KONSTRUKSI KELAS GRAF TANGGA UMUM BERLABEL TOTAL BUSUR-AJAIB SUPER DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS KETETANGGAAN (a,1) SIMPUL ANTIAJAIB BUSUR TESIS

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA KONSTRUKSI KELAS GRAF TANGGA UMUM BERLABEL TOTAL BUSUR-AJAIB SUPER DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS KETETANGGAAN (a,) SIMPUL ANTIAJAIB BUSUR TESIS Ahmad Sabri FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK 0 Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

2 UNIVERSITAS INDONESIA KONSTRUKSI KELAS GRAF TANGGA UMUM BERLABEL TOTAL BUSUR-AJAIB SUPER DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS KETETANGGAAN (a,) SIMPUL ANTIAJAIB BUSUR TESIS Diajuka sebagai salah sau syara uuk memperoleh gelar Magiser Sais Ahmad Sabri FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK JUNI 0 Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Tesis ii adalah hasil karya saya sediri, da semua sumber baik yag dikuip maupu dirujuk, elah saya yaaka dega bear. Nama : Ahmad Sabri NPM : Tada Taga : Taggal : 7 Jui 0 ii Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

4 HALAMAN PENGESAHAN Tesis ii diajuka oleh: Nama : Ahmad Sabri NPM : Program Sudi : Maemaika Judul Tesis : Kosruksi Kelas Graf Tagga Umum Berlabel Toal Busur- Ajaib Super dega Megguaka Mariks Keeaggaa (a,)-simpul Aiajaib Busur Telah berhasil diperahaka di hadapa Dewa Peguji da dierima sebagai bagia persyaraa yag diperluka uuk memperoleh gelar Magiser Sais pada Program Sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Idoesia Dieapka di : Depok Taggal : 5 Jui 0 iii Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

5 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, segala puji syukur kepada Allah SWT aas erselesaikaya esis ii. Peulisa esis ii dilakuka uuk memeuhi salah sau syara memperoleh gelar Magiser Sais, Program Sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam. Di dalam pembuaa esis ii, saya bayak medapa bimbiga da dukuga dari berbagai pihak. Uuk iu saya igi megucapka erima kasih yag sebesar-besarya kepada:. Dr. Kiki Ariyai, selaku dose pembimbig yag elah bayak meyediaka waku, eaga, da pikira, uuk megarahka saya dalam peulisa esis ii. Prof. Dr. Djai Kerami, selaku Keua Program Sudi Magiser Maemaika, yag elah bayak memberika moivasi kepada saya 3. Dr. Dia Lesari DEA, selaku pembimbig akademis, yag elah bayak memberika bimbiga da masuka-masuka demi kelacara kegiaa akademis saya. Iseriku Vii, yag bayak memberika dukuga sehigga saya eap bersemaga 5. Aak-aakku Difa da Fama, yag bayak memberika peyegara di selasela pegerjaa esis ii 6. Ayah da Ibuku, yag selalu medoaka aak-aakya agar ercapai cia-cia da impiaya. 7. Pihak-pihak laiya yag uru membau peyelesaia esis ii, yag idak dapa saya sebuka sau per sau. Semoga Allah Yag Maha Kuasa berkea membalas amal kebaika yag elah mereka berika. Semoga esis ii dapa memberika mafaa. Depok, 7 Jui 0 Ahmad Sabri iv Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

6 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivias akademik Uiversias Idoesia, saya yag berada aga di bawah ii: Nama : Ahmad Sabri NPM : Program Sudi : Magiser Maemaika Depareme : Maemaika Fakulas : Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam Jeis Karya : Tesis demi pegembaga ilmu pegeahua, meyeujui uuk memberika kepada Uiversias Idoesia Hak Bebas Royali Noeksklusif (No-exclusiveRoyaly- Free Righ) aas karya ilmiah saya yag berjudul: Kosruksi Kelas Graf Tagga Umum Berlabel Toal Busur-Ajaib Super dega Megguaka Mariks Keeaggaa (a,)-simpul Aiajaib Busur besera peragka yag ada (jika diperluka). Dega Hak Bebas Royali Noeksklusif ii Uiversias Idoesia berhak meyimpa, megalihmedia/formaka, megelola dalam beuk pagkala daa (daabase), merawa, da mempublikasika ugas akhir saya selama eap mecaumka ama saya sebagai peulis/pecipa da sebagai pemilik Hak Cipa. Demikia peryaaa ii saya bua dega sebearya. Dibua di: Depok Pada aggal: 7 Jui 0 Yag meyaaka (Ahmad Sabri) v Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

7 ABSTRAK Nama Program Sudi Judul : Ahmad Sabri : Magiser Maemaika : Kosruksi Kelas Graf Tagga Umum Berlabel Toal Busur-Ajaib Super dega Megguaka Mariks Keeaggaa (a,)-simpul Aiajaib Busur Kelas Graf Tagga Umum GTU(,m) adalah graf ligkara C dega peambaha ( m ) ali-busur, yag disebu busur parisi, dega syara idak ada busur parisi yag memiliki simpul persekuua, idak ada busur parisi yag salig bersilaga di sisi dalam graf, da seiap blok graf memiliki maksimal busur parisi. Uuk megkosruksi GTU(,m) berlabel Toal Busur Ajaib Super (TBAS), bobo busur parisi yag diambahka adalah mi{ W} aau max{ W } +, di maa W adalah himpua bobo busur dari GTU(,m-). Berdasarka bobo busur parisiya, GTU(,m) dapa digologka mejadi 3 jeis yaiu GTU(,m) dega busur parisi berbobo miimal, GTU(,m) dega busur parisi berbobo maksimal, aau GTU(,m) dega busur parisi berbobo kombiasi miimal da maksimal. Di dalam esis ii, kosruksi Kelas Graf Tagga Umum GTU(,m) dilakuka dega megguaka mariks keeaggaa (a,)-simpul Aiajaib Busur (SAB). Pola pelabela TBAS yag diguaka adalah pola pelabela TBAS uuk C dari Eomoo e al. (998) uuk gajil, da pola pelabela TBAS uuk Cdari MacDougall da Wallis (003) uuk geap. Berdasarka sifasifa pada mariks keeaggaa SAB uuk GTU(,m), sifa-sifa dari kelas GTU(,m) dapa dikeahui Kaa Kuci: graf agga umum, pelabela graf, oal busur-ajaib super, simpul aiajaib busur mariks keeaggaa, vi Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

