INTERVAL KEPERCAYAAN Tujua utama diambil ebuah ampel dari ebuah populai adalah utuk memperoleh iformai megeai parameter populai.. Ada cara meetuka parameter populai yaitu peakira da pegujia hipotei. Peakira parameter JIka peakir θ = X,,, p da parameter yag aka ditakir adalah θ = μ, σ, σ, π, maka θ yag baik memiliki beberapa ifat yaitu: 1. θ merupaka peduga tak bia, artiya harapa E θ = θ. θ merupaka peakir yag efiie, artiya bila ada lebih dari atu peakir, maka peduga yag efiie adalah peduga yag mempuyai varia palig kecil. 3. θ merupaka peakir yag koite, artiya bila ampel yag diambil meki bear, maka ilai θ aka emaki medekati ilai θ. Peakira parameter dapat dilakuka DUA cara yaitu dega peakira titik da peakira iterval. Peakira titik jika megambil Statitik θ = X dipakai utuk meakir parameter θ = μ. Statitik θ = S dipakai utuk meakir parameter θ = σ. Statitik θ = p dipakai utuk meakir parameter θ = π. Utuk meakir iterval takira parameter θ dega koefiie kepercayaa γ, maka ebuah ampel acak diambil, lalu hitug ilai-ilai tatitik yag diperluka. Perumua dalam betuk peluag utuk parameter θ atara A da B: P A < θ < B = γ dega A da B fugi dari tatitik, jadi merupaka variabel acak, tidak bergatug pada θ. Arti dari formula di ata adalah ecara γ% percaya bahwa parameter θ aka ada didalam iterval A, B. Jadi tidaklah dikataka: peluagya ama dega γ bahwa θ terletak A da B, melaika eeorag hamya yaki γ% bahwa θ itu terletak atara A da B. 1. Iterval Kepercayaa Bagi Rata-Rata Mialka ebuah populai berukura N dega rata-rata μ da impaga baku σ. Dari populai ii parameter μ aka ditakir. Utuk keperlua ii, diambil ampel acak berukura, lalu dihitug tatitik
yag perlu, ialah x da. Titik takira utuk rata-rata μ ialah x. Dega kata lai, ilai μ bearya ditakir oleh harga x yag didapat dari ampel. Utuk memperoleh takira yag lebih tiggi derajat kepercayaa, diguaka iterval takira atau elag takira diertai ilai koefiie kepercayaa yag dikehedaki. Dibedaka mejadi tiga hal a. Simpaga baku σ diketahui da populaiya berditribui ormal P x z1 γ. σ < μ < x + z1 γ. σ = γ Dega γ = koefiie kepercayaa da z1 = bilaga z didapat dari tabel ormal baku utuk γ peluag 1 γ. Utuk iterval kepercayaaya: x z1 γ. σ < μ < x + z1 γ. σ b. Simpaga baku σ tidak diketahui da populai berditribui ormal P x t p. < μ < x + t p. = γ dega γ = koefiie kepercayaa da t p = ilai t didapat dari daftar ditribui tudet dega p = 1 1 + γ da dk = 1 Utuk iterval kepercayaaya: x t p. < μ < x + t p. c. Simpaga baku σ tidak diketahui da populai tidak berditribui ormal Jika cukup bear maka dalil limit puat berlaku maka dapat diguaka cara a. dega megguaka kekelirua yag agat kecil. Jika populai agat meyimpag dari ormal da ukura ampel kecil ekali maka teoriya haru dipecahka dega megguaka betuk ditribui ali dari populai beragkuta. Cotoh: Sebuah ampel acak terdiri dari 100 mahaiwa tealh diambil dari ebuah Uiverita lai ilai-ilai IQya dicatat. Didapat x = 11 da = 10. Kita dapat megataka: IQ rata-rata utuk mahaiwa Uiverita itu = 11
