PROSIDING ISSN:

PROSIDING ISSN: 5-656 OPTIMISASI BERKENDALA MENGGUNAKAN METODE GRADIEN TERPROYEKSI Nida Sri Uami Uiversias Muhammadiyah Suraara idaruwiyai@gmailcom ABSTRAK Dalam ulisa ii dibahas eag meode gradie erproyesi uu meyelesaia masalah opimisasi beredala dega edala yag berbeu persamaa liear Pembahasa dimulai dega mempereala meode gradie uu meyelesaia masalah opimisasi apa edala, emudia meode gradie ersebu digeeralisasia uu meyelesaia masalah opimisasi yag memiimuma f :, ra A=m, b R m R, A R, m proyeor orhogoal f () R dega m1, edala A b, da 1 R, dega meambaha suau 1 ( 1) P I A ( AA ) A Pada algorima f ( ), ( 1) diperoleh algorima gradie erproyesi Pf ( ) dega merupaa uura lagah Uura lagah yag diguaa adalah arg mi f ( Pf ( )), yaiu f ( Pf ( )) yag yag memiimuma, dapa dicari megguaa meode Seca Algorima gradie ii dapa ( ) diheia jia memeuhi odisi ( ) maa ii yag oves ( ) P f ( ), dega aa lai jia f ( ) P, merupaa ii pemiimal da merupaa ii pemiimal global uu fugsi f Kaa Kuci: fugsi oves, meode gradie ; meode seca; proyeor orhogoal 1 PENDAHULUAN Salah sau meode yag diguaa uu mecari ilai opimal dari suau masalah opimisasi apa edala adalah meode gradie Disajia beu umum opimisasi dari permasalaha memiimuma f () dega f R 1 : R da R Pada meode gradie besarya perubaha ilai saga dieua oleh besarya ilai gradie dari fugsi f, yaiu ( 1) f ( ) dega yag merupaa suau uura lagah Pemiliha uura lagah berdasara pada algorima gradie ereu Pada algorima seepes desce, uura lagah yag diguaa = arg mi f ( f ( )), yaiu yag memiimuma f ( f ( )), dicari megguaa meode Seca Pada peeliia ii meode gradie aa dimodifiasi mejadi meode gradie erproyesi uu meyelesaia masalah opimisasi yag mempuyai beu umum permasalaha memiimuma f () dega edala m m1 A b, da f : R R, A R, m, ra A=m, b R, Koferesi Nasioal Peeliia Maemaia da Pembelajaraya (KNPMP I) 95 Uiversias Muhammadiyah Suraara, 1 Mare 16

PROSIDING ISSN: 5-656 Diguaa suau proyeor orhogoal P yag berbeu 1 P I A ( AA ) A area edalaya berbeu persamaa Algorima meode gradie dimodifiasi mejadi meode gradie erproyesi ( 1) yag mempuyai algorima Pf ( ), dega R 1 arg mi f ( Pf ( )), yaiu A b yag memiimuma f ( Pf ( )), dicari megguaa meode Seca Peeliia ii dimasuda uu mempereala suau meode gradie yag elah dimodifiasi mejadi meode gradie erproyesi uu meyelesaia masalah opimisasi beredala yag berupa persamaa liear Pada peeliia ii peulis membaasi pada peyelesaia masalah opimisasi Masalah opimisasi yag aa dibahas adalah masalah opimisasi pada fugsi oves yag beredala Selai iu edala yag aa diguaa adalah edala yag berbeu persamaa liear Selai iu peeliia ii haya beerja pada bilaga real Masalah opimisasi fugsi oves dega edala berupa persamaa liear aa diselesaia megguaa meode gradie erproyesi Beriu beberapa defiisi yag aa diguaa pada pembahasa Defiisi 7 Dieahui V ruag ier produ aas R da u, v V Norma dari v, diulis v, didefiisia v v, v da jara aara u da v, diulis d(u,v), didefiisia sebagai d ( u, v) u v u v, u v Teorema 8 (Keidasamaa Cauchy-Schwarz) Jia aas R, maa u, v V ruag ier produ u, v u v (3) Defiisi 44 Dieahui suau fugsi f yag erdefiisi pada suau ierval I a Fugsi f diaaa mecapai masimum loal (masimum relaif) di * I ji4a ada ierval erbua ( a, I sehigga * ( a, da f ( *) f ( ) uu seiap ( a, Selajuya ii ( *, f ( *)) disebu ii masimum loal (relaif) b Fugsi f diaaa mecapai miimum loal (miimum relaif) di * I jia ada ierval erbua ( a, I sehigga * ( a, da f ( *) f ( ) uu seiap ( a, Selajuya ii ( *, f ( *)) disebu ii miimum loal (relaif) Teorema 46 Dieahui fugsi f :[ a, b] R Jia fugsi f mecapai masimum(miimum) loal di maa f '( ) aau f '( ) ida ada Koferesi Nasioal Peeliia Maemaia da Pembelajaraya (KNPMP I) 953 Uiversias Muhammadiyah Suraara, 1 Mare 16

