KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1
INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik dengan r t = x t i + y t j + z t k, a t b, maka integral garis dari f atas adalah f(x, y, z)ds = lim f(x k, y k, z k ) s k n terpenuhi jika limitnya ada. n k=1 2
INTEGRAL GARIS How to evaluate a Line Integral? Untuk mengintegralkan fungsi f(x,y,z) atas kurva : 1. Temukan parametrisasi smooth dari, r t = x t i + y t j + z t k. 2. Taksir integral nya yaitu dimana, f(x, y, z)ds v = ds dt = b = f(x t, y t, z(t)) v(t) a dx dt 2 + dy dt 2 + dz dt 2 dt. 3
ontoh : Integralkan f x, y, z asal (1,1,1). = x 3y 2 + z atas kurva dengan titik Solusi : Pilih parameterisasi paling sederhana, yaitu r t = ti + tj + tk, 0 t 1. Komponen tersebut memiliki turunan pertama yang kontinu dan v(t) = i + j + k = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 tidak pernah bernilai nol, maka parameterisasinya smooth. 4
ontoh : Integral dari f atas adalah 1 1 f(x, y, z)dr = f(t, t, t)( 3) dt = (t 3t 2 + t)( 3) 0 0 1 = 3 (2t 3t 2 ) dt 0 = 3 t 2 t 3 1 0 = 0 dt 5
INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Medan Vektor Definisi : Misalkan F adalah medan vektor (vector field) dengan komponen kontinu yang didefinisikan sepanjang kurva smooth yang diparameterisasi oleh r t, a t b. Maka integral garis F sepanjang adalah F(r) ds = F dr ds ds = F dr. 6
INTEGRAL GARIS Menaksirkan Integral Garis dari F = Mi + Nj + Pk sepanjang : r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 1. Ekspresikan vector field F dalam bentuk kurva parameterisasi sebagai F(r(t)) dengan mensubstitusikan komponen x = x t, y = y t, z = z t dari r dalam komponen skalar M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) dari F. 2. Temukan turunan (kecepatan) vektor dr dt. 3. Taksir integral garis yang bergantung pada parameter t, a t b, untuk mendapatkan F(r) dr = F r t r t dt a b 7
ontoh : Taksirkan F(r) dr dimana F x, y, z = zi + xyj y 2 k sepanjang kurva yang diberikan oleh r t = t 2 i + tj + tk, 0 t 1. Solusi : Diketahui dan F r t = ti + t 3 j t 2 k dr dt = 2ti + j + 1 2 t k. 8
ontoh : Sehingga, F(r) dr = F r t r t dt 0 1 = 2t 3 2 + t 3 1 2 t3 2 dt 0 1 = 3 2 2 5 t5 2 + 1 4 t4 1 0 = 17 20. 9
INTEGRAL GARIS Integral garis pada bidang Hitung nilai integral garis dari (1) saat F r = y, xy = yi xyj dan adalah lengkungan yang digambarkan sebagai berikut 10
INTEGRAL GARIS Integral garis pada bidang Solusi : dapat kita nyatakan sebagai r t = cos t, sin t = cos t i + sin t j, dimana 0 t π 2. Maka x t = cos t, y t = sin t, dan F r(t) = y t i x t y t j = sin t i cos t sin t j. Dengan diferensial diperoleh r t = sin t i + cos t j, 11
INTEGRAL GARIS Integral garis pada bidang Sehingga, F(r) dr = sin t, cos t sin t [ sin t, cos t] 0 π 2 π 2 = sin 2 t cos 2 t sin t dt Misal : cos t = u = 0 π 2 0 1 2 0.4521 0 1 cos 2t dt u 2 du = π 4 0 1 3 1 12
Ingat! Aturan Trigonometri 13
INTEGRAL GARIS Integral garis pada ruang Perhitungan integral garis pada ruang pada dasarnya sama dengan integral garis pada bidang. Hitung nilai integral garis dari (1) saat F r dan adalah spiral yang digambarkan sebagai berikut = z, x, y = zi + xj + yk 14 r t = cos t, sin t, 3t = cos t i + sin t j + 3t k dimana 0 t 2π.
