh.8. ''' '' ' Dibrika prsamaa + 5 6 Mmpuai ''' '' + r + r ' 5 6 5r 6 ( r )( r + )( r + ) g( ) ( )( + )( r + )
44 '' ''' R Rs ' R s R s R s ( ) s g( ) ( ) ( ) + Rs ( ) ( + ) + Rs ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R s R s R s 5 R s 6 R s lim lim + R s ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + R + R ( ) ( + ) ( ) s ( + ) ( ) s ( + ) + R s ( ) s ( + ) ( ) s ( + ) ( ) s ( + ) ( ) + ( + ) ( ) + 5 6 ( ) ( ) + 5 6 + R + R ( ) ( + ) ( ) s ( + ) ( ) s ( + ) ( ) R s + ( + ) ( ) + R s ( + ) ( ) R s ( + ) ( ) ( + ) ( ) + 5 6 ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 5. 6 5 6 + + ( + ) ( ) ( ) + 5 6 ( + ) + + R R s lim C + R + R + R + R s R s + + + lim ( ) s g( ) ( ) ( ) ( ) + R s + R s ( ) ( + ) ( + ) ( ) + lim ( ) + lim ( ) + ( ) + ( ) + C + C +
45 r C ( C adalah kostata ag sbarag).9 Tasir Al-Qur a Surah Al-Isirah aat 5-6 5. Kara Ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha, 6. Ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha.: Murut Alamah Kamal Faqih Imai (6) dalam tasira ag brjudul tasir Nurul Qur a; mskipu baak sjumlah muasir tlah mmasukka maksud ksulita dalam aat-aat trsbut kdalam ksgsaraa iasial umum kaum muslim di prmulaa Islam, tapi kluasa maka dari aat trsbut sbara mcakup sgala ksulita. Dua aat ii diataka dalam suatu gaa ag mmprlihatka bahwa kduaa tidak haa ditujuka kpada Nabi saw da umat diamaa. Atura ii brsiat umum da brlaku bagi smua grasi mausia. Kdua aat ii mmbsarka hati kaum mukmi ag ikhlas utuk mgal da makii, bahwa ksulita atau ksuakara apapu ag dihadapia dijala Allah, maka Allah satiasa mmbrika solusi, jala kluar. Allah pasti aka mmbrika kuci pmbbasa pada suatu jala ag mgatarka mrka pada kmudaha da kbahagiaa. Lbih lajut dapat diartika, solusi atau pigkapa masalah tidak smata-mata datag SETELAH ksulita. Tapi ia (kmudaha itu mmag disrtaka DENGAN-a (ksulita). Atau dga kata lai dalam stiap ksulita ag dihadapi slalu disrtaka kmudaha di dalama (Alamah Kamal Faqih Imai, 6:58). Said Quthb dalam tasir Fi Zhilalil Qur a mgataka ssugguha dalam ksulita itu tidak trlpas dari kmudaha ag mrtai da mgirigia. Hal ii sudah mrtaimu scara praktis. Maka, ktika trasa
46 brat bba tugasmu, kami lapagka dadamu, shigga trasa riga bba ag mmbratka puggugmu. Kmudaha aka slalu mgirigi ksulita, mghilagka bba da rasa brata. Prsoala trsbut srius higga diulag kali pbuta kalimata. Arti aat trsbut juga mgisaratka bahwa Rasul saw. Brada dalam ksulita, ksmpita da pdritaa ag, mmrluka prhatia sprti ii (Said Quthb, :96). Sdagka murut Dr Aisah dalam Tasir Bitus-Sathi mgataka bahwa aat trsbut trjadi pgulaga utuk miadaka kragua da mgukuhka ksaga. Para ahli balaghah (gaa bahasa) mgaggap pgulaga trsbut trmasuk ith ab ag brlbiha mus aw ah. Da ia mmaligka kita dari baa Qur i (ktraga Al-Qur a) bahwa pgulaga juga trjadi di dalam surah-surah ag pdk di ataraa surah Al-Qadr, Altak atsur, Al-Kairu, da Al-Nas, di maa dalam kadaa ag sprti tak ada pgulaga kata atau kalimat. Kotks aat-aat prtaaa-ptapa da pgukuha pampaia dga laka da agka mritis jala bagi kttapa pasti da tgas utuk mgahadapi sgala kragua. Di atara para muasir ada ag brpalig kpada pgguaa ma a (brsama atau bsrta), atau ag srupa dgaa, mujukka prbdaa waktu. Al-Zamakhsari mgataka ssugguha Ma a adalah shuhbah (kbrsamaa dalam brkawa). Da makaa adalah kmudaha mrtai ksulita, bahwa Allah aka mimpaka kpada mrka-aki orag-orag brima kmudaha, ssudah ksulita. Maka didkatkalah kmudaha shigga ia saka dijadika sbagai ragkaia dari ksulita, utuk hibura da mguatka hati.