Dalam hal ii diguaka titik takira. Jika dikehedaki iterval takira IQ rata-rata dega koefiie kepercayaa 0,95 maka p = 1 1 + 0,95 = 0,975 da dk = 100 1 = 99 dega megguaka iterpolai dari Daftar G dalam lampira didapat t p = 1,987. Maka iterval kepercayaa 11 1,987 10 10 < μ < 11 + 1,987 100 100 Atau: 110 < μ < 114 Jadi didapat 95% iterval kepercayaa utuk IQ rata-rata mahaiwa ialah 110 < μ < 114. Iterval Kepercayaa bagi eliih rata-rata Mialka terdapat dua populai, kedua-duaya berditribui ormal. Rata-rata da impaga bakuya maig-maig μ 1 da σ 1 utuk populai keatu, μ da σ utuk populai kedua. Dari maig-maig populai ecara idepedet diambil ebuah ampel acak dega ukura 1 da. Rata-rata da impaga baku dari ampel-ampel itu berturut-turut x 1, 1 da x,. Aka ditakir eliih rata-rata μ 1 μ. Jela bahwa titik takira utuk μ 1 μ adalah x 1 x. Utuk memperoleh takira yag lebih tiggi derajat kepercayaa, diguaka iterval takira atau elag takira diertai ilai koefiie kepercayaa yag dikehedaki. Dibedaka mejadi tiga hal a. σ 1 = σ Jika kedua populai ormal itu mempuyai σ 1 = σ = σ da bearya diketahui, maka dega iterval kepercayaa γ% utuk μ 1 μ ditetuka oleh rumu: x 1 x z1 γ. σ 1 1 + 1 < μ 1 μ < x 1 x + z1 γ. σ 1 1 + 1 Dega z1 γ didapat dari ditribui ormal baku dega peluag 1 γ. b. Dalam hal σ 1 = σ = σ tetapi tidak diketahui bearya, pertama-tama dari ampel-ampel perlu ditetuka varia gabugaya, diyataka dega, bearya diberika oleh rumu: = 1 1 1 + 1 1 +
Iterval kepercayaaya ditetuka dega megguaka ditribui tudet. Formula dega iterval kepercayaa γ% utuk μ 1 μ adalah x 1 x t p. 1 1 + 1 < μ 1 μ < x 1 x + t p. 1 1 + 1 dega t p didapat dari daftar ditribui tudet dega p = 1 1 + γ da dk = 1 + c. σ 1 σ Dega memialka 1 = σ 1 da = σ, utuk ampel-ampel acak berukura cukup bear, dapt dilakuka pedekata kepada ditribui ormal. Formula iterval kepercayaaya ditetuka oleh: Cotoh: x 1 x z1. 1 + < μ γ 1 1 μ < x 1 x + z1. 1 + γ 1 Ada dua cara pegukura utuk megukur kelembama uatu zat. Cara I dilakuka 50 kali yag meghailka x 1 = 60, da 1 = 4,7. Cara II dilakuka 60 kali dega x = 70,4 da = 37,. Supaya ditetuka iterval kepercayaa 95% megeai perbedaa rata-rata pegukura dari kedua cara itu Jawab: Jika dimialka hail kedua cara pegukura berditribui ormal, maka didapat varia gabuga: = 50 1 4,7 + 60 1 37, 50 + 60 = 31,53 Selajutya dihitug dulu: 1 + 1 = 1 31,53 + 31,53 = 1,08 50 60 Dega p = 0,975 da dk = 108, dari daftar ditribui t didapat t = 1,984. Maka iterval kepercayaa: 70,4 60, 1,984 1,08 < μ 1 μ < 70,4 60, + 1,984 1,08 Atau 8,06 < μ 1 μ < 1,34
d. Obervai berpaaga Mialka populai keatu mempuyai variabel acak X da populai kedua mempuyai variabel acak Y. Rata-rataya maig-maig μ x da μ y. Diambil dua ampel acak maig-maig ebuah dari tiap populai, yag berukura ama, jadi 1 = =. Didapat data ampel: x 1, x,, x da y 1, y,, y. Kedua data hail obervai ii dimialka berpaaga ebagai berikut: x 1 berpaaga dega y 1 x berpaaga dega y x berpaaga dega y Dalam hal paaga data eperti ii, maka meakir eliih atau beda rata-rata μ B = μ x μ y, dapat pula dibetuk eliih atau beda tiap paaga data. Jadi dicari B 1 = x 1 y 1, B = x y,, B = x y. Dari ampel berukura yag dataya terdiri dari B 1, B,, B upaya dihitug rata-rata B da impaga baku B, dega megguaka: B = B i