PROSIDING ISSN: 5-656 Teorema 47 ( Teorema Rolle) Dieahui fugsi f :[ a, b] R Jia f oiu pada, ada di seiap da f ( a) f ( maa erdapa sehigga f '( ) [ a, b] ( a, b ) f '( ) ( a, Defiisi 5 Arah Fisibel Sebuah veor d R, d, disebu arah fisibel pada jia erdapa d uu seiap, ] [ sehigga Defiisi 51 Dieahui f R : R da R merupaa himpua arah fisibel Tii * disebu pemiimal loal dari fugsi f aas jia erdapa sehigga berlau f ( ) f ( *), uu seiap { *} dega * Defiisi 5 Dieahui f : R R da merupaa himpua arah fisibel Tii disebu pemiimal global dari fugsi f aas jia f ( *) f ( ), uu seiap { *} * Defiisi 53 Dieahui R f : R R da d merupaa arah fisibel pada Derivaif berarah dari fugsi f pada arah d, dioasia dega merupaa ilai fugsi real yag didefiisia f, lim f ( d) f ( ) (1) Karea da d diberia maa f ( d) dapa dipadag sebagai fugsi dari variabel, aibaya lim f ( d) f ( ) f ( ) df ( d) d Df ( ) d f ( ) d d f ( ) f ( ), d (13) Jia d adalah veor saua dega d 1, maa f ( ), d merupaa ilai eaia fugsi f pada arah d di ii Teorema 54 Syara Perlu Order Perama (SPOP) Dieahui R Dega f : R fugsi berilai real pada Jia * R pemiimal loal fugsi f pada, maa uu seiap arah fisibel d pada *, diperoleh beu d f ( *) Koferesi Nasioal Peeliia Maemaia da Pembelajaraya (KNPMP I) 954 Uiversias Muhammadiyah Suraara, 1 Mare 16

PROSIDING ISSN: 5-656 Aiba Teorema 54 Dieahui pemiimal loal fugsi f pada f ( *) R, f: R dega * Jia * adalah sebuah ii dalam, maa Dalam mecari ilai pemiimal dari fugsi f yag merupaa fugsi sau variabel berilai real, dapa dimulai dega memberia ilai awal yag emudia diguaa uu mecari ilai f ( ), f '( ), f ''( ) algorima 1 f '( ) () f ( ) f '( ) 1 ' 1 disebu Meode Seca Algorima () diheia jia 1 Dega aa lai merupaa pemiimal dari fugsi f 1 METODE PENELITIAN Peeliia ii dilaua dega cara mempelajari eag masalah opimisasi beredala, odisi Lagrage da proyeor orhogoal, emudia memodifiasi meode gradie mejadi meode gradie erproyesi uu meyelesaia masalah opimisasi beredala dega meambaha suau proyeor orhogoalmembua program ompuer uu meyelesaia masalah opimisasi dega edala megguaa meode gradie erproyesi, emudia m emberi cooh masalah opimisasi fugsi oves dega edala persamaa liear, emudia meyelesaiaya dega megguaa program ompuer 3 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bab ii disajia masalah opimisasi fugsi oves beredala persamaa liear yag mempuyai beu umum opimisasi dari permasalaha memiimuma f () dega edala A b, da m m1 1 f : R R, A R, m, ra A=m, b R, R Perama disajia meode gradie yag mempuyai beu umum memiimuma f () dega f diperoleh : R R da 1 R Dega megguaa meode gradie f ( ( 1) ) Koferesi Nasioal Peeliia Maemaia da Pembelajaraya (KNPMP I) 955 Uiversias Muhammadiyah Suraara, 1 Mare 16