47 Trtulis dalam Al-Bahr Al-muh ith: koo di dalam stiap ksulita ada kmudaha, aki bahwa Al usr (ksulita) diktahui sbagai jaji da Al-usr sbagai suatu ktuggala da kduaa brbda. Bgitu juga kmudaha kdua itupu satu. Apabila ia kalimat baru, maka iapu dua. Da bila tidak, ttulah malahi atura. Da apabila ag dijajika itu dua, maka murut lahira kdua kmudaha itu brbda. Bila tidak, maka sharusa sbaika di ulag al-usr ag kdua dga pgrtia suatu jaji. Shigga, ia adalah satu. Pgulaga prtama adalah utuk mmatapkaa di dalam jiwa. Namu sbaika, kmudaha di dalama brbda dga ag prtama kara tidak ada pgrtia jaji (Dr Aisah, 996:6). Kita mmadag bahwa urusa itu lbih jlas dari pada skdar mmaksaka pjlasa-pjlasa rumit ag mgsampigka aspk baa. Kita sampai pada ksimpula urusa trsbut bahwa dua kmudaha tidak dikalahka olh satu ksulita. Atau bahwa aat ag kdua adalah kalimat baru, shigga makaa lbih ptig dari mdahuluia. Kita lbih cdrug bahwa aat kdua mrupaka pgukuha aat prtama utuk mmprkuat kakia jiwa da mgukuhka karuia Allah kpada hamba-na, misala klapaga dada da plpasa bba. Pdapat ag kuat bahwa al didalam al-u sr adalah utuk ahd (prjajia), buka skdar pghambura ugkapa. Maksuda, Rasul tak mrasaka ksmpita dada, bba ag brat, srta problm brat. Adapu puggala usr, kmudaha, adalah agar trbtag didalama mda kospsi da kbbasa, shigga ada gambara ag lbih luas, sprti dikata olh muasir. Sbab pmbatasa
48 pmahama usr disii mghirauka iormasi Qurai da lbih mukai kbbasa tapa batas (Dr Aisah, 996:8). Firma-Na, kara ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha, ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha, aat ii mrupaka kabar gmbira aka dataga kmudaha utuk bliau da para sahabata stlah 7mrasaka pahit gtira hidup, maka Rasulullah saw mgabarka kabar gmbira ii kpada para sahabata dga mgataka, ssuatu ksulita tidak aka mgalahka dua kmudaha, suatu ksulita tidak aka mgalahka dua kmudaha. Dari aat trsbut para muasir mjlaska, misala ktika gkau tlah slsai dari shalat da brikir, maka brsgralah utuk mlsaika pkrjaa duiamu. Kara gkau tlah slsai brjihad, maka lajutkalah dga ibadah haji. Maksuda bahwa stiap muslim hidup dga puh ksugguha da susah paah, tidak ada waktu ag sia-sia da utuk brmai atau utuk brmalas-malasa da mlakuka kbatila (Jabir Al-jaair, 9: 967).
