Dieresiasi Numerik Sala satu perituga kalkulus yag serig diguaka adala turua/ dieresial. Coto pegguaa dieresial adala utuk meetuka ilai optimum (maksimum atau miimum) suatu ugsi y x mesyaratka ilai turua suatu ugsi = 0 y 0. Da di materi sebelumya tela dijelaska bawa dalam meetuka akar suatu persamaa liear dega metode Newto-Rapso memerluka dieresial sebagai pembagi ilai perbaika errorya. Tidak semua ugsi dapat dicari ugsi turuaya dega muda. Coto ugsi yag dapat x x xe cosx x 1 x e si x. Tetapi pada x diselesaika dega maual adala : permasalaa lai ilai ugsi sulit diselesaika secara maual. Terutama jika ugsiya aya diketaui berupa ilai atau grais. Deiisi Umum Dieresial '( x) lim 0 ( x ) ( x) Ekspasi Deret Taylor Rumus umum ekspasi deret Taylor ugsi x sekitar titik x Atau bisa juga ditulis : 3 ( x ) ( x). '( x) ''( x) '''( x)... ( x)...! 3!! 3 i 1 i i i i i ( x ) (x ). '( x ) ''( x ) ''( x )... ( x )...! 3!! {baca: Deret Taylor satu lagka ke depa} Ekspasi Deret Taylor iila yag diguaka utuk mecari ilai turua secara umerik. Ada 3 metode yag bisa diguaka : 1. Metode Selisi Maju. Metode Selisi Tegaa 3. Metode Selisi Mudur Selai 3 metode di atas, aka dibaas juga pedekata umerik utuk dieresial tigkat tiggi.
Metode Selisi Maju Metode selisi maju merupaka metode yag megadopsi lagsug deiisi dieresial Rumus umum dieresial metode selisi maju pada titik x : '(x) ( x ) ( x) 0 {ilai yag diarapka kecil} agar errorya kecil. Secara rigkas, besar errorya adala : Coto : E ' ''( ) Hitugla ilai turua ugsi (x) x pada titik x=: a. Cara aalitik b. Cara umeruik dega metode selisi maju (=0,1 da = 0,01). Tetuka juga besar error relatiya. Jawab : a. Cara aalitik ()= b. Cara umerik dega metode selisi maju. - = 0,1 ( ) ( ) (,1) () '(x) x x '(),1 0,1 Catata : a,1 100%,5% - = 0,01 ( ) ( ) (,01) () '(x) x x '(),01 0,01 a,01 100% 0,5% Tampak bawa maki kecil ilai semaki kecil juga tigat kesalaaya.
Metode Selisi Tegaa Metode selisi tegaa merupaka metode peetua ilai turua dega megambil perubaa dari titik sekitar titik yag diukur. Rumus umum dieresial metode selisi tegaa pada titik x : Rumus selisi maju pada x '(x) ( x) ( x ) Rumus selisi maju pada (x) '(x) ( x ) (x) Metode selisi tegaa merupaka rata-rata dari dari dua selisi maju di atas : '( x) '( x ) '(x) ( x ) ( x ) 1 Besar kesalaa metode selis tegaa ii adala : E ' '''( ) 6 NB: Metode seleksi tegaa bayak diguaka sebagai metode dieresial umerik. Coto : Hitugla ilai turua ugsi ( x) = 0,01). Tetuka juga besar error relatiya. Jawab : x pada titik a. Cara aalitik ()= b. Cara umerik dega metode selisi teagaa. - = 0,1 ( ) ( ) (,1) (1,9) '(x) x x '() 0, a 100% 0% x dega metode selisi tegaa (=0,1 da
- = 0,01 ( ) ( ) (,01) (1,99) '(x) x x '() 0,0 a 100% 0% Metode Selisi Mudur Rumus umum dieresial metode selisi mudur pada titik x : '( x) ( x) ( x ) Besar errorya adala : E ' ''( ) Coto : Hitugla ilai turua ugsi ( x) 0,01). Tetuka juga besar error relatiya. Jawab : COBALAH x pada titik x= dega metode selisi mudur (=0,1 da = Latia : Hitugla ilai turua 3 (x) 0,1x 0,15x 0,5x 0, 5x 1, utuk x=00,5 dega = 0,1. a. Cara aalitik b. Metode selisi maju c. Metode selisi tegaa d. Metode selisi mudur e. Hitug juga error b,c, da d.