PROSIDING ISSN: 5-656 dega arg mi f ( f ( )), yaiu ilai yag memiimuma f ( f ( )), yag dicari megguaa meode Seca Meode gradie ersebu dimodifiasi mejadi meode gradie erproyesi uu meyelesaia masalah opimisasi beredala berupa persamaa liear dega meambaha suau proyeor orhogoal P yag didefiisia 1 P I A ( AA ) A, ( 1) sehigga dapa diperoleh algorima Pf ( ) dega arg mi f ( Pf ( )), yaiu Koferesi Nasioal Peeliia Maemaia da Pembelajaraya (KNPMP I) 956 Uiversias Muhammadiyah Suraara, 1 Mare 16 yag memiimuma f ( Pf ( )) yag dicari megguaa meode Seca Diberia f : R R da, yag merupaa arah fisibel pada Meuru Defiisi 5 diperoleh f ( ), d merupaa d R ilai eaia fugsi f pada arah d di ii d Jia diambil d 1, da meuru Teorema 8 diperoleh f ( ), d f ( ) d f () 1 f () (31) Jia f ( ) d maa diperoleh f ( ) f ( ) f f f f ( ), f ( ) f () 1 (3) Dega aa lai arah pada ii f () merupaa arah yag meyebaba ilai eaia masimum fugsi f pada, sehigga arah pada ii - f () merupaa arah yag meyebaba ilai peurua masimum fugsi f pada Jadi arah dari gradie yag egaif merupaa arah yag palig epa uu mecari pemiimal dari fugsi f Diberia yag merupaa ii awal, da diberia ii f ( ) Dari Teorema 49 dere Taylor uu fugsi f di seiar diperoleh f ( f ( )) f ( ) f ( ) ( ) (33) Aibaya, jia f ( ), maa uu suau yag saga ecil diperoleh beu f ( f ( )) f ( ) (34) Dega aa lai ii f ( ) merupaa perbaia dari ii uu mejadi pemiimal dari fugsi f

PROSIDING ISSN: 5-656 Uu membeu algorima yag merupaa peerapa dari ide di aas, misala diberia ii sebagai ii awal Tii beriuya, yaiu () ii dapa diperoleh dega meggeser ii sebesar f ( ) ( 1) ( ) dega Aibaya diperoleh algorima ierasi ( 1) f ( ) (35) Beu algorima (35) disebu algorima peurua gradie aau algorima gradie Pemiliha pada algorima gradie saga mempegaruhi elaua algorima Uu uura lagah yag ecil algorima maju dega pela, da uu uura lagah yag besar aa meghasila grafi zigzag Jeis algorima gradie yag palig ereal adalah algorima Seepes Desce, yaiu medefiisia sebagai pemiimal dari f ( f ( )) yag dapa dicari megguaa meode Seca Dega aa lai arg mi f ( f ( )) (36) aau arg mi ( ) (37) dega ( ) f ( f ( )) (38) Aa disajia algorima uu meyelesaia masalah opimisasi dega edala Aa dibicaraa meode gradie erproyesi dega edala persamaa liier Diberia masalah opimisasi dalam beu memiimuma f () dega edala A b, da merupaa salar posiif yag disebu dega uura lagah m m1 1 f : R R, A R, m, ra A=m, b R, R Pada algorima uu meyelesaia masalah opimisasi beredala aa diguaa suau proyeor orhogoal P, yag didefiisia 1 P I A ( AA ) A (39) Proyeor orhogoal diperlua dalam peyelesaia masalah opimisasi beredala berupa himpua yag berbeu : A b Syara-syara lai yag diperlua uu suau proyeor orhogoal aa disajia dalam eorema beriu: 1 m Teorema 33 Dieahui P I A ( AA ) A da v R, A R, P R, maa i Pv jia da haya jia v R( A ) Dega aa lai N( P) R( A ) ii Av jia da haya jia v R(P) Dega aa lai N( A) RP Syara perlu order perama uu odisi Lagrage pada masalah opimisasi dega edala berbeu { : A b} adalah Pf ( *) yag diyaaa dalam eorema beriu Teorema 34 Dieahui * R merupaa ii fisibel Pf ( *) jia da haya jia * memeuhi odisi Lagrage ( ) Koferesi Nasioal Peeliia Maemaia da Pembelajaraya (KNPMP I) 957 Uiversias Muhammadiyah Suraara, 1 Mare 16