49 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ii aka dibahas ttag bagaimaa cara mlsaika prsamaa dirsial Cauch-Eulr ord- dga Torma Rsidu.. Solusi umum dari prsamaa dirsial Cauch-Eulr Homog Torma.. Prsamaa dirsial Cauch-Eulr Homog ( ) ( ) a + b + a a + b +... + a (..) Misalka sbarag ugsi rgular, da dimaa jumlah ag diambil smuaa adalah ol dari polomial g shigga brlaku g A... + a A... + +... + a A + a Maka solusi umum dari prsamaa (..) dibrika olh ( + ) g ( ) A B R s (..) Dimaa pjumlaha itu diambil atas smua ugsi sigularitas dari ( + ) g ( ) A B Yaitu atas smua ilai dari polomial g
5 Bukti : Jika d ' d ( + ) g ( ) A B R s ( + ) g ( ) A B R s ( + ) g ( ) ( + ) g ( ) ( + ) g ( ) ( + ) g ( ) A B R s.. A A B R s. A B " R s. ( + ) g ( ) A B "' R s. ( ) A B s R.... + Maka k ( + ) R. ( )( )...( ( ) ), ( ) g ( ) k,..., k A B s k Olh kara itu ( ) ( ) + a +... + a ( + ) g ( ) A B Rs A... + a A... + +... + a A + a R s A + B ( ) Kara ugsi ( )( A + B) diasumsika rgular, maka murut torma.4. R s ( ) shigga s ( )( A B) R + Jadi prsamaa (..) adalah solusi dari prsamaa (..). Aka dibrika
5 bukti bahwa solusi ii adalah umum. Jika r adalah suatu akar sdrhaa dari prsamaa g ( ), aitu suatu kutub sdrhaa dari ugsi ( + ) g ( ) A B Maka R s r ( )( A + B) g ( ) ( )( A + B) ( r) g ( ) ( )( A + B) ( r) ( A B ) g ' g ' r lim r lim + r r Ktika suatu ugsi sbarag, shigga ( r) g' ( r) adalah suatu kostata ag sbarag ag maa akar sdrhaa dari prsamaa karaktristik g ( ) ssuai dga suku kasus aitu: r C ( C adalah kostata ag sbarag). Shigga ada tiga. Jika r adalah akar ragkap, brordr s dari prsamaa g ( ) torma.4. maka diprolh prsamaa brikut: Misal ( A + B) l ( A + B), murut R s r ( ) s lim! r s g s g (..) Dimaa ( r) s g( )
5 Utuk s R s r lim ( )! r ( ) lim r g ( ) r ( r) g ( r) s s g s g C r Utuk s R s r s lim ( )! r s g s g ( ) d ( ) lim r d g ( ) ( ) lim r g ( ) ( ) lim l ( A + B) r g ( ) r ( r) r l ( A + B) C l ( A + B) g ( r) Utuk s s R s r ( ) ( ) ( ) r g ( ) ( ) r g ( ) r ( ) ( ) s lim s g s! r g s d lim! r s s d g s d lim r s d g lim s lim s l + ( A B) r s r s l + s + g r ( A B) C l ( A B)
5 ( s Ktika ugsi ag sbarag, ( r), '( r),..., ) ( r) kostata sbarag, jadi prsamaa (..) mjadi ( s ) l... l s r C + C A + B + + C A + B (..4) Dimaa C,...,C adalah kostata ag sbarag s. Jika r adalah akar brbda, maka R s r ( ) s lim! r s g s g (..5) Dimaa ( r )( r )...( rs ) g( ) Utuk r R s r lim ( )! r ( ) lim r g ( ) r ( r ) r g ( r ) r s s g s g C r Utuk r R s r lim ( )! r ( ) r g ( ) r ( r ) g ( r ) s s g s g lim ( ) r C r r r
54 Utuk rs R s rs s lim ( )! r s s ( ) lim. ( )( )...( ( ) ) rs g ( ) rs ( rs ). r ( r )( r )...( r + ) g ( rs ) rs C r ( r )( r )...( r + ) g s g s Ktika ugsi ag sbarag, ( r C ) ( r C ),..., ( ) kostata sbarag, jadi prsamaa (..5) mjadi, r ( ) r... r s C r C r r Cs r r r... r Dimaa r s C s + + + + (..6) C,...,Cs adalah kostata ag sbarag. Jika r adalah akar komplks, maka ( ) g( ) ( s ) ( ) g( ) s R s lim (..7) r r s! Dimaa ( ri ) g( ) r i α + βi, i,,..., s Y i ( α ± βi ) α α α ± iβ iβ ( cos β ± i si β) Solusi umuma ag brkaita dga akar komplks ii adalah: Y C Y α α α α ( cos β + i si β) + C ( cos β i si β) (( C + C ) cos β + i( C C ) si β) ( Acos β + Bsi β)