8 ABSTRACT Name Program Tile : Ahmad Sabri : Magiser i Mahemaics : O The Cosrucio of Geeral Ladder Graph wih Super Edge- Magic Toal Labelig by Usig (a,)-edge Aimagic Verex Adjacecy Marix Geeral Ladder Graph class GTU(,m) is a cycle graph Cadded wih ( m ) chords, called as pariio edges, by codiios ha here are o pariio edges sharig a verex, here are o pariio edges crossig each oher i he ier side of he graph, ad every block has maximum pariio edges. To cosruc GTU(,m) wih Super Edge-Magic Toal (SEMT) labelig, he weigh of he ewly added pariio edge is mi{ W} or max{ W } +, where W is a se of edge weighs of GTU(,m-). Based o he weigh of pariio edges, GTU(,m) is divided io hree caegories. There are GTU(,m) wih miimum weigh of pariio edges, GTU(,m) wih maximum weigh of pariio edges, ad GTU(,m) wih combiaio of miimum ad maximum weigh of pariio edges. The cosrucio of Geeral Ladder Graph class GTU(,m) explaied i his hesis is doe by usig (a,)-edge-aimagic Verex (EAV) adjacecy marix. SEMT labelig fucio for C from Eomoo e. al (998) is used for odd, ad SEMT labelig fucio for C from MacDougall ad Wallis (003) is used for eve. Based o he properies of EAV adjacecy marix for GTU(,m), he properies of GTU(,m) graph ca be discovered. Keywords: geeral ladder graph, graph labelig, super edge-magic oal, edge-aimagic verex, adjacecy marix vii Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL...i HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS... ii LEMBAR PENGESAHAN...iii KATA PENGANTAR...iv LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... v ABSTRAK...vi ABSTRACT... vii DAFTAR ISI...viii DAFTAR GAMBAR... x. PENDAHULUAN..... Laar Belakag..... Perumusa da Baasa Masalah Tujua Peulisa..... Meode Peeliia Sisemaika Peulisa LANDASAN TEORI..... Teori Graf..... Beberapa Kelas Graf Sederhaa Kelas Graf Ligkara Kelas Graf Ligkara Berali-busur Kelas Graf Legkap Kelas Graf yag Dibeuk dari Beberapa Blok Kelas Graf Raai Kelas Graf Tagga Kelas Graf Tagga Umum Pelabela Graf Pelabela Toal Busur-Ajaib Super Pelabela (a,d) Simpul Aiajaib Busur Mariks Keeaggaa PELABELAN TOTAL BUSUR AJAIB SUPER Sifa-sifa Pelabela Toal Busur Ajaib Super Graf yag Ekivale-SAB.... KONSTRUKSI GRAF TANGGA UMUM Aura Parisi GTU(,m) Tapa Pelabela Aura Parisi GTU(,m) Berlabel TBAS Kosruksi Kelas GTU(,m) berlabel TBAS dega Mariks Keeaggaa (a,)-simpul Aiajaib Busur Ilusrasi uuk gajil Kosruksi GTU(,m) berlabel TBAS- C dega gajil viii Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

10 5. KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA Ilusrasi uuk = r Kosruksi GTU(,m) Berlabel TBAS- C dega = r... 5 ix Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

11 DAFTAR GAMBAR Gambar.. Graf Ligkara C Gambar.. Graf Ligkara Berali-busur C Gambar.3. Graf Legkap K Gambar.a. Graf raai blok legkap CK (3;(3,,5))...7 Gambar.b. Graf raai blok ligkara 3C5 -sake... 7 Gambar.5a. Graf 3C5 Gambar.5b. Graf C,6,,5 Gambar.6a. Graf agga L sake o-liier... 8 sake o-liier... 8 Gambar.6b. Graf agga L Gambar.7a. Graf agga umum homoge dega blok C Gambar.7b. Graf agga umum homoge dega blok C Gambar.7c Graf agga umum o-homoge dega blok C, C5, C6, C... 0 Gambar.7d. Graf agga umum o-homoge dega blok C, C8, C6, C, C Gambar.8. GTU o-liier... Gambar.9. Graf dega pelabela TBAS... 3 Gambar.0. Graf dega pelabela SAB... Gambar.. Graf C7 dega pelabela SAB... 6 Gambar 3.a. Graf G dega pelabela SAB... 5 Gambar 3.b. Mariks keeaggaa A dari graf G... 5 Gambar 3.c. Mariks keeaggaa A*... 5 Gambar 3.d. Graf G* berdasarka mariks keeaggaa A*... 5 Gambar.. Graf ligkara C berlabel TBAS- C Gambar.. Mariks keeaggaa dari Graf ligkara C berlabel TBAS- C. 30 Gambar.3. GTU(,) berlabel TBAS- C... 3 Gambar.. Mariks keeaggaa dari GTU(,) berlabel TBAS- C... 3 Gambar.5. Mariks keeaggaa dari GTU(,) berlabel TBAS- C... 3 Gambar.6. GTU(,) berlabel TBAS- C Gambar.7. GTU(,3) berlabel TBAS- C Gambar.8. Mariks keeaggaa GTU(,3) berlabel TBAS- C... 3 Gambar.9. Graf dari kelas GTU (,) berlabel TBAS- C Gambar.0. Graf dari kelas GTU (,3) berlabel TBAS- C Gambar.. Pola mariks keeaggaa graf C berlabel TBAS- C, gajil Gambar.. Graf GTU(,)... x Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

12 Gambar.3. Mariks keeaggaa GTU(,)... 3 Gambar.. Graf GTU(,3)... Gambar.5. Mariks keeaggaa GTU(,3)... Gambar.. Pola mariks keeaggaa C berlabel TBAS-, C = r... 6 xi Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

13 BAB PENDAHULUAN.. Laar Belakag Pelabela graf adalah cabag dari eori graf yag erus berkembag sampai sekarag. Bayakya jeis pelabela yag dapa diguaka uuk melabel berbagai jeis graf, megakibaka bayak sekali kemugkia pelabela yag dapa dilakuka. Salah sau jeis pelabela adalah pelabela Toal Busur-Ajaib Super (TBAS) aau Super Edge Magic Toal (SEMT). Survey yag dilakuka oleh Gallia (00) meujukka bahwa pelabela TBAS uuk graf raai dega blok berupa graf legkap elah dibahas oleh Lee da Wag dalam praceak makalahya. Namu, belum ada peeliia eag pelabela TBAS uuk graf raai dega blok graf ligkara. Pegkajia yag elah dilakuka peulis erhadap pelabela TBAS uuk graf raai dega blok ligkara C m da C, dimaa 3 m 6 da 3 6, hasil diperoleh adalah graf-graf ersebu idak memiliki pelabela TBAS. Hipoesa peulis adalah idak erdapa graf raai dega blok ligkara yag TBAS. Jika dilakuka modifikasi pada kosruksi graf raai, yaiu di maa seiap blok yag bereagga idak dihubugka oleh sebuah simpul persekuua, amu oleh sebuah busur persekuua, maka graf yag erbeuk meyerupai graf agga (ladderlike graph), aau dalam esis ii disebu graf agga umum (geeral ladder graph). Dari peelusura pada survey yag dilakuka Gallia (00), belum ada pembahasa eag pelabela TBAS pada kelas graf ii. Graf agga umum dega blok adalah isomorfik dega graf ligkara dega sebuah ali-busur (cycle wih a chord), uuk selajuya disebu graf ligkara berali-busur. Peeliia yag dilakuka MacDougall da Wallis (003) eag pelabela TBAS pada graf ligkara berali-busur, dapa dierapka pada graf agga umum dega blok. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

14 Dalam makalah yag sama, MacDougall da Wallis meyeraka semua kemugkia pelabela TBAS uuk semua graf ligkara berali busur dega simpul, di maa 0. Gagasa yag imbul adalah bagaimaa merumuska kosruksi graf agga umum yag TBAS. Pada peeliia awal yag dilakuka peulis, mariks keeaggaa sebagai represeasi graf secara aljabar dapa diguaka karea mariks ii dapa secara jelas meampilka pola pelabela TBAS dari Eomoo dkk (998) pada graf ligkara, aau dari MacDougall da Wallis (003) pada graf ligkara berali-busur.... Perumusa da Baasa Masalah Masalah yag aka dibahas dalam esis ii dirumuska sebagai beriku:. Bagaimaakah sifa-sifa kelas graf agga umum yag memiliki pelabela TBAS?. Bagaimaa kosruksi graf agga umum yag memiliki pelabela TBAS dega megguaka mariks keeaggaa? Dega baasa beriku:. Uuk order gajil, pelabela TBAS megguaka pola pelabela graf ligkara dari Eomoo dkk (998). Uuk order geap, pelabela TBAS megguaka pola pelabela graf ligkara berali-busur dari MacDougall da Wallis (003) 3. Jeis graf adalah erhubug, sederhaa, da idak berarah.3. Tujua Peulisa Seelah membaca ulisa ii, pembaca diharapka dapa::. Megeal kelas graf yag baru yaiu kelas graf agga umum. Megeahui da memahami sifa-sifa kelas graf agga umum yag memiliki pelabela TBAS, berdasarka baasa-baasa yag elah disebuka di aas. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

