JMP : Volume Nomor 2, Oober 2009 SOUSI PERSAMAAN DIFERENSIA BOTZMANN INEAR Agus Sugadha Faulas Sais da Tei, Uiversias Jederal Soedirma Purwoero, Idoesia Email : agussugadha@ymail.com ABSTRACT. I his research, i will be discussed he way o id he soluio o liear Bolzma diereial equaio. The soluio o liear Bolzma diereial equaio is a ixed oi o Marov Oeraor. Keywords. Bolzma diereial equaio, Marov Oeraor, ixed oi.. PENDAHUUAN Baya meode uu mecari solusi dari suau ersamaa dieresial. Aa eai secara umum adalah suli uu mecari solusi umum dari suau ersamaa dieresial. Pada ulisa ii aa dibahas bagaimaa mecari solusi dari ersamaa dieresial Bolzma liear. Sedaga roses uu medaaa ersamaa dieresial Bolzma liear daa diliha di asoa da Macey (994). 2. HASI DAN PEMBAHASAN Sebelum membahas solusi dari ersamaaa Dieresial Bolzma liear erlebih dahulu diberia ose eori uura da iegral ebesgue. 2. Uura da Ruag Uura Deiisi 2.. (Royde, 989). Diberia himua a osog. Yag dimasud dega aljabar σ himua ada adalah suau olesi A 2 yag eruu erhada oerasi omleme da gabuga erhiug, yaiu jia memeuhi sia-sia beriu : (a) Jia A A maa A c A (b) Jia { A i} A maa A A. U i i
A. Sugadha 8 Selajuya asaga himua φ da suau aljabar -σ himua A 2 ada, diulis (, A), disebu ruag eruur (measurable sace) da seia aggoa ruag eruur (, A) disebu himua eruur. Deiisi 2..2 (Royde, 989). Diberia ruag eruur (, A). Fugsi himua µ : A R disebu uura (measure) ada ruag eruur (, A), jia memeuhi sia-sia beriu : (a) µ ( φ) 0 (b) ( A) 0 µ uu seia A A (c) Jia { A } A meruaa barisa himua-himua yag salig asig maa berlau µ U A µ ( A ). Selajuya jia µ suau uura ada ruag eruur (, A) maa (, A, µ ) disebu ruag uura (measure sace). Jia himua A. A A maa µ ( A) disebu uura Deiisi 2..3. Ruag uura (, A, µ ) diaaa σ -iie jia erdaa barisa { A } A yag memeuhi U da ( ) < A µ uu seia. A 2.2 Oeraor Marov da Oeraor Perro Frobeius Deiisi 2.2.. Diberia (, A, µ ) ruag uura lega da σ-iie. Seia oeraor liear P : yag memeuhi : (a) P 0 uu seia, 0 (b) P dega dµ disebu oeraor Marov.
Solusi Persamaa Dieresial 9 Deiisi 2.2.2. Diberia (, A, µ ) ruag uura lega da σ-iie, da P : oeraor Marov. Fugsi jia berlau P. diaaa ii ea (ixed oi) P Deiisi 2.2.3 (asoa da Macey, 994). Diberia (, A, µ ) ruag uura lega da σ -iie. Trasormasi eruur (measurable) ( ) 0 osigular jia S ( A) µ uu seia A A dega ( A) 0 S : diaaa µ. Deiisi 2.2.4 (asoa da Macey, 994). Diberia (, A, µ ) ruag uura lega da σ -iie, da S : rasormasi osigular. Oeraor P S : yag memeuhi S d A P µ dµ uu seia A A S ( A) disebu oeraor Perro-Frobeius yag bersesuaia dega S. Deiisi 2.2.5. Diberia oeraor T, 0 :,. Keluarga { } 0 T disebu semigru oeraor liear orasi (semigru orasi) jia T memeuhi odisi beriu : T + + uu seia T T (a) ( 2 2 ) 2 2, 2,, 2 R (b) T uu seia (c) T 0 uu seia (d) T + ' T ( T ' ) uu seia. Jia lim T T 0 maa semigru ii diaaa oiu. 0 0