55 Dimaa A C + C B i( C ) Utuk α + iβ, C R s r s ( ) lim g( ) ( s ) r s! ( ) lim r g( ) ( i) ( α + βi ) α + β g( α + βi) ( ) g( ) C ( α + βi ) α C ( cos β + i si β) Utuk α iβ C α maka ( cos β i si β) α (( C + C ) cos β + ( C C ) i si β) α ( Acos β + Bsi β) Utuk α + iβ R s r s ( ) lim g( ) ( s ) r s! d ( ) lim r d g( ) ( ) lim r g( ) ( i) ( α + βi ) α + β g( α + βi) ( ) g( ) C ( α + βi ) α C ( cos β + isi β) Utuk α iβ C maka α ( cosβ isi β) α (( C + C ) cos β + ( C C ) isi β) α ( Acos β + Bsi β)
56 Utuk α + iβ R s r s ( ) ( ) lim g( ) ( s ) r s! g( ) s d ( ) lim ( s ) r s! d g( ) s d ( ) lim r s d g( ) ( ) s lim r g( ) ( i) ( α + βi ) α + β s Cs g( α + βi) s α C ( cos β + isi β) s s ( α + βi ) ( ) Utuk α iβ C s s α maka ( cos β i si β) s α (( Cs + Cs ) cos β + ( Cs Cs ) i si β) s α ( Acosβ + Bsi β) Shigga solusi prsamaa (..7) mjadi: α α cosβ, si β, α α cosβ, si β, cosβ,..., α s si β,..., α s α α cosβ si β Dga kata lai utuk akar r ag brordr s dari prsamaa karaktristik g ssuai dga suku pada prsamaa (..4) Olh kara itu prsamaa (..) adalah solusi dari prsamaa (..) mgadug kostata ag sbarag, ag mgakibatka prsamaa (..) adalah solusi umum dari prsamaa (..)
57 Cotoh.. d d d Dibrika prsamaa + d d d Jawab : Kita subsitusika t utuk di trasormasika k prsamaa di atas dga variabl bbasa adalah t. d d d d t d ; dt d dt d d Maka d d d dt d d d d d d d + dt dt d dt d dt d d d d d d t + + dt d dt dt d d d +. dt d d d d d dt dt
58 dt dt dt d d d + dt d d d d d d d d d d d d d + + + dt d dt d dt d dt d d d d d d d + + + d d dt d d dt d d d d d + + + d d d d dt d d d + + dt d d d d d + + dt dt d d d d + + dt dt dt d d d Maka + dt dt d d d dt d Substitusika d d d dt d dt d d dt d + dt dt Misal d/dt r r ( r )( r )( r ) g r ( ) ( ) + r d dt d + dt
59 R ' R ' ' R ' R '' t ( ) s ( ) t ( ) s ( ) t ( ) s ( ) ( ) s ( ) R ( ) s g ( ) t t R R + R + R t t t t s s s s t t t t d d d d lim lim + lim + lim d d d d d lim ( + + ) d lim ( 6 + ) ( ) ( ) ( ' + )( ) ( ) 6 ( ) ( ' + )( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) t lim ( 6 + ) ( ) ( ) ( ) t ' + t lim ( 6 + ) 4 + ( ) t t t t t t t t ( ) t t ' t ( 6 + ) 4 t
6 Cotoh.. g ( ) ( ) t R s R s d lim d t ( ( ) ) t t lim ( '( ) ( ) t ) t lim ( '( ) ( ) ) ( '( ) ( ) ) ( C C ) ( C C ) t + + + + + rt C (C adalah kostata ag sbarag) Dibrika prsamaa 4 4 d d 7 d + d + 6 4 d d d d Jawab : Kita subsitusika t utuk di trasormasika k prsamaa di atas dga variabl bbasa adalah t. d d d d t d ; dt d dt d d Maka d d d dt d d d d d d d + dt dt d dt d dt d d d d d d t + + dt d dt dt d d d +. dt d d d d d dt dt