15 3 3. Megkosruksi kelas graf agga umum yag memiliki pelabela TBAS, berdasarka baasa-baasa yag elah disebuka di aas... Meode Peeliia Peeliia dilakuka dega cara:. Melakuka ijaua lieraur erhadap makalah da buku eks yag erkai dega bidag ii, ermasuk lieraur yag erdapa di iere. Meemuka da megembagka eorema-eorema yag medasari peeliia, baik secara madiri maupu hasil diskusi dega peelii laiya.5. Sisemaika Peulisa Uraia dalam esis ii diuliska meuru sisemaika beriku: Bab : Pedahulua, megugkap laar belakag, masalah da ujua pembahasa Bab : Ladasa Teori, membahas dasar-dasar Teori Graf, berbagai jeis graf, graf agga umum, da pelabela Bab 3: Pelabela Toal Busur-Ajaib Super (TBAS), membahas secara lebih medalam eag pelabela TBAS da sifa-sifaya Bab : Kosruksi Graf Tagga Umum, membahas pegguaa mariks keeaggaa uuk megkosruksi graf agga umum da megugkap sifa-sifaya Bab 5: Kesimpula da Sara, meyimpulka hasil pembahasa da uraia, sera meragkum masalah-masalah erbuka yag dapa dielii lebih laju. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

16 BAB LANDASAN TEORI.. Teori Graf Defiisi-defiisi dasar beriku ii didasarka pada Deo (97). Sebuah graf G = ( V ( G), E( G)) dega p simpul da q busur erdiri dari himpua simpul V G v v p ( ) = {,..., } da himpua busur E( G) = { e,..., e q }, dega seiap busur meghubugka dua simpul yag disebu iik ujug (edpois). Busur dioasika sebagai e = ( u, v) E( G), dega u, v V ( G). Dalam hal ii, dikaaka simpul u bereagga (adjace) dega simpul v. Uuk selajuya, graf G = ( V ( G), E( G)) diuliska sebagai graf G, himpua V(G) adalah himpua simpul dega p = V ( G), himpua E(G) adalah himpua busur dega q = E( G). Sebuah gelug (loop) adalah sebuah busur dega iik ujug yag sama. Busur bergada (muliple edges) adalah busur-busur yag memiliki pasaga iik ujug yag sama. Sebuah graf sederhaa (simple graph) adalah graf yag idak memiliki gelug aaupu busur bergada. Suau graf dikaaka berhigga (fiie) jika himpua simpul da himpua busurya berhigga. Jika idak demikia, maka dikaaka graf idak berhigga.(ifiie). 0 Sebuah jala (walk) dega pajag k adalah barisa simpul da busur v, e, v, e,..., ek, vksedemikia sehigga ei = vi vi uuk i k. Jika jala ersebu idak memiliki busur yag berulag, maka disebu jalur (rail). Jalur apa simpul yag berulag disebu liasa (pah). Bayakya busur yag dilewai oleh jala erpedek yag meghubugka simpul v i da v j disebu jarak (disace) aara v i da v j, da dioasika sebagai ( v, v ). Sebuah graf dikaaka erhubug (coeced) i j jika erdapa jala yag meghubugka sebarag simpul pada graf ersebu. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

17 5 Diberika dua graf G = ( V ( G), E( G)) da G* = ( V ( G*), E( G*)). Kedua graf ersebu dikaaka isomorfik jika erdapa bijeksi ϕ : V ( G) V ( G*), di maa ( u, v) E( G) ( ϕ( u), ϕ( v)) E( G*), uuk semua ( u, v) E( G) (Diesel, 006)... Beberapa Kelas Graf Sederhaa Terdapa berbagai jeis kelas graf sederhaa. Tiga di aaraya adalah:.. Kelas Graf Ligkara (Cycle Graph) Graf ligkara dega simpul, diyaaka sebagai C, 3, adalah graf dega simpul-simpul v, v,..., v da busur-busur ( v, v),( v, v3),...,( v, v ) da {, } v v. Sebagai cooh, graf ligkara 8 C diujukka pada Gambar. Gambar.: Graf Ligkara C 8... Kelas Graf Ligkara Berali-busur (Cycle wih a Chord Graph) Graf ligkara berali-busur dibeuk dari sebuah graf ligkara, da meambahka sebuah busur uv, di maa simpul u da v sebelumya idak bereagga. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

18 6 Gambar.: Graf Ligkara Beralibusur C 9 MacDougall da Wallis (003) memperkealka oasi graf ligkara berali-busur yag dihasilka dari graf C uuk meyaaka C da sebuah busur yag meghubugka dua simpul berjarak,. Busur demikia diamaka ali busur, da dikaaka memiliki pajag. Gambar. meujukka adalah represeasi graf ligkara berali-busur C 9 Sebuah ali busur dega pajag adalah juga ali busur dega pajag -. Hal ii berari, pajag ali busur dapa dibaasi sampai uuk geap, da ( ) uuk gajil...3 Kelas Graf Legkap (Complee Graph) Graf legkap dega simpul, diyaaka sebagai K, adalah graf sederhaa dega seiap pasag simpul dihubugka oleh epa sebuah busur. Gambar.3 meujukka graf legkap dega = 7 Gambar.3: Graf Legkap K 7 Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

19 7.3.Kelas Graf yag Dibeuk dari Beberapa Blok.3.. Kelas Graf Raai (Chai Graph) Graf raai adalah graf dega blok graf B, B,..., Bm sehigga uuk seiap i, B i da B i+ memiliki sebuah simpul persekuua sedemikia sehigga graf iikpoog blok (block cu-poi graph)-ya adalah sebuah liasa (Barrieos, 00) Barrieos (00) medefiisika oasi mg-sake uuk meyaaka graf raai dega seiap blokya isomorfik dega G. Namu oasi ii idak dapa merepreseasika graf raai dega blok yag berbeda-beda. Lee da Wag (pp) medefiisika oasi CK( ;( a,..., a )) uuk meyaaka graf raai dega blok, dega blokya secara berurua adalah graf legkap K, K,..., K. Noasi Lee da a a a Wag ii dapa merepreseasika graf raai blok graf legkap dega order berbeda. Cooh beriku adalah graf raai CK(3;(3,,5)) da graf raai 3C5 -sake: (a) (b) Gambar.: (a) Graf raai blok legkap CK (3;(3,,5)) (b) Graf raai blok ligkara 3C5 -sake Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

20 8 Graf kc sake adalah salah sau beuk dari kelas graf raai. Barrieos pada ahu 00 medefiisika kosep liierias pada graf k > 3 da > 3, erdapa lebih dari sau variasi kc kc sake. Graf kc sake. Uuk sake adalah liier jika jarak aara simpul persekuua dalam blok yag sama adalah maka dikaaka graf ersebu adalah liier (Gallia, 00). Graf 3C5 sake pada Gambar.b adalah liier. Defiisi ersebu dapa digeeralisasi uuk ukura blok yag berbeda-beda. Cooh graf sake o-liier diujukka pada Gambar.5 (a) (b) Gambar.5 (a) 3C5 (b) C,6,,5 sake o-liier sake o-liier Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