A. Sugadha 20 Deiisi 2.2.6. Oeraor A: D(A), dega T D(A) { / A lim ada da overge ua} 0 disebu dega oeraor iiiesimal. Beriu ii adalah Teorema Hille Yosida da Aibaya. Teorema 2.2.7. Diberia A: D(A) adalah subruag liear di. oeraor liear D(A) Oeraor A adalah iiiesimal uu semigru orasi da oiu, adalah erlu da cuu bahwa iga odisi beriu dieuhi : a) D(A) adalah raa di ii D(A) b) Uu seia g Ag, yaiu seia ii di adalah limi ua dari barisa erdaa solusi uggal g D(A) dari ersamaa resolve c) Uu seia g D(A) da > 0 berlau g Ag g, sehigga jia A memeuhi (a)-(c) maa semigru yag beraia dega A adalah uggal da diberia oleh A T lim e, dega dega A AR da R g (oeraor resolve) adalah solusi uggal dari g Ag. Aiba 2.2.8. Diberia A: D(A) dari eorema Hille Yosida. Jia solusi R adalah oeraor Marov, maa { } 0 dari oeraor Marov. adalah oeraor yag memeuhi (a)-(c) R g dari (2.2.7) sedemiia sehigga T dibagia oleh semigru oiu
Solusi Persamaa Dieresial 2 Uu R oeraor Marov cuu dierisa uu odisi (a) da (b) dari eorema Hille-Yosida, uu odisi (c) oomais dieuhi. Karea dega megambil R oeraor Marov. g Ag, eidasamaa R selalu dieuhi jia 2.3 Solusi Persamaa Dieresial Bolzma iear Suau ersamaa dieresial yag berbeu u(, u(, + Pu(, (2.3.) dega odisi awal u ( 0, (, disebu dega ersamaa dieresial Bolzma iear, dega P adalah oeraor Perro-Frobeius yag beraia dega rasormasi osigular S :, u(, P ( da 0 ( ) ( ) e.! Adaia solusi u (, meruaa ugsi dari bilaga real osii + R e u : R beu +. Sehigga ersamaa dieresial (2.3.) diaas daa diulis dalam du d ( P I )u (2.3.2) dega P adalah oeraor Marov da I adalah oeraor ideias. Oeraor ( P I) memeuhi asumsi (a)-(c) dari eorema Hille Yosida. Karea ( P I ) dideiisia di da dega megambil D(A) maa sia (a) dieuhi. Uu memerisa sia b) Misala ersamaaa resolve dega A P I, sehigga dieroleh ersamaa ( +) P g A g. (2.3.3)
A. Sugadha 22 Persamaa (2.3.3) daa diselesaia dega meode arosimasi susesi. Uu sebarag 0 dideiisia dega Sehigga dieroleh ( ) P g (2.3.4) + P P + + 0 ( + ) ( ) g (2.3.5) Karea P g g da dere dari orm g overge maa P + ( ) g overge. Da solusi uggal dari ersamaa resolve (2.3.3) diberia oleh R g lim P g (2.3.6) + ( ) Uu memerisa ersamaa dieresial Bolzma liear memeuhi sia c) dari eorema Hille-Yosida, iegrala ersamaa (2.3.6) uu memberia R g( dµ ( ) + P g( dµ Sehigga dieroleh ( ) + g ( dµ g( dµ. Karea ( d R g µ. R liear, o egai, da megawea iegral maa oeraor Marov. Sehigga sia c) secara oomais dieuhi (Aiba 2.2.8). R adalah Dega megguaa eorema Hille Yosida da Aiba 2.2.8, ersamaa dieresial Bolzma liear (2.3.) membagia semigru oiu dari P. Oeraor Marov { } 0
Solusi Persamaa Dieresial 23 Uu meeua rumus eslisi P ^, adaia A AR ( P I) R ( P I ) P P ( + ) ( + ) lim A P. Jadi dega megguaa eorema Hille-Yosida, semigru uggal yag beraia dega A ( P I) diberia oleh ^ P ( P I ) e (2.3.7) da solusi uggal ersamaa (2.3.7) dega odisi awal u ( 0, ) ( adalah ( P I ) u(, e (. 3. KESIMPUAN DAN SARAN 3. Kesimula Solusi ersamaa dieresial Bozma liear sebearya meruaa suau ii ea dari Oeraor Marov. 3.2 Sara Tulisa ii haya membahas ada P :, dega P oeraor Marov da oeraor Perro-Frobeius yag bersesuaia dega ugsi o sigular S : ada ruag uura (, A, µ ). Hal ii daa diembaga dega megguaa P :, P : dega < < da P : q dega syara > q.
A. Sugadha 24 4. DAFTAR PUSTAKA Jai ad Gua, ebesgue Measure ad Iegraio, Wiley Easer imied,. 986. Kreyszeig, E., ad Sos, 978. Iroducory Fucioal Aalysis Wih Alicaios, Joh Wiley asoa, A. ad Macey, M.C., Chaos, Fracals, ad Noise : Sochasic Asec o Diamic, Alied Mahemaical Sciece, vol. 97, Sriger-Verlag, New Yor, 994. Pazy, A., Semigrou o liiar Oeraos ad Alicaios o Parial Diereial equaios, Sriger-Verlag, New Yor, 983. Royde, H.., Real Aalysis, Third Ediio, Macmilla, New Yor, 989.