PROSIDING ISSN: 5-656 Pada masalah opimisasi dega edala, veor f (*) ida harus ( ) merupaa arah fisibel,dega aa lai merupaa ii fisibel da ( 1) dega megguaa algorima f ( ) diperoleh ida harus fisibel Masalah ii dapa diperoleh dega meggai dega sebuah veor yag merupaa ii pada arah fisibel Dimisala himpua arah fisibel adalah ruag ol aau N(A) dari maris A, da ii P f ( ) N( A) Koferesi Nasioal Peeliia Maemaia da Pembelajaraya (KNPMP I) 958 Uiversias Muhammadiyah Suraara, 1 Mare 16 f ( 1 Teorema 35 Dieahui P I A ( AA ) A, maa P f ( ) N( A) Jadi dari meode gradie yag diproyesia dega suau proyeor orhogoal P, dapa diperoleh algorima ( 1) Pf ( ) (31) yag merupaa algorima gradie erproyesi Algorima ersebu mempuyai sifa seperi dalam eorema beriu Teorema 36 Dalam algorima gradie erproyesi, jia merupaa ( ) fisibel, maa seiap merupaa fisibel, yaiu uu seiap, A b ( ) Algorima gradie erproyesi meggai ( ) ( 1) ( ) ( ) pada arah Pf ( ) Veor ii berada pada arah peurua fugsi f yag masimum pada dega didefiisia A b Misalya merupaa sebarag ii fisibel da d merupaa arah fisibel dega d 1 Keaia fugsi f pada dega arah d adalah f ( ), d Jia d merupaa arah fisibel yag berada pada N (A), maa dari Teorema 33 diperoleh d N( A) R( P) R( P ) Diambil sebarag v sehigga d Pv, maa f ( ), d f ( ), P v P f ( ), v Dega peridasamaa Cauchy-Schwarz, diperoleh P f ( ), v Pf ( ) v Tada persamaa berlau jia arah dari v sejajar dega arah pada P f () Oleh area iu, ii pada veor Pf () berada pada arah peurua fugsi f yag masimum pada di aara semua arah fisibel Misala ii awal yag fisibel, yaiu A b Megiga Pf ( ), dega R da >, disebu uura lagah Dega megguaa espasi dere Taylor fugsi f di seiar P P P P, diperoleh f ( Pf ( )) f ( ) Pf ( ) ( ) ) ( ) da Jia P f ( ) ( ida memeuhi odisi Lagrage), maa dapa dipilih yag saga ecil sehigga f ( ) f ( ) Dega aa lai f ( ) merupaa perbaia dari uu mejadi pemiimal Ii mejadi dasar pada algorima gradie erproyesi, yaiu

PROSIDING ISSN: 5-656 ( ) Pf ( ) (311) ( 1) dega ii awal yag memeuhi da lagah Seperi meode gradie pada masalah opimisasi apa edala, pemiliha A b merupaa uura mempegaruhi elaua algorima Uu uura lagah yag ecil algorima maju dega pela, da uu uura lagah yag besar aa meghasila grafi yag berbeu zigzag Megguaa algorima seepes desce erproyesi, yaiu arg mi f ( Pf ( )) (31) Nilai yag memiimala f ( Pf ( )) dapa dicari megguaa meode Seca Teorema 38 Tii merupaa pemiimal global dari fugsi oves f uu { : b} jia da haya jia P f ( *) * R 4 SIMPULAN Dari pembahasa pada bagia sebelumya, dapa diambil esimpula bahwa meode gradie yag diguaa uu meyelesaia masalah opimisasi apa edala dapa dimodifiasi mejadi meode gradie erproyesi uu meyelesaia masalah opimisasi yag mempuyai beu umum memiimuma f () dega edala A b, da m m1 f : R R, A R, m, ra A=m, b R, 1 R Dega 1 meambaha suau proyeor orhogoal P I A ( AA ) A pada ( 1) algorima f ( ), diperoleh algorima gradie erproyesi ( ) Pf ( ) dega yag merupaa uura lagah ( 1) Uura lagah yag diguaa adalah arg mi f ( Pf ( )), yaiu yag memiimuma f ( Pf ( )), dapa dicari megguaa meode Seca Algorima gradie ii dapa diheia jia memeuhi odisi ( ) ( ) P f ( ) Dega aa lai jia P f ( ) ii merupaa ii pemiimal da merupaa ii pemiimal global uu fugsi f yag oves 5 DAFTAR PUSTAKA Ao, H(199), Aljabar Liear Elemeer, Jaara: Erlagga Chog, EKP da Za, Saislaw H(1996), A Iroducio o Opimizaio, New Yor: Joh Wiley ad Sos, Ic Hadley G( 199) Aljabar Liear, Jaara: Erlagga Kiche, JW(1968) Calculus of Oe Variable, Caada: Addiso Wesley ( ) Koferesi Nasioal Peeliia Maemaia da Pembelajaraya (KNPMP I) 959 Uiversias Muhammadiyah Suraara, 1 Mare 16

PROSIDING ISSN: 5-656 Publishig Compay Mial, K V(1976) Opimizaio Mehods i Operaios Research ad Sysems Aalysis, New Delhi: Wiley Easer Limied Soerroi, AC,Galsi, RL & Ramos, FM(1)The q-gradie Mehod for Global Opimizaio Naioal Isiue for Space Research, Brazil Diases dari: hp://arivorg/pdf/1984vpdf Koferesi Nasioal Peeliia Maemaia da Pembelajaraya (KNPMP I) 96 Uiversias Muhammadiyah Suraara, 1 Mare 16