21 9.3.. Kelas Graf Tagga (Ladder Graph) Graf agga L P P adalah graf dega V ( G) = { ui, vi : i } da E( G) = {( u, u ),( v, v ) : i } {( u, v ) : i } Selai iu erdapa variasi i i+ i i+ i i graf agga lai dega oasi L,, yaiu graf yag dibeuk dega melegkapi L dega busur-busur i i ( u, v + ), uuk i (Baca da Miller, 008). Perbedaaya dega graf raai adalah aar blok pada graf agga dihubugka oleh sebuah busur persekuua. Gambar.6 meujukka represeasi graf L5 da L 5 (a) (b) Gambar.6: (a) Graf agga L 5 (b) Graf agga L Kelas Graf Tagga Umum (Geeral Ladder Graph) Defiisi.: Graf Tagga Umum GTU(,m) adalah graf ligkara C yag diparisi mejadi m blok graf ligkara dega peambaha ( m ) ali-busur, yag disebu busur parisi, dega syara idak ada busur parisi yag memiliki simpul persekuua, idak ada busur parisi yag salig bersilaga di sisi dalam graf, da seiap blok graf memiliki maksimal busur parisi. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

22 0 Parameer m meyaaka jumlah blok graf yag erbeuk dari peambaha ( m ) busur parisi dega megikui syara yag disebuka pada Defiisi. di aas. Seiap blok graf pada GTU(,m) adalah graf ligkara. Berdasarka order blokya, GTU dapa diklasifikasika mejadi. GTU homoge, jika seluruh blokya berorder sama. GTU o homoge, jika erdapa miimal sebuah blok dega order berbeda dega blok laiya Kelas GTU(,m) beraggoaka semua graf agga umum dega simpul da m blok. Gambar.7 meujukka beberapa cooh graf agga umum (a) (b) (c) (d) Gambar.7 (a) Graf agga umum homoge dega blok C 5 ; (b) Graf agga umum homoge dega blok C 6 ; (c) Graf agga umum o-homoge dega blok C, C5, C6, C ; (d) Graf agga umum o-homoge dega blok C, C8, C6, C, C 5 Seperi halya pada graf raai kc sake, graf agga umum dapa dikaegorika sebagai liier aau o-liier. Liierias pada graf raai kc sake didasarka pada jarak aara dua simpul persekuua blok. Pada graf Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

23 agga umum, liierias didasarka pada jarak miimal aara simpul pada kedua busur persekuua pada blok yag bereagga. Secara formal, kosep liierias pada graf agga umum didefiisika sebagai beriku: Defiisi. (Liierias pada Graf Tagga Umum): Uuk m 3, i m, da B adalah blok ke-i, ( u, v) B da ( u ', v ') B adalah busur-busur persekuua yag i i erdapa pada blok ke-i. Sebuah GTU(,m) dikaaka liier jika mi( ( u, u '), ( v, v '), ( u, v '), ( v, u ')) = V ( B ) i i Semua GTU pada Gambar.7 adalah liier karea memeuhi Defiisi.. Gambar.8 meujukka cooh GTU o-liier. Pada GTU ii, uuk busur persekuua pada blok ke- diperoleh mi( ( u, u '), ( v, v '), ( u, v '), ( v, u ')) = V ( B ) 6 mi(,3,, ) =, da = =, sehigga idak memeuhi Defiisi.. Hal yag serupa juga erjadi uuk blok ke-3. u u B 3 B v B B v Gambar.8: GTU o-liier Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

24 .. Pelabela Graf Pelabela graf λ adalah sebuah pemeaa dari eleme-eleme graf G = ( V ( G), E( G)) ke himpua suau eias (biasaya ieger posiif). Di dalam esis ii, kodomai dibaasi haya pada ieger posiif. Jika domai dari λ adalah V ( G ), maka pelabelaya disebu pelabela simpul. Jika domai dari λ adalah E( G ), maka pelabelaya disebu pelabela busur. Da jika domai dari λ adalah V ( G) E( G), maka pelabelaya disebu pelabela oal. Dua jeis pelabela yag diguaka di dalam esis ii adalah yaiu pelabela Super Edge-Magic Toal (SEMT) aau Toal Busur-Ajaib Super (TBAS), da Edge Aimagic Verex (EAV) aau Simpul Aiajaib Busur (SAB).... Pelabela Toal Busur-Ajaib Super (TBAS) Pelabela TBAS diperkealka perama kali oleh Eomoo dkk pada ahu 998. MacDougall da Wallis (003) meyebu pelabela ii sebagai srogly edgemagic. Sejak pelabela ii diperkealka, elah bayak peelii yag meelii keberadaa pelabela ii pada berbagai kelas graf (Gallia, 00) Defiisi.3 (Pelabela Toal Busur Ajaib Super): Diberika graf G = ( V ( G), E( G)) dega p simpul da q busur. Sebuah fugsi bijekif λ : V ( G) E( G) {,,..., p + q}, di maa λ : V ( G) {,,..., p}, disebu pelabela Toal Busur-Ajaib Super (TBAS) jika erdapa sebuah kosaa ieger s sedemikia sehigga λ( u) + λ( v) + λ(( u, v)) = s, uuk seiap ( u, v) E( G). Kosaa s disebu kosaa ajaib. (Eomoo dkk, 998) Gambar.9 meujukka cooh beberapa graf yag memiliki pelabela TBAS Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

25 3 (b) Gambar.9: Graf dega pelabela TBAS (a) P 6, dega kosaa ajaib s = 6; (b) C 5, dega s = ; (c) 8 (a) (c) C 6, dega s = Pelabela (a,d)-simpul Aiajaib Busur (SAB) Pelabela (a,d)-sab diperkealka oleh Simajuak, Beraul, da Miller, pada ahu 000. Defiisi. (Pelabela (a,d)-simpul Aiajaib Busur) (Simajuak, Beraul, Miller, 000): Pelabela ( a, d) -Simpul Aiajaib Busur dari sebuah G = ( V ( G), E( G)) dega p = V ( G) da q = E( G) adalah pemeaa sau-sau f : V ( G) {,,..., p} sedemikia sehigga himpua bobo busur dari semua busur di G, yaiu{ f ( u) + f ( v) : ( u, v) E( G)}, adalah W = { a, a + d, a + d,..., a + ( q ) d}, di maa a > 0 da d 0 adalah kosaa ieger (Baca da Miller, 008). Secara khusus, jika d =, maka W = { a, a +, a +,..., a + ( q )}, yag berari eleme-eleme W adalah berurua. Pada ahu 003, Baca dkk. membukika bahwa jika graf G memiliki pelabela (a,)-sab, maka G adalah graf TBAS (Sugeg da Xie, 005). Uuk selajuya pelabela (a,)-sab disebu pelabela SAB Jika pelabela SAB dierapka pada graf yag erdapa pada Gambar.9, maka diperoleh pelabela seperi yag diujukka pada Gambar.0. Perhaika Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

26 bahwa pola pelabela simpul sama dega pola pelabela simpul pada pelabela TBAS (a) (b) 5 (c) Gambar.0: Graf dega pelabela SAB (a) P 6 ; (b) C 5 ; da (c) C 6.5. Mariks Keeaggaa (Adjacecy Marix) Mariks keeaggaa merupaka represeasi graf secara aljabar. Mariks ii saga peig peraaya di dalam megkosruksi GTU(,m). Defiisi.5 (Mariks Keeaggaa): Diberika sebuah graf G = ( V ( G), E( G)), dega V ( G) = { v, v,..., v }. Mariks keeaggaa A dari graf G adalah mariks yag eleme-elemeya memeuhi syara beriku:, jika ( vi, v j ) E( G) aij = 0, jika idak demikia dega i =,...,, da j =,..., Mariks keeaggaa bersifa simerik, aij = a ji, karea ( vi, v j ) = ( v j, vi ). Defiisi di aas adalah idepede erhadap label dari simpul, λ ( V ( G)). Uuk Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