Dieresial Tigkat Tiggi Dieresial tigkat tiggi merupaka proses pedeeresiala secara terus meerus, igga tigkata yag ditetuka. Pedeeresiala tigkat secara umum dapat ditulis : Misalka dieresial tigkat, dapat ditulis : 1 ( x) ( x) ( x) 1 x x ( x) ( x) '( x) ( x) x x x Utuk megitug diersial tikat tiggi dapat megguaka metode selisi maju, selisi tegaa, da selisi mudur. Rumus umum dieresial tigkat dega metode maju : '( x ) '( x) ( x ) ( x ) ( x) ''( x) Dega error : E (3). ( ) Rumus umum dieresial tigkat dega metode tegaa : '( x ) '( x ) ( x ) ( x) ( x ) ''( x) Dega error : E 1 (). ( ) Rumus umum dieresial tigkat dega metode mudur : '( x) '( x ) ( x) ( x ) ( x ) ''( x) Dega error : E (3). ( ) Dega cara yag sama dapat diperole rumus umum dieresial tigkat 3,, dst. Coto :
Hituglag ilai turua kedua dari ugsi juga ilai errorya : 3 ( x) x x x utuk x=0,5 dega =0,05. Tetuka a. Cara aalitik b. Metode selisi maju c. Metode selisi tegaa d. Metode selisi mudur Jawab : a. Cara aalitik (coba sediri) b. Cara umerik metode selisi maju '( x ) '( x) ( x ) ( x ) ( x) ''( x) '(0, 5 0, 05) '(0, 5) (0,35) (0,3) (0, 5) ''(0,5), 0,05 (0,05) r c. Cobala d. Cobala Tampak bawa :,5 (, ) 100% 1%,5 - Metode selis maju da mudur memberika asil dega tigkat ketelitia yag secderug sama - Semetara Metode selisi tegaa memberika asil yag palig teliti.
Pedekata Ekspasi Taylor Pedekata lai yag dapat diguaka utuk memberi ilai pedekata ugsi dieresial adala ekspasi deret Taylor. Ekspasi deret Taylor satu lagka ke depa : 3 ( xi 1) ( xi ). '( xi ) ''( xi ) '''( xi )...! 3! Ekspasi deret Taylor dua lagka ke depa : 3 ( ) ( ) ( xi ) ( xi ). '( xi ) ''( xi ) '''( xi )...! 3! Dega megguaka persama () dega kali persamaa (1), diperole : x x x x ( i) ( i) ( i) ''( i)... Seigga diperole ( xi ) ( xi 1) ( xi ) ''( xi ) (dieresial terbagi igga lagka ke depa) Persamaa di atas bisa di modiikasi mejadi : ( xi ) ( xi 1) ( xi) ''( xi ) (dieresial terbagi igga lagka mudur) Semetara itu : Ekspasi deret Taylor tiga lagka ke depa : ( xi 3) 3 ( xi ) 3 ( xi 1) ( xi ) '''( xi ) 3 Secara umum megikuti pola bilaga segitiga Pascal. Secara umum ditulis : ( x ) ( x )... ( 1) ( x ) ( 1) ( x ) 1 ( ) i i1 i1 i ( xi ) Misalka rumus pedekata utuk dieresial tigkat 5: ( xi ) 5 ( xi ) 10(x i ) 10 ( xi ) 5 ( xi ) ( xi ) ( x) (5) 5 3 1 i 5
Latia : 1. Hitugla ilai turua kedua dari ugsi x 0,5 dega =0,1. 3 ( x) 0,1x 0,15x 0,5x 0, 5x 1, utuk a. Cara aalitik b. Metode selisi maju c. Metode selisi tegaa d. Metode selisi mudur e. Hitug juga error b,c,d. Apa kesimpula kalia?. Utuk soal o.1 di atas, tetuka pedekata turua ketigaya megguaka pedekata ekspasi deret Taylor. 3. Hitugla ilai dieresial kedua da turu ketigaya megguaka pedekata ekpasi deret Taylor dari ugsi errorya. 3 ( x) x x x utuk x 0,5 dega =0,05. Tetuka juga ilai