6 dt dt dt d d d + dt d d d d d d d d d d d d d + + + dt d dt d dt d dt d d d d d d d + + + d d dt d d dt d d d d + + + d d d d d d d + + d d d d d d + + dt dt d dt dt dt 4 d d d 4 d d d d + + dt d d dt d d d d d d d d d d d d + + + + + dt d dt d dt d dt d dt d dt d 4 d d d d d d d d d + + + + + 4 d d dt d d dt d d dt 4 d d d d d 4 d + + + + + 4 d d d d d d 4 d d d 4 d + + + 4 d d d d 4 d d d 4 d + + + 4 dt dt dt d
6 Maka 4 4 4 d d d d d 4 4 d dt dt dt dt d d d d d dt dt dt d d d d dt dt d d d dt Substitusika 4 4 d d d d + + 4 + 8 + 6 4 d d d d 4 d d d d d d d d d d 4 + + 4 + 8 + 6 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt Misal d/dt r 4 r r r 5 + + 4 ( r )( r )( r + )( r + 4) g ( ) ( r )( r )( r + )( r + 4) R ( ) s g ( ) t R s + R s + R s + R s + 4 + 4 t t t t t ( ) t ( ) t ( ) ( ) ( ) ( ) t ( ) 4 ( ) t t t t ' R s + R s + R s + R s 4 + + 4 R s + R s + R s + R s + 4 + 4 t t t t '' R R R ''' s + s + s + R s + + 4 R s + R s + R s + R s + 4 + 4 t t t t '''' 4 4 4 4
6 R s ( ) g ( ) ( ) ( ) t t t t 4 4 4 4 R s + R s + R s + R s 4 + + 4 t t t t 5 R s + R s + R s + R s + 4 + + 4 t t t t R s + R s + R s + R s + ( ) ( ) 4 + ( + 4) ( ) 4 R s + R s + R s + R s 4 + + 4 t t t t t ( ) t 4 4 lim( 5 + + 4) lim( 5 4) + + + ( ) ( ) ( ) ( ) t ( ) t 4 4 + lim ( 5 + + 4) + lim ( 5 + + 4) 4 + + 4 t ( ) t 4 4 5 + + 4 + 5 + + 4 t t 4 ( ) 4 ( ) (( ) 5( ) + ( ) + 4) + ( 4 5 4 + 4 + 4) + ( + 4) + + R t ( ) s g ( ) t ( ) ( ) t ( ) ( ) t ( ) ( + ) t ( ) ( + 4) t t t t R s + R s + R s + R s 4 lim + lim + lim + lim 4 ( ) ( ) ( 4) + + + t t t 4t C + C + C + C t t 4 4 C + C + C + C 4 4 rt C (C adalah kostata ag sbarag)
64 Cotoh.. Dibrika prsamaa d d + 5 d d Jawab : Kita subsitusika t utuk di trasormasika k prsamaa di atas dga variabl bbasa adalah t. d d d d t d ; dt d dt d d Maka d d d dt d d d d d d d + dt dt d dt d dt d d d d d d t + + dt d dt dt d d d +. dt d d d d d dt dt d d d Maka d dt dt d d d dt Substitusika d d + 5 d d d d d 5 + dt dt dt d dt d 4 + 5 dt
65 Misal d/dt r r 4r + 5 Maka akar karaktristika 4 ± i, i,,,... Dimaa ( ri ) g( ) Y i ( 4± ) i ± 4 i 4 i ( cos si ) 4 i ± Solusi umuma ag brkaita dga akar komplks ii adalah: 4 4 ( cos si ) ( cos si ) (( ) cos ( ) si ) ( cos si ) Y C + i + C i + + 4 C C i C C 4 Y A + B Dimaa A C + C B i( C ), C Utuk α + iβ, α 4, β R s r s lim s ( )! r ( ) lim r g ( ) ( 4+ 4 + i ) g ( 4 + i) g s g i ( + ) 4 i 4 ( cos si ) C C + i Utuk α iβ ( cos si ) 4 ( + ) + ( ) 4 ( Acos + Bsi ) 4 C i ( cos si ) maka C C C C i
66 Utuk α + iβ R s r s lim ( )! r s d ( ) lim r d g ( ) ( ) lim r g ( ) ( 4+ i 4 ) + i g ( 4 + i) g s g ( 4+ i) 4 ( cos si ) C C + i Utuk α iβ ( cos si ) 4 ( + ) + ( ) 4 ( Acos + Bsi ) 4 C i ( cos si ) maka C C C C i Utuk α + iβ R s r s lim ( )! r s g s g ( ) s d ( ) lim ( )! r s s d g ( ) s d ( ) lim r s d g ( ) ( ) s lim r g ( ) ( 4+ i 4 ) + i s s g ( 4 + i) s 4 C ( cos + i si ) s s C ( 4+ ) i