27 5 megakomodasi sifa-sifa λ( V ( G)) pada mariks keeaggaa, defiisi beriku aka memeuhi: Defiisi.6 (Mariks Keeaggaa (a,)-sab): Diberika sebuah graf G = ( V ( G), E( G)), dega V ( G) = { v, v,..., v }, himpua bobo busur W = { λ( v ) + λ( v ) ( v, v ) E( G), i = 0,...,, j = 0,..., } da G graf SAB. Mariks i j i j keeaggaa SAB A dari G adalah mariks yag eleme-elemeya memeuhi syara beriku: i + j W λ i λ j E G aij = 0, jika idak demikia uuk i =,...,, da j =,...,, jika da ( ( ), ( )) ( ) Uuk selajuya, seiap peyebua mariks keeaggaa megacu kepada mariks keeaggaa (a,)-sab. Eleme-eleme pada sebuah skew diagoal dari mariks keeaggaa A erdiri dari eleme 0 semua, aau erdapa epa dua eleme dalam posisi yag simerik erhadap diagoal uama. Himpua bobo busur W adalah ieger yag berurua a, a +,..., a + q uuk suau ieger posiif a. Bobo busur λ( v ) + λ( v ) sama dega jumlah label simpul pada skew diagoal mariks keeaggaa yag memiliki eleme (Sugeg da Xie, 005). Sebagai ilusrasi, diberika sebuah graf C 7 dega pelabela SAB seperi diujukka pada Gambar. beriku i j Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

28 Gambar.: Graf C7 dega pelabela SAB Himpua bobo busurya adalah W = {5,...,}, dega mariks keeaggaa sebagai beriku: Skew diagoal Label simpul, λ ( ) v i Agka-agka pada judul baris da kolom adalah label dari simpul, da buka mejadi bagia dari mariks keeaggaa iu sediri. Terliha bahwa seiap skew- diagoal mariks di aas haya erdiri dari eleme 0 semua aau erdapa epa sau pasag eleme secara simerik erhadap diagoal uama. Bobo sebuah busur adalah pejumlaha dari baris da kolom, yaiu label dari simpul yag dihubugka oleh busur ersebu. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

29 7 Uuk selajuya, peyebua busur didasarka aas label dari simpul yag dihubugka oleh busur ersebu. Busur ( p, q ), yag direpreseasika sebagai a pq = pada mariks keeaggaa, adalah busur yag meghubugka simpul u dega simpul v, di maa λ( u) = p, da λ( v) = q. Bobo dari busur ii adalah p + q. Pada Bab 3 aka dibahas secara lebih medalam eag pelabela TBAS besera sifa-sifaya. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

30 BAB 3 PELABELAN TOTAL BUSUR AJAIB SUPER Pada Bab ii, sifa-sifa dari pelabela TBAS yag elah didefiisika pada Bab, dibahas secara lebih erici. Terdapa lebih dari sau kemugkia fugsi pelabela TBAS λ uuk sebuah graf TBAS (MacDougall da Wallis, 003). Di dalam esis ii, λ yag diguaka adalah berdasarka pola Eomoo dkk (998) da MacDougall da Wallis (003), yag dierapka masig-masig uuk graf ligkara da graf ligkara berali busur. 3. Sifa-sifa Pelabela Toal Busur Ajaib Super Pelabela TBAS eriduksi dari pelabela (a,)-sab, selajuya disebu pelabela SAB, karea seiap graf TBAS memiliki pelabela simpul yag ekivale dega pelabela (a,) SAB. Teorema 3. mejelaska hal ersebu. Teorema 3. (Baca dkk, 003): Jika graf G = ( V ( G), E( G)) memiliki pelabela (a,) SAB, maka G adalah graf TBAS Buki: Misalka f : V ( G) {,,..., p} adalah pelabela SAB uuk graf G, dega himpua bobo busur W = { a, a +,..., a + q }. Dega meeapka λ ( V ( G)) = f ( V ( G)) da λ (( u, v)) = p + q ( f ( u) + f ( v) a), ( u, v) E( G), maka f megiduksika pelabela TBAS λ : V ( G) E( G) {,..., p} { p +,... p + q }, Uuk selajuya, pelabela (a,) SAB disebu pelabela SAB, da graf yag memiliki pelabela (a,) SAB disebu graf SAB. Terdapa baas maksimal jumlah busur uuk membeuk sebuah graf TBAS, yag dijelaska oleh Teorema 3. beriku. 8 Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

31 9 Teorema 3.: Jika sebuah graf orivial G = ( V ( G), E( G)) adalah TBAS, maka q p 3 (Eomoo dkk., 998) Buki: Dega memperhaika label erkecil da erbesar dari semua simpul da semua busur, maka kosaa ajaib s harus memeuhi: ( λ( u) + λ( v)) + λ( uv) s ( λ( u) + λ( v)) + λ( uv) mi max max mi sehigga diperoleh: ( + ) + ( p + q) s ( p + ( p )) + ( p + ) 3 + p + q 3p q p 3 Keberadaa pelabela TBAS pada graf ligkara da graf ligkara beralibusur elah dibukika oleh Eomoo dkk (998) sera MacDougall da Wallis (003). Pembukia ii diperluka, karea kedua jeis graf ii diguaka dalam kosruksi graf agga umum. Teorema 3.3 beriku adalah pembukia yag dimaksud. Teorema 3.3: Sebuah graf ligkara C adalah TBAS jika da haya jika gajil. (Eomoo dkk., 998) Buki: Misalka erdapa pelabela TBAS λ uuk C dega kosaa ajaib s. Maka: s = { λ( u) + λ( v) + λ(( u, v))} ( u, v) E ( C ) = λ( v) + λ(( u, v)) u V ( C ) ( u, v) E ( C ) (3 + ) = ( + ) + Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

32 0 3 + diperoleh: s = + + Karea s ieger, maka 3 + = s adalah ieger. Hal ii dapa dipeuhi jika gajil. Uuk peryaaa kovers, misalka = r + adalah ieger gajil, = da E C vi vi+ i v v V ( C ) { v, v,... v } fugsi pelabela beriku: i+, jika i gajil λ( vi ) = i+ r +, jika i geap λ(( v, v )) = λ i i+ (( v, v )) = i, uuk i ( ) = {(, ) } {(, )}. Didefiisika Selajuya aka diujukka erdapa sebuah kosaa s = λ( u) + λ( v) + λ(( u, v)), uuk semua ( u, v) E( C ) : Uuk i gajil, i : i+ ( i+ ) + ( ) ( ) λ( v ) + λ( v ) + λ(( v, v )) = + r + + ( i) i i+ i i+ Uuk i geap, i : Uuk i = : = + r + = (karea r = ) 5+ 3 i+ ( i+ ) + ( ) ( ) λ( v ) + λ( v ) + λ(( v, v )) = r i i i+ i i+ = + r + = 5+ 3 ( ) ( ) + λ( v ) + λ( v ) + λ (( v, v )) = Dapa disimpulka bahwa λ adalah pelabela TBAS uuk = C, gajil, dega kosaa (Eomoo dkk., 998) Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

33 Pecaria secara komprehesif dega baua kompuer, meujukka erdapa bayak kemugkia pelabela TBAS uuk sebuah C, gajil, aaupu uuk C, geap (MacDougall & Wallis, 003). Sebagia besar diaaraya memiliki pola idak eraur, sehigga meyulika dalam membua kosruksi yag berlaku umum uuk berbagai ilai. Solusi yag diambil adalah dega megguaka pola pelabela TBAS uuk Eomoo dkk.(998), da pola pelabela TBAS uuk C, gajil, yag diperkealka oleh C, geap, yag diperkealka oleh MacDougall da Wallis (003) Teorema beriku megugkap pola pelabela yag dimaksud. simpul λ beriku megiduksika pelabela TBAS pada graf yag disebuka: Teorema 3. (Pelabela TBAS-C da TBAS- C ): Uuk r I, pelabela Jeis () UukG = C, = r +, r, r I, V ( G) = { v, v,..., v }, E( G) = {( v, v ) i } {( v, v )}: i i+ i+, jika i gajil λ( vi ) = i+ r +, jika i geap dega i =,,, (Eomoo dkk, 998) Jeis () Uuk G = C, = r, r, r I, (mod ), V ( G) = { v, v,..., v }, E( G) = {( v, v ) 0 i } {( v, v )} {( v, v )} i i+ s s+ r + i, jika i geap, i r i, jika i geap, r i r λ( vi ) = ( i + ), jika i gajil, i r r + ( i + ), jika i gajil, r + i r (MacDougall da Wallis, 003) Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