da B = B i B i 1 Maka iterval kepercayaa utuk μ B dega koefiie kepercayaa γ% yaitu: B t p. B < μ B < B + t p. B Dega t p didapat dari daftar ditribui tudet utuk p = 1 1 + γ da dk = 1 3. Iterval Kepercayaa bagi propori Mialka populai berditribui biom berukura N, terdapat propori π utuk uatu kejadia A dalam populai terebut. Diambil ampel acak berukura dari populai itu dega propori kejadia A dalam ampel terebut. Jadi takira titik utuk π adalah utuk takira π dega koefiie kepercayaa γ% yaitu: x x utuk. Maka iterval kepercayaa y=x y π y 1 π y = 1 1 γ (A) x y=0 y π y 1 π y = 1 1 γ...(b)
Formula (A) merupaka bata bawah iterval kepercayaa da formula (B) merupaka bata ata iterval kepercayaa. Rumu diata tidak prakti, ehigga erig kali diguaka pedekata ditribui ormal kepada biom utuk ukura ampel cukup bear. Maka iterval kepercayaa π, dega koefiie kepercayaa γ% adalah: p z1 γ pq < π < p + z1 γ pq Dega p = x da q = 1 p Cotoh Mialka kita igi meakir ada berapa pere aggota mayarakat berumur 15 tahu ke ata yag termauk ke dalam gologa A. Utuk ii ampel acak berukura acak = 100 diambil yag meghailka 504 tergolog kategori A. Jawab: Peretae gologa A dalam ampel = 504 100% = 4% 100 Jika ditakir ada 4% aggota mayarakat berumur 15 tahu ke ata yag termauk gologa A, maka dalam hal ii telah diguaka titik takira. Utuk meetuka 95% iterval kepercayaa parameter π, utuk yag cukup bear, dega p = 0,4; q = 0,58; z 0,475 = 1,96, maka: 0,4 1,96 0,4 0,58 100 < π < 0,4 + 1,96 0,4 0,58 100 Atau: 0,39 < π < 0,45 4. Iterval Kepercayaa bagi eliih propori Mial terdapat dua populai berditribui biom dega parameter utuk peritiwa yag ama maigmaig π 1 da π. Dari populai ii ecara idepedet maig-maig diambil ebuah ampel acak berukura 1 dari populai keatu da dari populai kedua. Propori utuk peritiwa yag
diperhatika dari ampel-ampel itu adalah p 1 = x 1 da p = x dega x 1 1 da x berturut-turut meyataka bayakya peritiwa yag diperhatika yag terdapat pada ampel keatu da ampel kedua. Peetua iterval kepercayaa utuk π 1 π aka diguaka pedekata oleh ditribui ormal dega koefiie kepercayaa γ%, yaitu: p 1 q 1 p 1 p z1 + p q p 1 q 1 < π γ 1 1 π < p 1 p + z1 + p q γ 1 Dega q i = 1 p i Cotoh Mial ampel acak atu terdiri 500 waita da ampel acak kedua 700 laki-laki yag megujugi ebuah pamera telah diambil. Teryata bahwa 35 waita da 400 laki-laki meyeagi pamera itu. Tetuka iterval kepercayaa 95% utuk perbedaa peretae laki-laki da waita yag megujugi pamera da meyeagiya. Jawab: Peretae waita yag meyukai pamera p 1 = 35 500 100% = 65% da utuk laki-laki p = 400 700 100% = 57% Jadi q 1 = 35% da q = 43% Dega 1 = 500 da = 700, didapat p 1 q 1 1 + p q = 0.65 0.35 500 + 0.57 0.43 700 = 0.084 Dega z = 1,96 diperoleh: 0.65 0.57 1.96 0.084 < π 1 π < 0.65 0.57 + 1.96 0.084 Atau: 0.04 < π 1 π < 0.136 INTERPOLASI Jika diketahui t 0,975,60 = da t 0,975,10 = 1,98, tetuka t 0,975,99? Jawab: Guaka peramaa gari:
y y 1 y y 1 = x x 1 x x 1 Dega x 1, y 1 = 60, da x, y = 10,1.98 maka diperoleh Subtitui x = 99, maka diperoleh y x 60 = 1.98 10 60 y x 60 = 0.0 60 y = 0,0 x + 0,0 60 y = 0,0 x +,0 60 y = 0,0 60 99 +,0 = 1.987 Maka t 0,975,99 = 1.987