67 Utuk α iβ ( cos si ) s 4 ( s s ) ( s s ) s 4 ( Acos Bsi ) s 4 Cs i ( cos si ) maka C + C + C C i + Shigga solusi prsamaa (..7) mjadi: 4 4 4 s 4 cos, cos, cos,..., cos 4 4 4 s 4 si, si, si,..., si. Pmcaha problma scara matmatis da murut agama Islam Plsaia suatu prsamaa Cauch-Eulr mmbutuhka suatu tatacara da uruta srta pgaplikasia torma ag ssuai supaa dapat trslsaika, dalam hal ii pliti mcoba mlsaika prsamaa Cauch-Eulr dga mgaplikasika torma Rsidu, dalam pross trsbut haruslah dapat dibuktika bahwa torma Rsidu trsbut bisa mlsaika prsamaa Cauch-Eulr. Foma ii apabila kita lihat dari sudut padag sorag muslim sama hala dalam mlsaika suatu prmasalaha haruslah dga usaha da doa. Slai itu kita juga harus ttap aki bahwa dalam ksulita pastitrdapat kmudaha bgi orag-orag ag brusaha. Hal ii ssuai dga irma ALLAH SWT dalam Al-Qur a Surat AL-Isroh aat 5-6 5. Kara Ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha, 6. Ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha.:
68 Blajar mmahami da mmcahka suatu prsoala dga ikhlas da ttap brpgag tguh pada aat-aat Allah mrupaka suatu kharusa bagi sorag muslim. Dga mlakuka plitia ii pulis mmahami bahwa dalam mlsaika suatu masalah kita harus brusaha, sabar da ihklas, kara di dalam ksulita pasti ada kmudaha, atau dga kata lai di dalam ksulita pasti disrtaka juga jala kluara. Pulis juga aki aka irma Allah dalam Al-Qur a Surat AL-Isroh aat 5-6 ag mbutka 5. Kara Ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha, 6. Ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha. Murut Imai (6) Kdua aat ii mmbsarka hati kaum mukmi ag ikhlas utuk mgal da da makii, bahwa ksulita atau ksuakara apapu ag dihadapia dijala Allah, maka Allah satiasa mmbrika solusi, jala kluar. Allah pasti aka mmbrika kuci pmbbasa pada suatu jala ag mgatarka mrka pada kmudaha da kbahagiaa. Sama hala pliti dalam mlsaika problma prsamaa Cauch ulr ii ( ) ( ) a + b + a a + b +... + a ag mghasilka solusi umum dari prsamaa trsbut aitu: ( + ) g ( ) A B R s hal ii tlah dibuktika olh pliti dalam pmbahasa. Bisa pliti ikirka apabila torma tidak ssuai dalam mgaplikasikaa pada suatu torma maka sulit ditmuka pmcahaa. Fakta pliti dalam mlsaika tugas ii mmbrika gambara aka ptiga sorag muslim ag baik haruslah ssuai dga kaidah ajara islam. Pada agama islam sagat jlas dalam mlsaika suatu problma hdaklah brhujjah pada Al-qur a slajuta lbih diprici olh
69 suah Rasulullah saw ag mutawatir da shohh. Slajuta apabila masih ada masalah sulit/ racu dari sisa hukum ag didapat maka disaraka dga brmusawarah dga para tabi i da ulama. Murut ulama-ulama iqh, dasar-dasar hukum dalam mlsaika masalah bagi sorag muslim dapat diurutka mulai brsadar pada Al-Qur a, Hadits, Ijma (prspakata ulama-ulama islam dalam matuka masalah ijtihadiah) da Qias (mtapka suatu hukum trhadap suatu hal ag blum ditragka olh al-qur a da al-suah dga diaalogika kpada hukum ssuatu ag sudah ditragka hukuma olh al-qur a atau al-suah, kara ada sbab (illah) ag sama). Diriwaatka