34 Jeis (3) Uuk V G v v v G = C, = r +, r, r I, =, 6 aau gajil selai da 5 ( ) = {,,..., }, E( G) = {( vi, vi+ ) 0 i } {( v, v )} {( vs, vs+ )} r +, jika i = r +, jika i = r +, jika i = r r + 3, jika i = r + λ( v i ) = r + i +, jika 6 i r, i geap r + i, jika r+ i r +, i geap ( i + ), jika i r +, i gajil ( i + 5), jika r + 3 i r +, i gajil (MacDougall da Wallis, 003) Buki: Uuk seiap pedefiisia λ di aas, aka dibukika bahwa aggoa himpua bobo busur W adalah berurua, yag berari λ pelabela SAB, sehigga berdasarka Teorema 3., λ megiduksika pelabela TBAS pada G. Jeis () Uuk λ berjeis (), himpua bobo busur yag didapa adalah: Uuk i gajil, i, bobo busur ( vi, v i + ) adalah: i + i + 3 vivi + = λ( vi ) + λ( vi+ ) = + r + = i + + r, i + i + Uuk i geap bobo busur ( vi, v i + ) adalah vivi + = r + + = i + + r Uuk i =, bobo busur ( vi, v i + ) adalah: (r + ) + 3 vv = λ( v ) + λ( v ) = + = = = r + Diperoleh, himpua bobo busur W = { r + } { r + + i i =,...,, r = } W berurua dega reag ilai r + sampai r + + Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

35 3 Jeis (): Uuk λ berjeis (), label simpul adalah bilaga sampai r, da himpua bobo busur W adalah {r +,...,6r + } {r + }. Nilai m + disebu missig weigh, karea idak diperoleh pada busur ligkara. Missig weigh ii dipeuhi oleh ali busur dega pajag m, yaiu ( v, v ), uuk i gajil da i m. Tali busur ii memiliki bobo busur m +, sehigga aggoa himpua W berurua (MacDougall da Wallis, 003). i m i Jeis (3) Uuk λ berjeis (3), label simpul adalah bilaga sampai r +, da erdapa missig weigh r + 3pada himpua bobo busur. Missig weigh ii dipeuhi oleh ali busur: v j vr j ( +, + ), uuk j =,..., r, yaiu ali busur dega pajag 3(mod ), aau vr j vr j ( + +, + ), uuk j =,..., r 5, yaiu ali busur dega pajag (mod ), selai 5, aau vr vr (, ) aau ( vr, vr+ ), yaiu ali busur dega pajag aau 6 (MacDougall da Wallis, 003). Dega r, mariks keeaggaa dari graf C, = r +, dega λ berjeis (), memiliki pola yag hampir serupa dega mariks keeaggaa dari graf C, = r, dega λ berjeis (). Hal ii aka dibahas pada Bab. Uuk λ berjeis (3), mariks keeaggaa dari C, = r +, memiliki pola yag saga berbeda dega mariks keeaggaa dari kedua jeis graf yag elah disebu erdahulu. Aas dasar hal ersebu, kosruksi GTU(,m) yag dibahas di dalam esis ii dibaasi uuk = r + da uuk = r. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

36 Uuk = r +, pelabela TBAS pada GTU(m,) megguaka λ jeis (), da disebu sebagai GTU(,m) berlabel TBAS- C. Uuk = r, r, pelabela TBAS pada GTU(,m) megguaka λ jeis (), da disebu GTU(,m) berlabel TBAS- C. 3.. Graf yag Ekivale-SAB Misalka A adalah mariks keeaggaa (a,)-sab, selajuya disebu mariks keeaggaa, dari sebuah graf SAB berorder. Jika sepasag eleme digeser sepajag skew-diagoalya secara simerik erhadap diagoal uama, maka diperoleh mariks keeaggaa dari graf yag o-isomorfik dega graf semula, dega himpua bobo busur yag sama (Sugeg da Xie, 005). Defiisi da sifa ii diformalka pada Defiisi 3. da Teorema 3.5 beriku: Defiisi 3.: Dua graf o-isomorfik, G da G*, adalah ekivale-sab (EAVequivale) jika G da G* memiliki himpua bobo busur yag sama (Sugeg da Xie, 005). Teorema 3.5: Diberika graf G yag SAB dega mariks keeaggaa A. Jika eleme pada A diubah posisiya secara simerik sepajag skew diagoalya, maka diperoleh mariks keeaggaa A* dari graf G* yag SAB da o isomorfik dega G (Sugeg da Xie, 005). Buki: Jelas bahwa A* A, sehigga graf G* o isomorfik dega G. Semua eleme pada skew-diagoal memiliki jumlah ideks yag sama, sehigga peempaa eleme pada posisi maapu secara simerik pada skew diagoal, merepreseasika busur dega bobo yag sama. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

37 5 Teorema 3.5 dijelaska dalam ilusrasi beriku (Sugeg da Xie, 005). Gambar 3.a adalah graf G dega pelabela SAB, dega mariks keeaggaa A pada Gambar 3.b. Himpua bobo busur dari G adalah W = {3,,5,6,7,8,9}. 5 3 G A = Gambar 3.a: Graf G dega pelabela SAB Gambar 3.b: Mariks keeaggaa A dari graf G Perhaika paah pada gambar 3.b. Dega memidahka eleme pada posisi (,) ke posisi (,3) dari mariks A, maka diperoleh mariks keeaggaa A*, dega graf G* (Gambar 3.a da 3.b) A* = G* Gambar 3.a: Mariks keeaggaa A* yag dihasilka dega memidahka eleme dari mariks A secara simerik sepajag skew diagoal Gambar 3.b: Graf G*, berdasarka mariks keeaggaa A* Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

38 6 Himpua bobo busur dari G* adalah W* = {3,, 5, 6, 7,8,9} = W. Graf G da G* adalah o isomorfik, dega himpua bobo busur W. Berdasarka defiisi, graf G da G* adalah ekivale-sab. Graf yag ekivale SAB da mariks keeaggaa SAB saga peig peraaya dalam megkosruksi graf agga umum, yag aka dijelaska pada Bab selajuya. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

39 BAB KONSTRUKSI GRAF TANGGA UMUM Secara umum, kosruksi graf agga umum diawali dari sebuah graf ligkara yag kemudia diambahka busur-busur parisi. Peambaha busur-busur ii megikui aura yag disebu aura parisi. Bab ii membahas bagaimaa aura parisi dierapka uuk membeuk graf agga umum, baik secara visual berbeuk simpul da busur maupu dega megguaka mariks keeaggaa. Dari peerapa ii, aiya dapa diuruka sifa-sifa mariks keeaggaa uuk graf agga umum... Aura Parisi GTU(,m) Tapa Pelabela Kosruksi sebuah GTU(,m) apa pelabela dega pemparisia diawali dari sebuah graf C yag kemudia diparisi mejadi m blok graf ligkara dega peambaha (m-) busur parisi dega syara:. Tidak ada busur parisi yag memiliki simpul persekuua. Tidak ada busur parisi yag salig bersilaga 3. Seiap blok graf yag erbeuk memiliki maksimal busur parisi Keiga syara di aas megakibaka adaya ilai maksimum uuk m, yag diyaaka dalam eorema beriku: Teorema. Jika m adalah bayakya blok yag erdapa pada graf agga umum GTU(,m) apa pelabela, maka m. Buki: Diberika G = GTU(,m), da V ( G) = { v,..., v }, da E( G) = {( v, v ) i =,..., } {( v, v )} i i+ 7 Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