INTEGRAL GARIS Integral garis pada ruang Solusi : Dari persamaan (2) diperoleh x t = cos t, y t = sin t, z t = 3t Maka F r t r t = (3ti + cos t j + sin t k) ( sin t i + cos t j + 3k) Dengan perkalian product didapatkan F r t r t = 3t sin t + cos 2 t + 3 sin t 15
INTEGRAL GARIS Integral garis pada ruang Maka diperoleh, F(r) dr = 2π 0 ( 3t sin t + cos 2 t + 3 sin t)dt = 6π + π + 0 = 7π 21,99 16
SIFAT-SIFAT INTEGRAL GARIS Sifat integral garis sesuai dengan sifat integral tentu dalam Kalkulus, yaitu : 1. kf dr 2. (F + G) dr 3. F dr = k F dr = F dr = F dr 1 + F dr 2 (k konstanta) + G dr 17
PATH INDEPENDENE TEOREMA 1 Path Independence Suatu integral garis dengan fungsi kontinu F 1, F 2, F 3 pada domain D dalam ruang dimensi 3 adalah garis edar bebas (path independence) di D jika dan hanya jika F = F 1, F 2, F 3 adalah gradien dari beberapa fungsi f di D, F = grad f, sehingga F 1 = f, F x 2 = f, F y 3 = f z 18
ontoh : Tunjukkan bahwa integral F dr = (2x dx + 2y dy + 4z dz) adalah path independent pada setiap domain di ruang dan hitung nilai integrasi dari A: 0,0,0 ke B: 2,2,2. Solusi : F = 2x, 2y, 4z = grad f, dimana f = x 2 + y 2 + 2z 2, karena f = 2x = F x 1, f = 2y = F y 2, f = 4z = F z 3. Maka berdasarkan Teorema, integralnya adalah path independent. Nilai integrasi f B f A = f 2,2,2 f 0,0,0 = 4 + 4 + 8 = 16 19
INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Bidang Konservatif TEOREMA 1- Teorema Dasar Integral Garis Misalkan kurva smooth yang menggabungkan titik A ke titik B pada bidang atau ruang dan diparameterisasi oleh r(t). Misalkan f fungsi diferensiabel dengan vektor gradien kontinu F = f pada domain D yang mengandung. Maka F dr = f B f A. 20
ontoh : Suppose the force field F = f is the gradient of the function f x, y, z = 1 x 2 +y 2 +z 2. Find the work done by F in moving an object along a smooth curve joining (1,0,0) to (0,0,2) that does not pass through the origin. Solusi : Dengan Teorema 1 diperoleh F dr = f 0,0,2 f 1,0,0 = 1 4 1 = 3 4 21
Note : Kecepatan gravitasi yang disebabkan oleh planet, dan kecepatan listrik yang berhubungan dengan partikel yang bermuatan, keduanya dapat dimodelkan dengan bidang F yang diberikan pada contoh 1 hingga konstanta yang bergantung pada unit pengukuran. 22
INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Bidang Konservatif TEOREMA 2- Bidang Konservatif adalah Bidang Gradien Misalkan F = Mi + Nj + Pk adalah bidang vektor yang komponennya kontinu diseluruh daerah terhubung sederhana D pada ruang. Maka F konservatif jika dan hanya jia F bidang gradien f untuk fungsi diferensiabel f. 23
ontoh : Find the work done by the concervative field F = yzi + xzj + xyk = f, dimana f x, y, z = xyz, Along any smooth curve joining the point A( 1,3,9) to B 1,6, 4. Solusi : Dengan f x, y, z F dr = f dr A B = xyz, kita punya = f B f A = xyz 1,6, 4 xyz 1,3,9 = 1 6 4 1 3 9 = 24 + 27 = 3 24
INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Bidang Konservatif TEOREMA 3 Sifat perputaran bidang konservatif Pernyataan dibawah ini adalah ekuivalen. 1. F dr = 0 disekitar putaran (yang merupakan kurva tertutup ) di D. 2. Bidang F konservatif di D 25
INTEGRAL GARIS Menghitung potensial untuk Bidang Konservatif Misalkan F = M x, y, z i + N x, y, z j + P x, y, z k adalah bidang pada daerah tertutup dan daerah tertutup sederhana yang komponen fungsinya memiliki turunan parsial yang kontinu. Maka F konservatif, jika dan hanya jika P = N, M = P y z z x dan N = M X y 26
ontoh : Tunjukkan bahwa F = e x cos y + yz i + xz e x cos y j + xy + z k atas domain bilangan asli dan hitung funsi potensialnya. Solusi : Dengan mengaplikasikan pernyataan pada slide sebelumnya M = e x cos y + yz, N = xz e x cos y, P = xy + z Hitung, P y N = x = z, M z P = y = x, N x = ex sin y + z = M y 27
Turunan parsialnya kontinu, maka persamaan tersebut menyatakan bahwa F konservatif, maka terdapat fungsi f dengan f = F. Kita dapat menemukan f dengan mengintegrasikan persamaan berikut : f x = e x cos y + yz, f y = xz e x cos y, f = xy + z. (3) z Integralkan persamaan pertama terhadap x, anggap y dan z tetap, diperoleh f x, y, z = e x cos y + xyz + g y, z. 28
Konstanta integrasi dituliskan fungsi terhadap y dan z karena nilai tersebut dapat bergantung pada y dan z, bukan pada x. Lalu hitung f f y y dari persamaan, lalu samakan dengan ekspresi pada persamaan (3). Diperoleh, Maka, g y e x sin y + xz + g y = xz e x sin y = 0. Sehingga, g adalah fungsi dari z sendiri, dan f x, y, z = e x cos y + xyz + h z. 29
Sekarang hitung f f z Maka, Jadi, z dalam persamaan (3). Diperoleh, dari persamaan dan samakan dengan bentuk xy + dh dz = xy + z, atau dh dz = z. h z = z2 2 +. f x, y, z = e x cos y + xyz + z2 2 +. Kita punya jumlah tak terbatas fungsi potensial F, salah satunya adalah. 30
Soal Tunjukkan apakah fungsi berikut konservatif! 1. F = yzi + xzj + xyk 2. F = yi + x + z j yk 3. F = yi + xj 4. F = (x + y)i + zj + (y + x)k 5. F = y sin z i + x sin z j + xy cos z k ari fungsi potensialnya! 6. F = 2xi + 3yj + 4zk 7. F = y + z i + (x + z)j + (x + y)k 8. F = y sin z i + (x sin z) j + (xy cos z)k 31
THANK YOU 謝謝 32