pada suatu ktika Nabi mgutus sahabata k Yama utuk mjadi Gubrur disaa. Sblum bragkat Nabi mguji sahabata Mu as bi Jabal dga maaka sumbr hukum ag aka diprguaka klak utuk mmcahka brbagai masalah da sgkta ag dijumpai di darah trsbut. Prtaaa itu dijawab olh Mu as dga mgataka bahwa dia aka mmprguaka Qur a, sdagka jika tidak trdapat di Qur a dia aka mmprguaka Hadist da jika tidak ditmuka di hadist maka dia aka mmprguaka akal da aka mgikuti pdapata itu. Brdasarka Hadist Mu as bi Jabal dapat disimpulka bahwa sumbr hukum Islam ada tiga, aitu: Qur a, Suah Rasul da Akal pikira mausia ag mmuhi sarat utuk brijtihad (Abdullah, 4). Sama hala bagi pliti dalam mlsaika masalah matmatis ii sbara ssuai atau bisa dibilag diambil dari tatacara sorag muslim dalam mgambil suatu hukum dalam mlsaika suatu masalah. Buktia pada tahap awal pliti mgaalisis prsamaa Cauch-Eulr da torma ag
7 bar-bar ssuai brdasarka pliti sbluma Ik Harli, (9) dga judul Aplikasi Torma Rsidu Utuk Mlsaika Prsamaa Dirsial Liir Ord-, dalam hal ii pliti tlah mbuktika torma Rsidu da trbukti dapat diaplikasika pada prsamaa Cauch-Eulr. Foma trsbut ssuai dga sorag muslim ag igi mlsaika problma dga brhujjah pada kitabullah da al-hadits, ag dalam islam juga dibutuhka tatacara ag bar-bar ssuai utuk mcari aat ag ssuai dga problma ag dihadapi, shigga prlu diaalisa scara mdalam. Jadi mskipu baak aat da hokum dalam Islam dalam mlsaika suatu maslah haruslah dipilih ag palig tpat da akurat. Prmasalaha ag dihadapi pliti juga mmrluka batua pgmbaga dalam mlsaika masalah ii, sbab soal prsamaa Cauch- Eulr mrupaka pgmbaga dari suatu ilmu matmatika scara umum bgitu juga dga torma Rsidu juga mrupaka suatu torma ag diaplikasika da mghasilka suatu akar - akar prsamaa dirsial Cauch-Eulr aitu: akar ragkap r r r... r r r r..., r r, da akar, akar brbda komplks r i α ± βi, da akar-akar trsbut harus dislsaika dga pmaktora scara umum. Sbara pross ag dilakuka pliti bisa dimisalka dalam islam dalam mka hukum khomr da alkohol, ag slai mgguaka Al- Qur a da Hadits juga dga Qias. Fakta ii bisa kita ahami bahwa Qias adalah mamaka hukum sara satu kasus dga kasus lai kara kduaa mmpuai prsamaa illat atau kduaa mmpuai prsamaa pbab adaa hukum sara bagi masig-masig. Yag dijadika rujuka adalah kasus
7 ag ada kttuaa dalam Al-Qur a da/atau Hadits, aitu dga mmbadigka illat-a atau sbaba dga kasus ag aka dittapka hukuma. Cotoh hukum ag dittapka dga qias adalah kharama alkohol dimaa alkohol mmiliki siat ag sama dga khamar, aitu mmabukka bagi ag mmiuma, da prmasalaha trsbut tidak brhti disitu saja sbab skarag ada ag amaa tap da kta ag dalam pmbuata mlalui pross rmtasi da jlas mgadug alcohol da hal trsbut mrupaka topic ag cukup diprbicagka dikalaga ulama skarag (Bakr, 984). Foma trsbut juga sama hala dga masalah ag dialami pliti, dari hasil pmbuktia masih trdapat akar-akar ag harus dituruka utuk dislsaika ssuai dga lagkah-lagkah pmbahasa ag ada.