40 8 Jika order seiap blok diperkecil, maka bayak blok yag erbeuk semaki bayak. Graf ligkara erkecil erkecil uuk blok B adalah C 3. Misalka B dibeuk dega peambaha busur parisi vv, sehigga V ( B ) = { v, v, v }.. Berdasarka aura parisi (), blok selajuya memiliki order erkecil. Lagkah selajuya dibedaka uuk gajil da geap (i) Uuk geap Blok selajuya dibeuk secara beruru-uru dega peambaha busur parisi v v, v v,... v v. Blok erakhir, B + m, dega sediriya memiliki 3 order 3, dega V ( B ) = { v, v, v }. m + + Diperoleh bayak busur parisi =, sehigga bayak blok = m = ( ) + = = (ii) Uuk gajil Blok selajuya dibeuk secara beruru-uru dega peambaha busur parisi v v, v v,... v v Diperoleh bayak busur parisi =, sehigga bayak blok = m = ( ) + = =.. Aura Parisi GTU(,m) Berlabel TBAS Eomoo dkk. (998) elah membukika graf C adalah TBAS jika da haya jika gajil. MacDougall da Wallis (003) meyaaka bahwa semua graf ligkara berali-busur C adalah TBAS kecuali C 6. Implikasiya adalah erdapa perbedaa dalam iisiasi kosruksi kelas GTU(,m) berlabel TBAS uuk gajil da geap dega cara pemparisia, yaiu: Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

41 9 (i) Uuk gajil, kosruksi GTU(,m) berlabel TBAS- C diawali dari graf C berlabel TBAS- C. (ii) Uuk geap, kosruksi GTU(,m) berlabel TBAS- C diawali dari graf C berlabel TBAS- C. Lagkah selajuya adalah meambahka busur parisi sau per sau sebayak ( m ) berdasarka aura parisi, dega peambaha aura keempa uuk memperahaka sifa TBAS, sehigga diperoleh aura parisi GTU(,m) berlabel TBAS beriku:. Tidak ada busur parisi yag memiliki simpul persekuua. Tidak ada busur parisi yag salig bersilaga 3. Seiap blok graf yag erbeuk memiliki maksimal busur parisi. Bobo busur parisi berikuya adalah mi(w)- aau max(w)+, dega W adalah himpua bobo busur sebelum peambaha busur parisi berikuya. Sifa busur yag idak berarah meyebabka oasi busur dapa diuliska secara komuaif, ( p, q) = ( q, p) uuk p, q E( G). Agar sebuah buisur dapa dibadigka dega busur laiya secara kosise, maka dalam esis ii dieapka peulisa oasi busur secara leksikografis sesuai label, dega p < q uuk busur ( p, q) E( G). C da GTU(,3) berlabel TBAS- C. Kosruksi dilakuka dega dua pedekaa.3. Kosruksi Kelas GTU(,m) berlabel TBAS dega Mariks Keeaggaa (a,)-simpul Aiajaib Busur.3.. Ilusrasi uuk gajil Sebagai ilusrasi, aka dilakuka kosruksi kelas GTU(,) berlabel TBAS yaiu secara diagram graf da secara mariks keeaggaa. Berdasarka aura parisi, kosruksi diawali dari graf ligkara C berlabel TBAS- C, yag diujukka pada Gambar. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

42 Gambar.: Graf ligkara C berlabel TBAS- C, label busur idak diampilka Mariks keeaggaa dari graf ersebu adalah: A = Gambar.: Mariks keeaggaa dari Graf ligkara C berlabel TBAS- C, Pelabela ersebu memiliki himpua bobo busur W = {7,...,7}. Berdasarka aura parisi keempa, peambaha sebuah busur parisi harus memberika bobo busur 6 aau 8. Misalka diambahka busur parisi (,5), dega bobo 6, sehigga dihasilka graf GTU(,) berlabel TBAS- C dega mariks keeaggaa seperi diujukka pada Gambar.3 da.. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

43 3 Berdasarka mariks keeaggaa ersebu, dapa dibeuk GTU(,) berlabel TBAS-C laiya yag ekivale-sab, dega cara meggeser eleme yag merepreseasika busur parisi sepajag skew-diagoalya (Sugeg da Xie, 005). Pergesera eleme ersebu ekivale dega meggeser busur parisi pada graf. Karea graf haya memiliki sau busur parisi maka idak aka erjadi persilaga, sehigga pergesera iu dapa dilakuka ke posisi maapu sepajag skew diagoalya. Sebagai cooh, jika eleme pada a5 digeser ke posisi a, maka mariks keeaggaaya mejadi seperi yag diujukka pada Gambar.5, dega graf diujukka pada Gambar Gambar.3: GTU(,) berlabel TBAS-C Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

44 A = Gambar.: Mariks keeaggaa dari GTU(,) berlabel TBAS- C A = Gambar.5: Mariks keeaggaa dari GTU(,) berlabel TBAS- C Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

45 Gambar.6: GTU(,) berlabel TBAS-C Selajuya, aka dilakuka peambaha busur parisi yag memberika bobo busur 8. Peambaha busur (8,0) aka melaggar aura parisi kedua, sehigga kemugkia peambaha busur parisi haya busur (7,). Diperoleh graf GTU(,3) berlabel TBAS- C (Gambar.7), besera mariks keeaggaaya (Gambar.8): Gambar.7: GTU(,3) berlabel TBAS- C 0 Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

46 A = Gambar.8: Mariks keeaggaa GTU(,3) berlabel TBAS- C Selajuya dega cara serupa, diperoleh seluruh kemugkia graf uuk GTU(,) berlabel TBAS- C da GTU(,3) berlabel TBAS-C, yaiu: GTU(,) berlabel TBAS- C : Uuk bobo busur parisi miimal memiliki beuk o-isomorfik Uuk bobo busur parisi maksimal memiliki beuk o-isomorfik GTU(,3) berlabel TBAS- C Uuk bobo busur parisi miimal memiliki beuk o-isomorfik Uuk bobo busur parisi maksimal memiliki beuk o-isomorfik Uuk bobo busur parisi kombiasi dari miimal da maksimal: memiliki beuk o-isomorfik Seluruh graf yag disebuka di aas diujukka pada Gambar.9 da.0 beriku: Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

47 Gambar.9: Graf dari kelas GTU (,) berlabel TBAS- C Gambar.6: Graf kelas GTU 0 (,3) berlabel TBAS- C Gambar.0: Graf dari kelas GTU (,3) berlabel TBAS- C Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

48 Kosruksi GTU(,m) berlabel TBAS- C dega gajil Kosruksi GTU(,m) berlabel TBAS- C dega gajil diawali dega sebuah graf ligkara C TBAS- C yag kemudia diparisi dega peambaha busur-busur parisi. Eleme-eleme mariks keeaggaa A dari adalah: C uuk gajil a ij + i 3 + i, uuk j = + ( ) mod aau j = + ( ) mod = 0, laiya dega i =,..., da j =,..., Uuk gajil, mariks keeaggaa A dari graf GTU(,m) berlabel TBAS- C dapa digologka mejadi 3 bagia yaiu:. Daerah ligkara, yag memua eleme-eleme yag membagu busur graf ligkara. Daerah miimal, yag memua eleme-eleme yag membagu busur parisi berbobo miimal 3. Daerah maksimal, yag memua eleme-eleme yag membagu busur parisi berbobo maksimal Beriku adalah mariks keeaggaa A dari graf besera pembagia daerahya: C berlabel TBAS- C, gajil, Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

49 37 Daerah miimal A = Daerah ligkara Daerah maksimal Pada mariks keeaggaa di aas, daerah busur parisi erdiri dari eleme 0 semua. Peambaha busur parisi perama (p,q) meyebabka masukya sepasag eleme secara simerik, yaiu pada posisi daerah busur parisi. a pq da aqp pada skew diagoal pada Berdasarka aura parisi keempa, graf yag diperoleh adalah salah sau dari dua kemugkia beriku: (i) (ii) Gambar.: Pola mariks keeaggaa A dari graf berlabel TBAS-C, gajil Graf agga umum dega bobo busur parisi berurua, jika peambaha eleme seluruhya berada pada daerah miimal saja aau maksimal saja Graf agga umum dega bobo busur parisi kombiasi dari bobo miimal da maksimal, jika peambaha eleme seluruhya berada pada daerah miimal da maksimal C Sifa. beriku eriduksi dari peambaha busur parisi berbobo + miimal ( p, q ), di maa p + q. Mariks keeaggaa A memiliki pola seperi + pada gambar.. Karea mariks A simerik da p + q, maka pembukia cukup dierapka uuk daerah segiiga aas dari daerah miimal. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

50 38 Sifa.: Diberika A mariks keeaggaa graf G = GTU(,m) berlabel TBAS- C, + gajil, dega bobo busur parisi berurua. Jika a pq = da p + q, maka: (i) a = 0, uuk i + j = p + q, i p, j q ij (ii) a = 0, uuk p j q, i p, da i + j p + q ij Buki: (i) (ii) Ii adalah sifa dari mariks keeaggaa SAB, yaiu pada suau skew diagoal-ya erdapa epa sau pasag eleme dalam posisi simerik erhadap diagoal uama, aau semua elemeya 0. Berdasarka aura parisi (), idak ada busur parisi laiya yag memiliki simpul p aau q. Hal ii berakiba a pj = 0 uuk p j < q, a = 0 da a = 0 uuk i < p. Semua busur ( i, j ), uuk ip iq i < p da p < j < q, aka bersilaga dega busur ( p, q ), sehigga melaggar aura parisi (). Dapa disimpulka a = 0, uuk p j q, i p, da i + j p + q ij Sifa. beriku eriduksi dari peambaha busur parisi berbobo maksimal 3+ 3 ( p, q ), di maa p + q. Sifa.: Diberika A mariks keeaggaa graf GTU(,m) berlabel TBAS- C, 3+ 3 gajil, dega bobo busur parisi berurua. Jika a pq = da p + q, maka: (i) a = 0, uuk i + j = p + q, i p, j q ij (ii) a = 0, uuk p i q, q j, da i + j p + q ij Buki: (i) Pembukia serupa dega pembukia sifa. (i) Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

51 39 (ii) Berdasarka aura parisi (), a pj = 0da a qj = 0 uuk q < j, da a = 0 uuk p < i q. Semua busur ( i, j ), uuk p < i < q da q < j, iq aka bersilaga dega busur ( p, q ), sehigga melaggar aura parisi (). Akibaya a = 0, uuk p i q, q j, da i + j p + q ij Berdasarka sifa-sifa ersebu, jumlah kemugkia beuk o-isomorfik GTU(,m) berlabel TBAS- C, gajil, bobo busur parisi berurua, dapa dikeahui. Teorema. beriku mejelaska bayak kemugkia beuk o isomorfik dari GTU(,) berlabel TBAS- C dega bobo busur parisi berurua. Teorema.: Uuk 5 da gajil, GTU(,) berlabel TBAS- C dega bobo busur parisi berurua, memiliki kemugkia beuk yag o-isomorfik Buki: i+ Uuk m =, maka skew diagoal dega ideks ( i, ),,..., i =, memiliki i+ sepasag eleme secara simerik. Secara leksikografis berdasarka label i <, sehigga diperoleh + i <. Karea i ieger, maka i. Jumlah blok maksimum yag dapa dibeuk dari sebuah C berlabel TBAS- C, gajil, bergaug kepada order, yag dijelaska dalam Teorema.3 beriku: Teorema.3: Uuk 3 da gajil, graf C berlabel TBAS- C dapa diparisi + 8 mejadi maksimal 6 blok, dega bobo busur parisi berurua. Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

52 0 Buki: Pada mariks keeaggaa, maksimal jumlah eleme pada daerah miimal dapa diperoleh jika a =. Secara leksikografis, beruru-uru eleme berikuya yag, erdeka adalah pada posisi a, a,, i+ 3 a + 3,dega i <. Diperoleh 9 + i 6, 3, 9 + <, da karea m = i +, maka m < +. Selajuya, karea m adalah ieger 6 i, i + 8 erbesar yag memeuhi, maka m 6. Sebalikya, uuk membeuk suau GTU(,m) berlabel TBAS-C dega jumlah blok ereu, maka erdapa baas bawah uuk. Akiba.3. beriku mejelaska hubuga yag dimaksud, uuk gajil. Akiba.3.: Uuk suau m da gajil, order erkecil dari sebuah GTU(,m) berlabel TBAS-C da bobo busur parisi berurua, adalah 6m 7 Buki: Berdasarka Teorema.3, + 8 m 6 karea gajil, maka: + 8 m < 6 > 6m 8, sehigga 6m 7 Diijau dari peempaa eleme pada daerah miimal, kosruksi mariks keeaggaa dari GTU(,m) berlabel TBAS-C uuk gajil dikaegorika mejadi 3 jeis, yaiu:. Pada baris perama daerah miimal, a + =, selai iu adalah 0. Kodisi ii, meyebabka m eleme laiya berada pada subdaerah miimal yag Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0

53 diperoleh apa megikuseraka baris perama da skew diagoal yag memua a, +, dari daerah miimal semula +. Pada baris perama daerah miimal, a, j =, uuk sebuah j, j <., selai iu adalah 0. Kodisi ii meyebabka m eleme laiya berada pada subdaerah miimal yag diperoleh apa megikuseraka baris perama da + skew diagoal yag memua a, j =, uuk sebuah j, j <. 3. Pada baris perama daerah miimal idak erdapa eleme, sehigga semua m eleme erdapa pada subdaerah miimal yag diperoleh apa megikuseraka baris perama dari daerah miimal semula. Keiga kaegori di aas eap megacu kepada sifa. da.. Semua beuk o-isomorfik dari GTU(,m) TBAS-C dapa dicari dega mejumlahka semua kemugkia yag dapa dibeuk dari seiap kaegori kosruksi di aas. Uuk meghiug jumlah kemugkia pada jeis () cukup kompleks. Dega mejumlahka kemugkia pada kaegori () da (3), diperoleh jumlah miimal dari semua kemugkia beuk o-isomorfik dari GTU(,m) TBAS-C, yag diyaaka dalam Teorema. beriku: Teorema. Jika (, m ) meyaaka miimal bayak beuk o-isomorfik dari GTU(,m) berlabel TBAS- C, gajil,, m 3, maka (, m) = (, m) + ( 6, m ) Buki: Jika idak ada eleme pada baris perama dari mariks keeaggaa GTU(,m) berlabel TBAS-C, maka ke- ( m ) eleme erleak pada subdaerah miimal yag diperoleh apa megikuseraka baris perama. Subdaerah miimal ii adalah daerah miimal uuk GTU(-,m) dega miimum bayak beuk o-isomorfik (, m). Uiversias Idoesia Kosruksi kelas..., Ahmad Sabri, FMIPA UI, 0