7 BAB IV PENUTUP Ada bbrapa hal ag prlu dicatat sbagai ksimpula da sara utuk pgmbaga da prbaika dalam mtuka prsamaa dirsial Cauchulr ord- dga mgguaka Torma Rsidu. 4. Ksimpula Dari hasil kajia sbluma dapat diambil ksimpula bahwa jika dibrika Prsamaa Dirsial Cauch-ulr Homog Ord- ag mmpuai btuk umum: ( ) ( ) a + b + a a + b +... + a (4..) mmpuai plsaia: Dga ( + ) g ( ) A B R s (4..) g A... + a A... + +... + a A + a da ( ) adalah ugsi rgular. Dimaa pjumlaha itu diambil atas smua ugsi sigularitas dari ( + ) g ( ) A B aitu atas smua ilai dari polomial g Utuk mcari btuk-btuk solusi dari prsamaa dirsial Cauchulr homog diguaka siat:
7 R ( ) lim lim r r g r g r g ' ( ) g '( r ) s r Dalam mmuka solusi prsamaa dirsial liar ord- dga mgguaka Torma Rsidu mmpuai jis plsaia sbagai brikut:. Jika r adalah akar ragkap, brordr s dari prsamaa g ( ) r, maka R s r ( ) s lim! r s g s g Dimaa ( r) s g( ) ( s Ktika ugsi ag sbarag, ( r), '( r),..., ) ( r) sbarag, jadi prsamaa () mjadi ( + ( + ) + + s ( + ) ) l... l s r C C A B C A B Dimaa C,..., C s adalah kostata ag sbarag. Jika r adalah akar brbda, maka kostata R s r ( ) s lim s g s! r g Dimaa ( r )( r )...( rs ) g( ) Ktika ugsi ag sbarag, ( r C ) ( r C ),..., ( ) kostata sbarag, jadi prsamaa (5) mjadi, r ( ) r... r s C r + C r r + + Cs r r r... r + Dimaa C,..., C s adalah kostata ag sbarag. Jika r adalah akar komplks, maka r s C s R s ( ) g( ) ( s )! lim r s r s ( ) g( )
74 Dimaa ( ri ) g( ) r i α + βi, i,,..., s ( α + βi) Y i α α α + iβ iβ ( cos β + i si β) Solusi umuma ag brkaita dga akar komplks ii adalah: Y C Y α α α α ( cos β + i si β) + C ( cosβ i si β) (( C + C ) cosβ + i( C C ) si β) ( Acos β + Bsi β) Dimaa A C + C B i( C ), C Shigga solusi prsamaa mjadi: α α cos β, si β, α α cos β, si β, α s cos β,..., α s si β,..., α α cos β si β 4. Sara Skripsi ii mrupaka tulisa ttag mtuka prsamaa dirsial cauch-ulr ord- homog dga mgguaka Torma Rsidu. Pliti lai disaraka utuk mgmbagka aplikasi Torma Rsidu pada masalah laia sprti pada prsamaa dirsial parsial.
75 DAFTAR PUSTAKA Abdurrahma Aisah.. Tasir Bitushi-sathi. Badug: Al-Mia Al-jaairi Jabir Abu Bakar.9. Tasir Al-Qura Al-Aisar jilid 7. Jakarta Timur: Darus Suah Prss. Baiduri,. Prsamaa Dirsial da Matmatika Modl. Malag: UMM Prss. Bakr, Naar Drs. 984. Fiqh da Ushul Fiqh. Padag : Aksara Prsada. Abidi Fiiio, 988. Prsamaa Dirsial Biasa dga Prapa Modr Edisi Kdua. Jakarta: Erlagga. Faqih Imai, Alamah kamal. 6. Tasir urul Qura. Jakarta: Al-Huda. Joh, D. Paliouras, 975. Pubah Komplks utuk Ilmua da Isiur. Rochstr Istitut ot Tcolog. Kartoo, 994. Prsamaa Dirsial, Yogakarta: Ad Ost. Mitriovi, D. S, Kki, J. D, 98. Th Cauch Mthod o Rsidus. Uivrsit o Blgrad, Yugoslavia. Murra, R. Spigl, 964, Pubah Komplks, Schaum s sris, Mc Graw-Hill. Murra, R. Spigl, 965. Trasormasi Laplac, Schaum s sris, Mc Graw- Hill. Mursita, Daag, 5. Matmatika Lajut utuk Prgurua Tiggi. Badug. Quthb,Said,, Tasir i Zhilalil Qur a Jilid. Jakarta: Gma Isai Richard, Habrma. Elmtar Applid Partial Dirtial Equatio with Fourir sris ad Boudar Valu Problm. Prtic Hall Itratioal,
76 Ic. Sa, E.B, Sidr, A.D, 99, Fudamtal o Compl Aalsis or Mathmatics, Scic, ad Egirig, Prtic Hall Ic, Amrica. Somatri, R, 994, Fugsi Variabl Komplks, Yogakarta. William, E. Boc, Richard C. Diprima, 986, Elmtar Dirtial Equatios ad Boudar Valu Problms, Caada.
77